Kein Folientitel - Experimentelle Physik 2, TU Dortmund

PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Inhalt der Vorlesung B1
4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
Einleitung
Ladungen & Elektrostatische Felder
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik: Die Maxwell‘schen Gleichungen
Wechselstromnetzwerke
Elektromagnetische Wellen & Strahlung
5. Optik
Licht als elektromagnetische Welle
Geometrische Optik
Optische Abbildungen
Wellenoptik
1
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SS13
Zusammenfassende Darstellung aller Maxwell-Gleichungen
(1)
∫∫
  1
E ⋅ dA =
∫∫∫ ρ dV
∫∫
 
0
B ⋅ dA =
O
(2)
ε0
V (O )
O
(3)
(4)
 
 
∂
− ∫∫ B ⋅ dA
∫∂A E ⋅ dr =

∂t A
 
 
 
∂
B
dr
µ
j
dA
µ
ε
E
dA
⋅
=
⋅
+
⋅
0
0
0
∫∂A
∫∫A
∫∫

∂t A
2
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SS13
Differentielle Form der Maxwell-Gleichungen
  ρ
(1) ∇ ⋅ E =
ε0
 
(2) ∇ ⋅ B = 0

 
∂B
(3) ∇ × E = −
∂t

 

∂E 

(4) ∇ × B = µ 0  j + ε 0

∂
t


3
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Ladungserhaltung & Maxwell-Gleichungen

 

∂E
∇ ×=
B µ 0 j + µ 0ε 0
∂t
Die 4. Maxwell‘sche Gleichung lautet:
Wenn auf beiden Seiten die Divergenz berechnet wird, dann folgt:

  
 
  ∂E 
∇ ⋅ ∇ × B = µ 0 ∇ ⋅ j + µ 0ε 0 ∇ ⋅ 

 ∂t 
(
)
Für jedes Vektorfeld gilt:
Damit folgt sofort:
  
∇⋅ ∇× B =0
(
)
  ∂
 
0 = ∇⋅ j +
ε 0∇ ⋅ E
∂t
(
)
4
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SS13
  ∂
 
0 = ∇⋅ j +
ε 0∇ ⋅ E
∂t
(
)
Wegen der ersten Maxwell-Gleichung
  ρ
 
∇ ⋅ E=
⇒ ε 0∇ ⋅ E= ρ
ε0
folgt für die rechte Seite der obigen Gleichung:
  ∂ρ
0 = ∇⋅ j +
∂t
Dies ist die Kontinuitätsgleichung, die die Ladungserhaltung eines abgeschlossenen Systems widerspiegelt. Damit ist gezeigt, dass die Ladungserhaltung bereits in den Maxwell-Gleichungen enthalten ist.
5
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SS13
Elektrische und magnetische Felder in Materie
Bisher wurden aus der Elektronendichte
und der Stromdichte

ρ (r , t ) und
 
j (r , t )
die elektrischen und magnetischen
Felder
 
E (r , t ) und
 
B(r , t )
mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen
bestimmt. Diese gelten im Prinzip bis
hinab zu atomaren Dimensionen, also
bis etwa:

d Atom ≈ 10−10 m =
1A
1Å
Kristallgitter
6
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Die auf atomaren
Dimensionen stark
variierenden lokalen
Felder um die
einzelnen Atome
werden von einem
durch den Kristall
fliegenden geladenen
Teilchen „gesehen“
(das Teilchen kann
soger durch die
Potentiale stabil
geführt werden
⇒ „Channeling“).
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SS13
Die Ladungs- und Stromdichten sind
in atomaren Dimensionen also starken
Schwankungen unterworfen, d.h.

ρ Atom (r , t ) ,
Riesenmoleküle, Cluster:

E


jAtom (r , t )
sind sehr stark ortsabhängig. Dies kann
folgendermaßen veranschaulicht werden:
Atomare Struktur:

E

E
0
10 Å
100 Å
0
Kristalle:
0
1000 Å
8
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Die Maxwell-Gleichungen
  ρ
(1) ∇ ⋅ E =
ε0
 
(2) ∇ ⋅ B = 0

 
∂B
(3) ∇ × E = −
∂t

 

∂E 

(4) ∇ × B = µ 0  j + ε 0

∂
t


gelten aber für alle Felder,
Ladungen und Ströme. Sie gelten
also sowohl für die makroskopischen „von Außen“ vorgegebenen, als auch für die mikroskopischen Ladungsverteilungen
und Ströme.
In Materie befinden sich aber ungefähr
1023 Teilchen, so dass eine exakte Feldberechnung an jedem Ort nicht sinnvoll
erscheint, sondern „gemittelte“ Größen
betrachtet werden müssen. Die MaxwellGleichungen lauten dann:
(1)
 
ρ
∇⋅ E =
(2)
 
∇ ⋅ B =0
(3)
(4)
ε0


∇× E = −

∂ B
∂t

 
∂ E


∇=
× B µ0  j + ε 0

∂t





9
PHYSIK B2
SS13
atomares Bild
+
+
+
+
− −
−
+
+
− +
+
−
+ − +
+
–
+
+
+
+
+
–
–
makroskopisches
Bild
–
(Ladung + Dipol +
höhere Multipole)
10
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SS15
SS14
SS13
Das elektrische Feld in Materie
Durch Einbringen
eines Materials
zwischen die
Platten erhöht sich
die Kapazität des
Kondensators.
Versuch: Dielektrikum im Kondensator
εr > 1
Dielektrikum
+Q
U
–Q
Q
C=
U
11
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SS13
Wir definieren die Dielektrizitätskonstante εr eines Mediums durch
den folgenden Zusammenhang:
CDielek.
εr =
CVakuum
Dabei ist CDielek. die Kapazität eines
Plattenkondensators, der mit dem
Medium zwischen den Platten aufgefüllt wurde, und CVakuum die Kapazität
ohne Medium zwischen den Platten.
Es ist immer εr ≥ 1 .
Für die Kapazität C eines Kondensators mit der Fläche A und dem Plattenabstand d und einem Medium mit der
Dielektrizitätskonstanten εr
zwischen den Platten gilt daher:
A
C = ε rε 0
d
Die Kapazität des Kondensators vergrößert sich also um den Faktor εr ,
d.h. es kann bei gleicher Spannung
wegen C = Q/U mehr Ladung auf
den Kondensatorplatten gespeichert
werden.
Es stellt sich heraus, dass die Dielektrizitätskonstante εr eines Mediums
stark Materialabhängig ist. Wir
werden im Folgenden sehen, dass εr
mit der Polarisation des Materials
zusammenhängt.
12
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SS15
SS14
SS13
CDielek.
εr =
CVakuum
13
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wir betrachten jetzt die elektrischen Felder im Kondensator und werden
aus deren Größe auf die vorhandenen Ladungen zurückschließen. Die elektrischen Felder im Kondensator bei gleicher Ladung Q auf den Platten sind:
U Vak
Q
=
=
Ohne Dielektrikum: E
Vak
d
d CVak
U Vak EVak
U
Q
Q
= =
=
=
=
< EVak
Mit Dielektrikum: E
d d C d ε r CVak ε r d
εr
⇒ Das Feld E und die Spannung U werden also um den Faktor 1/εr
durch das Dielektrikum reduziert. Wegen des Gauß‘schen Satzes
∫∫
  Qges
E ⋅ dA =
ε0
muß dann auch die effektive Gesamtladung Qges um den gleichen
Faktor reduziert sein, also
Q
Qges =
εr
14
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SS15
SS14
SS13
Die Differenz zwischen der aufgebrachten Ladung Q und der effektiven
Gesamtladung Qges ist dann:
QP =Q − Qges

1
=Q − =Q 1 − 
εr
 εr 
Diese Ladung ist die sog.
Polarisationsladung, die
durch das elektrische Feld
im Dielektrikum erzeugt
wird. Das Feld der Polarisationsladungen kompensiert
zum Teil das Feld der Ladungen
auf den Kondensatorplatten.
Q
–QP
+QP
15
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SS13
Die 1. Maxwell-Gleichung (Gauß‘
scher Satz) gilt für alle umschlossenen Ladungen, während beispielsweise ein Galvanometer nur die
„wahren Ladungen“ mißt. Es wäre
daher praktisch, eine MaxwellGleichung für die „wahren Ladungen“ Q auf den Platten zu haben.
Hierfür muß ein neues Feld
folgendermaßen definiert werden:


D = ε rε 0 E
∫∫
  Qges Q QP
= −
E ⋅ dA =
⇒
∫∫
⇒
∫∫

D
ε rε 0
ε0
ε0
ε0
 Q QP
⋅ dA = −
ε0
ε0
 


1
D ⋅ dA= ε r  Q − Q 1 −
 εr


 

Zusammenfassen der Terme ergibt:
∫∫
 
 
D ⋅ dA= Q ⇔ ∇ ⋅ D= ρ
Die „Quellen“ des D-Feldes sind also
Dabei handelt es sich um das Feld der die „wahren Ladungen“ Q, die Polaridielektrischen Verschiebungsdichte.
sationsladungen QP sind in der DefiMit der 1. Maxwell-Gleichung folgt
nition des D-Feldes berücksichtigt.
16
jetzt:
PHYSIK B2
SS13
Am Kondensator liegt also jetzt die
folgende Situation vor:
+
–
–
–
–
–
–
–

P
+
+
+
+
+
+
+
–

E
Durch die Polarisation des Dielektrikums entsteht ein Feld P, welches
dem von Außen angelegten Feld E
entgegenwirkt.
Dieses Feld läßt sich durch die
Ladungsdichte ρP der Polarisationsladungen nach der 1. Maxwell‘schen
Gleichung folgendermaßen ausdrücken:
 
∇ ⋅ P = − ρP
Dann läßt sich die 1. Maxwell‘sche
Gleichung für das gesamte Feld
schreiben als:
  ρges ρfrei + ρ P
∇=
⋅E
=
ε0
 
=
∇⋅E
1
ε0
(
ε0
 
ρfrei − ∇ ⋅ P
)
17
PHYSIK B2
SS13
 
− ρP = ∇ ⋅ P
–
–
+
+ ρ frei
=
 
∇⋅D
–
–
–
–
+

P
–
+
+
–
+
+
+
+

E
18
PHYSIK B2
 
=
∇⋅E
SS13
 
1
ρfrei − ∇ ⋅ P
ε0
(
ρfrei
Mit
folgt:
 
E
∇ ⋅=
)
 
