Grundgebiete der Elektrotechnik 2

Grundgebiete
der Elektrotechnik 2
Teil 1 – Elektrische Felder
von
Dr.-Ing. Hermann Josef Peifer
Professor an der Fachhochschule Aachen
1. Auflage, Frühjahr 2016
Als Manuskript vervielfältigt
Nachdruck verboten
i
Fachhochschule Aachen
Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer
Vorwort
Diese Hilfsblätter betreffen die Lehrveranstaltung „Grundgebiete der Elektrotechnik 2, Teil1 –
Elektrische Felder“ an der Fachhochschule Aachen für Studierende in den Bachelor-Studiengängen
Elektrotechnik und Mechatronik. Der Teil 1 – Elektrische Felder umfasst 3 Semesterwochenstunden
(V2, Ü1).
Die vorliegenden Hilfsblätter sind mehr als eine Formelsammlung, besitzen jedoch nicht die
Ausführlichkeit und Breite eines Lehrbuches.
Es ist nicht Sinn der Hilfsblätter den Besuch der Vorlesung und das Mitschreiben in der Vorlesung
zu ersparen, da sowohl die Moderation als auch die ergänzenden Erläuterungen fehlen. Es soll
lediglich das Kopieren von Formeln erspart werden, um Zeit zu gewinnen dem Gedankengang zu
folgen.
Die Abbildungen wurden bewusst unvollständig gehalten. Die Studierenden sind aufgefordert diese
während der Vorlesung farbig zu ergänzen. Diese aktive Teilnahme erfordert die Aufmerksamkeit
der Studierenden und soll bereits während der Vorlesung den „roten Faden“ einprägen.
Ebenfalls wurde der Text auf ein Minimum beschränkt und sollte bei der Nachbearbeitung der
Vorlesung durch eigene Notizen ergänzt werden.
Aachen, Frühjahr 2016
Hermann Josef Peifer
ii
Fachhochschule Aachen
Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer
Inhaltsverzeichnis
1
Erscheinungsformen und Wirkungen elektrischer Ladungen
1.1
Grundlegende Erscheinungen und Folgerungen .......................................................... 1
1.2
Das Coulombsche Gesetz ............................................................................................. 3
1.3
Idealisierte Ladungsverteilungen ................................................................................. 4
1.3.1 Raumladung ...................................................................................................... 4
1.3.2 Flächenladung ................................................................................................... 5
1.3.3 Linienladung ..................................................................................................... 7
1.3.4 Punktladung ...................................................................................................... 8
1.4
Definition der elektrischen Feldstärke ......................................................................... 9
1.5
Bewegte Ladungsträger .............................................................................................. 11
1.5.1 Ladungsträgerarten ......................................................................................... 11
1.5.2 Driftgeschwindigkeit und Beweglichkeit ....................................................... 11
1.5.3 Elektrische Stromdichte .................................................................................. 13
1.5.4 Elektrische Stromstärke .................................................................................. 15
1.6
Erhaltungssatz für elektrische Ladungen ................................................................... 17
1.7
Elektrisches Potential und elektrische Spannung ....................................................... 20
2
Physikalische Felder
2.1
Allgemeine Feldbegriffe (Feldgröße, Feld, Skalarfeld, Vektorfeld) ......................... 23
2.2
Graphische Darstellung und Veranschaulichung ....................................................... 24
2.2.1 Skalarfelder ..................................................................................................... 24
2.2.2 Vektorfelder .................................................................................................... 25
2.3
Arten und Unterscheidungsmerkmale von Vektorfeldern .......................................... 27
2.3.1 Homogene und inhomogene Felder ................................................................ 27
2.3.2 Quellenfelder .................................................................................................. 27
2.3.3 Wirbelfelder .................................................................................................... 27
2.4
Der Begriff des Flusses .............................................................................................. 28
2.4.1 Flußröhren ...................................................................................................... 29
2.4.2 Quantitative Feldlinienbilder .......................................................................... 29
3
Elektrostatische Felder im Vakuum und stofferfüllten Raum
3.1
Die elektrische Feldstärke .......................................................................................... 31
3.1.1 Definition und Feldgleichung ......................................................................... 31
3.1.2 Das elektrische Feld einer Punktladung ......................................................... 31
3.1.3 Das Superpositionsprinzip .............................................................................. 31
3.2
Das elektrische Potential ............................................................................................ 32
3.2.1 Definition ........................................................................................................ 32
3.2.2 Das elektrische Potential einer Punktladung .................................................. 32
3.2.3 Das Überlagerungsprinzip .............................................................................. 32
3.2.4 Die elektrische Spannung ............................................................................... 32
3.2.5 Der zweite Kirchhoffsche Satz ....................................................................... 32
3.3
Die elektrische Erregung ............................................................................................ 33
3.3.1 Influenz-Faradayscher Becher-Doppelplättchen ............................................ 34
3.3.2 Definition und Feldgleichung ......................................................................... 36
3.3.3 Die elektrische Erregung einer Punktladung .................................................. 38
3.4
Die Materialgleichung des elektrostatischen Feldes .................................................. 39
3.5
Grenzbedingungen ...................................................................................................... 43
iii
Fachhochschule Aachen
3.6
3.7
3.8
4
Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer
Kapazitätsberechnungen ............................................................................................. 45
3.6.1 Einführung des Kapazitätsbegriffes ................................................................ 45
3.6.2 Methoden zur Kapazitätsbeerchnung ............................................................. 46
3.6.2.1 Die QC-Methodik ............................................................................... 46
3.6.2.2 Die UC-Methodik ............................................................................... 47
3.6.3 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazitäten ............................................. 48
Energiedichte und Energie des elektrischen Feldes ................................................... 52
Kräfte zwischen Kondensatorelektroden .................................................................... 54
Das stationäre Strömungsfeld
4.1
Die elektrische Stromdichte ....................................................................................... 57
4.2
Die Materialgleichungen des stationären elektrischen Strömungsfeldes ................... 58
4.2.1 Raumgebiete ohne Antrieb ............................................................................. 58
4.2.2 Raumgebiete mit Antrieb................................................................................ 59
4.2.2.1 Die eingeprägte Feldstärke ................................................................. 59
4.2.2.2 Die eingeprägte Stromdichte .............................................................. 60
4.3
Grenzbedingungen ...................................................................................................... 62
4.4
Widerstandsberechnungen.......................................................................................... 64
4.4.1 Einführung des Leitwertbegriffes ................................................................... 64
4.4.2 Methoden zur Widerstandsberechnung .......................................................... 65
4.4.2.1 Die IR-Methodik ................................................................................. 65
4.4.2.2 Die UR-Methodik ............................................................................... 66
4.4.2.3 Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen .............................. 67
4.5
Leistungsdichte und Joulsche Verlustleistung ........................................................... 70
4.6
Dualität zwischen dem stationären Strömungsfeld und dem elektrostatischen Feld . 71
Anhang A – Hilfsblätter
Hilfsblatt 1 „Vektoren“ ......................................................................................................... A1
Hilfsblatt 2 „Skalarprodukt“.................................................................................................. A2
Hilfsblatt 3 „Vektorprodukt“................................................................................................. A3
Hilfsblatt 4 „Kartesische Koordinaten ( x , y, z) “................................................................... A4
Hilfsblatt 5 „Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) “ ......................................................................... A5
Hilfsblatt 6 „Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) “ ............................................................................. A6
Anhang B – Übungen
Übung 1 „Vektoren“.............................................................................................................. B1
Übung 2 „Koordinatensysteme“............................................................................................ B2
Übung 3 „Coulombsches Gesetz“ ......................................................................................... B3
Übung 4 „Raumladung, Flächenladung und Linienladung“ ................................................. B4
Übung 5 „E-Feld <=> Skalarpotential“ ................................................................................ B5
Übung 6 „Elektrostatische Felder - Kugelsymmetrische Raumladungswolke“.................... B6
Übung 7 „Kapazitätsberechnungen“ ..................................................................................... B7
Übung 8 „Kondensatorschaltungen, Kräfte und Arbeit“ ...................................................... B8
Übung 9 „Stationäres Strömungsfeld - Halbkugelerder“ ...................................................... B9
Übung 10 „Widerstandsberechnungen“ .............................................................................. B10
iv
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Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer
Literaturhinweise
• Albach, „Elektrotechnik“, Pearson Studium
• Albach, „Elektrotechnik - Aufgabensammlung mit Lösungen“, Pearson Studium
• Clausert, Wiesemann: „Grundgebiete der Elektrotechnik“, Oldenbourg Verlag
• Führer, Heidemann, Nerreter: „Grundgebiete der Elektrotechnik“, Hanser Verlag
• Paul: „Elektrotechnik“, Springer Verlag
• Bosse: „Grundlagen der Elektrotechnik“, VDI Verlag
v
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Maxwellsche Gleichungen (Elektrostatik und stationäres
Strömungsfeld)

rot E = 0
⇔
 
E
∫ ⋅ ds = 0

E:
elektrische Feldstärke
 
D
∫ ⋅ dA = ∫ δdV

D:
elektrische Flußdichte
ρ:
Raumladungsdichte

J:
Stromdichte
C = ∂A

div D = ρ
⇔
A = ∂V

divJ = 0
⇔
V
 
∫ J ⋅ dA = 0
A = ∂V
Grenzbedingungen



n 12 × (E 2 − E 1 ) = 0



n 12 ⋅ (D 2 − D1 ) = 0



n 12 ⋅ (D 2 − D1 ) = σ
 

n 12 ⋅ ( J 2 − J1 ) = 0
⇔
E t stetig
⇔
D n stetig
⇔
D n springt um die Flächenladungsdichte σ
⇔
J n stetig
bzw.
Materialgleichungen

 
D = εoE + P


D = εE


J = κE

 
J = κ( E + E ( e ) )
  (e)

J + J = κE
bzw.
bzw.
bzw.
εo :

P:
ε:
κ:

E (e) :
 (e)
J :
elektrische Feldkonstante
elektrische Polarisation
Permittivität
Leitfähigkeit
eingeprägte Feldstärke (nicht elektrischer Natur)
eingeprägte Stromdichte (nicht elektrischer Natur)
Naturkonstanten
m
s
−19
e = 1,602 ⋅ 10 As
As
ε o = 8,854 ⋅ 10 −12
Vm
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c 0 = 2,998 ⋅ 10 8
Elementarladung:
elektrische Feldkonstante:
vi
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1. Erscheinungsformen und Wirkungen elektrischer Ladungen
1.1 Grundlegende Erscheinungen und Folgerungen
Erscheinungen:
A)
Stäbe: Glas oder
Hartgummi
Mehrere Probekugeln:
Watte, Holundermark
B)
Reiben des Hartgummi- und Glasstabes an Leder oder Katzenfell
C)
Berührung der Probekugeln mit dem Hartgummistab
Beobachtungen:
- Probekugeln stoßen sich gegenseitig ab
- Probekugeln werden dann auch vom Hartgummistab abgestoßen.
- Probekugeln werden dagegen vom vorher geriebenen Glasstab zunächst angezogen
und nach Berührung abgestoßen
D)
Berührt man stattdessen die Probekugeln zuerst mit dem Glasstab
Beobachtungen:
- Probekugeln stoßen sich wiederum gegenseitig ab
- Glasstab wirkt auch abstoßend auf die Probekugeln
- Probekugeln werden aber danach von dem vorher geriebenen Hartgummistab
angezogen und nach Berührung abgestoßen
Folgerungen:
1) Diese Erscheinung sind durch mechanische Kräfte nicht erklärbar (mal ziehen sie sich an,
mal stoßen sie sich ab)
2) Den geriebenen Körpern wird eine elektrische Ladung zugeordnet
3) Wegen der teils anziehenden, teils abstoßenden Kräfte folgt:
- Geriebener Glasstab: überschüssige positive Ladung
- Geriebener Hartgummistab: überschüssige negative Ladung
Eigenschaften von Ladungen:
1) Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an
2) Elektrische Ladungen können durch Reiben getrennt werden, wobei
- eine Ladungsart auf dem geriebenen Körper verbleibt
- die andere Ladungsart auf den reibenden Körper übergeht
(vgl. elektrostatische Aufladung beim „Schlurfen“ über einen Teppich)
3) Überschüssige Ladung ist durch Berühren anderer Körper übertragbar.
-1-
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Anmerkungen:
1) Elektrizitätserzeugung bedeutet allgemein Trennung von Ladung verschiedenen
Vorzeichens (mechanisch, thermisch, chemisch, Strahlung etc.). Bei Fotovoltaik sind es z.B.
die Lichtquanten, deren Strahlungsenergien zu Ladungstrennungen führen.
2) Transport von elektrischer Ladung bedeutet allgemein elektrischer Strom
(„Elektron“: griechisch Bernstein. Beim Bernstein wurden die Reibungserscheinungen
erstmals beobachtet)
3) Das Formelzeichen für elektrische Ladung ist Q; Einheit: Q As C
4) Elektrische Ladung ist nicht beliebig teilbar. Kleinste Ladungsmenge ist die
Elementarladung:
e 1,602 10 19 As
1As 1Coulomb 1C
5) Elektrisch geladene Körper ändern den Zustand des sie umgebenen Raumes.
Darstellung und Veranschaulichung mittels der Feldtheorie: „Elektrische Felder“.
6) Kräfte auf elektrische Ladungen durch andere elektrische Ladungen werden Coulombsche
Kräfte genannt.
7) Elektrische Ladungen kann man weder erzeugen noch vernichten (Ladungsinvarianz), aber
umverteilen.
-2-
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1.2 Das Coulombsche Gesetz
Q1
r 1 - r2
Q2
r1
z
x
r2
y
Q1Q 2
FQ1
r1
r2
a:
r1 r2
:
r1 r2
FQ1
FQ2
4
r
0 1
r2
2
r1 r2
r1 r2
FQ2
Abstand der beiden Punktladungen voneinander
Einheitsvektor, zeigt von Q 2 auf Q1
Q1Q 2
mit
4 0a 2
Q1Q 2
Q1Q 2
0
0
abstoßend
anziehend
Q1
<0
Q2
>0
<0 abstoßend anziehend
>0 anziehend abstoßend
Vorgriff: Die elektrische Feldstärke ist über die Kraft auf eine Probeladung definiert!
FQ1
Q1EQ2 ( r1 )
E Q2 ( r1 ) ist das elektrische Feld am Ort der Punktladung 1 infolge des
elektrischen Feldes der Punktladung 2.
FQ2
Q2 E Q1 ( r2 )
E Q1 ( r2 ) ist das elektrische Feld am Ort der Punktladung 2 infolge des
elektrischen Feldes der Punktladung 1.
Elektrisches Feld einer Punktladung:
E Q1 ( r2 )
Q1
4 0a 2
bzw.
-3-
E Q 2 ( r1 )
Q2
4 0a 2
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1.3 Idealisierte Ladungsverteilungen
Bei vielen elektrischen Erscheinungen kann man von dem Teilchen-Charakter elektrischer
Ladungen absehen:
In den elektrisch sinnvoll kleinsten Volumina sind noch so viele Elementarteilchen, so dass
man sich ihre Gesamtheit kontinuierlich über das betrachtete Volumenelement verschmiert
vorstellen kann („Ladungssuppe“).
(in Analogie: kontinuierliche Masse statt diskontinuierlicher Atomstruktur)
Die Maxwell’sche Theorie ist eine Kontinuumstheorie; sie kennt nicht den Begriff der
Elementarladung.
1.3.1 Raumladungen
Raumladungszonen treten in nahezu allen elektronischen Bauelementen (z. B. pn-Diode) auf und
beeinflussen in entscheidender Weise deren Klemmenverhalten.
Die Raumladungsdichte ( r ) ist eine lokale skalare Größe, d. h. jedem Raumpunkt wird ein
Skalarwert zugeordnet:
(r)
Einheit:
Q
V
As
m3
lim
V 0
Q
V
dQ
dV r
„Ladung pro Volumen“
Die Gesamtladung in einem beliebigen Raumvolumen V0 berechnet sich bei bekannter
Raumladungsdichte ( r ) zu:
Q(V0 )
lim
V
0
-4-
(r) V
V V0
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Hierbei wird das Raumvolumen V0 in sehr kleine Teilvolumina V aufgeteilt und deren
Ladungsbeiträge Q
V aufsummiert. Dabei wird die Raumladungsdichte innerhalb eines
Teilvolumens als homogen angenommen (z. B. gleich der Raumladungsdichte im Zentrum dieses
Teilvolumens).
Im Grenzübergang infinitesimal kleiner Teilvolumina geht die Summe in das Integral über:
Q(V0 )
( r )dV
V0
Im Spezialfall einer homogenen Raumladungsdichte ( r )
0 , ist diese für jedes Teilvomunen
gleich groß und kann damit vor die Summe gezogen werden. Als Gesamtladung ergibt sich einfach
das Produkt der Raumladungsdichte 0 mit der Summe der Teilvolumina, also dem Raumvolumen
V0 :
Q(V0 )
0
dV
V0
dV
0
0
V0
V0
1.3.2 Flächenladung
Ideale Flächenladungen kommen in der Natur nicht vor. Jedoch gibt es Raumladungbereiche deren
Ausdehnung in einer Dimension sehr gering ist. Die Wirkung solcher Bereiche lässt sich häufig mit
Hilfe von idealen Flächenladungen hinreichend genau beschreiben.
Als Beispiel für eine Flächenladung diene hier die Ladungsverteilung einer geladenen Metallkugel.
Es gilt:
- gleichnamige Ladungen stoßen sich ab
- aufgrund der Leitfähigkeit driften die Ladungen bis auf die Kugeloberfläche auseinander
- aus Symmetriegründen ist die Flächenladung homogen (keine bevorzugte Richtung)
Damit ergibt sich folgende Ladungsverteilung:
Metallkugel
Flächenladung
Bringt man zwei geladene Kugeln in direkte Nachbarschaft, dann beeinflussen sich die Ladungen
gegenseitig und die Flächenladungen werden inhomogen:
Abstoßung bei gleichnamigen Ladungen
Anziehung bei ungleichnamigen Ladungen
-5-
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Die Flächenladungsdichte ( r ) ist eine lokale skalare Größe, d. h. jedem Punkt innerhalb der
Fläche wird ein Skalarwert zugeordnet:
(r)
Einheit:
Q
A
As
m2
lim
A
0
Q
A
dQ
dA
r
„Ladung pro Fläche“
Die Gesamtladung in einer beliebigen Fläche A 0 berechnet sich bei bekannter
Flächenladungsdichte ( r ) zu:
Q(A 0 )
lim
A
0
(r) A
A A0
Hierbei wird die Fläche A 0 in sehr kleine Teilflächen A aufgeteilt und deren Ladungsbeiträge
Q
A aufsummiert. Dabei wird die Flächenladungsdichte innerhalb einer Teilfläche als
homogen angenommen (z. B. gleich der Flächenladungsdichte im Zentrum dieser Teilfläche).
Im Grenzübergang infinitesimal kleiner Teilflächen geht die Summe in das Integral über:
Q(A 0 )
( r )dA
A0
Im Spezialfall einer homogenen Flächenladungsdichte ( r )
0 , ist diese für jede Teilfläche gleich
groß und kann damit vor die Summe gezogen werden. Als Gesamtladung ergibt sich einfach das
Produkt der Flächenladungsdichte 0 mit der Summe der Teilflächen, also der Fläche A 0 :
Q(A0 )
0
dA
A0
dA
0
A0
-6-
0
A0
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1.3.3 Linienladung
Ideale Linienladungen kommen in der Natur ebenfalls nicht vor. Jedoch gibt es je nach Abstand des
Betrachters Raumladungbereiche deren Ausdehnung in zwei Dimensionen vergleichsweise gering
sind. Die Wirkung solcher Bereiche lässt sich häufig mit Hilfe von idealen Linienladungen
hinreichend genau beschreiben.
Als Beispiel für eine Linienladung diene eine Hochspannungsleitung:
In einem Abstand zu einer Leitung, der groß gegen den Drahtdurchmesser der Leitung ist, kann die
Ladung dieser Leitung als Linienladung aufgefasst werden.
Die Linienladungsdichte ( r ) ist eine lokale skalare Größe, d. h. jedem Punkt der Linie wird ein
Skalarwert zugeordnet:
(r)
Einheit:
Q
As
m
Q
lim
dQ
d r
0
„Ladung pro Länge“
Die Gesamtladung in einer beliebigen Linie
( r ) zu:
Q( 0 )
0
berechnet sich bei bekannter Linienladungsdichte
lim
(r)
0
0
-7-
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Hierbei wird die Linie 0 in sehr kleine Liniensegmente
aufgeteilt und deren Ladungsbeiträge
aufsummiert. Dabei wird die Linienladungsdichte innerhalb eines Liniensegments als
Q
homogen angenommen (z. B. gleich der Linienladungsdichte im Zentrum dieses Liniensegments).
Im Grenzübergang infinitesimal kleiner Liniensegmente geht die Summe in das Integral über:
Q( 0 )
( r )d
0
Im Spezialfall einer homogenen Linienladungsdichte ( r )
0 , ist diese für jedes Liniensegment
gleich groß und kann damit vor die Summe gezogen werden. Als Gesamtladung ergibt sich einfach
das Produkt der Linienladungsdichte 0 mit der Summe der Liniensegmente, also der Länge 0 :
Q( 0 )
0
d
d
0
0
0 0
0
1.3.4 Punktladung
In einem Abstand der groß gegen alle drei Dimensionen eines Raumladungsgebietes ist, lässt sich
deren Wirkung mit Hilfe einer idealen Punktladung im Zentrum des Raumladungsgebietes
hinreichend genau beschreiben. Wie der Name sagt wird dabei die Gesamtladung des
Raumladungsgebietes auf einen Punkt zusammengedrückt.
Punktladung, Linienladung und Flächenladung sind idealisierte Ladungsverteilungen, die so
in der Natur aus energetischen Gründen nicht vorkommen können. In der Praxis sind sie
jedoch sehr hilfreich, da sie mathematisch noch einfach zu behandeln sind und in vielen
Fällen hinreichend genaue Ergebnisse liefern.
-8-
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1.4 Definition der elektrischen Feldstärke
Experiment:
In einer Probeladung q ist ein Loch gebohrt, durch das eine Gleitstange geschoben wird. Die
Probeladung wird über eine Feder mit der Gleitstange verbunden, so dass die Kraft auf die
Probeladung in Richtung der Gleitstange gemessen wird:
F
= Anteil der Kraft auf die Probeladung q in Richtung der Gleitstange
Die Richtung der Kraft stimmt mit derjenigen Richtung von
überein, wo F
maximal wird.
Die Ursache für die Kraft auf die Probeladung ist die elektrische Feldstärke E und wird definiert
zu:
E( r )
0:
q
0:
lim
q
0
l 0
F( r )
q
hinreichend klein, so dass E homogen auf
Vermeidung der Beeinflussung des elektrischen Feldes durch
Influenzwirkung.
Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung Q
Positioniert man im Abstand r vom Koordinatenursprung die Probeladung q dann gilt nach dem
Coulombschen Gesetz:
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F
qQ
er
4 0r 2
Damit ergibt sich für die elektrische Feldstärke, die von einer Punktladung im Koordinatenursprung
ausgeht:
E( r )
-
Q
4
2
0r
er
Die elektrische Feldstärke zeigt radialsymmetrisch von der positiven Punktladung weg.
Der Betrag von E nimmt quadratisch mit dem Abstand von der Punktladung ab.
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1.5 Bewegte Ladungsträger
Der Transport von elektrischen Ladungen bzw. Ladungsträgern wird allgemein als Strom
bezeichnet.
1.5.1 Ladungsträgerarten
Leitermaterial
Metall
Halbleiter
Flüssigkeit/
Elektrolyt
Gase/
Plasma
Art der beweglichen Ladungsträger
Elektronen
Elektronen
Löcher (Defektelektronen)
Anionen (z.B. Cl-)
Kationen (z.B. Na+)
Elektronen
Ionen
Ladungsvorzeichen
+
+
+
Elektrolyt: den elektrischen Strom leitende und sich durch ihn zersetzende Lösung
(z. B.: Salz, Säure, Base).
Plasma: elektrisch leitendes, im allgemeinen sehr heißes Gemisch aus weitgehend frei beweglichen
negativen Ladungsträgern (Elektronen) und positiven Ladungsträgern (Ionen) sowie
elektrisch neutralen Atomen und Molekülen, die sich – ähnlich wie die Atome und
Moleküle eines Gases – in ständiger ungeordneter Wärmebewegung befinden.
Wir beschränken uns im Folgenden auf die Vorgänge in Metallen.
1.5.2 Driftgeschwindigkeit und Beweglichkeit
Die Raumladungsdichte in Metallen ergibt sich aus den negativen Ladungen der Elektronen und der
ortsfesten positiven Ladungen der Protonen der Rumpfatome. Da sich diese im stochastischen
Mittel in jedem Raumpunkt kompensieren sind Metalle raumladungsfrei.
Nur die Elektronen auf der äußeren Schale innerhalb des Atomverbandes (Kristallgitter) sind quasi
frei beweglich und können somit zum Ladungstransport beitragen. Durch die Wechselwirkung mit
dem Kristallgitter besitzen diese Elektronen eine erratische (umherirrende) Bewegung. Ohne äußere
Einflüsse ist diese thermische Bewegung allerdings ungerichtet, da sich die Elektronen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit in jede Richtung bewegen können. Die quasifrei beweglichen Elektronen
bewegen sich im so genannten Elektronengas: abrupte Richtungsänderungen der Geschwindigkeit
infolge der Wechselwirkung mit dem Kristallgitter (Rumpfatome) oder den anderen Elektronen
unter Auf- bzw. Abgabe von Energie. Um sich von dieser thermischen Bewegung eine Vorstellung
zu machen, seien hier die folgenden Größenordnungen des Elektronengases in Metallen bei
T=300K genannt:
-
Elektronendichte: n 1023cm
3
-
thermische Gerschwindigkeit: v th
-
mittlere freie Flugzeit: t f
-
mittlere freie Weglänge:
107
cm
s
50fs
m
5nm
o
50 A
-11-
100
km
s
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Unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes wird auf die Elektronen eine zusätzliche
gerichtete Kraft ausgeübt. Deren Einfluss auf die Bewegung der Elektronen im Elektronengas bleibt
infolge der ausgeprägten Wechselwirkungen mit dem Kristallgitter allerdings äußerst gering.
Als Ergebnis stellt sich eine zur elektrischen Feldstärke proportionale Driftgeschwindigkeit ein.
Selbst bei den technisch höchsten Strömen ist die Driftgeschwindigkeit verglichen zur thermischen
Geschwindigkeit um etliche Größenordnungen kleiner.
Die Driftgeschwindigkeit ist eine lokale vektorielle Größe die prinzipiell für jede Ladungsträgerart
k separat zu bestimmen ist (z. B. Elektronen, Löcher etc.). Hierzu denke man sich um den
Aufpunkt P (bzw. r ) ein Volumenelement V . Die Driftgeschwindigkeit bestimmt sich dann als
Scharmittelwert über alle darin befindlichen Teilchen der Art k .
vD k ( r )
1
Nk
Nk
i 1
vi k
v Dk : kollektive Driftgeschwindigkeit
der Ladungsträgerart k
N k : Anzahl der Teilchen der Art k
die sich im Volumenelement V
befinden.
vi k : individuelle Geschwindigkeit des
Teilchens i der Art k
Der Proportionalitätsfaktor zwischen Driftgeschwindigkeit und elektrischer Feldstärke wird
Beweglichkeit genannt und hängt direkt von den Wechselwirkungen mit dem Kristallgitter ab
(Festkörperphysik). Allgemein wird die Beweglichkeit einer Ladungsträgerart k definiert zu
k
:
v Dk
E
Dabei gilt:
-
positive Ladungsträger: v D
-
negative Ladungsträger: v D
k
k
k
E
k
E
-12-
0
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1.5.3 Elektrische Stromdichte
Bei bekannter Driftgeschwindigkeit und Raumladungsdichte der beteiligten Ladungsträgerarten
bestimmt sich die elektrische Stromdichte J am Ort r zu:
J( r )
Einheit: J
vD
As m
m3 s
k
Ladungs
trägerarte n
( Index k )
( r ) vD k ( r )
A
m2
Nur die beweglichen Ladungsträgerarten tragen additiv zum Ladungstransport bei, da nur deren
Driftgeschwindigkeiten ungleich Null sind.
-
Die elektrische Stromdichte J ( r ) ist eine lokale, vektorielle Größe. Sie gibt den Betrag und
die Richtung der pro Flächen- und Zeiteinheit transportierten Ladungen an.
-
Die transportierte Ladung hat nichts mit der Raumladungsdichte ( r ) zu tun.
(r)
k
Ladungs
trägerarte n
( Index k )
(r)
Während zu 𝐉⃗ nur die beweglichen Ladungsträger beitragen, tragen zu 𝛒 auch die
unbeweglichen Ladungsträger bei!
-
Die Gleichung
J
vD
ist i. A. falsch, da sie nur für den Spezialfall gilt, dass es nur bewegliche Ladungsträger und
nur eine Ladungsträgerart gibt.
Setzt man in die Gleichung
J( r )
k
k
( r ) vD k ( r )
die im vorigen Abschnitt gefundene Beziehung
vD k ( r )
k
für pos.Ladungsträger
- für neg. Ladungsträger
( r ) E( r )
dann erhält man:
J( r )
k
(r)
k
-13-
k
( r ) E( r )
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Der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstärke definiert die
elektrische Leitfähigkeit :
J
J
E
Einheit:
A
m2
V
m
A
Vm
E
S
m
(häufig auch
Die Einheit S steht hierbei für Siemens ( 1S
1
Sm
)
mm 2
)
Damit bestimmt sich die elektrische Leitfähigkeit zu
k
k
k
Hinweis: Ortsfeste, geladene Rumpfatome haben die Beweglichkeit Null!
In der Maxwellschen Theorie tauchen nur die Größen
-
: Leitfähigkeit
: Raumladungsdichte
auf, ohne nach deren physikalischen Ursachen zu fragen! Größen, wie Teilchendichten,
Beweglichkeiten und Driftgeschwindigkeiten tauchen in der Maxwellschen Theorie
elektromagnetischer Felder nicht auf! Die mikroskopische Sicht des Ladungstransports wurde
dennoch eingeführt, da hiermit anschaulich die Phänomene des Rauschens und der Joulschen
Verlustleistung erklärt werden können.
-14-
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1.5.4 Elektrische Stromstärke
Die elektrische Stromstärke erhält man durch Integration der Stromdichte J über den
Leiterquerschnitt.
I
J dA
Leiter
quer
schnitt
Anschauung:
A) Lege den Leiterquerschnitt so, dass die Stromdichte überall senkrecht hindurch tritt:
Bei homogener Stromdichte gilt für den zylindrischer Leiter: I
J a2
B) Lege den Leiterquerschnitt so, dass die Stromdichte überall unter einem Winkel von 45°
hindurch tritt:
Bei homogener Stromdichte gilt für den zylindrischer Leiter: I J 2 a 2
Ergebnis wie bei A!)
Bemerkung zu der in vielen Büchern angegebenen Gleichung:
-15-
1
2
J a 2 (gleiches
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I
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dQ
dt
Diese Gleichung gilt für den Spezialfall, dass es nur bewegliche Ladungsträger und nur eine
Ladungsträgerart gibt und bedarf der weiteren Erläuterung:
I
J dA
LQ
k
LQ k
v Dk d A
k
k LQ
v Dk d A
k
dQk
dt
dQ k
die Ladung der Art k die pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt fließt.
dt
Hiermit ist nicht die zeitliche Änderung der Ladungsdichte der Art k im Leiterquerschnitt gemeint.
Diese bleibt beim stationären Strömungsfeld (Gleichstrom) zeitlich konstant.
Hierbei ist
-16-
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1.6 Erhaltungssatz für elektrische Ladungen:
Die Elementarladung ist unveränderbar gegenüber allen Inertialsystemen, d. h.
Koordinatensysteme, die sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegen
(vgl. dagegen relativistische Massenänderung).
Die Wirkungen zweier entgegengesetzt gleich großer Ladungen im gleichen Raumpunkt
heben sich nach außen auf.
Betrachten wir zunächst ein abgeschlossenes Raumgebiet, d. h. ein Raumgebiet, über dessen
Hüllfläche weder Ladungen eingebracht noch ausgebracht wird:
dann bleibt die Gesamtladung in diesem Raumgebiet konstant. Sie kann durch physikalische
Vorgänge nicht verändert werden. Eine Umverteilung innerhalb des abgeschlossenen Raumgebiets
ist jedoch möglich.
( r , t )dV
Q(V)
konst.
V
Die zeitliche Änderung der Gesamtladung innerhalb des abgeschlossenen Raumgebietes ist Null:
dQ(V)
dt
0
Abgeschlossenes Raumgebiet:
Die im Volumen V befindliche Ladung ist konstant, wenn über die Hüllfläche keine Ladungen
zu- bzw. abfließen können.
-17-
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Betrachten wir nun ein nicht abgeschossenes System, d. h. ein Raumgebiet, über dessen Hüllfläche
Ladungen ein- und ausgebracht werden:
dann gilt für die Ladung die Kontinuitätsgleichung:
d
( r , t )dV
dt V
J dA
A
V
Nicht abgeschlossenes Raumgebiet:
Die aus dem Volumen V über die Hüllfläche netto abfließenden Ladungen führen zu einer
zeitlichen Abnahme der Gesamtladung Q im Volumen V.
Bei Ladungsaustausch über einzelne Drähte:
dQ(V, t )
dt
n
Ii
I1 I 2 ... I n
i 1
Ii wird positiv gezählt, wenn er aus der Hüllfläche herauszeigt, andernfalls negativ.
-18-
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1. Kirchoffscher Satz (Knotenregel):
Im stationären Strömungsfeld gilt
dQ(V, t )
dt
0 . Damit folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
n
Ii
0
i 1
Im stationären Strömungsfeld ist die Summe aller zufließenden Ströme gleich der Summe
aller abfließenden Ströme.
Stationäre Felder sind Felder mit zeitlich unveränderlichen Komponenten, d. h. alle zeitlichen
Ableitungen sind gleich Null.
dJ
dt
0
dQ
dt
0
d
dt
0
(
dv D k
dt
0,
d k
dt
0)
Beim stationären Strömungsfeld fließen zwar die einzelnen Ladungsträgerarten, aber in jedem
Raumpunkt zu jedem Zeitpunkt gleich!
-19-
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1.7 Elektrisches Potential und elektrische Spannung
Elektrisches Potential:
Für stationäre elektrische Felder (
E ds
0 ) lautet die 2te Maxwellsche Gleichung:
t
0
C
wobei C eine beliebige in sich
geschlossene Linienkurve ist.
E, d s
(0, )
2
E ds
0
E, d s
( , )
2
E ds
0
Das stationäre elektrische Feld ist wirbelfrei!
Bei wirbelfreien Feldern ist das Ergebnis des Linienintegrals von einem Punkt P1 zu einem Punkt
P2 unabhängig von einem speziellen Weg:
E ds
C
0
E ds
C1
E ds
0
C2
P2
E ds
C1
E ds
C2
E ds
C3
-20-
E ds
P1
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Ordnet man den Punkten P1 und P2 jeweils ein elektrisches Potential zu, mit der Bedingung
P2
E ds
1
2
P1
dann darf sich dieses Potential auf Flächen, die von den Feldlinien der elektrischen Feldstärke E
senkrecht durchstoßen werden nicht ändern
„Äquipotentialflächen“
P1
E ds
0 auf einem Weg bei dem E
ds
P1
Weiterhin gilt dann für den Potentialabfall entlang einer Feldlinie:
d
E ds
E ds
da E || d s
wobei das elektrische Feld E wegen dem Minuszeichen vom höheren Potential zum niedrigeren
Potential zeigt (geschichtlich bedingt)!
Jedem Raumpunkt wird damit ein elektrisches Potential ( r ) zugeordnet. Das elektrische
Potential ist eine lokale, skalarwertige Größe.
Es wurde anschaulich gezeigt, dass einem wirbelfreien elektrischen Feld E( r ) (vektorwertig) ein
elektrisches Potential ( r ) (skalarwertig) zugeordnet werden kann. Umgekehrt kann das elektrische
Feld E( r ) aus dem elektrischen Potential ( r ) wieder eindeutig zurück berechnet werden:
E( r )
grad ( r )
-21-
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Über die mathematische Interpretation des „Gradienten-Operators“ soll an dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden, vielmehr wird hier auf die Ausführungen in der Mathematik verwiesen.
Dennoch soll das Ergebnis hier bereits für kartesische Koordinaten vorweggenommen werden:
E
x
ex
y
ey
z
ez
Das elektrische Potential ist bis auf eine Konstante eindeutig. Die Konstante geht bei der Bildung
des Gradienten (Ableitung nach dem Ort) verloren.
Der Vorteil des (Skalar)-Potentials besteht in der äquivalenten Darstellung eines Vektorfeldes
durch ein Skalarfeld (dies gilt ganz allgemein für wirbelfreie Vektorfelder)
Elektrische Spannung:
Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten ist die Potentialdifferenz zwischen ihnen:
P2
U12
1
P1
E ds
2
P1
E ds
(
2
1
)
U 21
P2
( U12 : Spannung von 1 nach 2; U 21 : Spannung von 2 nach 1)
Die elektrische Spannung ist eine integrale Größe. Da sie nicht einem Raumpunkt zugeordnet
werden kann ist sie keine Feldgröße!
2. Kirchoffscher Satz (Maschenregel):
n
E ds
C
0
U ij
0
(mit Identität der Knoten n+1 und 1)
i 1
j i 1
U12
1
2
U 23
2
3
( U 34 ) U 31
-22-
U12 U 23 U 31
3
1
0
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2 Physikalische Felder
Obwohl im Rahmen dieser Vorlesung nur stationäre elektrische Felder behandelt werden, sollen
hier dennoch für die allgemeine Darstellung zeitveränderliche physikalischer Felder betrachtet
werden.
2.1 Allgemeine Feldbegriffe
Feldgröße:
Physikalische Größe, die in jedem Raumpunkt eines Raumes einen eindeutigen bestimmten Wert
annimmt.
Feld:
Gesamtheit aller auftretenden Werte einer Feldgröße innerhalb des Raumes. Das physikalische Feld
beschreibt also einen bestimmten physikalischen Zustand eines Raumes. Der Raum selbst ist
„Träger“ dieses Feldes.

