Kein Folientitel - Experimentelle Physik 2, TU Dortmund

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PHYSIK B2
SS15
SS14
SS13
Inhalt der Vorlesung B2
3. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
Einleitung
Ladungen & Elektrostatische Felder
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik
Wechselstromnetzwerke
Die Maxwell‘schen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen & Strahlung
Relativität der Felder
4. Optik
Licht als elektromagnetische Welle
Geometrische Optik
Optische Abbildungen
Wellenoptik
1
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Leiter und Nichtleiter
In Leitern sind die Ladungsträger
(Elektronen) frei beweglich, während
sie in einem Isolator an festen Orten
sitzen.
Um dies zu verstehen, müssen wir
vom atomaren Aufbau der Materie
ausgehen. Sie werden später noch
sehen, dass Elektronen nur bestimmte
„Energieniveaus“ im Atom besetzen
können ( ⇒ Quantentheorie ). Für die
Besetzung dieser Energiezustände
Wegen des Spins („Drehimpuls“) des
gelten bestimmte Regeln, etwa:
Elektrons kann jedes Energieniveau
Pauli‘sches Ausschließungsprinzip: dann zweifach besetzt werden. Die
Elektronen bilden für Leiter einen
Jeder Zustand kann von höchstens einem Elektron belegt werden. „See“ frei beweglicher Ladungen.
Dies soll nun erklärt werden.
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Der (schematische) Aufbau eines Atoms
Ek
Ej
Pauli-Prinzip
Ei
Spektrallinien
3
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Einzelatom
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1 Atom ⇒ 2 Atome
E
1 Niveau
Zweiatomiges Molekül
E
2 Niveaus
(aufgespalten)
4
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2 Atome ⇒ „Viele“ Atome
Zweiatomiges Molekül
E
2 Niveaus
(aufgespalten)
Viele Atome: Festkörper
E
N > 1020
N Niveaus
⇒ „Band“
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Das Bändermodell eines Festkörpers
Im Festkörper liegen die Energieniveus so dicht, dass sie quasi
kontinuierliche „Energiebänder“
bilden.
Notation im Bändermodell:
E
Innerhalb eines solchen „Bandes“
können die Elektronen sich frei
bewegen, sofern es noch „freie
Plätze“ gibt, d.h. sofern noch
nicht alle Zustände belegt sind.
Leitungsband
nächstes
leeres
Band
Die Frage, wieviel Energie aufzuwenden ist, um solche „freien
Plätze“ einzunehmen, entscheidet
darüber, ob ein Material ein Leiter,
ein Halbleiter oder ein Isolator ist.
Valenzband
letztes
komplett
gefülltes
Band
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(i) Bändermodell: Isolator
Beim Isolator ist zwischen dem gefüllten Leitungsband und dem Valenzband ein relativ großer Energieabstand
E
Leitungsband
∆E
e-
∆E >> k B T
Die Elektronen können nicht durch
thermische Anregung (E ~ kBT) in das
Leitungsband gelangen. Hier gibt es
also keine frei beweglichen Ladungen.
>> kBT
Im voll besetzten Valenzband können
sich Elektronen nur in eine Richtung
bewegen, wenn gleichzeitig genauso
e
gefüllt viele in die Gegenrichtung strömen.
Im statistischen Mittel gibt es also
keine Ladungsbewegung. Die Ladungen sind im Mittel an ihren Ort
z.B. Diamant
gebunden.
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leer
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(ii) Bändermodell: Halbleiter
Wenn das Valenz- und das Leitungsband dicht beieinander liegen,
wenn also
E
Leitungsband
∆E
∆E ≈ k B T
gilt, dann gelangen Elektronen
leer
durch thermische Anregung leicht
in das freie Leitungsband. Sie sind
da beweglich, weil es freie Energiee
zustände gibt, die sie dort einneh≈ kBT
gefüllt men können
Valenzband
Bei einem solchen Material nimmt
die elektrische Leitfähigkeit mit der
Temperatur zu (bei Metallen und
Isolatoren nimmt die Leitfähigkeit
thermische Leitfähigkeit:
mit steigender Temperatur ab!).
z.B. α−Zinn, Si, Ge
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(iii) Bändermodell: Leiter II
Wenn das Valenz- und das
Leitungsband überlappen, dann
können Elektronen ohne großen
Energieaufwand in das Leitungsband gelangen und sich dort frei
bewegen.
E
∆E = 0, Bänder überlappen
Leitungsband
eValenzband
leer
gefüllt
Halbmetalle
z.B. Antimon
Dadurch wird eine gewisse Leitfähigkeit gewährleistet. Je nach
Größe des Überlapps ist die elektrische Leitfähigkeit relativ gut
oder schlecht. Solche Substanzen
heißen „Halbmetalle“, weil die
Leitfähigkeit zwar „gut“, aber
noch nicht „sehr gut“ ist.
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(iv) Bändermodell: Leiter III
E
e-
aüßerstes
Band
unvollständig
gefüllt
Metalle
z.B. Natrium, Gold
Bei Metallen ist das äußerste
Band nur halb gefüllt. Dann
gibt es genügend freie Zustände,
die quasi ohne Energieaufwand
durch Anlegen einer kleinen
Potentialdifferenz (Spannung)
erreicht werden können.
In Metallen können sich die Elektronen (fast) völlig frei bewegen,
was auch mit dem genauen
atomaren Aufbau zusammenhängt.
Die Leitfähigkeit von Metallen
nimmt in der Regel mit steigender
Temperatur ab.
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In Metallen
können sich
die Elektronen
(blaue Punkte)
quasi frei
durch das
Gitter aus
den Metallionenrümpfen
bewegen.
Man spricht
von einem
„Elektronensee“ oder
„Elektronengas“.
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(v) Bändermodell: Halbleiter I
p-Dotierung
E
Leitungsband
leeres
Akzeptorniveau
∆E ≈ kBT
eValenzband
leer
Reine „Halbleiter“ wie etwa
Silizium oder Germanium sind
im Prinzip Isolatoren. Durch
das gezielte Einbringen von
geeigneten Fremdatomen
(„Dotierung“) werden zusätzliche Energieniveaus sehr
nahe an den Bändern erzeugt.
e+
„Löcher“
Bor dotiertes
p-Silizium
gefüllt
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(vi) Bändermodell: Halbleiter II
n-Dotierung
E
Leitungsband
∆E ≈ kBT
e-
Valenzband
leer
gefülltes
Donatorniveau
gefüllt
Phosphor dotiertes
n-Silizium
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Inhalt der Vorlesung B1
4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
Einleitung
Ladungen & Elektrostatische Felder
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik
Wechselstromnetzwerke
Die Maxwell‘schen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen & Strahlung
Relativität der Felder
5. Optik
Licht als elektromagnetische Welle
Geometrische Optik
Optische Abbildungen
Wellenoptik
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Magnetostatik
Magnetische Kraftwirkung
Von elektrisch ungeladenem Eisen
kann trotzdem eine Kraft auf ein
anderes Stück Eisen ausgeübt werden.
Versuch 1: Eisenmagnet und
Kompaßnadel
Kompaßnadel
Magnetstab
Kompaßnadel
Eisenmagnet