= ∇⋅D
1    
∇⋅D −∇⋅P
ε0
(
1   
∇⋅ D − P
=
ε0


P =αE



⇒ D= ε 0 E + α E

= (ε 0 + α ) E
(
)
)

  
⇒ ∇ ⋅ ε0E − D + P =0

 
⇒ D = ε0E + P
(
)
Das Polarisationsfeld ist häufig
proportional zum äußeren Feld, d.h.
Die Größe α ist die Polarisierbarkeit
des Mediums.
Andererseits gilt für das Feld der
dielektrischen Verschiebungsdichte:


D = ε rε 0 E
Damit folgt für die Dielektrizitätskonstante der Zusamenhang:
εr =
1+ α ε0 =
1 + χe
Die Dielektrizitätskonstante eines
Mediums ist mit seiner Polarisierbarkeit
verknüpft, χe ist die Suszeptibilität. 19
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Atomare Mechanismen der
dielektrischen Polarisation
20
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Atomare Mechanismen der
dielektrischen Polarisation
21
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Verschiebungspolarisation
Der negative Ladungsschwerpunkt verschiebt
sich in einem äußeren
Feld.
22
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SS15
SS14
SS13
Unpolarisiertes Atom
–
–
–
–
–

E =0
–
–
–
polarisiertes Atom
–

E ≠0
–
–
–
–
–
–
–
–
+

r
elektrischer
Dipol
23
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SS13
Verschiebungspolarisation
bei Kristallen. Die positiven
Ionen werden durch ein
äußeres Feld verschoben.
24
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
25
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Atomare Mechanismen der
dielektrischen Polarisation
26
PHYSIK B2
CO
SS15
SS14
SS13
H2
O
C2H6
2
SO2
CH3Cl
HCl
NH3
CH4
C2H2
27
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wasser als permanenter Dipol

p
28
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SS15
SS14
SS13
Permanente Dipolmomente einiger Substanzen
Ar
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Permanente
Dipole
richten sich
im
elektrischen
Feld aus !

p0
+
ϑ

E
–

E
–
30
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Die Polarisierbarkeit α hängt von der Temperatur ab. Es gilt:
α (T )
A
α (T=
+B
)
T
1T
31
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α (ω )
Bei zeitabhängigen externen Feldern hängt die
Polarisierbarkeit auch von der Frequenz des
Feldwechsels ab.
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SS13
Das elektrische Feld an Grenzflächen
Es soll nun das Verhalten des elektrischen Dann gilt im Fall der Elektrostatik
Feldvektors an einer Grenzfläche zweier für das Integral über diesen
Medien mit den Dielektrizitätskonstanten geschlossenen Weg:
 
εr,1 und εr,2 bestimmt werden.
E
⋅
dr
=
0
(i) Tangentiale Komponente:
 
Wir betrachten den folgenden, recht 

⇒ E1,
⋅ ∆r + E2, ⋅ −∆r = 0
eckigen Weg innerhalb der beiden


Medien, wobei die beiden senkrechten

− E2, ⋅ ∆r = 0
Wegstücke infinitesimal klein sein sollen: ⇒ E1,
∫
ε r ,1

∆r
ε r ,2

− ∆r

E1

E2
(


⇒ E1,
=
E2,
)
(
)
Die Tangentialkomponente des
elektrischen Feldes ist an der
Grenzfläche zweier Medien
stetig.
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PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(ii) Senkrechte Komponente:
Wir betrachten nun die folgende
zylinderförmige „Dose“ innerhalb
der beiden Medien, wobei die Höhe
der Dose infinitesimal klein sein soll.
ε r ,1
ε r ,2

∆A
 
D1 , E1

− ∆A
 
D2 , E2
 
0
∫∫ D ⋅ dA =

 


⇒ D1,⊥ ⋅ ∆A + D2,⊥ ⋅ −∆A = 0



⇒ D1,⊥ − D2,⊥ ⋅ ∆A =
0


⇒ D1,⊥ =
D2,⊥
(
Wegen
)
(
)


D = ε rε 0 E
folgt daraus:
Dann gilt wegen der 1. Maxwell‘schen


ε r ,1 E1,⊥ = ε r ,2 E2,⊥
Gleichung für das geschlossene Oberflächenintegral über das Feld der
Die senkrechte Komponente des elekdielektrischen Verschiedung im Fall,
trischen Feldes macht an der Grenzdass sich keine freien Ladungen an der fläche zweier Medien einen Sprung.
Grenzfläche befinden:
34
PHYSIK B2
ε r ,1
ε r ,2

E1
SS15
SS14
SS13

E1,||
Für den Übergang des Feldes an einer
Grenzfläche gilt dann:
α1

E1,⊥
E :
E1 sin α1 = E2 sin α 2
E⊥ : ε r ,1 E1 cos α1 = ε r ,2 E2 cos α 2
Die Division beider Gleichungen ergibt:

E2
 α2
E2,⊥

E2,||
1
ε r ,1
tan α1 =
1
ε r ,2
tan α 2
tan α1 ε r ,1
⇒
=
tan α 2 ε r ,2
Dies ist das Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien beim Übergang
zwischen zwei Medien.
35
SS15
SS13
PHYSIK
FeldB2einerSS14
Punktladung vor
einer Grenzfläche, die zwei Medien trennt:
q
q
ε
(2)
r
>ε
(1)
r
ε
(2)
r
<ε
(1)
r
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PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Dielektrische Kugel in einem
elektrischen Feld
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PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das magnetische Feld in Materie
Wie im Fall des elektrischen Feldes
gilt das Ampère‘sche Gesetz für alle
Ströme: 


∇ × B = µ0 j
Dabei gibt es zwei prinzipiell unterschiedliche Arten von Strömen, d.h.:
 

=
j jTrans. + jMag.
Transportstrom
(von außen aufgeprägt, Spule usw. )
Transportströme
„Magnetisierungsströme“
(Flächenströme)
Die mikroskopischen Ströme bestimMikroskopische men das magnetische Verhalten
eines Stoffes. Man definiert das
Ströme in
Magnetisierung durch:
Anwesenheit des Feld der



Magnetfeldes
∇ × M = jMag.
38
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Einsetzen in das Ampère‘sche
Gesetz ergibt:
 
 

=
∇ × B µ0 jTrans. + ∇ × M

  B
 
⇒ ∇ ×  − M  = jTrans.
 µ0

(
Nun wird durch

H
=

B
µ0
)

−M
ein neues Feld definiert, dessen Ursache die makroskopischen Transportströme sind, denn es ist jetzt:
  
∇ × H = jTrans.
Ohne mikroskopische Ströme gilt


also:
B = µ0 H
Häufig findet man experimentell, dass
die Magnetisierung proportional zu
dem durch die Transportströme
erzeugten Feld
 ist, also:
M = χm H
Dabei ist χm die sog. „magnetische
Suszeptibilität“. Sie ist eine Materialkonstante und beschreibt das Bestreben
der magnetischen Dipole, sich im Feld
auszurichten.
 Damit folgt:

H
=
B
µ0

− χm H



⇒ B= µ0 (1 + χ m ) H= µr µ0 H39
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13



B=
µ0 (1 + χ m ) H =µr µ0 H
Die Permeabilität µr eines Materials
hängt also direkt mit der Suszeptibilität χm über µr = 1+χm zusammen.
Experimentell findet man, dass es
Stoffe gibt mit:
χm > 0 : paramagnetische Stoffe
(Al, Pt, O2)
χm < 0 : diamagnetische Stoffe
(H2O, Cu, Bi)
Die Permeabilität µr kann also größer
oder kleiner als Eins sein, im Gegensatz zur Dielektrizitätskonstante εr ,
für die immer εr > 1 gilt.
Material
H2O
Cu
Bi
Al
Pt
O2 (flüssig)
χm⋅106
-9
-7.4
-153
21.2
264
3620
µr
0.999991
0.999993
0.999847
1.000021
1.000264
1.003620
diamagnetisch
(Lenz‘sche Regel)
paramagnetisch
(Dipolmoment)
40
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(i) Diamagnetismus: Das Dipolmoment wird

B
N

B
durch das äußere Feld
induziert (Lenz‘sche
induzierter
Strom Regel)
N
Diamagnetische Stoffe
werden im inhomogenen Feld in den
Bereich kleinerer Feldstärke gedrängt
S
S
S
inhomogenes Feld
N

F
(ii) Paramagnetismus:

B
eigenes
dominantes
Dipolfeld
N
S
N
S
Paramagnetische
Stoffe werden in
den Bereich höherer
Feldstärke gezogen.

B
N S

F
41
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Al-Stab
Versuch 3: Dia- und Paramagnetismus
Paramagnetische Stoffe richten sich im
inhomogenen Magnetfeld in Richtung
des Feldes aus, diamagnetische Stoffe
dagegen quer zu den Feldlinien. Die Probe
hängt leicht drehbar an einem dünnen Faden.
Probe
Feld
aus
Al-Stab
Magnet
Feld
ein
42
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 4: Dia- und Paramagnet im inhomogenen Feld
Magnetfeld aus: Die paramagnetische
Al-Kugel hängt frei am Faden
Magnetfeld ein: Die Kugel wird in den
Bereich dichterer Feldlinien gezogen.
Al-Kugel
Magnetpole
Bei einem diamagnetischen Stoff (z.B. Glaskugel) wirkt die Kraft in
entgegengesetzter Richtung, die Kugel wird aus dem Bereich dichterer
Feldlinien verdrängt.
43
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Bei ferromagnetischen Substanzen
wie Eisen, Cobalt oder Nickel ist
χm, µr >> 1 (etwa 5000 bei Eisen).
Außerdem ist der Zusammenhang
µr  1
Eisenkern


B = µ r µ0 H
nicht mehr linear, d.h. µr ist eine

Funktion des äußeren Feldes µ r = µ r ( H ) .
Es gilt also:
 


B(=
H ) µ r ( H ) µ0 H

H)
⇒ µr (=
I∝ H
B
 
B( H )

µ0 H


Der Zusammenhang zwischen B und H ist für Eisen sehr kompliziert.
Bei einer Spule der Länge l mit N Windungen, durch die ein Strom I fließt,
und die einen Eisenkern besitzt, hatten wir bereits gefunden:
N
N
B = µ r ( H ) µ0 I ⇒ H =
I∝I
l
l
44
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das im Eisenkern erregte
Dieser Zusammenhang
soll jetzt zur