Skalarfeld:
Die Feldgröße ist eine skalare (ungerichtete) Größe.

Beispiel:
T( r , t ) Temperatur

( r , t ) Potential

Vektorfeld:
Die Feldgröße ist eine vektorielle (gerichtete) Größe.
 
Beispiel:
v( r , t ) Geschwindigkeit
 
J ( r , t ) Stromdichte
Der Strom I bzw. die Spannung U sind keine Feldgrößen, da sie nicht einem Raumpunkt
zugeordnet werden können.
-23-
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2.2 Graphische Darstellung und Veranschaulichung
Momentaufnahme des Feldes zu einem Zeitpunkt t 0 oder zeitliche Sequenz von einzelnen
Momentaufnahmen zu äquidistanten Zeitpunkten.
2.2.1 Skalarfelder
Niveaus:
Flächen im Raum mit überall gleichem Funktionswert.

Z. B. ( r , t 0 )  1  kons tan t
3D: Niveauflächen ( auch Äquipotentialflächen)
2D: Niveaulinien (auch Äquipotentiallinien)
2D-Beispiel: Höhenlinien eines Berges H(x, y)
H
H3
H(x,y)
H2
H1
y
x
Niveaulinien H1 , H 2 , H 3
y
H3
H2
H1
x
-24-
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2.2.2 Vektorfelder
Vektoren in einzelnen Raumpunkten:
Da jedem Raumpunkt ein Vektor zugeordnet ist, muss eine Auswahl getroffen werden.
Z. B. äquidistantes Gitter
2D Beispiel:
- Betrag
- Richtung
x
y
äquidistantes Gitter
Feldlinien:
Raumkurven (Linien) die in jedem Raumpunkt tangential zum zugehörigen Feldvektor verlaufen.
2D Beispiel:
x
- nur Richtung
y
-25-
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Definition von Feldlinien: (am Beispiel des elektrischen Feldes)


d s der Linie verläuft parallel oder antiparallel zum Feldvektor E
 

d s , E  (0, )
2
  
1) ds  E( r , t )  0
  
2) d s  E( r , t )  0
 
Beide Bedingungen zusammen ergeben ds , E  0 , so dass die Linie in Feldrichtung verläuft.
Beispiel: Feldlinien einer Punktladung
z
Q
y
x
 
E( r ) 
Q 
er
4r 2
Feldlinien gehen strahlenförmig vom Ursprung
weg.
Beweis:
1)
 
ds  E  0





(dr er  rd e  r sin  de )  E r (r)er  0
Diese Gleichung ist für beliebige r , E r (r ) nur dann Null, wenn d  0 und d  0


ds  dr er

2)
 
ds  E  0




Q 
dr er 
er  0
4r 2

a) falls Q  0 folgt dr  0 , d. h. die Feldlinien zeigen in Richtung von e r

b) falls Q  0 folgt dr  0 , d. h. die Feldlinien zeigen in Richtung von  er
-26-
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2.3 Arten und Unterscheidungsmerkmale von Vektorfeldern
2.3.1 Homogene und inhomogene Felder
Physikalische Felder lassen sich hinsichtlich ihrer räumlichen Verteilung unterscheiden in
homogene und inhomogene Felder.
 

