∑ (2k − 1) = n2 ∀n ∈ N : ∑ (2k − 1) = n2 ∑ ∑ (2k − 1) = n2 I.S. n

AUFGABE 25 :
Lösung:
I.A. n = 0:
Beweise durch vollständige Induktion:
n
(2k − 1) = n2
0
(2k − 1) =Def. leere Summe 0 = 02
k=1
k=1
I.V.
Die Behauptung ausführlich:
∀n ∈ N :
Für ein n gelte
n
(2k − 1) = n2.
k=1
n
(2k − 1) = n2
I.S. n → n + 1:
k=1
n+1
(2k − 1) =
n
k=1
k=1
2
(2k − 1) + (2(n + 1) − 1)
=I.V. n + (2(n + 1) − 1)
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c
Th.
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1(10)
AUFGABE 28 :
=
n2 + 2n + 2 − 1
=
n2 + 2n + 1
=
(n + 1)2
c
Th.
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2(10)
Lösung:
Unifikation: Es seien x, y, z Variablen und a, b, c, 0 Konstanten. Ermitteln Sie
jeweils einen allgemeinsten Unifikator, falls ein solcher existiert.
Nr.
1
2
1. plus(x, 0, y) und plus(a, y, y)
sσ
tσ
Ergänzung von σ
f (x, x) f (y, g(y)) [x/y]
f (y, y) f (y, g(y))
2. f (x, y, z) und f (g(y), g(z), a)
y kommt in g(y) vor, daher bricht das Verfahren von Robinson ab mit dem
3. f (x, x) und f (y, g(y))
Ergebnis, dass es keinen allgemeinsten Unifikator gibt.
4. f (x, g(x)) und f (g(g(y)), g(z))
5. R(g(x), a, g(z), c) und R(y, x, g(a), g(x))
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c
Th.
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3(10)
UNIVERSITÄT PADERBORN
c
Th.
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4(10)
Lösung:
Nr.
1
2
3
AUFGABE 29 :
Erstelle eine abstrakte Algebra zum Datentyp Binärbaum, dessen Knoten
Zahlen enthalten.
sσ
tσ
Ergänzung von σ
f (x, g(x))
f (g(g(y)), g(z))
[x/g(g(y))]
f (g(g(y)), g(g(g(y))))
f (g(g(y)), g(z))
[z/g(g(y))]
f (g(g(y)), g(g(g(y)))) f (g(g(y)), g(g(g(y))))
Ein Binärbaumknoten bzw. -blatt hat also also immer maximal 2 Nachfolger.
Diese Nachfolger sind dann entweder Blätter oder weitere Binärbäume.
In dieser Aufgabe sind Teile bereit gelöst. Geben Sie jedoch in der Lösung
die komplette Definition der Algebra an. Ihre Lösung muss also enthalten:
Der allgemeinste Unifikator ist
[x/g(g(y))] [z/g(g(y))] = [x/g(g(y)), z/g(g(y))].
1. Sorten
2. Operationen
3. Axiome (mind. 3)
Geben Sie zum Schluss eine Klassifikation der Operationen an
(Konstruktoren, Hilfskonstruktoren, Projektionen).
c
Th.
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5(10)
Die abstrakte Algebra Binärbaum = (T, Σ, Q) mit der Signatur Σ = (S, F )
wird beschrieben durch:
S = { BinTree, Nat, Bool }
F = { createBinTree :
bin : BinTree × Nat × BinTree
left :
right :
value :
empty :
→ BinTree,
→ BinTree,
→
→
→
→
(S1)
(F1)
(F2)
(F3)
(F4)
(F5)
(F6)
S = { BinTree, Nat, Bool }
F = { createBinTree :
bin : BinTree × Nat × BinTree
left : BinTree
right : BinTree
value : BinTree
empty : BinTree
Q={
createBinTree:Erzeugt einen leeren Binärbaum
bin: Erzeugt einen nicht leeren Binärbaum
left: Beschreibt den linken Teilbaum
right: Beschreibt den rechten Teilbaum
value: Beschreibt den Wert im Knoten (aus Nat )
empty: Gibt an, ob der Baum leer ist
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6(10)
Lösung:
Die Sorte BinTree stellt einen Binärbaum dar, die Sorte Nat beschreibt ein
Blatt.
Funktionsbeschreibung:
c
Th.
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left(bin(t1, x, t2)
right(bin(t1, x, t2)
empty(createBinTree)
empty(bin(t1, x, t2)
value(bin(t1, x, t2)
=
=
=
=
=
→ BinTree,
→ BinTree,
→ BinTree,
→ BinTree,
→ Nat,
→ Bool
(S1)
(F1)
(F2)
(F3)
(F4)
(F5)
(F6)}
t1
t2
(Q1)
(Q2)
true (Q3)
false (Q4)
x
(Q5)}
Konstruktoren: createBinTree, bin
Hilfskonstruktoren: left, right
Projektionen: value, empty
c
Th.
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7(10)
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c
Th.
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8(10)
AUFGABE 30 :
Lösung:
De Morgan
Benenne die folgenden Gesetze und zeige die Gültigkeit mit Hilfe von
Wahrheitstafeln:
1. ¬(X ∧ Y ) ≈ ¬X ∨ ¬Y
2. X ∧ Y ≈ Y ∧ X
3. (X ∧ Y ) ∧ Z ≈ X ∧ (Y ∧ Z)
X
0
0
1
1
Y X ∧ Y ¬(X ∧ Y ) ¬X ¬Y ¬X ∨ ¬Y
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z X ∧ Y (X ∧ Y ) ∧ Z Y ∧ Z X ∧ (Y ∧ Z)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Assoziativität
X
0
0
0
0
1
1
1
1
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c
Th.
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9(10)
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c
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10(10)