Messung von µr ( H ) ausgenutzt werden. Magnetfeld ist:
A
B(t ) = µ ( H ) µ H (t )
r

H
I

B
N1
0
In der Spule N2 wird eine Spannung
N2
Der Wechselstrom I (t) erzeugt das Feld
H(t) in der Spule N1:

N1 I (t )
H=
(t ) H=
(t )
∝ I (t )
l
Dabei ist l die Feldlinienlänge im Eisen.
dB(t )
U (t ) = − N 2 A
dt
induziert. Das gesuchte MagnetFeld folgt daraus durch Integration:
1
B (t ) = −
U (t ) dt
∫
N2 A
Elektronisch kann eine solche
Integration der Spannung mit
einem RC-Glied vorgenommen
werden.
45
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 5: Bestimmung von µr(H) für Eisen
Oszillograph
Wechselstromgenerator
Eisenkern
I(t)
R
C
vertikal
horizontal
Uy ∝ B
Ux ∝ H
R1
46
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
B
Erregungsspule
Meßspule
Sättigung ≈ 2 T
Remanenz
H
Eisenkern
Koerzitivkraft
Hysteresekurve
B
H
Bei Eisen ist der Zusammenhang von
H und B sehr stark nichtlinear und
zeigt eine Hysterese.
47
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Qualitativ erhält man den Verlauf
der relativen Permeabilität aus der
Hysterese nach:
1 dB
µr ( H ) =
µr
BlochWände
µ0 dH
WeißBezirke
1
H
Jedes ferromagnetische Material besteht aus Bereichen mit permanenten
magnetischen Momenten, die man als
„Weiß‘sche Bezirke“ bezeichnet. Sie
sind durch „Bloch‘sche Wände“
getrennt.
Durch ein äußeres Magnetfeld können die Weiß‘schen Bezirke in eine
Vorzugsrichtung gebracht werden.
Das geht solange, bis alle Bezirke
in Richtung des erregenden Feldes
zeigen. Dann ist die magnetische
„Sättigung“ des Materials erreicht.
48
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
H =0 ⇒ B=0
H >0 ⇒ B∝H
Alle Richtungen der
Weiß‘schen Bezirke
sind mit gleicher
Wahrscheinlichkeit
vertreten. Der ferromagnetische Körper
hat nach außen kein
Magnetfeld.
Durch das äußere
Magnetfeld werden
die Weiß‘schen Bezirke teilweise in
Richtung dieses
Feldes orientiert und
zwar umso stärker,
je stärker das Feld ist.
H → ∞ ⇒ B ≈ const.
Bei einem extrem
starken Feld sind
alle Bezirke ausgerichtet. Dann bewirkt
eine weitere Erhöhung
von H (fast) keine
Zunahme mehr
von B. Es ist die
Sättigung erreicht.
49
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 6: Der Barkhausen-Effekt
Die Ursache für das Hystereseverhalten ist das verzögerte Umklappen der
Weiß‘schen Bezirke, die wie kleine Dipolmagnete wirken. Das Umklappen
kann man akustisch hörbar machen (Barkhausen-Effekt).
Lautsprecher
Verstärker
Halter mit
Eisendraht
Induktionsspule
Magnet
Induktionsspule
50
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das Umklappen der Weiß‘schen
Bezirke erfolgt sprunghaft:
B
bewegter
Stabmagnet
ferromagnetischer
Stab
H
dB
dt
H
Induktionsspule
Anordnung des
Experiments zum
Barkhauseneffekt:
U ind
dB
∝
dt
Verstärker
Lautsprecher
Beim Umklappen gibt es kleine Sprünge in
der Feldstärke, die in der Spule Spannungsimpulse induzieren. Man hört das als
„Knistern“ im Lautsprecher.
51
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das magnetische Feld an Grenzflächen
(i) Senkrechte Komponente:
Die 2. Maxwell‘sche Gleichung
lautet:
 
B2,⊥
0
∫∫ B ⋅ dA =
Anwenden auf die „infinitesimale Dose“ rechts ergibt:
∫∫
 
B ⋅ dA
B1,⊥
µr ,1
µr ,2
Dose
B1,⊥ ∆A + B2,⊥ ( −∆A
=
) 0
⇒ B1,⊥ ∆A= B2,⊥ ∆A ⇒ B1,⊥= B2,⊥ , µr ,1 H1,⊥= µr ,2 H 2,⊥
Die senkrechte Komponente des B-Feldes ist an einer Grenzfläche stetig.
52
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(ii) Tangentiale Komponente:
Da an der Grenzfläche keine
äußeren Ströme fließen, liefert
das Ampère‘sche Gesetz für
den Weg entlang des „infinitesimalen Rechtecks“:
 
0
∫ H ⋅ dr =

µr ,1
H1,
H 2,
µr ,2
Also folgt:
 
∆r +H1, ( −∆r )= 0 ⇒ H1, ∆r= H 2, ∆r
∫ H ⋅ dr= H1,

B1,
B2,
⇒ H1,
= H 2, ⇒
=
µr ,1
µr ,2
Die tangentiale Komponente
des B-Feldes macht an einer
Grenzfläche einen Sprung.
53
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Die Maxwell-Gleichungen in Materie
(1)
(2)
(3)
(4)
  ρ
⋅ E==ρfrei
∇∇⋅ D
ε0
 
∇ ⋅ B =0

 
∂B
∇× E = −
∂t

 

∂E
B µ 0 j + µ 0ε 0
∇ ×=
∂t
54
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wir wollen jetzt die 4. Maxwell‘sche Gleichung umschreiben auf die
D- und H-Felder für die freien Ladungen und Ströme. Es war:

  
 
D=
ε 0 E + P, B =
µ0 H + M
(
)
Weiterhin ist die gesamte Stromdichte gegeben durch

j
  




jTrans. + jMag. + =
jPol. jTrans. + ∇ × M + jPol.
wobei jPol. die Stromdichte ist, die durch die Polarisationsladungen verursacht
wird. Einsetzen in die 4. Maxwell-Gleichung ergibt:
 
 
 


∂  D−P
=
∇ × B µ0 jTrans. + µ0∇ × M + µ0 jPol. + µ0ε 0 

∂t  ε 0 



  B
 
∂D  
∂P 
∇× − =
+  jPol. −
M  jTrans. +

∂t 
∂t 
0
µ





=H
=?
55
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13


  
∂D  
∂P 
⇒ ∇ ×=
+  jPol. −
H jTrans. +

∂t 
∂t 
Für die Ladungsdichte ρP der Polarisationsladungen gilt:
 
∂ρ P
∂  
∇ ⋅ P = − ρP ⇒
∇⋅P = −
∂t
∂t
(
)
Wegen der Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) ist aber auch:
Also:
 
 
∂ρ P
∂ρ P
∇ ⋅ jPol. +
= 0 ⇒ ∇ ⋅ jPol. = −
∂t
∂t

 
 ∂P  
∂  
∇ ⋅ P = ∇ ⋅ jPol. ⇒ ∇ ⋅
= ∇ ⋅ jPol.
∂t
∂t


  ∂P  
∂P 
⇒ ∇ ⋅
− jPol. = 0 ⇒
− jPol.= 0
∂t
 ∂t

(
)
56
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
 
=
(1) ∇ ⋅ D
 
=
(2) ∇ ⋅ B
 
(3) ∇× E =


ρ=
D ε rε 0 E
frei


B µ r µ0 H
0=

Zusammenstellung der
∂B
Maxwell-Gleichungen
−
in Materie
∂t
(differentielle Form)

  
∂D
H jTrans. +
(4) ∇×=
∂t
57
PHYSIK B2
(1)
∫∫
  Qfrei
D ⋅ dA =
∫∫
 
0
B ⋅ dA =
SS15
SS14
SS13
O
(2)
ε0
Zusammenstellung der
Maxwell-Gleichungen
in Materie
(integrale Form)
O
(3)
(4)
 
 
∂
⋅
=
−
⋅
E
dr
B
dA
∫∫
∂∫A
∂t A
 
 
∂
⋅
=
+
⋅
H
dr
I
D
dA
Trans.
∫∫
∂∫A
∂t A
58
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Die im elektromagnetischen Feld gespeicherte Energie
(i) Gespeicherte Energie im elektrischen Feld
Versuch 7: Entladung eines Kondensators
59
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Ladung dQ
Ladung auf
der Platte: +Q
d
U
Wenn sich eine Ladung Q auf einem
Kondensator der Kapazität C befindet,
an dem eine Spannung U anliegt, dann
gilt: Q = CU
++ + ++ ++ ++ ++ +
++ + ++ ++ ++ ++ +
E =U d
+
- - - - - -- - - - - - -- - - - - - -- - - - - -
Die Arbeit dW die
notwendig ist,
um eine Ladung
dQ zu der Ladung
Q auf der Platte
hinzuzufügen ist:
 
U
= dQ ∫ E ⋅ dr
= dQ =
dW
d U dQ
d
Q
⇒ dW =
dQ
C
60
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wenn der Kondensator auf die
Dieses Ergebnis kann stark verallgeGesamtladung Qges aufgeladen
meinert werden. Mit der Formel für die
wird, dann ergibt die Integration
Kapazität eines Plattenkondensators folgt:
für die gesamte aufzuwendende
1
1
A
2
2
„Aufladearbeit“:
=
W =
CU
εε
( Ed )

2
d
1 2
Q
=
dQ
Qges
1
1
2
2
=
=
(
)
E
Ad
E
V
ε
ε
ε
ε
C
2
C
r
r
0
0

0
2
2
Kondensator-
Qges
W
∫
Wegen Q = CU folgt daraus:
1
2
W = CU
2
Diese Energie ist im elektrischen
Feld des Kondensators gespeichert.