Homogene Felder:
F( r , t )  f ( r )
Betrag und Richtung sind unabhängig vom Ort
 

Inhomogene Felder:
F( r , t )  f ( r )
Betrag und/oder Richtung sind abhängig vom Ort

Aufgabe: Ordnen Sie die Felder E1 


Q 
e und E 2  E 0 er entsprechend zu.
2 r
4 0 r
Feldlinien können in sich geschlossen sein („Wirbel“) oder in bestimmten Punkten anfangen
(„Quellen“) und in anderen Punkten enden („Senken“). Allgemeine Vektorfelder können als
Überlagerung von „Quellenfeldern“ und „Wirbelfeldern“ aufgefasst werden. Senken sind dabei als
negative Quellen den Quellenfeldern zugeordnet.
2.3.2 Quellenfelder
Reine Quellenfelder sind wirbelfreie Felder, d. h.
 
F
  ds  0
C
C: beliebige geschlossene Linienkurve
2.3.3 Wirbelfelder
Reine Wirbelfelder sind quellenfreie Felder, d. h.
 
F
  dA  0
A
A: beliebige geschlossene Hüllfläche
-27-
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2.4 Der Begriff des Flusses

Das Flächenintegral einer vektoriellen Größe F über eine gewählte Fläche A innerhalb eines
Feldraumes wird in Anlehnung an Strömungsfelder von Flüssigkeiten und Gasen allgemein als
„Fluss“ bezeichnet. Dieser Fluss ist der gewählten Fläche zugeordnet:

 
(A, t ) :  F( r , t )  dA
A
Der Begriff des Flusses durch eine Randkurve macht nur für quellenfreie Felder Sinn. Im
betrachteten Raumbereich werden dann weder Feldlinien erzeugt noch vernichtet: Jede beliebige
Fläche mit der gleichen Randkurve C liefert dann den gleichen Fluss.

F(r, t)
dA
dA
dA
Beispiel: Flüssigkeitsströmung durch ein Teesieb
Wasserhahn
 
v( r )
kleines Teesieb A1
C
großes Teesieb A2
 
v
  dA  0 
 
 
v

d
A

v

  dA
A
A1
A2
-28-
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2.4.1 Flussröhren
Eine Flussröhre ist ein ringförmiges Teilvolumen eines Feldraumes, dessen Mantelflächen von
keinen Feldlinien durchsetzt werden:

 
F( r )  dA Mantel  0
Da über den Mantel nichts rein und raus fließt, muss alles was am Anfang der Flussröhre rein fließt
am Ende wieder heraus fließen. Da das Feld innerhalb der Flussröhre quellenfrei ist, können dort
weder Feldlinien erzeugt noch vernichtet.
Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung
z
y
dA
x
A1


D  0 E
dA
A2
 
 
1   D  dA   D  dA  2
A1
A2
Da das elektrische Feld quadratisch mit dem Abstand vom Ursprung abnimmt, muss der
Querschnitt der Flussröhre quadratisch mit dem Abstand zunehmen.
2.4.2 Quantitative Feldlinienbilder
Einteilung des Feldraumes in Flussröhren mit jeweils gleichem Teilfluss. Jede Röhre wird durch
eine Feldlinie charakterisiert, die als Repräsentant für alle Feldlinien durch die Röhre in deren
Mittellinie gezeichnet wird.

Ergebnis sind Feldlinienbilder mit folgenden Eigenschaften:



Feldliniendichte ist proportional zum Betrag der Feldgröße
Richtung des Feldes verläuft tangential zur Feldlinie
Richtungssinn des Feldes wird durch Zählpfeil der Feldlinie gekennzeichnet
-29-
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-30-
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3 Elektrostatische Felder im Vakuum und stofferfüllten Raum
Definition:
Elektrostatische Felder sind Felder ruhender Ladungen, d. h. zeitlich unveränderlich und ohne
Energieumwandlung.
3.1 Die elektrische Feldstärke
3.1.1 Definition und Feldgleichung
Definition:
Feldgleichung:
E( r )
F( r )
0
q
0
E ds
lim
q
l
0
C
beliebig
„wirbelfrei“
„Kraft auf Probeladung q“
3.1.2 Das elektrische Feld einer Punktladung
Punktladung Q im Koordinatenursprung:
E( r )
Q
4
0
r2
er
3.1.3 Das Superpositionsgesetz
Das elektrische Feld mehrerer Punktladungen Q1 , Q 2 , …, Q n :
E( r )
n
Ei ( r )
mit
Ei ( r )
i
Qi
4
0
r
ri
2
r
r
ri
ri
E i ( r ) ist die Feldstärke am Ort r nur infolge der Ladung Q i am Ort ri .
Elektrische Felder aufgrund von Punktladungen dürfen superponiert werden (vektorielle
Addition).
-31-
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3.2 Das elektrische Potential
3.2.1 Definition
P
E ds
(r)
0
(r )
( P)
(P )
E ds
E( r )
grad ( r )
P
C
3.2.2 Das elektrische Potential einer Punktladung
Punktladung Q im Koordinatenursprung mit der Normierung (r
) 0:
Q
(r)
4
0
r
3.2.3 Das Überlagerungsprinzip
Das elektrische Potential mehrerer Punktladungen Q1 , Q 2 , …, Q n :
n
(r)
i
(r)
mit
i
(r)
4
i
i
Qi
0 r
ri
( r ) ist das elektrische Potential am Ort r nur infolge der Ladung Q i am Ort ri .
Die elektrischen Potentiale von Punktladungen dürfen überlagert werden (skalare Addition).
Die resultierende elektrische Feldstärke ergibt sich durch Bildung des Gradienten:
E( r )
grad ( r )
3.2.4 Die elektrische Spannung
Die elektrische Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten:
Pj
Uij
i
Pi
E ds
j
Pi
E ds
(
j
i
)
U ji
Pj
3.2.5 Der zweite Kirchhoffsche Satz
n
U ij
0
(mit Identität der Knoten n+1 und 1)
i 1
j i 1
-32-
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3.3 Die elektrische Erregung
Beobachtungen:
Leiterfolie auf Äquipotentialfläche:
Leiterfolie
(Querschnitt)
+
Äquipotentialfläche
im Feld
keine Feldverzerrung
Leiter im elektrischen Feld:
Leiter
+
Feld
Influenzladungen
auf dem Leiter
Kraft auf Influenzladungen:
-33-
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3.3.1 Influenz – Faradayscher Becher - Doppelplättchen
Faradayscher Becherversuch:
a)
b)
c)
d)
a) ungeladener Metallkasten mit kleiner Öffnung
b) Einführung einer positiven Ladung (auf einer Kugel)
Influenzladungen auf der Innenseite (-) und auf der Außenseite (+)
c) Berührung des Kastenbodens: Kugel wird entladen.
Beobachtung: Entladung der Kugel im Inneren ist außerhalb des Kastens nicht nachweisbar
Schlussfolgerung: Influenzladung auf der Innenseite ist betragsmäßig gleich der
Ladung der Kugel
d) Herausnahme der ungeladenen Kugel führt zu keiner weiteren Änderung
Die gesamte Influenzladung auf der Innen- und Außenseite ist für b) betragsmäßig
jeweils gleich der Größe der Ladung der Kugel
Im Faradayschen Becherversuch erfolgt durch wiederholtes Entladen einer geladenen Kugel eine
Ladungsakkumulation des Metallkastens
Anwendung beim Van-de-Graaff-Generator
(Elektrostatischer Hochspannungsgenerator)
Sprühelektrode = Metallspitze
unter hoher Spannung
(Feldstärke an der Spitze >
Durchschlagsfestigkeit der Luft)
Van de Graaff-Generatoren: bis
10MV
Technischer Einsatz:
Ionenimplatation in der
Halbleitertechnologie
-34-
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Influenz - Doppelplättchenversuch:
a) Metallsches Doppelplättchen (Fläche
A ) auf einer Äquipotentialfläche
b) Trennung der Plättchen (vertikal) im Feld
c) Herausführung der getrennten Plättchen aus dem Feld
Ergebnis:
Influenzierte Ladung
q:
oberes Plättchen:
unteres Plättchen:
0
0
AE
AE
As
„Elektrische Feldkonstante“
Vm
Durch das elektrostatische Feld werden im metallischen Leiter Ladungen influenziert, d. h. auf der
Leiteroberfläche werden durch Ladungsverschiebungen lokal positive oder negative
Flächenladungen erzeugt. Die Gesamtladung des metallischen Leiters bleibt unverändert.
0
8,854 10
12
Der metallische Leiter selbst ist im Inneren feldfrei ( E 0 ) oder anders ausgedrückt:
Die Verteilung der influenzierten Flächenladungen ist immer derart, dass der metallische Leiter im
Inneren feldfrei ist (Überlagerung des externen Feldes und des Feldes der Flächenladungen).
Gedankenexperiment:
Würde man die resultierenden Flächenladungen einfrieren, dann wäre dieses Gebiet
weiterhin feldfrei.
-35-
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3.3.2 Definition und Feldgleichung
Beobachtung:
Die influenzierte Ladung beim Doppelplättchenversuch ist abhängig von
Größe der elektrischen Feldstärke
Fläche des Doppelplättchens
Orientierung der Plättchen zum Feld
Permittivität des Mediums
Definition der elektrischen Erregung:
D
A
lim
A
0
q max
A
0 : A klein genug, so dass E homogen auf
A
Der Betrag der elektrischen Erregung ist definiert über die maximale Menge der
influenzierten Ladung pro Fläche.
q
q max cos
Die Menge der influenzierten Ladung hängt von der Ausrichtung des Doppelplättchens zum
elektrischen Feld ab:
D dA cos
D dA dq
Die Richtung des Flächenvektors dA des Doppelplättchens bei der die maximale Ladung
influenziert wird, stimmt mit der Richtung der elektrischen Erregung D überein.
Die elektrische Erregung D wird auch elektrische Verschiebungsdichte genannt, da sie über die
Verschiebung der Ladungen definiert ist.
-36-
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Feldgleichung der elektrischen Erregung:
Ausmessen des Flusses der elektrischen Erregung über eine gedachte Hüllfläche mit Hilfe eines
Doppelplättchens:
D dA
Hüll
fläche
Mess
vorschrift
dq
Erfahrung /
Experiment
qi
Die Erfahrung zeigt, dass der Fluss von D durch eine beliebige geschlossene Hüllfläche und
für beliebige Materie gleich der algebraischen Summe der eingeschlossenen Ladung ist.
Für die Feldgleichung gilt allgemein:
D dA
A
dV
V
Hierbei ist V das Volumen, das von der Hüllfläche A eingeschlossen wird. Die eingeschlossene
Ladung ist hier über das Volumenintegral der Raumladungsdichte erfasst.
Positive Ladungen sind Quellen und negative Ladungen Senken der elektrischen Erregung D
-37-
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3.3.3 Die elektrische Erregung einer Punktladung
Punktladung Q im Koordinatenursprung:
Aus Symmetriegründen muss das elektrische Feld vom Koordinatenursprung aus gesehen in jede
Richtung gleich sein.
D( r )
D r (r )e r
nur r-Abhängigkeit
nur r-Komponente
D dA
A
dV
V
Wähle als Hüllfläche eine konzentrische Kugelschale mit dem Radius r , da aus Symmetriegründen
die elektrische Erregung auf diesen Flächen vom Betrag überall gleich groß sind und in radialer
Richtung zeigen ( D // dA ).
D r (r ) 4 r 2
Q
bzw.
D r (r )
Q
4 r2
Damit gilt für die elektrische Erregung einer Punktladung im Koordinatenursprung:
D( r )
Q
er
4 r2
Weiterhin gilt nach dem Coulombsche Gesetz für die elektrische Feldstärke im Vakuum:
E( r )
Q
4
D
0
r2
0
er
E
im Vakuum
Die Beziehung zwischen D und E im stofferfüllten Raum wird im folgenden Abschnitt behandelt.
-38-
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3.4 Die Materialgleichungen des elektrostatischen Feldes
Dielektrikum:
Elektrisch nicht leitender Stoff (Isolator) der ein elektrisches Feld im Gegensatz, zu einer geerdeten
Metallplatte nicht abschirmt sondern durchlässt.
Experiment 1 ( U
konst ):
An einen vorher ungeladenen Kondensator wird eine Spannungsquelle geschaltet. Die elektrische
Feldstärke im Kondensator ist:
E
U
d
Die Ladung auf den Platten wird gemessen zu:
Q
U
A
d
0
E 0A
Schiebt man nun zwischen die Kondensatorplatten ein Dielektrikum, dann erhöht sich die Ladung
auf den Platten:
Q
U
0
r
d
A
E
0
r
A
r
: relative Permittivität des Dielektrikums
Die Fähigkeit bei fest vorgegebener Spannung ( E konst ) Ladungen auf den
Kondensatorplatten zu influenzieren wir durch Dielektrika ( r 1 ) verstärkt.
-39-
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Experiment 2 ( Q
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konst ):
a) Vakuum
b) Metall
c) Dielektrikum
-40-
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Die im Experiment festgestellten Effekte können durch Polarisationserscheinungen erklärt werden:
D
0
E P
P : Polarisation
Da die Polarisation bei fester Ladung der Kondensatorplatten das elektrische Feld E
schwächt, spricht man hier auch von Gegenerregung.
Wir beschränken uns hier auf lineare Dielektrika, d. h. die Polarisation ist proportional zum
elektrischen Feld:
P
0
E
: elektrische Suszeptibilität
Anschauung:
Ursache der Polarisation:
Dipole aufgrund
- Ionenkristalle (Anionen, Kationen)
- permanente Dipole (z. B. H2O)
- Verschiebung der negativen Elektronenhülle gegenüber der positiven Atomhülle
-41-
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Die Materialgleichung für lineare Materie lautet:
D
0
(1
)E
0
r
E
mit
r
(1
)
oder kurz
D
E
mit
0 r
: Permittivität des Dielektrikums
Dielektrikum
Relative Permittivität
Luft
1,00059
Destilliertes Wasser
81
Kunststoff
2 … 4
Keramik
10 … 10000
elektrochemisch gebildetes Oxid
o Al2O3
o Ta2O5
8
27
elektrochemische Doppelschicht
(adsorbierte H2O Molekülschicht)
13
-42-
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3.5 Grenzbedingungen
Elektrische Erregung:
n12 (D2 D1 )
D2 n
D1n
Fall A (ohne Flächenladung):
Zwei Dielektrika (1) und (2) grenzen aneinander. Da beide nicht leitend sind, kann an der
Grenzfläche keine Ladung zufließen
0.
D2 n
D1n
Fall B (mit Flächenladung):
Ein Dielektrikum (1) grenzt an Metall (2). Da das Metall (2) leitend ist, kann an die Grenzfläche
Ladung zufließen. Die elektrischen Felder im Metall (2) müssen verschwinden, da sonst
Ladungstransport stattfinden würde
E 2 0 und D2 0 .
D1n
-43-
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Bemerkung:
-
Ein idealer Leiter ist definitionsgemäß kein Dielektrikum! Ein metallischer Leiter besitzt
bewegliche Ladungsträger, während das Dielektrikum an die Materie gebundene Dipole
aufweist.
Der Grenzfall 2
für Dielektrikum (2) liefert zwar das gleiche elektrische Feld im
Dielektrikum (1) wie bei einem benachbarten Metall (2), jedoch gilt im Dielektrikum (2)
D2 n 0 , während im Metall D 0 ist.
Elektrische Feldstärke:
n12 (E 2 E1 ) 0
E2t
E1t
Wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke gilt gleichfalls die
Stetigkeit des elektrischen Potentials an der Grenzfläche:
1
2
Brechungsgesetze:
tan
tan
tan
tan
1
1
2
2
1
2
2
1
„Brechungsgesetz für Feldlinien“
„Brechungsgesetz für Äquipotentialflächen:“
-44-
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3.6 Kapazitätsberechnungen
Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung werden nur Zweielektrodenanordnungen betrachtet.
3.6.1 Einführung des Kapazitätsbegriffes
Der Quotient aus der Elektrodenladung Q1 der Elektrode 1 (bzw. Q 2 der Elektrode 2) und der
Spannung U12
(bzw. U 21
1
2
1 ) zwischen den Elektroden 1 und 2 (bzw. 2 und 1) heißt
2
Kapazität C :
C
Q1
U12
D dA
A1
2
E ds
Q2
U 21
1
D dA
A2
1
C
E ds
2
Hinweis: Für die Zweielektrodenanordnung gilt Ladungserhaltung beim Aufladen
Q1
Q2 .
Beispiel: Plattenkondensator (bei Vernachlässigung von Randstörungen)
Vor: 1) D , E sind homogen
2) D , E // d s
3) D , E // dA
D dA
Cidealer Platten
kondensator
A1
2
E ds
1
-45-
EA
Ed
A
d
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3.6.2 Methoden zur Kapazitätsberechnung
Für die Kapazitätsbestimmung gibt es zwei wesentliche Methoden:
1) eingeprägte Ladung Q
2) eingeprägte Spannung U
3.6.2.1 Die QC-Methodik:
Prinzip:
Auf eine Elektrode des Kondensators wird die Testladung Q und auf die zweite Elektrode die
Ladung Q aufgebracht.
Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Erregung auf einer
Äquipotentialfläche überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten
Koordinatensystems zeigt.
Q
Testladung vorgeben
D
Symmetrie
E
E
U
U
D
Q
eA
A
( D auf einer Äquipotentialfläche A konstant)
D
E ds
enlang
einer
Feldlinie
C
C
Q
U
Beispiel: Plattenkondensator mit longitudinal abhängiger Permittivität
-46-
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3.6.2.2 Die UC-Methodik:
Prinzip:
An dem Kondensator wird eine Testspannung U eingeprägt und die resultierende Ladung bestimmt.
Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Feldstärke entlang einer
Feldlinie überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten
Koordinatensystems zeigt.
U
Testspannung vorgeben
P
Symmetrie
E
E
grad
D
D
E
Q
Q
Es
0
( E entlang einer Feldlinie s konstant)
D dA
Äqui
potential
fläche
C
C
Q
U
Beispiel: Plattenkondensator mit lateral abhängiger Permittivität
-47-
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3.6.3 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazitäten
Reihenschaltung:
Beispiel Plattenkondensator:
D dA
Der Fluss der elektrischen Erregung ist durch jede Querschnittfläche gleich
Q
A1 ,A 2
Ersatzschaltung:
Q Q1
Q2
Q3
Qn
U U1 U 2 U3
Un
Cges
Q
U
U1 U 2
1
Cges
1
C1
1
C2
1
C3
Q
U3
Un
U1
Q
U2
Q
1
Cn
-48-
1
U3
Q
Un
Q
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Parallelschaltung:
Beispiel Plattenkondensator:
E ds
Die Pot entialdifferenz zwischen den beiden Elektroden ist überall gleich
0
s1 ,s 2
Ersatzschaltung:
Q Q1 Q2 Q3
