2k − 1 - Universität Paderborn

AUFGABE 25 :
Beweise durch vollständige Induktion:
n
(2k − 1) = n2
k=1
Die Behauptung ausführlich:
n
∀n ∈ N :
(2k − 1) = n2
k=1
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
UNIVERSITÄT PADERBORN
Lösung:
I.A. n = 0:
0
1(10)
(2k − 1) =Def. leere Summe 0 = 02
k=1
I.V.
Für ein n gelte
n
(2k − 1) = n2.
k=1
I.S. n → n + 1:
n+1
(2k − 1) =
n
k=1
k=1
2
(2k − 1) + (2(n + 1) − 1)
=I.V. n + (2(n + 1) − 1)
UNIVERSITÄT PADERBORN
=
n2 + 2n + 2 − 1
=
n2 + 2n + 1
=
(n + 1)2
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
2(10)
AUFGABE 28 :
Unifikation: Es seien x, y, z Variablen und a, b, c, 0 Konstanten. Ermitteln Sie
jeweils einen allgemeinsten Unifikator, falls ein solcher existiert.
1. plus(x, 0, y) und plus(a, y, y)
2. f (x, y, z) und f (g(y), g(z), a)
3. f (x, x) und f (y, g(y))
4. f (x, g(x)) und f (g(g(y)), g(z))
5. R(g(x), a, g(z), c) und R(y, x, g(a), g(x))
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
UNIVERSITÄT PADERBORN
3(10)
Lösung:
Nr.
1
2
sσ
tσ
Ergänzung von σ
f (x, x) f (y, g(y)) [x/y]
f (y, y) f (y, g(y))
y kommt in g(y) vor, daher bricht das Verfahren von Robinson ab mit dem
Ergebnis, dass es keinen allgemeinsten Unifikator gibt.
UNIVERSITÄT PADERBORN
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
4(10)
Lösung:
Nr.
1
2
3
sσ
tσ
Ergänzung von σ
f (x, g(x))
f (g(g(y)), g(z))
[x/g(g(y))]
f (g(g(y)), g(g(g(y))))
f (g(g(y)), g(z))
[z/g(g(y))]
f (g(g(y)), g(g(g(y)))) f (g(g(y)), g(g(g(y))))
Der allgemeinste Unifikator ist
[x/g(g(y))] [z/g(g(y))] = [x/g(g(y)), z/g(g(y))].
UNIVERSITÄT PADERBORN
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
5(10)
AUFGABE 29 :
Erstelle eine abstrakte Algebra zum Datentyp Binärbaum, dessen Knoten
Zahlen enthalten.
Ein Binärbaumknoten bzw. -blatt hat also also immer maximal 2 Nachfolger.
Diese Nachfolger sind dann entweder Blätter oder weitere Binärbäume.
In dieser Aufgabe sind Teile bereit gelöst. Geben Sie jedoch in der Lösung
die komplette Definition der Algebra an. Ihre Lösung muss also enthalten:
1. Sorten
2. Operationen
3. Axiome (mind. 3)
Geben Sie zum Schluss eine Klassifikation der Operationen an
(Konstruktoren, Hilfskonstruktoren, Projektionen).
UNIVERSITÄT PADERBORN
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
6(10)
Die abstrakte Algebra Binärbaum = (T, Σ, Q) mit der Signatur Σ = (S, F )
wird beschrieben durch:
S = { BinTree, Nat, Bool }
F = { createBinTree :
bin : BinTree × Nat × BinTree
left :
right :
value :
empty :
(S1)
→ BinTree, (F1)
→ BinTree, (F2)
→
(F3)
→
(F4)
→
(F5)
→
(F6)
Die Sorte BinTree stellt einen Binärbaum dar, die Sorte Nat beschreibt ein
Blatt.
Funktionsbeschreibung:
createBinTree:Erzeugt einen leeren Binärbaum
bin: Erzeugt einen nicht leeren Binärbaum
left: Beschreibt den linken Teilbaum
right: Beschreibt den rechten Teilbaum
value: Beschreibt den Wert im Knoten (aus Nat )
empty: Gibt an, ob der Baum leer ist
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
UNIVERSITÄT PADERBORN
7(10)
Lösung:
S = { BinTree, Nat, Bool }
F = { createBinTree :
bin : BinTree × Nat × BinTree
left : BinTree
right : BinTree
value : BinTree
empty : BinTree
Q={
left(bin(t1, x, t2)
right(bin(t1, x, t2)
empty(createBinTree)
empty(bin(t1, x, t2)
value(bin(t1, x, t2)
=
=
=
=
=
→ BinTree,
→ BinTree,
→ BinTree,
→ BinTree,
→ Nat,
→ Bool
(S1)
(F1)
(F2)
(F3)
(F4)
(F5)
(F6)}
t1
t2
(Q1)
(Q2)
true (Q3)
false (Q4)
x
(Q5)}
Konstruktoren: createBinTree, bin
Hilfskonstruktoren: left, right
Projektionen: value, empty
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c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
8(10)
AUFGABE 30 :
Benenne die folgenden Gesetze und zeige die Gültigkeit mit Hilfe von
Wahrheitstafeln:
1. ¬(X ∧ Y ) ≈ ¬X ∨ ¬Y
2. X ∧ Y ≈ Y ∧ X
3. (X ∧ Y ) ∧ Z ≈ X ∧ (Y ∧ Z)
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c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
9(10)
Lösung:
De Morgan
X
0
0
1
1
Y X ∧ Y ¬(X ∧ Y ) ¬X ¬Y ¬X ∨ ¬Y
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z X ∧ Y (X ∧ Y ) ∧ Z Y ∧ Z X ∧ (Y ∧ Z)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Assoziativität
X
0
0
0
0
1
1
1
1
UNIVERSITÄT PADERBORN
c
Th.
Lettmann • Modellierung ZÜ 04
10(10)