2
r 0
volumen V
Für die Energiedichte wE, d.h. die Energie
pro Volumen, des elektrischen Feldes in
einem Plattenkondensator gilt also:
W 1
2
w=
=
ε rε 0 E
E
V 2
61
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Dieses Ergebnis gilt ganz allgemein, Versuch 8: Flüssigkeit im Kondensator
da jeder Raumbereich „infinitesimal
eben“ ist. Daher gilt für die Energiedichte wE in einem beliebigen elektrischen Feld:
dW 1
wE =
=
ε rε 0 E 2
dV 2
Dies kann mit dem Feld der dielektrischen Verschiebung auch geschrieben werden als:
dW 1
=
wE =
DE
dV 2
In einem Raumbereich mit Dielektrikum ist wegen εr > 1 die Energiedichte höher als außerhalb.
62
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(ii) Gespeicherte Energie im magnetischen Feld
Wir betrachten die folgende Spule:
l
A
I
N Windungen
U
Wenn sich der Strom zeitlich ändert,
dann wird eine Spannung U induziert:
dB
U = −N A
dt
2
N A dI
dI
=
− µ r µ0
=
−L
l dt
dt

= L (Selbst) Induktivität einer Spule
Die Leistung P ist:
Das Magnetfeld im Innern der Spule
ist:
NI
B = µ r µ0
l
dW
dI
=
P = U=
I L I
dt
dt
⇒ dW =
L I dI
63
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Aus
1 2 1
N2A 2
W =
LI
=
dW = L I dI
 µ r µ0
I
2
2
l 
folgt durch Integration sofort für
2 2
die in der Spule gespeicherten
1 
N
I 
2
Al )
=
 ( µ r µ0 )
 (
2
Arbeit bzw. Energie:
2 µ r µ0 
l Spulenvolumen V
1 2
W= =
LI
2
2
1 
1
NI 
2
V
B
V
µ
µ
=
 r 0

2 µr µ0 
2 µ r µ0
l 
Magnetfeld B im
Diese Energie ist im magnetischen
Inneren einer Spule
Feld der Spule gespeichert.
Für die Energiedichte wB, d.h. die Energie
Dieses Ergebnis kann wie im Fall pro Volumen, des magnetischen Feldes
der elektrischen Feldes wieder
innerhalb einer Spule gilt:
stark verallgemeinert werden. Mit
W
1
2
der Formel für die Induktivität
w=
B
=
B
einer stromdurchflossenen Spule
V 2 µ r µ0
folgt:
64
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Dieses Ergebnis gilt wieder ganz all- Versuch 9: Paramagnetische Flüssigkeit
gemein, da jeder Raumbereich
Magnetfeld aus
„infinitesimal eben“ ist. Daher gilt
für die Energiedichte wB in einem
beliebigen magnetischen Feld:
Flüssigkeits-
dW
1
2
wB =
B
=
dV 2 µr µ0
Dies kann auch wieder mit dem HFeld ausgedrückt werden. Wegen
folgt:
B = µ r µ0 H
dW 1
=
wB =
HB
dV 2
stand
Magnetfeld ein
Flüssigkeitsstand
Die paramagnetische Flüssigkeit
wird in das Feld hineingezogen.
65
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Die im elektrischen und magnetischen Feld gespeicherte Energie kann
ineinander umgewandelt werden. Für den Schwingkreis gilt beispielsweise:
Energieerhaltung:
EC (t ) + EL (t ) = E
I (t )
EC (t ) = CU (t )
1
2
U
EL (t ) = L I (t )
1
2
2
t
66
2
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Die im elektrischen und magnetischen Feld gespeicherte Energie kann
ineinander umgewandelt werden. Für den Schwingkreis gilt beispielsweise:
Energieerhaltung:
EC (t ) + EL (t ) = E
I (t )
EC (t ) = CU (t )
1
2
U
EL (t ) = L I (t )
1
2
2
t
67
2
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Die Energieerhaltung liefert:
EC (t ) + EL (t ) =
E
1
1 2
2
⇒ CU + LI =
E
2
2
Wegen
dQ
Q CU
=
und I
dt
2
d Q
1
0
⇒ Q+L 2 =
C
dt
d 2Q
1
Q=
0
⇒ 2 +
dt
LC
d 2Q(t )
2
0
⇒
+ ω Q(t ) =
2
dt
Dabei wurde die Frequenz ω2 = 1/LC
2
2
eingeführt. Dies ist die DGL des har1Q
1  dQ 
⇒
+ L
E
monischen Oszillators für die Funk =
2 C 2  dt 
tion Q(t) und damit auch für I(t) und
Differenzieren dieser Gleichung ergibt: U(t).
Aus der Energieerhaltung kann also,
11
dQ 1
dQ d 2Q
genauso wie in der Mechanik, die
2Q
+ L2
=
0 zeitliche Entwicklung des Systems
2
2C
dt 2
dt dt
hergeleitet werden.
folgt nun:
68
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Inhalt der Vorlesung B1
4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
Einleitung
Ladungen & Elektrostatische Felder
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik: Die Maxwell‘schen Gleichungen
Wechselstromnetzwerke
Elektromagnetische Wellen & Strahlung
5. Optik
Licht als elektromagnetische Welle
Geometrische Optik
Optische Abbildungen
Wellenoptik
69
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wechselstromnetzwerke
Prinzip eines Wechselspannungsgenerators
Versuch 1: Rotierende Spule in einem konstanten Magnetfeld
Bei Rotation
der Spule
wird an ihren
Enden eine
sinusförmige
Spannung
gemessen.
70
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wir betrachten eine Leiterschleife der Die Rotationsachse zeigt in die
Fläche A mit N Windungen (Spule),
x-Richtung. Das homogene Magnetdie in einem homogenen Magnetfeld
feld hat nur eine z-Komponente, also:
mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
0
  
ω rotiert.
B=0
z
 B
N Windungen

 

A(t )
Der Fluß durch die Fläche A ist dann:
B
ϕ(t)
   
Φ mag. (t ) =∫∫ B ⋅ dA =B ⋅ A(t )
y
A
= B A cos (ϕ (t ) )
ϕ(t)
ϕ (t ) = ω t ist hierbei die Phase.
ω
Einsetzen ergibt:
x
Φ mag. (t ) =
B A cos ( ω t )
71
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Mit dem Induktionsgesetz kann nun die
in der Leiterschleife erzeugte Spannung
berechnet werden:
d Φ (t )
U ind (t ) =
−N
=
NB Aωsin (ω t )
dt
Es entsteht eine periodische Induktionsspannung mit der Amplitude:
U ind (t )
2π
T=
ω
0
t
U 0 = N B Aω
Die Spannung ist also proportional
zur Rotationsfrequenz ω. Eine periodische Spannung der Form
U (t ) = U 0 sin(ωt )
wird „Wechselspannung“ genannt.
Beispiel:
Die im Haushalt übliche Spannung
ist eine Wechselspannung mit der
Frequenz:
ω 1
f=
= = 50s-1 =50Hz
72
2π T
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wechselspannung und Wechselstrom
Wechselspannungen und Wechselströme haben die Form:
U (t ) U 0 cos (ωt + ϕ )
I (t )
I(t)
≈
U(t)
R
I 0 cos (ωt + φ )
Dabei sind ϕ und φ Phasen bezüglich
An einen Ohm‘schen Widerstand gilt:
einer beliebigen Referenz. An einem
Ohm‘schen Widerstand sind die Phasen
U (t ) U 0
I (t ) =
cos(ω t )
=
zwischen Strom und Spannung wegen
R
R
U(t) = R·I(t) gleich. In diesem Fall
kann einfach ϕ = φ = 0 gesetzt werden. Damit ergibt sich für die elektrische
Leistung, die an einem Widerstand R
Wir betrachten nun die wirkende
verbraucht wird:
elektrische Leistung P.
U 02
Die Leistung ist gegeben als Produkt =
P(t ) U=
(t ) I (t )
cos 2 (ω t )
R
von Strom und Spannung.
73
PHYSIK B2
π
ωt =
2
P(t)
U 02
R
SS15
SS14
SS13
3π
ωt =
2
Aus der Graphik liest man ab:
5π
ωt =
2
P (t )
t
1
P(t ) t =
T 4
T 4
∫ P(t ) dt
0
Einsetzen liefert:
2 T 4
0
t
T
4U
P(t ) t =
T R
0
Mit der Substitution
dx
ωt =x ⇒ dt =
Die Leistung P(t) ist nun eine zeitabhängige, periodische Größe. Entscheidend ist ihr zeitlicher Mittelwert:
ω
T
2π T π
t= ⇒x=
=
4
T 4 2
T
1
P(t ) t = ∫ P(t ) dt
T 0
∫
cos 2 (ω t ) dt
folgt:
2
0
4U 1
P(t ) t =
T R ω
π 2
∫ cos ( x) dx
2
0
74
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Weiterhin gilt (siehe z.B. Bronstein):
π 2
∫
0
π 2
x 1

=  + sin(2 x) 
cos ( x) dx
2 4
0
2
=
π
4
−0 =
π
4
Also ergibt sich mit ω = 2π/T :
4U
1 π
P(t ) t =
T R 2π T 4
2
0
1 U 02
=
2 R
Es ergbit sich also für die Wirkleistung:
Gleichspannung Wechselspannung
P
=
U 02
=
R
P
≈
1 U 02
=
2 R
Daher werden jeweils eine „effektive
Spannung“ und ein „effektiver Strom“
U=
eff
U0
2
, I=
eff
I0
U0
=
2 R 2
definiert, die an einem Ohm‘schen
Widerstand dieselbe mittlere Leistung
bewirken würden, wie eine gleich
große Gleichspannung, d.h.:
Dies ist die sog. „Wirkleistung“, die
den Widerstand erwärmt. Bei einer
2
U 0 I0 U 0
Gleichspannung hätte sich als Wirk- =
=
P ≈ U=
eff I eff
2
leistung P = U 0 R ergeben.
2 2 2R
75
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch: Effektivwerte von Strom und Spannung
Die baugleichen Lampen werden auf gleiche Helligkeit eingestellt.
Gleichspannung
Netzgeräte
Wechselspannung
Lampen
Gleichspannung
Wechselspannung
76
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
I(t)
I
≈
U
Gleichspannung
U(t)
Wechselspannung
Lampe
Lampe
„Die Lampen sind gleich hell“ bedeutet genauer, dass sie im zeitlichen
Mittel gleich hell leuchten.
=
P U=
I
P(t )=
≈
Beispiel:
Das Stromnetz liefert eine effektive
Spannung von Ueff = 230 V. Die
Spitzenspannung ist dann:
U (t ) I (t )=
U eff I eff
≈
U 0 = 2 U eff = 2 ⋅ 230 V = 325 V (!)
Über einen Gleichrichter kann daher
ein Kondensator auf über 300 V auf77
geladen werden !
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Allgemeine, zeitlich periodische Span∞
nungsverläufe können immer auf =
sinus- U t
un sin nω t + ϕn
förmige zurückgeführt werden. Ein
n =0
möglicher Verlauf von U(t) sieht so aus: mit Konstanten un und ϕn.
Beliebige periodische Vorgänge
U(t)
können daher immer aus einzelnen
Sinusschwingungen aufgebaut
t
werden.
Daher werden in den folgenden
T
Abschnitten immer nur Spannungsund Stromveräufe der Form
Hierbei sind T die Schwingungsdauer
() ∑
und ω = 2π/T die Kreisfrequenz.
In Abschnitt 2.8.1 hatten wir bereits
gesehen, dass eine periodische Größe
U(t) immer durch eine sog. „Fourierreihe“ ausgedrückt werden kann:
(
)
=
U (t ) U 0 cos (ω t + ϕ )
=
I (t ) I 0 cos (ω t + φ )
betrachtet. Zwei Beispiele für
Fourier-Zerlegungen folgen jetzt.78
PHYSIK B2
U (t )
SS15
SS14
SS13
1. Beispiel: „Dreiecksspannung“
Schwingungsdauer: T = 6.28 s = 2π s
Kreisfrequenz: ω = 2π/T = 1 s-1
79
PHYSIK B2
FourierZerlegung
U1 (t ) =
4
π
SS15
SS14
SS13
sin(t )
1. Beispiel: „Dreiecksspannung“
80
PHYSIK B2
FourierZerlegung
SS15
SS14
SS13
1. Beispiel: „Dreiecksspannung“
4
sin(3t ) 
U 2 (t ) =  sin(t ) −