U
U1
U2
Qn
U3
Cges
Q
U
Cges
C1 C2 C3
Un
Q1 Q2 Q3
U
Qn
Q1
U
Q2
U
Cn
-49-
Q3
U
Qn
U
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Die QC-Methodik entspricht der Reihenschaltung infinitesimaler Kondensatoren:
1
C
d
1
C
1
dU
Q
ds
A
bzw.
Die UC-Methodik entspricht der Parallelschaltung infinitesimaler Kondensatoren:
C
dC
1
dQ
U
dA
d
Lösungsstrategie zur Berechnung von Kondensatoren:
1) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems
2) Grenzbedingungen
- ideal leitende Elektroden ( E und D stehen senkrecht auf Metall)
- unterschiedliche Dielektrika ( E t stetig und D n stetig)
3) Feldlinienbild mit Äquipotentialflächen einzeichnen
4) Symmetrieüberlegungen
a) Muss im betrachteten Feldbereich der Betrag der elektrischen Erregung D
auf einer Äquipotentialfläche überall gleich groß sein
QC-Methodik (Reihenschaltung infinitesimaler Kondensatoren)
b) Muss im betrachteten Feldbereich der Betrag der elektrischen Feldstärke E
entlang einer Feldlinie überall gleich groß sein
UC-Methodik (Parallelschaltung infinitesimaler Kondensatoren)
-50-
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Festkondensatoren (Auswahl):
Dielektrikum
Typ und Eigenschaften
Kunststoff
gewickelte, metallbedampfte Kunststofffolien
Dicke des Dielektrikums d 1 3 m
Relative Permittivität r 2 4
typische C-Werte: 10pF 10 F
Standardkondensator (SMD oder bedrahtet)
Keramik
keramische Vielschichtkondensatoren: abwechselnd Schichten
aus dielektrischen Keramiken ( d 1 3 m ) und metallischen
Elektroden in Parallelschaltung
Relative Permittivität
- paraelektrische Keramik: r 10
100
- ferroelektrische Keramik: r 1000
10000
hochwertiger Standardkondensator (SMD)
C-Werte: 1pF 3,3 F
elektrochemisch
gebildetes Oxid
Dielektrikum = Oxidhaut ( d 0,05 0,5 m ) eines anodisch
oxidierten Metalls (Al-Folie oder Tantal-Sinterkörper)
Bezeichnung: Elektrolytkondensator oder kurz Elko
Relative Permittivität r 8 (Al2O3), r 27 (Ta2O5)
Vorteil: große C-Werte ( 10mF )
Nachteil: hoher Leckstrom, nur NF-Bereich
elektrochemische
Doppelschicht
Dielektrikum = adsorbierte H2O-Molekülschicht ( d 0,1nm !)
auf Edelmetallfolie (o. ä.)
Relative Permittivität r 13 (ausgerichtete H2O-Moleküle)
Vorteil: extrem große C-Werte ( 1F )
Nachteil: sehr niedrige Nennspannungen, sehr hoher
Leckstrom, nur NF-Bereich
-51-
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3.7 Energiedichte und Energie des elektrischen Feldes
Experiment: Aufladung eines Plattenkondensators auf die Ladung Q
Sukzessive Übertragung einer geringen
Ladungsmenge q von der unteren Elektrode
auf die obere Elektrode mit einem
Ladungslöffel, bis die obere Elektrode die
Ladung Q und die untere Elektrode die
Ladung Q trägt.
Durch die Übertragung der Ladung baut sich ein elektrisches Feld auf, welches proportional zu der
bis dahin übertragenen Ladung Q Q ist:
D
Q
A
E
Q
A
U
d
Q
A
Die äußere Arbeit, die bei diesem Feld zur Überführung der Ladungsmenge q erforderlich ist,
beträgt:
A
qE d
qU
0
Zum Aufbau des elektrischen Feldes mit einem Ladungslöffel ist eine mit dem Fortschritt der
Ladungsübertragung zunehmende Arbeitsintensität verbunden:
zu Beginn:
am Ende:
wenig Feld
wenig Arbeit
viel Feld
viel Arbeit
Die gesamte zum Aufladen des Kondensators erforderliche Arbeit ist am Ende im Kondensator in
Form von elektrischer Energie gespeichert:
Q Q
Wel
Q Q
A
Q 0
Q 0
Im Grenzübergang q
Q Q
Wel
Q 0
Q Q
qU
d
Q dQ
A
Q
A
U Q 0
d
q
d
Q
A
dQ folgt:
d Q2
A 2
Q Q
Q 0
d Q2
A2
-52-
1
QU
2
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Damit ergibt sich die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie Wel zu:
Wel
1
QU
2
1 Q2
2 C
1
CU 2
2
Einheit: Wel
VAs
J
(Joule)
Würde man den Kondensator anschließend mit einem Ladungslöffel wieder entladen, dann erhält
man die gespeicherte elektrische Energie in Form von verrichteter Arbeit am Ladungslöffel zurück.
Die elektrische Energie ist eine integrale Größe und kann nicht einem Raumpunkt zugeordnet
werden. Für die räumliche Verteilung der elektrischen Energie im Feldvolumen des Kondensators,
also der elektrischen Energiedichte w el , gilt für lineare Materie (ohne Beweis):
w el
1
E D
2
1 D2
2
1 2
E
2
VAs
m3
Einheit: w el
J
m3
Die elektrische Energiedichte ist eine skalare Feldgröße und damit jedem Raumpunkt zugeordnet.
Bei bekannter räumlicher Verteilung der Energie bestimmt sich die gesamte elektrische Energie
durch Integration über das Feldvolumen:
Wel
w el dV
Feld
volumen
Beweis: Hierzu teilt man das gesamte Feldvolumen in Flussröhrensegmente ( dV
dA d s ) auf mit
D // d s und E // dA . Dann gilt:
Wel
Feld
volumen
1
E D dA d s
2
1
D dA E d s
2 Feld
volumen
1
D dA E d s
2 alle Fluss
Feld
röhren
1
QU
2
linie
Beispiel: Parallelschaltung eines geladenen mit einem ungeladenen Kondensator mit gleicher
Kapazität C :
Für den Schaltvorgang bei t 0 gilt
Ladungserhaltung, so dass sich die
Ladung Q hälftig auf die beiden
gleich großen Kondensatoren verteilt
t
0 : We11
t
0 : We11
1 Q2
2 C
1 Q 2
2 C
We12
0
We12
1 Q 2
2 C
2
Wel1
Wel2
Wel1
Wel2
2
Frage: Wo ist die Differenzenergie geblieben?
-53-
Q2
2C
Q2
4C
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3.8 Kräfte zwischen Kondensatorplatten
Aufgrund der ungleichnamigen Ladungen ist offensichtlich, dass auf die Kondensatorplatten
anziehende Kräfte wirken und damit das Dielektrikum zusammendrücken.
Zur Berechnung dieser Kräfte wird im Folgenden das Prinzip der virtuellen Verrückung
x x x angewandt.
Fall A: Virtuelle Verrückung mit Q
Aa
Wel
Wel
1 Q2
2 C
1 Q2 x
2 A
Energieerhaltung: Aa
Wel
Wel
konst
Fa x : äußere Arbeit, die in Form von mechanischer
Arbeit (Kraft mal Weg) bei der virtuellen
Verrückung zugeführt wird.
Wel
x : Änderung der elektrischen Energie bei der
x
virtuellen Verrückung
Wel
x
x
Q konst
Fa x
1 Q2
x
2 A
1 Q2
x
2 A
Fa
1 Q2
2 A
Zur Vergrößerung des Plattenabstandes ist eine positive Kraft erforderlich, d. h. die
Kondensatorplatten ziehen sich an.
Die Kraft ist für Q
konst unabhängig vom Abstand x der Kondensatorplatten.
Würde man die Kondensatorplatten tatsächlich mechanisch auseinanderziehen, würde die
dabei geleistete mechanische Arbeit ( A a ) die im Kondensator gespeicherte elektrische
Energie ( Wel
Energiedichte.
Aa ) entsprechend vergrößern: Vergrößerung des Feldbereiches bei gleicher
-54-
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Fall B: Virtuelle Verrückung mit U
Aa
konst
Fa x : äußere Arbeit, die in Form von mechanischer
Arbeit (Kraft mal Weg) bei der virtuellen
Verrückung zugeführt wird.
Wel
x : Änderung der elektrischen Energie bei der
x
virtuellen Verrückung
Wel
A Batt
Wel
Q
1
CU 2
2
CU
1 AU2
2 x
Wel
AU
x
Energieerhaltung: Aa
Fa
Q U : Arbeit die bei der virtuellen Verrückung von der
Batterie geleistet wird
Q
ABatt
Q
xU
Wel
x
1 AU2
x
2 x2
x
U konst
AU
x
x2
x
konst
Wel
Fa x
AU2
x
x2
A Batt
AU2
x
x2
1 AU2
x
2 x2
1 AU2
2 x2
Zur Vergrößerung des Plattenabstandes ist eine positive Kraft erforderlich, d. h. die
Kondensatorplatten ziehen sich an.
Die Kraft ist für U
konst abhängig vom Abstand x der Kondensatorplatten.
Würde man die Kondensatorplatten tatsächlich mechanisch auseinanderziehen, würden die
dabei geleistete mechanische Arbeit ( A a ) und die Abnahme der im Kondensator
gespeicherten elektrischen Energie ( Wel
Aa ) der Batterie ( A Batt
2 Aa ) zugeführt.
Die Kraft bei einem bestimmten Abstand x muss unabhängig davon sein, wie der virtuelle
Verrückungsprozess durchgeführt wird ( Q konst bzw. U konst )!
Beide angegebenen Kräfte lassen sich mit Q
CU
A
U ineinander überführen.
x
Merkregel:
Die Kraft ist immer so gerichtet, dass ein abgeschlossenes System (ohne Energiezufuhr) ein
Energieminimum einnimmt
bzw.
ein offenes System (mit Energiezufuhr) ein Energiemaximum einnimmt.
-55-
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-56-
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4 Das stationäre elektrische Strömungsfeld
Definition:
Stationäre Strömungsfelder sind zeitlich unveränderliche Felder (Beharrungszustand), die mit einer
Energieumwandlung verbunden sind.
4.1 Die elektrische Stromdichte
Physikalisch:
J( r )
k
Ladungs
trägerarte n
( Index k )
( r ) vD k ( r )
(vgl. Kap.1.4.3)
In der Maxwellschen Theorie (Kontinuumstheorie) sind keine Driftgeschwindigkeiten definiert,
sondern nur Leitfähigkeiten und Ströme. Das Partikelbild dient jedoch der Anschauung!
Definition:
J
lim
A
A
0
0:
I max
A
A klein genug, so dass J homogen auf
A
Der Betrag der elektrischen Stromdichte ist definiert über den maximalen Strom pro Fläche.
I
I max cos
Der Strom durch das Flächenelement hängt von der Ausrichtung der Fläche zum Feld ab:
J dA cos
J dA
dI
Die Richtung des Flächenvektors dA bei der der maximale Strom durch das Flächenelement
fließt, stimmt mit der Richtung der elektrischen Stromdichte J überein.
Feldgleichung:
J dA
0
(vgl. Kap. 1.5)
A
Beim stationären Strömungsfeld ist der Fluss von J durch eine beliebige geschlossene
Hüllfläche und für beliebige Materie immer gleich Null.
-57-
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4.2 Die Materialgleichungen des stationären elektrischen Strömungsfeldes
Aufgrund der Joulschen Verluste kommen in einem nicht angetriebenen System alle Ströme zum
erliegen. Der Antrieb eines elektrischen Systems ist nichtelektrischer Natur und kann in
Raumgebieten mit Antrieb bei der Materialgleichung durch die eingeprägte Feldstärke E e bzw. die
eingeprägte Stromdichte J e berücksichtigt werden. Diese Größen sind nichtelektrischer Natur (z. B.
mechanisch, chemisch etc.) und damit nicht zu verwechseln mit den elektrischen Größen E und J ,
obwohl sie die gleichen Einheiten besitzen.
4.2.1 Raumgebiete ohne Antrieb
Die Maxwellsche Theorie ordnet jedem Raumpunkt eine Leitfähigkeit ( r ) zu:
J
E
Man kann dies auch als „Ohmsches Gesetz für einen Raumpunkt“ auffassen (vgl. I
Einteilung der Leitfähigkeit:
Wirkungen des elektrischen Stromes:
Mechanische Wirkung
Wärmewirkung
Chemische Wirkung
Kräfte, Drehmomente …
Wärme, Licht …
Elektrolyse …
-58-
GU ).
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4.2.2 Raumgebiete mit Antrieb
Der Antrieb für elektrische Ströme ist nichtelektrischer Natur und wird in der Materialgleichung
durch die Zusatzgrößen eingeprägte Feldstärke E e und eingeprägte Stromdichte J e berücksichtigt.
4.2.2.1 Eingeprägte Feldstärke
J
Ee )
(E
E e hat nichts mit der elektrischen Feldstärke zu tun! E e ist die nicht elektrische Ursache für das
Strömungsfeld:
E ds
0
E e ds
aber:
C
(E E e ) d s
0
0
C
C
Beispiel: „Ersatzspannungsquelle“
J dA
(E E e ) dA
0
A
0
A
B
B
EA B
E
B
B
EeAB
Ee IB
B
B
Uq
IB
AB
0
B
BA B
0
RB
E ds
E
0
B
UB
0
UB
E
B
C
UB
Uq
I BR B
Diese Gleichung lässt sich unter Anwendung von
Ersatzschaltbild reproduzieren:
-59-
U 0 und
I 0 mit folgendem
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„Ersatzspannungsquelle“
Hinweis: Die „Spannung“ U q existiert physikalisch nicht! Obwohl Sie bei der Anwendung von
U 0 wie eine Spannung aufgefasst wird, ist damit keine Potentialdifferenz verbunden, sondern
sie ist lediglich eine Hilfsgröße zur Beschreibung eines Antriebes nicht elektrischer Natur!
4.2.2.2 Eingeprägte Stromstärke
J
Je
E
J e hat nichts mit der elektrischen Stromdichte zu tun! J e ist die nicht elektrische Ursache für das
Strömungsfeld:
J dA
0
J e dA
aber:
A
A
A
Beispiel: „Ersatzsstromquelle“
E ds
C
0
(
J
Je
) ds
(J e
0
0
C
-60-
J e ) dA
0
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J
B
B
JAB
Je
B
UB
0
B
B
JeAB
AB
B
UB
B
AB
0
B
Iq
GB
J dA
0
JAB
IB
0
IB
JAB
A
IB
Iq
U BG B
Diese Gleichung lässt sich unter Anwendung von
Ersatzschaltbild reproduzieren:
U 0 und
I 0 mit folgendem
„Ersatzstromquelle“
I 0
Hinweis: Der „Strom“ I q existiert physikalisch nicht! Obwohl er bei der Anwendung von
wie ein Strom aufgefasst wird, ist damit kein Ladungstransport verbunden, sondern er ist lediglich
eine Hilfsgröße zur Beschreibung eines Antriebes nicht elektrischer Natur!
-61-
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4.3 Grenzbedingungen
Elektrische Stromdichte:
n 12 (J 2
J1 )
Mit Hilfe der Materialgleichung folgt
unstetig für 1
2.
2
0
E 2n
J 2n
1
J1n
E1n , d. h. die Normalkomponente von E ist
Elektrische Feldstärke:
n 12 (E 2
Mit Hilfe der Materialgleichung folgt
für
1
2
E1 )
0
J 2t
J 1t
2
1
E2t
E1t
, d. h. die Tangentialkomponente von J ist unstetig
.
-62-
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Wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponente von E gilt gleichfalls die Stetigkeit des
Skalarpotentials an der Grenzfläche:
1
2
Brechungsgesetze:
tan
tan
tan
tan
1
1
2
2
1
2
2
1
„Brechungsgesetz für Feldlinien“
„Brechungsgesetz für Äquipotentialflächen:“
Konsequenz für ideale Leiter (
2
):
J n stetig
E 2n
E1n
2
E t stetig
J2t
J
Merke:
Im ideal leitenden Metall ist die elektrische Feldstärke identisch dem Nullvektor
Das elektrische Potential ist im idealen Leiter überall konstant.
-63-
J1t
0
E1t
0
E2t
0
2
0
Die Feldlinien für E , J treten senkrecht in den idealen Leiter ein bzw. aus.
Über die Stromverteilung im idealen Leiter ist keine Aussage möglich.
0
2
2 1t
1
E2
E 2n
1
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4.4 Widerstandsberechnungen
Im Folgenden wird die Widerstandberechnung durch die Berechnung des Leitwertes ersetzt um die
Dualität zum elektrostatischen Feld besser herauszustellen.
4.4.1 Einführung des Leitwertbegriffes
Der Quotient aus der elektrischen Stromstärke I1 (bzw. I 2 ) von Elektrode 1 nach 2 (bzw. 2 nach 1)