2
3 
π
81
PHYSIK B2
FourierZerlegung
SS15
SS14
SS13
1. Beispiel: „Dreiecksspannung“
4
sin(3t ) sin(5t ) 
U 3 (t ) =  sin(t ) −
+

2
2
π
3
5 
82
PHYSIK B2
U (t )
SS15
SS14
SS13
2. Beispiel: „Rechteckspannung“
Schwingungsdauer: T = 6.28 s = 2π s
Kreisfrequenz: ω = 2π/T = 1 s-1
83
PHYSIK B2
FourierZerlegung
U1 (t ) =
4
π
SS15
SS14
SS13
sin(t )
2. Beispiel: „Rechteckspannung“
84
PHYSIK B2
FourierZerlegung
SS15
SS14
SS13
2. Beispiel: „Rechteckspannung“
4
sin(3t ) sin(5t ) 
U 3 (t ) =  sin(t ) +
+

π
3
5 
85
PHYSIK B2
FourierZerlegung
SS15
SS14
SS13
2. Beispiel: „Rechteckspannung“
4
sin(3t ) sin(5t ) sin(7t ) sin(9t ) 
U 5 (t ) =  sin(t ) +
+
+
+

π
3
5
7
9 
86
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Entsprechend folgt für Ieff:
Die Effektivwerte von Strom- und
Spannung hängen aber von der From
T
1 2
der Wechselspannung ab. Sie waren
I eff =
I (t ) dt
T 0
über den zeitlichen Mittelwert der
Beispiel:
Leistung ⟨P(t)⟩ definiert worden:
Effektivwert für eine Dreiecksspannung
T
∫
1
P(t ) t = ∫ P(t ) dt
T 0
T
1
=
U (t ) I (t ) dt U eff I eff
∫
T 0
Mit dem Ohm‘schen Gesetz folgt:
t
T
T

− ≤t ≤
 U0 T 4 ,
4
4

U (t ) = 
U  2 − t  , T ≤ t ≤ 3T

 0 
4
T 4 4
T
P (t )
t
2
U eff
1 U 2 (t )
=
dt
∫
T 0 R
R
3T 4
⇒ U eff =
T
⇒ U eff
1
=∫ U 2 (t ) dt
T 0
=
1
2
(t ) dt
U
∫
T −T 4
U0
3
87
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Kirchhoff‘sche Regeln für Wechselspannungen und Wechselströme
In einem früheren Kapitel wurden die beiden Kirchhoff‘schen Regeln als
Grundlagen zur Berechung von elektrischen Netzwerken eingeführt.
Sie gelten auch für Wechselspannungen und Wechselströmen.
(i) Die Knotenregel
Im Fall stationärer Ströme drückt die
Kontenregel das Prinzip der Ladungserhaltung aus. Dieses Prinzip muß
aber für alle Zeitpunkte erfüllt sein.
I2(t)
I1(t)
I3(t)
In jedem Knoten eines elektrischen
Netzwerkes verschwindet daher zu
jedem Zeitpunkt t die Summe aller
N Ströme:
N
IN(t)
Gustav
Robert
Kirchhoff
(1824-1887)
∑ I (t ) = 0
i =1
i
88
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(ii) Die Maschenregel
U2(t)
U1(t)
≈
UN(t)
Bei stationären Strömen verschwindet wegen
der Rotationsfreiheit des elektrostatischen
Feldes in jeder geschlossenen Masche
die Summe aller Spannungen.
In der Elektrodynamik war:
U3(t)
 
U ind
∫ E ⋅ dr =
 
⇒
0
∫ E ⋅ dr − U ind =
Wenn Induktivitäten mit berücksichtigt werden, gilt also auch in
einer Masche zu jedem Zeitpunkt:
N
∑U (t ) = 0
i =1
i
89
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Kondensator im Wechselstromkreis
ergibt sich:
I(t)
≈
C
I (t ) ω CU 0 cos (ω t + π 2 )
=
U(t)
= I 0 cos (ω t + π 2 )
Am Kondensator läuft der Strom der
Spannung um π/2 = 90° voraus.
Der Zusammenhang zwischen der
Spannung und dem Strom ist:
U(t), I(t)
U(t)
dQ
dU (t )
Q = CU ⇒
= I (t ) = C
dt
dt
Da
folgt:
Mit
I(t)
U (t ) = U 0 cos(ω t )
I (t ) = −ω CU 0 sin(ω t )
π

− sin( x) = cos  x + 
2

t
T
0
T/2
90
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 3: RC-Kreis
Spannung
Sinusgenerator
Kondensator
Widerstände
Strom
Beim Kondensator läuft der Strom
der Spannung voraus, weil sich zunächst Ladungen auf den Platten
ansammeln müssen.
91
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Die mittlere Leistung am Kondensator ist ( ω = 2π/T ):
T
P(t )
t
Induktivität im Wechselstromkreis
T
1
1
=
P(t ) dt
U (t ) I (t ) dt
∫
∫
T0
T0
ω CU 02 T
cos(ω t ) sin(ω t ) dt 0
=
∫
T 0


I(t)
≈
U(t)
L
=0
Am Kondensator wird im Mittel also
keine elektrische Leistung aufgenommen! Ein idealer Kondensator wird
im Gegensatz zu einem Ohm‘schen
Widerstand also nicht erwärmt. Diese
zeitabhängige Leistung nennt man
daher auch „Scheinleistung“ oder
„Blindleistung“.
Der Zusammenhang von Strom und
Spannung ist nun (Maschenregel):
dI (t )
=
U (t ) − L
0
dt
dI (t )
⇒ U (t ) =
L
dt
92
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Integration ergibt:
t
t
U0
1
′
′
I (t ) =
U (t ) dt
cos(ω t ′) dt ′
∫
∫
L0
L 0
U0
=
sin(ω t )
ωL
Diesmal ist:
sin(
=
ω t ) cos (ω t − π 2 )
Damit folgt:
I (t )
U0
cos (ωt − π 2 )
ωL
= I 0 cos (ωt − π 2 )
Am der Spule läuft der Strom der
Spannung um π/2 = 90° nach. Es
muß also erst eine Spannung anliegen, damit sich der Strom aufbaut.
U(t), I(t)
U(t)
I(t)
t
T
0
T/2
Wegen der Phasenverschiebung um
π/2 zwischen Strom und Spannung
gilt hier für die mittlere Leistung
wieder:
P(t ) t = 0
Bei einer idealen Spule wirkt also
auch nur die Blindleistung.
93
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 4: RL-Kreis
Spannung
Sinusgenerator
Spule
Widerstände
Strom
Bei der Spule läuft der Strom
der Spannung nach, weil die
Induktionsspannung ihrer
Ursache entgegenwirkt.
94
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Der elektrische Schwingkreis
L
C
R
Wir betrachen eine Reihenschaltung
aus einer Spule, einem Kondensator
und einem Ohm‘schen Widerstand.
Gesucht ist die Zeitabhängigkeit des
Stromflusses I(t) durch diesen
„Schwingkreis“.
Aufgrund der Maschenregel gilt:
I(t)
UC − U L + U R =
0
Q(t )
dI (t )
Einsetzen der jeweiligen Spannungen ergibt:
+L
+ RI (t ) =
0
C
dt
Differenzieren dieser Gleichung führt mit I(t) = dQ/dt auf die DGL:
I (t )
d 2 I (t )
d I (t )
+L
+R
=0
2
C
dt
dt
I (0) = I 0 , I(0) = I0
95
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Umformen dieser DGL ergibt:
In Abschnitt 2.8.5 waren die Vorfakd 2 I (t ) R d I (t ) 1
+
+
I (t ) =
0
toren in der DGL wie folgt definiert:
2
dt
L dt
LC
α
D
2
γ
ω
=
2
=
und
Mit den Definitionen
0
m
m
R
1
2=
γ und
ω02
L
LC
folgt:
Der Widerstand R entspricht also dem
Reibungsfaktor α. Ohne den Widerstand, d.h. für R = 0, ergibt sich eine
ungedämpfte harmonische Schwingung
2
d I (t )
d I (t )
2
für den fließenden Strom, also:
2
I
(
t
)
0
+
γ
+
ω
=
0
2
dt
dt
I0
=
I (t ) I 0 cos(ω0t ) + sin(ω0t )
ω0
Dies ist dieselbe DGL wie beim
gedämpften harmonischen Oszillator.
Daher kann die Lösung direkt aus
Der Vergleich mit dem gedämpften
Abschintt 2.8.5 übertragen werden.
harmonischen Oszillator ergibt:
96
PHYSIK B2
D
SS15
SS14
SS13
d 2 I (t )
d I (t )
2
0
+ 2γ
+ ω0 I (t ) =
2
dt
dt
Vergleich: gedämpfter
harmonischer Oszillator
und Schwingkreis mit
Ohm‘schem Widerstand
C
L
R
−α x
x(t)
I(t)
m
x (t )
m
D
FT
α
−1
⇔
⇔
I (t )
L
⇔
⇔
C
R
97
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das Verhältnis von ω0 und γ bestimmt
daher wieder, welcher spezielle Fall
sich als Lösung für I(t) ergibt. Der
Vergleich mit Abschnitt 2.8.5 ergibt:
(i) Schwingfall:
In diesem Fall ist ω0 > γ . Dann wird
I(t) durch eine gedämpfte Schwingung beschrieben. ω0 > γ bedeutet
für den elektrischen Schwingkreis:
1
R
>
⇒ 2 LC > R C
LC 2 L
Im Schwingfall muß also die doppelte
Periode 2(LC)1/2 des ungedämpften
Kreises größer sein als die Zeitkonstante des RC-Teils.
(ii) Kriechfall:
Dann ist ω0 < γ . Nun ist I(t) eine
abfallende Exponentialfunktion.
ω0 < γ bedeutet:
1
R
<
⇒ 2 LC < R C
LC 2 L
(iii) Aperiodischer Grenzfall:
Es ist ω0 = γ . Dann ist I(t) ebenfalls
eine abfallende Exponentialfunktion.
ω0 = γ bedeutet jetzt für die Parameter
des Schwingkreises:
1
R
= ⇒ 2 LC =
RC
LC 2 L
98
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 5: LCR-Kreis
Der elektrische Schwingkreis für verschiedene
Kombinationen der Werte
für den Widerstand R, die
Induktivität L der Spule
und der Kapazität C des
Kondensators.
Anregungsimpuls
schwache
Dämpfung
C
R
mittlere
Dämpfung
L
„Kriechfall“
99
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Der Schwingkreis kann auch von Außen mit einer Wechselspannung angeregt
werden.
I(t)
≈
C
UE(t)
L
R
UA(t) = RI(t) = ?
Die Maschenregel ergibt jetzt: U C − U L + U R =
UE
Einsetzen der jeweiligen Spannungen liefert:
Q(t )
dI (t )
+L
+ RI (t ) =
U E (t )
C
dt
100
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Differenzieren dieser Gleichung führt wieder mit I(t) = dQ/dt auf
die DGL:
2
I (t )
d I (t )
d I (t ) dU E (t )
+L
+R
=
2
C
dt
dt
dt
R
1
Mit den Definitionen
= 2=
γ und
ω02 folgt wie vorher:
L
LC
d 2 I (t )
d I (t )
1 dU E (t )
2
+ 2γ
+ ω0 I (t=
= f (t )
)
2
dt
dt
L dt
Das ist eine lineare, inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten für die Funktion I(t). Sie kann für eine periodische
Anregung UE(t) und damit auch für eine periodische Funktion f(t)
wie in Abschnitt 2.8.7 ausführlich beschrieben gelöst werden. Die
DGL ist analog zu der DGL des gedämpften harmonischen Oszillators
mit äußerer Anregung.
Dies wird jetzt nicht weiter diskutiert, weil es später in Abschnitt 4.6.8
über sog. „Vierpole“ noch ausführlicher behandelt wird.
101
SS15
SS14
SS13
Komplexe Schreibweise
Es wird jetzt ein Formalismus vorgestellt, mit dem beliebige R,C,L-Netzwerke berechnet werden können.
Dazu wird der Wechselstromwiderstand
iϕ
Z =| Z |e
definiert, der eine komplexe Zahl mit
dem Betrag |Z| und der Phase ϕ ist.
Der Wechselstromwiderstand eines
Stromkreises wird auch als seine
„Impedanz“ bezeichnet.
Für eine Wechselspannung
U (t ) = U 0 cos(ω t )
wird jetzt die komplexe Schreibweise
Im(Z)
induktive Achse
„Blindwiderstand“
PHYSIK B2
Z
|Z|
ϕ
ohmsche Achse
„Wirkwiderstand“
Re(Z)
U (t ) = U 0 ei ω t
eingeführt. Dem Realteil von U(t) entspricht jetzt die ursprüngliche Wechselspannung.
102
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Auch für den Strom schreibt man
I (t ) = I 0 e
iω t
(ii) Kapazität:
Am Kondensator gilt:
dU (t )
I (t ) I=
C
wobei die Amplitude I0 eine komplexe =
0e
dt
Zahl sein kann. Wir berechnen jetzt das
d
Verhältnis der Amplituden Z = U0/I0
U 0 ei ω t
=C
für einen Ohm‘schen Widerstand, eine
dt
Kapazität und eine Induktivität.
iω t
Ci
U
e
ω
=
0
Dieses Verhältnis ist die Impedanz.
iω t
(
(i) Ohm‘scher Widerstand:
iω t
=
U (t ) U=
R I0 e
0e
iω t
U0
⇒ U 0 = R I0 ⇒ Z =
= R
I0
Ein Ohm‘scher Widerstand hat
also eine relle Impedanz, d.h.
|Z| = R und ϕ = 0.
)
Dann folgt für die Impedanz:
U0
1
1
⇒Z = = =
−i
ωC
I 0 iω C
Diese Impedanz ist rein imaginär, mit:
1
| Z |=
ωC
lim | Z | = 0
ω →∞
ϕ= −
π
2
lim| Z | = ∞
ω →0
103
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(iii) Induktivität:
An einer Spule gilt:
dI (t )
U (t ) U=
L
=
0e
dt
d
I 0 ei ω t
=L
dt
= Li ω I 0 ei ω t
iω t
(
)
Mit der Impedanz und dem Ohm‘schen
Gesetz kann rückwärts wieder der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung
berechnet werden.
Beispiel:
Strom und Spannung am Kondensator
1
1 i ( −π 2)
Es war:
=
ZC
=
e
iω C ω C
Mit dem Ohm‘schen Gesetz folgt:
Dann folgt für die Impedanz:
iω t
=
=
U
(
t
)
Re
U
e
U 0 cos(ω t )
0
U
⇒Z=
0
I0
= iω L
(
)
U0
U0
⇒ I0 =
= U 0ω C eiπ
ZC =
I0
ZC
2
Diese Impedanz ist wieder rein
imaginär, mit:
iω t
iπ 2 i ω t
=
=
ω
I
t
I
e
U
C
e
e
(
)
Re
Re
0
0
π
| Z |= ω L
ϕ= +
(
(
)
(
)
)
=
C ei (ω t +π 2) U 0ω C cos(ω t + π 2)
Re U 0ω=
2
lim | Z | =
lim| Z | =
0 ⇒ Strom eilt Spannung um π/2 voraus.104
∞
ω →∞
ω →0
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Zusammenfassung der Werte für die Impedanzen eines Ohm‘schen
Widerstandes, einer Induktivität und einer Kapazität.
ϕ
|Z |
1
| ZC | =
ωC
| ZL | = ωL
| ZR | = R
+
π
2
0
ω
π
−
2
ϕL
ϕR
ω
ϕC
105
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Dieses Vorgehen läßt sich jetzt auf
beliebige RCL-Kreise übertragen.
Dies soll anhand von zwei Beispielen
verdeutlicht werden.
Beispiel 1: Serienschaltung aus einem
Ohm‘schen Widerstand und einer
Induktivität:
L
≈
U(t)
I(t)
Die Gesamtimpedanz ZRL ergibt sich
durch Addition der Einzelimpedanzen
wie bei der Serienschaltung von
Ohm‘schen Widerständen.
Also folgt:
Z RL =Z R + Z L =R + iω L
Z=
RL
R 2 + ω 2 L2
 Im( Z RL ) 
 ωL 
=
ϕ RL arctan
=

 arctan 

Re(
)
Z
R


RL 

R
Der Zusammenhang zwischen Strom
und Spannung ist dann:
I (t ) = I 0 cos(ω t )
⇒
=
U (t ) Z RL I 0 cos(ω t + ϕ RL )
106
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Frequenzgang eines RL-Kreises
Z RL
ω → 0 ⇒ Z RL → R
R
π
2
ω → ∞ ⇒ Z RL → ω L = Z L
ϕRL
ω
ω → 0 ⇒ ϕ RL → 0
ω → ∞ ⇒ ϕ RL → π 2 =ϕ L
ω
107
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
1
1
1
1
1
1
Beispiel 2: Parallelschaltung aus
= +
= +
= + iω C
einem Ohm‘schen Widerstand und
Z RC Z R Z C R 1 iω C R
einer Kapazität:
R
1
Z RC =
=
1 R + iω C 1 + iω RC
I(t)
≈
U(t)
C
R
Z RC
R (1 − iω RC )
=
1 + (ω RC ) 2
R
=
1 + ω 2 R2 C 2
−ω R 2C
= −ω RC
tan(ϕ RC ) =
R
Die Gesamtimpedanz ZRC ergibt
sich durch Addition der Kehrwerte
der Einzelimpedanzen wie bei der
Parallelschaltung von Ohm‘schen
Widerständen. Es folgt:
Der Zusammenhang zwischen Strom
und Spannung ist dann:
I (t ) = I 0 cos(ω t )
=
⇒ U (t ) Z RC I 0 cos(ω t + ϕ RC )
108
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Frequenzgang eines RC-Kreises
Z RC
ω → 0 ⇒ Z RC → R
R
ω → ∞ ⇒ Z RC → 0
ϕRC
ω
ω
ω → 0 ⇒ ϕ RC → 0
ω → ∞ ⇒ ϕ RC → − π 2
−
π
2
109
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Berechnung von Vierpolen
Jetzt sollen allgemein sog. „Vierpole aus passiven Bauelementen“ betrachtet
werden. In einen Vierpol wird eine Eingangsspannung UE(t) und ein Strom
I(t) eingespeist. Am Ausgang kann die Spannung UA(t) abgegriffen werden.
Sie hängt von der Frequenz der Eingangsspannung ab.
I(t)
UE(t)
≈
R
V(ωC)
UA= V(ω)UE
Der (komplexe!) Frequenzgang des Vierpols V(ω) ist definiert durch:
UA
V(ω ) =
UE
Der Frequenzgang gibt also das Übertragungsverhältnis der Spannungen an.
110
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(i) RC-Tiefpass:
I(t)
UE(t)
R
≈
C
UA(t) = ?
IA(t) = 0
(unbelastet)
Berechnung des Frequenzganges:
U E (t ) = U E e
iω t
U A (t ) = U A e
I (t ) = I e
iω t
iω t
U E ,U A ,
I∈ 
Dann ist
UE
UE
=I =
Z RC R + 1 iω C
und:
UE
1
=
U
Z=
A
CI
iω C R + 1 iω C
111
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Somit ergibt sich für den (komplexen) Frequenzgang:
UA
1
1
1
V(ω ) = =
⇒ V(ω ) =
U E iω C R + 1 iω C
1 + iω RC
Der Frequenzgang kann wieder nach Betrag und Phase aufgeteilt werden:
V(ω ) = V(ω ) eiϕ (ω )
Für den RC-Tiefpas ergibt sich jetzt:
V(
=
ω)
1
1+ ω R C
2
2
2
=
ϕ (ω ) arctan(−ω RC )
(i)
ω << ( RC ) −1 ⇒ V(ω ) ≈ 1
ϕ (ω ) ≈ 0
(ii)
ω >> ( RC ) −1 ⇒ V(ω )  1 (ω RC ) → 0 ϕ (ω ) ≈ − π 2
⇒ Tiefe Frequenzen werden ungehindert übertragen, hohe Frequenzen
werden stark gedämpft ⇒ Tiefpass !
112
PHYSIK B2
V(ω )
SS15
SS14
SS13
Frequenz- und Phasengang
eines RC-Tiefpasses
1
1
RC
1
∝
ωRC
ω
π
−
2
ϕ (ω )
113
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(ii) RC-Hochpass:
I(t)
C
UE(t)
≈
R
UA(t) = ?
IA(t) = 0
(unbelastet)
UE
UE
Es ist wieder:=
I =
Z RC R + 1 iω C
UE
iω RC
Diesmal ist aber: U
=
=
Z=
R
UE
RI
A
R + 1 iω C 1 + iω RC
114
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Somit ergibt sich für den (komplexen) Frequenzgang:
UA
ω 2 R 2C 2 + iω R C
iω R C
ω) =
=
V(=
U E 1 + iω R C
1 +ω 2 R 2C 2
Der Frequenzgang kann wieder nach Betrag und Phase aufgeteilt werden:
V(ω ) = V(ω ) eiϕ (ω )
Für den RC-Hochpass ergibt sich jetzt:
V(ω )
ω RC
 1 
ϕ (ω ) arctan 
=