und dem Spannungsabfall U12
1
2 (bzw. U 21
2
1 ) zwischen Elektrode 1 und 2 (bzw. 2
und 1) heißt elektrischer Leitwert G . Der Kehrwert heißt elektrischer Widerstand R .
G
I1
U12
J dA
A1
2
E ds
1
I2
U 21
J dA
A2
1
R
G
E ds
1
G
2
Beispiel: langer, linienförmiger Leiter
Vor: 1) J , E sind homogen
2) J , E // d s
3) J , E // dA
J dA
G
A1
2
E ds
1
-64-
EA
E
A
1
R
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4.4.2 Methoden zur Widerstandsberechnung
Für die Widerstandsberechnung gibt es zwei wesentliche Methoden:
1) eingeprägter Strom I
2) eingeprägte Spannung U
4.4.2.1 Die IR-Methodik
Prinzip:
An einem Widerstand wird ein Teststrom I eingeprägt und der resultierende Spannungsabfall U
bestimmt.
Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Stromdichte auf einer
Äquipotentialfläche überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten
Koordinatensystems zeigt.
I
Teststrom vorgeben
J
Symmetrie
E
E
U
U
J
I
eA
A
( J auf einer Äquipotentialfläche A konstant)
J
E ds
enlang
Feldlinie
R
R
U
I
Beispiel: Schichtwiderstand mit longitudinal abhängiger Leitfähigkeit
-65-
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4.4.2.2 Die UR-Methodik
Prinzip:
An einen Widerstand wird eine Testspannung U eingeprägt und der resultierende Strom I
bestimmt.
Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Feldstärke entlang einer
Feldlinie überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten
Koordinatensystems zeigt.
U
Testspannung vorgeben
P
Symmetrie
E
E
grad
J
J
E
I
I
Es
0
( E entlang einer Feldlinie s konstant)
J dA
Äquipotential
fläche
R
R
U
I
Beispiel: Schichtwiderstand mit lateral abhängiger Leitfähigkeit
-66-
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4.4.2.3 Parallel- und Reihenschaltung von Leitwerten bzw. Widerständen
Reihenschaltung:
J dA 0
Durch jede Querschnittfläche fließt der gleiche Strom
A1 , A 2
Ersatzschaltung:
I I1
U
I2
I3
In
U1 U 2 U3
U1 U 2
R ges
U
I
R ges
R1 R 2
R3
Un
U3
I
Un
Rn
1
G1
1
G2
1
G3
-67-
1
Gn
1
G ges
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Parallelschaltung:
E ds
0
Die Potentialdifferenz zwischen den beiden Elektroden ist überall gleich
s1 ,s2
Ersatzschaltung:
I I1
U
I2
U1
I3
U2
In
U3
I1 I 2
G ges
I
U
G ges
G1 G 2
G3
Un
I3
U
In
Gn
1
R1
1
R2
1
R3
-68-
1
Rn
1
R ges
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Die IR-Methodik entspricht der Reihenschaltung infinitesimaler Widerstände:
R
dR
1
dU
I
ds
A
bzw.
Die UR-Methodik entspricht der Parallelschaltung infinitesimaler Leitwerte:
G
dG
1
dI
U
dA
d
Lösungsstrategie zur Berechnung von Widerständen:
1) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems
2) Grenzbedingungen
- ideal leitende Elektroden ( E und J stehen senkrecht auf Metall)
- unterschiedliche Leitfähigkeiten ( E t stetig und J n stetig)
3) Feldlinienbild mit Äquipotentialflächen einzeichnen
4) Symmetrieüberlegungen
a) Muss die elektrische Stromdichte J auf einer Äquipotentialfläche überall gleich groß
sein
IR-Methodik bzw. Reihenschaltung infinitesimaler Widerstände
b) Muss die elektrische Feldstärke E entlang einer Feldlinie überall gleich groß sein
UR-Methodik bzw. Parallelschaltung infinitesimaler Leitwerte
-69-
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4.5 Leistungsdichte und Joulsche Verlustleistung
Die Leistungsdichte gibt die Energie pro Volumen und Zeit an, die durch den Stromtransport
(bewegte Ladungsträger) an das Kristallgitter abgegeben wird; d. h. Umwandlung der über das
elektrische Feld aufgenommenen kinetischen Energie der Ladungsträger in Wärme
(Gitterschwingungen des Kristalls). Da diese Energie dem elektrischen Feld entnommen wird,
spricht man hier von Joulschen Verlusten.
Allgemein gilt (ohne Beweis):
p
Einheit: p
E J
J
sm3
W
m3
„Leistungsdichte“
Hieraus lässt sich die Joulsche Verlustleistung P durch Integration über das Feldvolumen
berechnen:
P
pdV
V
E JdV
V
Teilt man das gesamte Feldvolumen in Stromröhrensegmente ( dV
dA d s ) auf mit J // d s und
E // dA . Dann gilt:
P
J E dA d s
Feld
volumen
J dA E d s
Feld
volumen
J dA
alle Fluss
röhren
E ds
UI
Feld
linie
Damit ergibt sich die in einem Widerstand umgesetzte Joulsche Verlustleistung P zu:
P
UI RI 2
U2
R
Einheit: P
-70-
W
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4.6 Dualität zwischen dem stationären Strömungsfeld und dem
elektrostatischen Feld
Stationäres Strömungsfeld:
J
I
Elektrostatik:
E
D
J dA
Q
D dA
2
U
2
E ds
U
E ds
1
G
G
E
1
I
U
A
V
C
S
C
Leitfähigkeit bzw. Fähigkeit des
Stromtransportes
Zeitlich unveränderlich mit
Energieumwandlung
As
V
Q
U
C
V
F
Aufnahmefähigkeit von Ladung
Zeitlich unveränderlich ohne
Energieumwandlung
-71-
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-72-
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Anhang A - Hilfsblätter
Hilfsblatt 1 „Vektoren“
Vektoren sind gerichtete Größen, sie besitzen einen Betrag und eine Richtung.
Der Betrag | ⃗|
reelle Zahl.
besteht aus Zahlenwert und Einheit. Der Zahlenwert ist eine nicht negative
⃗⃗
Der Einheitsvektor ⃗
ist ein dimensionsloser Vektor mit dem Betrag 1. Er dient der Angabe
einer betragsunabhängigen Richtung des Vektors ⃗. Der Normalenvektor ⃗⃗ ist ein Einheitsvektor
der auf einer Grenzfläche senkrecht steht.
a
ea
Addition:
⃗
n12
⃗⃗
⃗⃗
⃗
a+b
a
b
Subraktion:
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
a- b
a
b
-b
Multiplikation mit Skalar:
⃗⃗
⃗
⃗
a
b2=1,5 a
| |
⃗
| |
⃗
b1=-0,5 a
Der Ortsvektor ⃗ ist ein Vektor, der ausgehend vom Ursprung eines Koordinatensystems zu einem
Punkt P im 3dimensionalen Raum zeigt. Er dient der Adressierung von Raumpunkten.
Ein Vektorfeld ⃗ ⃗ ist die Gesamtheit einer orts- und zeitabhängigen vektoriellen Feldgröße
innerhalb des Raumes.
P
z
r
y
x
-A1-
f (r,t)
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Hilfsblatt 2 „Skalarprodukt“
Das Skalarprodukt ⃗ ⃗⃗ zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ist definiert durch
⃗ ⃗⃗
wobei
| ⃗|| ⃗⃗|
der von ⃗ und ⃗⃗ eingeschlossenen Winkel ist
⃗ ⃗⃗
mit
Eigenschaften:
1) ⃗ ⃗⃗
wenn ⃗
⃗⃗
2) ⃗
,
, ⃗ ⃗⃗
, ⃗⃗
oder ⃗ ⃗⃗
genau dann wenn ⃗
⃗⃗
| ⃗|
3) ⃗
, ⃗ ⃗ | ⃗|
mit
bzw. ⃗⃗
, ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗|
4) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Kommutativität
5)
⃗ ⃗⃗
( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ( ⃗⃗)
6) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ wobei ⃗, ⃗⃗, ⃗ beliebige Vektoren sind
| ⃗⃗|
mit
Interpretation:
Der Anteil von ⃗ senkrecht zu ⃗⃗ (bzw. der Anteil von ⃗⃗ senkrecht zu ⃗) bleibt beim Skalarprodukt
unberücksichtigt. Nur der jeweils parallele Anteil wird berücksichtigt „Filter für -Anteile“
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
:
:
a
b cosj
a
j
j
b
a II
a cosj
Beispiel: ⃗⃗
(⃗
a cosj<0
b cosj<0
b
bII
⃗)
J1
n12
J2
Nur der jeweilige Anteil von ⃗ parallel zu ⃗⃗ trägt bei, so dass über die Gleichung die Stetigkeit
der Normalkomponenten an der Grenzfläche gefordert wird.
-A2-
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Hilfsblatt 3 „Vektorprodukt“
⃗⃗ zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ versteht man einen Vektor ⃗
Unter dem Vektorprodukt ⃗
⃗
wobei
⃗
⃗⃗
mit
| ⃗|
| ⃗|| ⃗⃗|
der von ⃗ und ⃗⃗ eingeschlossenen Winkel ist
⃗ ⃗⃗
mit
Eigenschaften:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
8)
⃗ ist orthogonal zu ⃗ und ⃗⃗ , d. h. ⃗ ⃗ und ⃗ ⃗⃗ bzw. ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗, ⃗⃗, ⃗ bilden ein Rechtssystem falls | ⃗|
ist
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
wenn ⃗
,
oder ⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
,
, ⃗
genau dann, wenn ⃗ ⃗⃗ (parallel oder antiparallel)
( ⃗ ⃗⃗)
( ⃗⃗ ⃗)
⃗⃗
⃗
( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ( ⃗⃗)
⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ wobei ⃗, ⃗⃗, ⃗ beliebige Vektoren sind
Interpretation:
Der Anteil von ⃗ parallel zu ⃗⃗ (bzw. der Anteil von ⃗⃗ parallel zu ⃗) bleibt beim Vektorprodukt
unberücksichtigt. Nur der jeweils senkrechte Anteil wird berücksichtigt „Filter für -Anteile“
3D:
Draufsicht:
c
b
j
Fläche: c=ab sinj
j
b
a
c
a
Beispiel: ⃗⃗
( ⃗⃗
⃗⃗ )
E1
n12
E2
Nur der jeweilige Anteil von ⃗⃗ senkrecht zu ⃗⃗ trägt bei, so dass über die Gleichung die Stetigkeit
der Tangentialkomponenten an der Grenzfläche gefordert wird.
-A3-
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Hilfsblatt 4 „Kartesische Koordinaten ( x, y, z) “
x
r
y
xe x
ye y
ze z
z
0
1
ex
0
0
orthogonales Rechtssystem:
ey
0
ez
1
0
0
1
ex
ey
Volumenelement:
-A4-
ez ;
ey
ez
ex ;
ez
ex
ey
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Hilfsblatt 5 „Zylinderkoordinaten ( , j, z) “
cos j
r
sin j
cos je x
sin je y
ze z
z
sin j
cos j
e
sin j
0
orthogonales Rechtssystem:
ej
0
cos j
ez
0
0
1
e
ej
Volumenelement:
-A5-
ez ;
ej e z
e ;
ez
e
ej
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Hilfsblatt 6 „Kugelkoordinaten (r, , j) “
r sin cos j
r
r sin sin j
r sin cos j e x
r sin sin j e y
r cos ez
r cos
er
sin
cos j
sin
sin j
cos
r
r
orthogonales Rechtssystem:
cos cos j
e
sin j
cos sin j
cos j
ej
sin
er
e
Volumenelement:
-A6-
0
ej ;
e
ej
er ;
ej e r
e
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Anhang B - Übungen
Übung 1 „Vektoren“
Aufg. 1:
Gegeben sind die beiden Vektoren ⃗ und ⃗⃗ in der x-y-Ebene gemäß der Skizze
y
b
a
x
a)
b)
c)
d)
Bestimmen Sie graphisch die Addition der Vektoren ⃗ ⃗⃗
Bestimmen Sie graphisch die Subtraktion der Vektoren ⃗ ⃗⃗
Geben Sie für ⃗ und ⃗⃗ die jeweiligen Komponenten in kartesischen Koordinaten an
Bestimmen Sie nun komponentenweise rechnerisch ⃗ ⃗⃗ und ⃗ ⃗⃗. Vergleichen Sie das
Ergebnis mit der jeweiligen graphischen Bestimmung.
Aufg. 2:
Die beiden Vektoren ⃗ und ⃗⃗ liegen in der x-y-Ebene und sind gegeben durch die folgenden
Angaben:
|⃗⃗|
| ⃗⃗| √
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
a) Bestimmen Sie die kartesischen Komponenten der beiden Vektoren ⃗ und ⃗⃗.
b) Berechnen Sie das Skalarprodukt ⃗ ⃗⃗. Zeigen Sie dass das Skalarprodukt kommutativ ist.
c) Berechnen Sie das Vektorprodukt ⃗⃗ ⃗⃗. Zeigen Sie dass das Vektorprodukt nicht
kommutativ ist.
d) Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren ⃗ und ⃗⃗.
Aufg. 3:
Gegeben sind die vier Vektoren ⃗, ⃗⃗, ⃗ und ⃗:
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
a) Bestimmen Sie das Spatprodukt ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗ ⃗ ⃗
b) Prüfen Sie die Graßmann-Identität: ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗
c) Prüfen Sie die Lagrange-Identität: ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗)
⃗ ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ( ⃗⃗ ⃗)( ⃗ ⃗)
-B1-
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Übung 2 „Koordinatensysteme“
Aufg. 1:
Gegeben sind die eingezeichneten Punkte P1 bis P6
im dreidimensionalen Raum mit jeweils dem
Abstand a zum Koordinatenursprung.
z
P5
P2
P4
Geben Sie deren Lage in den folgenden
Koordinatensystemen an:
a) Kartesische Koordinaten
b) Zylinderkoordinaten
c) Kugelkoordinaten
P3
x
y
P1
P6
Aufg. 2:
Berechnen Sie das Volumen eines quadratischen Würfels mit der Kantenlänge a durch Integration
infinitesimaler Volumina aufeinander gestapelter quadratischer Flächen in kartesischen
Koordinaten.
Aufg. 3:
Berechnen Sie das Volumen eines Kreiszylinders mit dem Radius a und der Länge  in
Zylinderkoordinaten durch
a) Integration infinitesimaler Volumina aufeinander gestapelter Kreisscheiben (ähnlich einem
Stapel von Münzen).
Hinweis: Die Fläche eine Kreises beträgt  2 , wobei  der Radius des Kreises ist.
b) Integration infinitesimaler Volumina ineinander geschachtelter Zylinderschalen (ähnlich
einem aufgerollten Teppich).
Hinweis: Der Umfang eines Kreises beträgt 2 , wobei  der Radius des Kreises ist.
Aufg. 4:
Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius a durch Integration infinitesimaler
Volumina ineinander geschachtelter Kugelschalen.
Hinweis: Die Oberfläche einer Kugel beträgt 4r 2 , wobei r der Radius der Kugel ist
-B2-
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Übung 3 „Coulombsches Gesetz“
Aufg. 1:
Acht gleichnamig aufgeladenen Punktladungsträger mit je einer Ladung von Q  1nC sind in den
Ecken eines Würfels mit der Kantenlänge von a  10cm im Vakuum angeordnet.
a) Berechnen Sie die Kräfte, mit der die Ladungsträger infolge der Coloumb-Kraft
auseinanderstreben.
Hinweis: Aus Symmetriegründen genügt die Berechnung der Kraft auf einen Ladungsträger, z.
B. auf Ladungsträger 1.
b) Welche Punktladung muss in den Mittelpunkt des Würfels gelegt werden, wenn damit die
auseinanderstrebenden Kräfte kompensiert werden sollen?
-B3-
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Übung 4 „Raumladung , Flächenladung und Linienladung“
Aufg. 1: (Raumladung)
In einer Hohlkugel mit dem Innenradius ri und dem Außenradius ra liegt eine kugelsymmetrische
Raumladungsverteilung vor. An der Innenwand beträgt die Raumladungsdichte (r  ri )  0 . Sie
baut sich nach außen hyperbolisch ab.
a) Wie groß ist die Gesamtladung Q in der Hohlkugel?
b) Wie groß ist die mittlere Raumladungsdichte mit , wenn also die Gesamtladung Q innerhalb der
Hohlkugel gleichmäßig verteilt wäre?
Aufg. 2: (Flächenladung)
Auf einer ebenen (unendlich großen) Fläche ist eine Ladung Q radialsymmetrisch verteilt
aufgebracht. Im Zentrum herrscht eine maximale Flächenladungsdichte 0 , die mit dem Abstand 
vom Zentrum entsprechend der folgenden Funktion variiert:
()   0
a3
( 2  a 2 )
3
2