2 2 2
1+ ω R C
 ω RC 
(i)
ω << ( RC ) −1 ⇒ V(ω )  ω RC → 0
ϕ (ω ) ≈ π 2
(ii)
ω >> ( RC ) −1 ⇒ V(ω ) ≈ 1
ϕ (ω ) ≈ 0
⇒ Tiefe Frequenzen werden stark gedämpft, hohe Frequenzen werden
ungehindert übertragen ⇒ Hochpass !
115
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
V(ω )
Frequenz- und Phasengang
eines Hochpasses
1
ωRC
1
RC
ϕ(ω )
ω
π
2
ω
116
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 6: RC-Hoch- und Tiefpass
Wobbelgenerator
Hochpaß
ω
Tiefpaß
Widerstand R
Kondensator C
ω
117
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(iii) RL-Tiefpass:
UE(t)
I(t)
L
≈
R
UA(t) = ?
L
UA(t) = ?
(iv) RL-Hochpass:
I(t)
UE(t)
≈
R
118
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(v) RCL-Schwingkreis mit äußerer Anregung: Bandpass
Nun soll der
elektrische
Schwingkreis
mit äußerer
Anregung
als Vierpol
behandelt
werden.
I(t)
C
≈
L
UE(t)
R
UA(t) = ?
IA(t) = 0
(unbelastet)
UE
UE
Es ist wieder:=
I =
Z RCL R + iω L + 1 iω C
Diesmal ist aber: U
Z=
=
A
RI
R
UE
R + iω L + 1 iω C
119
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Somit ergibt sich für den (komplexen) Frequenzgang
UA
R
V(=
ω) =
=
U E R + iω L + 1 iω C
und weiter:
V(ω )
R
=
2

1 
2
R + ω L −

ωC 

R

1 
R + i ω L −

ωC 

R
1
2
ω0
=
LC
2 2


ω0
2
2 2
R + ω L 1 − 2 
 ω 
2



ω
L
ω
1


0
ϕ (ω ) = arctan  − (ω L − 1 ω C )  = arctan  −
1 − 2  
 R

 R  ω 
(i)
ω → 0 ⇒ V(ω )  ω RC → 0
ϕ (ω ) → + π 2
(ii)
ω → ∞ ⇒ V(ω )  R ω L → 0
ϕ (ω ) → − π 2
(iii)
ω=
ω0 ⇒ V(ω0 ) =
1
ϕ (ω0 ) → 0
120
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
| V(ω ) |
Resonanz!
Betrag und
Phase der
Übertragungsfunktion eines
RCL-Vierpols
1
R
∝
ωL
∝ ω RC
0
ϕ (ω )
+
π
2
ω=
1
= ω0
LC
ω
ω
−
π
2
Ein bestimmtes
Frequenzintervall
um die Resonanzfrequenz ω0 wird
ungehindet übertragen, tiefe und
hohe Frequenzen
werden gedämpft
⇒ Bandpass !
121
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 7: Elektrischer
Schwingkreis mit äußerer
Anregung
Es ist als Ausgangsspannung UA = UC
anstelle von UA = UR
gezeigt (Phasenshift).
EingangsAusgangsspannung UE spannung UA
Sinusgenerator
C
UE
ω<ω0
R
UA
ω=ω0
L
UE
UA
ω>ω0
Resonanz
122
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Resonanzfrequenzen:
1
ω =
LC0
(vi) Kapazitiv gekoppelte Schwingkreise
L
2
−
L
C0
1
2
=
+
ω
LC0 LC1
2
+
C1
C0
I(t)
Mechanisches
Analogon
I1(t)
I2(t)
m⇔L
m⇔L
1
D0 ⇔
C0
1
D1 ⇔
C1
1
D0 ⇔
C0
123
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 8: Gekoppelte Schwingkreise
Generator
Oszillograph
nur ein
Kreis
2 Kreise
gekoppelt
1. Schwingkreis
2. Schwingkreis
124
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
(vii) Induktiv gekoppelte Schwingkreise
L1
C
L2
L12
L21
C
Die beiden Schwingkreise sind über die Induktivitäten L12 und L21 miteinander gekoppelt. Die Magnetfelder der beiden Induktivitäten müssen sich
dafür gegenseitig durchsetzen ( ⇒ Transformator, Abschnitt 4.6.10)
125
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Elektrische Leistungsaufnahme bei Vierpolen
An einen Vierpol wird
eine Spannung U(t)
I(t)
U(t)
angelegt. Für den fließenden Strom I(t) gilt
dann:
U (t ) = U 0 cos (ωt )
I (t )
U0
Z Vierpol
cos (ωt − ϕ )
I 0 cos (ωt − ϕ )
Für die aufgenommene Leistung
P(t) ergibt sich:
R
V(ω)
C
ZVierpol
≈
UA
Entscheidend ist wieder der zeitliche
Mittelwert der Leistung:
T
1
P(t ) t = ∫ P(t ) dt
T 0
T
U 0 I0
P (t ) = U (t )=
I (t )
cos (ωt ) cos (ωt − ϕ ) dt
T 0
U 0 I 0 cos (ωt ) cos (ωt − ϕ )
∫
126
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Wegen cos(
=
x − ϕ ) cos( x) cos(ϕ ) + sin( x) sin(ϕ ) folgt:


T
T

U 0 I 0 
2

+
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
cos
cos
cos
sin
sin
P(t ) t
t
dt
t
t
dt
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫0
T  ∫0

 


 
=0
(T 2 ) cos(ϕ )


U 0 I0
⇒ P(t ) t =
cos (ϕ )
2
U0
Mit
2
I0
und
U=
I eff ergibt sich für die gemittelte Leistung:
eff
2
P(t ) t = U eff I eff cos(ϕ )
Die Wirkleistung hängt also vom Winkel ϕ der Phasenverschiebung zwischen
der Spannung und dem Strom ab.
127
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Um an einen realen
Verbraucher R die maximale Leistung abzugeben
(z.B. bei einer elektrischen
Heizung), muß eine sog.
Leistungsanpassung stattfinden.
I(t)
Rin
≈
Jede Spannungsquelle hat einen
Innenwiderstand Rin. Es fließt
ein Strom:
UE
I=
Rin + R
Für die aufgenommene Leistung
gilt dann:
R
=
P RI
= U
(Rin + R ) 2
2
2
E
R
P(t) = ?
UE(t)
Die maximale Leistung ergibt sich wenn:
dP
=0 ⇒ R = Rin
dR
Die Leistungsaufnahme ist optimal, wenn
der Widerstand des Verbrauchers dem
Innenwiderstand der Spannungsquelle
entspricht.
128
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Im Fall von komplexen
Widerständen muß die
Wirkleistung maximiert
werden. Wegen
P(t ) t = U eff I eff cos(ϕ )
I(t)
UE(t)
≈
bedeutet dies, dass für
den gesamten Vierpol
ϕ = 0 anzustreben ist.
Wir betrachten das einfache Beispiel
eines RC-Kreises. Die Impedanz ist:
1
Z =+
R
=−
R i (ω C ) −1 =−
R i XC
iω C
Der Imaginärteil müßte verschwinden.
Dies kann durch Hinzuschalten einer
Induktivität mit der Impedanz iωL = iXL
erreicht werden, wobei XL = XC sein
sollte: Z = R – iXC + iXL= R
L
C
„Blindleistungskompensation“
Im(Z)
R
R
Re(Z)
ϕ
+iXL
Z = R–iXC
129
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Der Transformator
Ein Transformator besteht aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N1 und
N2, die auf ein Eisenjoch gewickelt sind. Er dient dazu, Spannungen und
Ströme zu Verstärken.
A=const.
I1
U1
N1
N2
U2
Primärspule
R
I2
B(t)
Sekundärspule
130
SS15
SS14
SS13
PHYSIKeines
B2 Transformators
Aufbau
 
B≈0
Φ mag

B(t )
 
=B ⋅ A
 
B≈0

B(t )
131
PHYSIK B2
Primärspule
I1
U1
SS15
SS14
SS13
A=const.
Sekundärspule
N1
N2
B(t)
I2
Eisenjoch
U2
R
Die Funktionsweise des Transformators kann
qualitativ durch die folgenden drei Prozesse
beschrieben werden:
1. Die Primärspule
Wird eine zeitlich variable Spannung U1(t)
an die Primärspule gelegt, fließt ein Strom
I1(t). Dieser erzeugt das Magnetfeld B(t)
nach dem Ampère‘chen-Gesetz
(4. Maxwell‘sche Gleichung):
  
 
∇ × B ( r , t ) = µ r µ0 j ( r , t )
2. Das Eisenjoch
Magnetische Feldlinien bevorzugen Bereiche, in denen
µr sehr groß ist, d.h. Bereiche
in ferromagnetischen Materialien (Fe, Co, Ni). Der Grund
dafür ist die im Feld gespeicherte Energie (Abschnitt 4.7.6).
3. Die Sekundärspule
Das zeitlich veränderliche
Magnetfeld im Eisenjoch
induziert in der Sekundärspule
die Spannung U2(t) nach der
3. Maxwell‘schen Gleichung:
132
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13

 

∂B
∇× E = −
⇒ E ⇒ U 2 (t )
∂t
Bei der folgenden quantitativen
Berechnung wird der „ideale
Transformator“ angenommen, d.h.:
Wirbelstrom IWirb(t)
B (t )
(i) Es gibt keine Streuverluste des magnetischen Flusses. Das Magnetfeld B(t)
ist im Eisenjoch überall gleich groß und
im Außenraum vernachlässigbar.
(ii) Es gibt weder Ohm‘sche Verluste
noch Streukapazitäten in den Leitungen.
(iii) Es gibt keine Wirbelströme im
Eisenjoch.
Wirbelstromverluste können durch
Lamellen minimiert werden.
Lamellen
Isolation
133
PHYSIK B2
Primärspule
I1
U1
SS15
SS14
SS13
A=const.
Sekundärspule
N1
N2
B(t)
I2
U2
R
Eisenjoch
Eine geschlossene Feldlinie der Länge l
im Eisenjoch umschließt die Ströme durch
beide Spulen. Das Ampère‘che-Gesetz
ergibt dann:
∫
 
B ⋅ dr = Bl = µr µ0 ( N1 I1 + N 2 I 2 )
 Eisenkern
=
⇒ B
µ r µ0
l
( N1I1 + N 2 I 2 )
Beim idealen Transformator ist
der magnetische Fluß durch die
Primär- und Sekundärspule
gleich groß:
Φ Primär =
ΦSekundär =
Φ
⇒ Φ (t ) =
B(t ) A
Primärseite:
U1 (t ) + U ind (t ) =
0
 (t )
U (t ) =
−U (t ) =
NΦ
1
ind
1
⇒ U1 (t ) =
N1 AB (t )
134
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Einsetzen des Ausdruckes für
B(t) ergibt (Ableitungen nach
der Zeit werden ab jetzt mit
Punkten gekennzeichnet):
U1
N1 A
µ r µ0
l
( N I + N I )
1 1
2 2
Auflösen der Klammer führt auf:
Primärspule
I1
U1
A=const.
Sekundärspule
N1
N2
B(t)
U2
I2
Eisenjoch
R
N12 A 
N1 N 2 A 
µ r µ0
U1 =
I1 + µr µ0
I2 =
L11 I1 + L12 I2
l
l



L11 − Selbstinduktivität
der Primärspule
L12 − Gegeninduktivität
Sekundärseite: Auf der Sekundärseite wird die Spannung U2 induziert.
µ r µ0


U2 =
− N 2 Φ (t ) =
− N 2 AB (t ) =
− N2 A
N1 I1 + N 2 I2 )
(
l
135
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Auflösen der Klammer führt wieder auf:
N 2 N1 A 
N 22 A 
− µ r µ0
− L21 I1 − L22 I2
U2 =
I1 − µr µ0
I2 =
l
l



L21 − Gegeninduktivität
L22 − Selbstinduktivität
der Sekundärspule
Zusammengefaßt ergeben sich die sog. „Transformatorgleichungen“:
U1 (t ) =
+ L11 I1 (t ) + L12 I2 (t )
U (t ) =
− L I (t ) − L I (t )
2
21 1
22 2
N j Nk A
mit L jk µ=
( j , k 1, 2)
=
r µ0
l
Die beiden Gegeninduktivitäten sind beim idealen Transformator gleich groß:
N1 N 2 A
N 2 N1 A
=
µ=
L12 µ=
L21
r µ0
r µ0
l
l
136
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Primärspule
I1
Wir verwenden jetzt wieder die
komplexe Schreibweise für die
Ströme und Spannungen:
iω t
U1 (t ) U=
U 2 (t ) U 2 e
1e
I1 (t )
mit
iω t
I=
I 2 (t ) I 2 e
1e
iω t
U1 , U 2 , I1 , I 2 ∈ 
iω L11 I1 + iω L12 I 2
U2 =
−iω L21 I1 − iω L22 I 2
Sekundärspule
N1
N2
iω t
Einsetzen in die Transformatorgleichungen ergibt:
U1
U1
A=const.
B(t)
U2
I2
Eisenjoch
Einsetzen in die zweite Gleichung und
Auflösen nach I2 ergibt:
R
iω L21
I2 = −
I1
R + iω L22
Dieses Resultat kann jetzt in die erste
Auf der Sekundärseite gilt wegen Transformatorgleichung eingsetzt werden:
des Ohm‘schen Gesetzes:


U 2 = RI 2
−iω L21
U1 iω  L11 I1 + L12
I1 
=
R + iω L22 

137
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
iω I1
=
⇒ U1
( L11R + iω L22 L11 − iω L21L12 )
R + iω L22
Beim idealen Transformator ist: L11L22–L12L21 = 0
Also folgt
iω L R
⇒=
U1
=
I1 Z Primär I1
R + iω L22
11
mit der Impedanz der Primärseite:
Primärspule
I1
U1
A=const.
N1
Sekundärspule Einsetzen des Ausdruckes für
I2 in das Ohm‘sche Gesetz liefert
auf der Sekundärseite:
N2
B(t)
I2
Eisenjoch
Z Primär
iω L11 R
=
R + iω L22
iω L21
U 2 = RI 2 = − R
I1
R + iω L22
U2
R
138
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Damit ergibt sich für das Verhältnis der Sekundärspannung
zu der Primärspannung:
iω L21
I1
−R
U2
R + iω L22
L21
=
= −
iω L11 R
U1
L11
I1
R + iω L22
Primärspule
I1
U1
A=const.
Sekundärspule
N1
N2
B(t)
I2
Eisenjoch
U2
R
Die Induktivitäten waren definiert durch:
L21
N 2 N1 A
N12 A
µ=
L11 µr µ0
r µ0
l
l
Damit transformieren sich die Spannungen wie folgt:
U2
N2
= −
U1
N1
⇒ Die Spannungen transformieren sich also im Verhältnis der Windungszahlen. Das negative Vorzeichen
bedeutet, dass die Primär- und Sekundärspannung
um π = 180° phasenverschoben sind.
139
SS15
SS14
SS13
PHYSIK 9:
B2Erzeugung
Versuch
von Hochspannungen durch Transformation
Lichtbogen
Primärspule mit
wenigen Windungen
Sekundärspule mit
vielen Windungen
140
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das Verhältnis der Ströme auf
der Primär- und Sekundärseite
läßt sich sofort mit der Gleichung
iω L21
I2 = −
I1
R + iω L22
angeben.
Es ergibt sich:
Primärspule
I1
U1
A=const.
Sekundärspule
N1
N2
B(t)
I2
Eisenjoch
U2
R
I2
iω L21
L21
1
=
−
=
−
I1
R + iω L22
L22 1 + R (iω L22 )
Für große Frequenzen ωL22 >> R gilt nun also (kein „Leerlaufstrom“):
I2
L21
N1
=
−
=
−
I1
L22
N2
⇒ Die Ströme transformieren sich daher im
ungekehrten Verhältnis der Windungszahlen.
Das negative Vorzeichen bedeutet, wieder
dass der Primär- und Sekundärstrom um
141
π = 180° phasenverschoben sind.
SS15
SS14
SS13
PHYSIK 10:
B2 Erzeugung
Versuch
hoher
Ströme durch Transformation
Nagel als ohmscher
Widerstand
Sekundärspule
mit wenigen
Windungen
Primärspule mit
vielen Windungen
142
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Das Verhältnis der Widerstände
auf der Primär- und Sekundärseite
ist:
R
Z Primär
R
=
iω L11 R
R + iω L22
Also ergibt sich:
R
Z Primär
Primärspule
I1
U1
A=const.
Sekundärspule
N1
N2
B(t)
I2
Eisenjoch
U2
R
R + iω L22 L22
N 22
R
R
=
= +
=2 +
iω L11
L11 iω L11 N1 iω L11
Für große Frequenzen
ωL11 >> R gilt dann:
R
Z Primär
N 22
= 2
N1
Beispiel: Ein Lautsprecher mit einem Widerstand von R2 = 4Ω soll mit einem hochohmigen Verstärker mit R1 = 2500Ω betrieben
werden. Das bedeutet für das Verhältnis der
Windungzahlen:
R2
N 22
N2
4Ω
2
1
=
= 2⇒
= =
R1 2500Ω N1
N1 50 25 143
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Für die Leistung auf der Primärund Sekundärseite gilt:
Primärspule
I1
PPrimär = U1 I1
U1
PSek
Sekundärspule
N1
= U2 I2
N2
Einsetzen der bisherigen Resultate
ergibt:
PSek
A=const.
B(t)
U2
I2
Eisenjoch
R
2
21
L21
L21
L
1
1
U1
I1
PPrimär
=
L11
L22 1 + R (iω L22 )
L11 L22 1 + R (iω L22 )
Beim jedem Transformator ist L11L22 ≥ (L21)2 und ferner gilt für alle x ∈  :
1
≤1
1+ i x
Also folgt:
PSek ≤ PPrimär
(realer Trafo: PSek
PPrimär ≈ 90% − 95%)
Beim idealen Transformator ist L11L22=(L12)2 und im Fall
ωL22 >> R folgt:
P =P
Sek
Primär
144
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Ersatzschaltbild eines realen Transformators
145
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Frequenzgang eines
realen Transformators
Verlauf der Ausgangsspannung
& der Phase als Funktion der
Frequenz („Bode-Diagramm“)
146
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Versuch 11: Der Tesla-Transformator
Mit dem Tesla-Transformator können extrem
hohe Spannungen erzeugt werden.
Prinzip des Tesla-Transformators
Funkenstrecke
Nicola Tesla
(1856-1943)
Schwingkreis
TeslaTrafo
Netztrafo
147
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Einzelkomponenten des Tesla-Transformators
Funkenstrecke
Kondensator
Induktivität
Netztrafo
148
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Koronabildung
TeslaTransformator
Gasentladungsröhre
149
PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
150