a
 0 
 2  a 2





3
a) Wie groß ist die Gesamtladung Q auf der Fläche?
b) Wie groß ist der Radius ers einer Ersatzkreisfläche, die bei gleichmäßiger Ladungsverteilung
mit der Flächenladungsdichte   0  konst. die gleiche Gesamtladung Q trägt?
Aufg. 3: (Linienladung)
Auf einer (unendlich) langen Freileitung ist infolge atmosphärischer Einwirkung eine Linienladung
entsprechend einer Gaußschen Glockenkurve verteilt. Mit der zweckmäßigen Wahl des Nullpunktes
im Maximum der Kurve kann die Linienladungsdichte  in Abhängigkeit vom Abstand  zum
Maximum beschrieben werden durch
   2 
    0 exp     
  0  


Darin ist  0 die maximale Linienladungsdichte.  0 ist der Abstand vom Maximum, wo die
Linienladungsdichte auf 1 e  36,8% von  0 abgesunken ist.

a) Wie groß ist die Gesamtladung Q auf der Leitung? Hinweis:  e a
0
-B4-
2 2
x
dx 

für a  0 .
2a
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Übung 5 „E-Feld <=> Skalarpotential“
Aufg. 1: (E-Feld  Skalarpotential / Kugelkoordinaten)
 
Für die räumliche Verteilung des elektrischen Feldes E( r ) einer Punktladung Q im
Koordinatenursprung gilt entsprechend dem Coulombschen Gesetz
 
E( r ) 
Q 
er
4 0 r 2

Hierbei ist r der Abstand vom Koordinatenursprung und e r der Einheitsvektor, der in radialer
Richtung vom Koordinatenursprung weg zeigt.
a) Stellen Sie Symmetrieüberlegungen an und machen Sie einen geeigneten Ansatz für das

Skalarpotential ( r ) .

b) Bestimmen Sie das zugehörige Skalarpotential ( r ) durch Integration entlang einer Feldlinie in
radialer Richtung.
Aufg. 2: (E-Feld  Skalarpotential / Zylinderkoordinaten)
 
Für die räumliche Verteilung des elektrischen Feldes E( r ) einer geradlinigen, homogenen
Linienladung  0 auf der z-Achse gilt
 
E( r ) 
0 
e
2 0 

Hierbei ist  der kürzeste Abstand zur Linienladung und e  der Einheitsvektor, der in radialer
Richtung senkrecht von der z-Achse weg zeigt.
a) Stellen Sie Symmetrieüberlegungen an und machen Sie einen geeigneten Ansatz für das

Skalarpotential ( r ) .

b) Bestimmen Sie das zugehörige Skalarpotential ( r ) durch Integration entlang einer Feldlinie in
radialer Richtung senkrecht zur z-Achse.
Aufg. 3: (Gradient: Skalarpotential  E-Feld)

Gegeben ist der Ortsvektor r  (x, y, z) eines beliebigen Punktes P in kartesischen Koordinaten.
a) Ermitteln Sie den Abstand r des Punktes P vom Nullpunkt des Koordinatensystems.
b) Bestimmen Sie allgemein den Gradienten einer Funktion f (r ) , die nur vom Abstand r zum
1
Koordinatenursprung abhängt und wenden Sie das Ergebnis auf die Funktionen f (r )  an.
r
Überprüfen Sie hiermit das Ergebnis von Aufgabe 1.
c) Ermitteln Sie den kürzesten Abstand  des Punktes P von der z-Achse.
d) Bestimmen Sie allgemein den Gradienten einer Funktion f () , die nur vom kürzesten Abstand
 zur z-Achse abhängt und wenden Sie das Ergebnis auf die Funktion f ()  ln  an.
Überprüfen Sie hiermit das Ergebnis von Aufgabe 2.
Hinweis: Allgemein gilt: grad f 
f 
f 
f 
ex 
e y  ez .
x
y
z
-B5-
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Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer
Übung 6 „Elektrostatische Felder - Kugelsymmetrische Raumladungswolke“
Aufg. 1:
Eine kugelsymmetrische Raumladungswolke mit dem Radius r0  10cm im Vakuum besteht aus
positiven Ladungsträgern mit der Gesamtladung Q 0  100nC . Ihre inhomogene Ladungsverteilung
ist gegeben durch die Funktion:
r 2

 0 (1  ( r ) )
r  r0 (Bereich I)
0

(r )  
für

0
r  r0 (Bereich II)


 = Raumladungsdichte
Hierin bedeutet:
r = Abstand zum Zentrum der Raumladungswolke
 0 = Raumladungsdichte im Zentrum der Raumladungswolke
Die Berechnungen sind weitgehend allgemein durchzuführen und abschließend zahlenmäßig
auszuwerten und gegebenenfalls maßstabsgerecht graphisch darzustellen.
a) Man stelle den Verlauf der Raumladungsdichte (r ) graphisch dar und bestimme die
Raumladungsdichte  0  (r  0) im Wolkenzentrum bei der vorgegebenen Gesamtladung Q 0 .
 
b) Man bestimme die elektrische Erregung D( r ) mit Hilfe der Feldgleichung für die elektrische
Erregung für den Bereich I innerhalb der Ladungswolke ( r  r0 ) und für den Bereich II
außerhalb der Ladungswolke ( r  r0 ).
c) Wegen der endlichen Raumladungsdichten (z. B. keine Flächenladungen) muss die elektrische
Erregung D(r) stetig verlaufen. Man kontrolliere diese Feldeigenschaft für die Ergebnisse der
Bereiche I und II.
d) Man stelle den Verlauf der elektrischen Erregung D(r) graphisch dar.
 
e) Man bestimme die elektrische Feldstärke E( r ) für die beiden Bereiche I und II mit Hilfe der


Materialgleichung D  E .
f) Man stelle den Verlauf E(r ) graphisch im D(r ) -Diagramm durch Umparametrieren der D(r ) Ordinate bzw. eine zusätzlichen E(r ) -Ordinate dar.

g) Man berechne die Potentialverteilung ( r ) im gesamten Raum. Dabei soll der
Wolkenoberfläche das (Bezugs-)Potential (r  r0 )  0 zugeordnet werden.
h) Man stelle den Potentialverlauf (r ) graphisch dar!
i) Wie groß ist die Spannung U1 zwischen der Wolkenoberfläche und dem Wolkenzentrum?
j) Wie groß ist die Spannung U 2 zwischen der Wolkenoberfläche und einem Raumpunkt mit dem
Abstand r  2r0 vom Wolkenzentrum?
k) Wie groß ist die Spannung U 3 zwischen dem Wolkenzentrum und einem sehr weit entfernten
Raumpunkt ( r   )?
l) In welchem Abstand r4 vom Wolkenzentrum erreicht die Spannung U 4 , vom Zentrum aus
gemessen, 80% der Gesamtspannung U 3 ?
m) Stellen Sie die Spannungen U1 bis U 4 im (r ) -Diagramm dar.
-B6-
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Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer
Übung 7 „Kapazitätsberechnungen“
Aufg. 1: (Kugelkondensator)
Gegeben sei der links skizzierte Kugelkondensator (Schnittbild) .
Die Ladung der äußeren Kugelschale beträgt
Q1  10nC und die Ladung der inneren
Kugel Q 2  10nC .
Der Innenradius der äußeren Kugelschale
beträgt b  8cm und der Radius der inneren
Kugel a  4cm .
Das Kunststoffdielektrikum besitzt die
relative Permittivitätszahl  r  2,5 .
Bestimmen Sie
 
a) die elektrische Erregung D( r ) im Dielektrikum und zeigen Sie, dass die elektrische
Erregung an den Metall-Grenzflächen um die jeweilige Flächenladungsdichte springt.
 
b) die elektrische Feldstärke E( r ) im Dielektrikum und zeigen Sie, dass die elektrische
Feldstärke senkrecht auf den Metall-Grenzflächen steht.
c) die Spannung U zwischen den beiden Metallelektroden
d) die Kapazität C der Anordnung

e) die elektrische Energiedichte w el ( r ) im Dielektrikum
f) die im Dielektrikum gespeicherte elektrische Energie Wel
Aufg. 2: (Zylinderkondensator)
Gegeben sei das dargestellte Koaxialkabel:
U  1V
i  0,5mm
 a  1,5mm
 =1m
 r  2,25
a) Berechnen Sie die Kapazität des Kabels für ein homogenes Dielektrikum mit der
angegebenen Permittivitätszahl.

b) Bestimmen Sie die elektrische Energiedichte w el ( r ) im Dielektrikum und skizzieren Sie
deren räumliche Abhängigkeit. Berechnen Sie durch Integration die im Dielektrikum
insgesamt gespeicherte elektrische Energie Wel .
c) Welche räumliche Abhängigkeit der Permittivität muss ein Dielektrikum aufweisen, damit
die elektrische Feldstärke im gesamten Dielektrikum überall gleich groß ist.
d) Bestimmen Sie für c) die zugehörige Kapazität des Kabels wobei die Permittivitätszahl am
Innenradius wieder  r  2,25 betragen soll.
Hinweis: Randstörungen am Anfang und Ende des Kabels sind zu vernachlässigen.
-B7-
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Übung 8 „Kondensatorschaltungen, Kräfte und Arbeit“
Aufg. 1:
Gegeben sei die skizzierte Schaltung mit drei anfänglich ungeladenen Kondensatoren und einer
idealen Spannungsquelle.
U1
S2
-Q1
U3
Q3
C
-Q3 3
U2
Q2
S1
U 0 = 10V
Q1
C1 = 4µF
C1
U0
C
-Q2 2
C 2 = 6µF
C 3 = 2µF
Zunächst wird der Schalter S1 geschlossen und wieder geöffnet.
a) Bestimmen Sie die Spannungen und Ladungen der drei Kondensatoren nach dieser
Schalthandlung. Verwenden Sie zur Kennzeichnung der Größen ein hochgestelltes A.
Jetzt wird der Schalter S2 geschlossen und wieder geöffnet.
b) Bestimmen Sie die Spannungen und Ladungen der drei Kondensatoren nach dieser
Schalthandlung. Verwenden Sie zur Kennzeichnung der Größen ein hochgestelltes B.
Jetzt wird erneut der Schalter S1 geschlossen und wieder geöffnet.
c) Bestimmen Sie die Spannungen und Ladungen der drei Kondensatoren nach dieser
Schalthandlung. Verwenden Sie zur Kennzeichnung der Größen ein hochgestelltes C.
Aufg. 2: (Kräfte im offenen System)
Ein idealer Plattenkondensator liegt an konstanter Spannung U 0 . Durch äußere mechanische Kräfte
wird der Elektrodenabstand verdoppelt.
a) Bestimmen Sie die Spannung U , die Ladung Q , die Kapazität C und die elektrische Energie
Wel vor und nach dem Auseinanderziehen der Elektroden.
b) Wie groß ist die beim Auseinanderziehen geleistete äußere mechanische Arbeit
Aufg. 3: (Kräfte im abgeschlossenen System)
Ein idealer Plattenkondensator trägt eine konstante Ladung Q 0 . Durch äußere mechanische Kräfte
wird der Elektrodenabstand verdoppelt.
a) Bestimmen Sie die Spannung U , die Ladung Q , die Kapazität C und die elektrische Energie
Wel vor und nach dem Auseinanderziehen der Elektroden.
b) Wie groß ist die beim Auseinanderziehen geleistete äußere mechanische Arbeit
-B8-
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Übung 9 „Stationäres Strömungsfeld - Halbkugelerder“
Aufg. 1:
Zur Erdung energietechnischer Einrichtungen werden Platten, Stäbe, Rohre oder Bänder im
Erdreich verlegt, die häufig durch halbkugelförmige Elektroden (Halbkugelerder) genügend genau
angenähert werden können.
(Anmerkung: Die Bestimmung des auftretenden Stroms (Kurzschluß, Blitzeinschlag) und der
elektrischen Leitfähigkeit des Erdreichs (trocken, feucht) bergen meist größere Ungenauigkeiten!)
Im Folgenden ist eine idealisierte Anordnung des Halbkugelerders dargestellt, wobei im
Koordinatenursprung der Erdung ein Strom von I  1000A zugeführt wird. Die Leitfähigkeit des
Erdreiches sei homogen und betrage   0,025S m . Die Halbkugelelektrode ist ideal leitend (
   ).
Luft
=0
I=1000A
2r0=4m

rS
Erdreich
=0,025 S/m
Berechnen Sie:

a) die elektrische Stromdichte J ( r ) im Erdreich,
 
b) die elektrische Feldstärke E( r ) im Erdreich,
c) die Erderspannung U E als Potentialdifferenz zwischen der Halbkugelelektrode und dem
unendlich entfernten Punkt,
d) den Erdübergangswiderstand R Ü des Halbkugelerders und den Abstand vom Halbkugelerder,
dem 90% des Erdübergangswiderstandes entsprechen,
e) die Schrittspannung Us (r ) als Potentialdifferenz zwischen einem Punkt im Abstand r und
einem weiteren Punkt im Abstand r  rs , die ein Mensch oder ein Tier mit der Schrittlänge rs
überbrücken kann,
f) den Abstand, bis zu dem man sich dem Halbkugelerder nähern darf, ohne das die zulässige
Schrittspannung von U s,zul  60V überschritten wird (maximale Schrittlänge rs, max  1m ),
g) die im Erdreich umgesetzte Verlustleistung (Joulsche Wärme) aus
1) P  UI
 
2) P   E  JdV
Erdreich
-B9-
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Übung 10 „Widerstandsberechnungen“
Aufg. 1:
Ein Quader mit der Seitenlänge a in x-Richtung, b in y-Richtung und c in z-Richtung ist aus sehr
vielen Schichten von Materialien mit unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit  , aufgebaut.
Dabei soll sich die Leitfähigkeit von 1 an der Stelle x  0 bis  2 , an der Stelle x  a linear
ändern.
a) Bestimmen Sie für die folgenden drei Elektrodenanordnungen die jeweilige
Zusammenschaltungen von infinitesimalen Widerständen und daraus die resultierenden
Widerstände R I , R II und R III zwischen den Elektroden:
Elektrodenanordnung 1:
Die Elektroden sind an den beiden Seiten
des Quaders parallel zur x,z-Ebene
angeordnet.
Elektrodenanordnung II:
Die Elektroden sind an den beiden Seiten
des Quaders parallel zur x,y-Ebene
angeordnet.
Elektrodenanordnung III:
Die Elektroden sind an den beiden Seiten
des Quaders parallel zur y,z-Ebene
angeordnet.
b) Aus den allgemeinen Gleichungen für den Widerstand R bestimme man zur Kontrolle jeweils
abschließend den Widerstand R für den Sonderfall 1  2   (homogenes Leitermaterial)
und diskutiere die Formeln!
-B10-