F
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Von dem Eisen geht ein „Magnetfeld“
aus, in dem sich die Kompaßnadel
ausrichtet. Je nach Ausrichtung des
Magneten wirkt die Kraft anziehend
oder abstoßend.
Abstoßung

F1

F2
Anziehung

F1

F2
Es gibt also 2 Pole, die mit
Nordpol und Südpol
bezeichnet werden.
Magnetpole lassen sich nicht trennen. Zerbricht man einen Stabmagneten, dann ergeben sich zwei
kürzere Magnete mit beiden Polen.16
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Teilung eines
Stabmagneten:
Dipol
Feldlinien
eines magnetischen
Dipols
Im Gegensatz zu elektrischen Ladungen, die einzeln erzeugt werden
können, sind einzelne Magnetpole
(sog. „magnetische Monopole“)
bisher nicht beobachtet worden.
Daher kann das Magnetfeld auch
nicht über die Kraftwirkung von
Magnetpolen definiert werden.
Feldlinien
in der
Nähe
eines
Pols.
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Versuch 2: Feldlinien eines stromdurchflossenen Leiters
Hans Christian Ørsted entdeckt
1820 den Zusammenhang zwischen
Strom und Magnetfeld:
Leiter
Plexiglasscheibe
Eisenfeilspäne
Nach Einschalten des Stromes orientieren sich die Eisenfeilspäne kreisförmig um den Leiter.
Hans Christian Ørsted
18
(1777-1851)
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Ein Ausmessen des Magnetfeldes
mit einer Kompaßnadel ergibt, dass
ein stromdurchflossener Leiter von
einem kreisförmigen Magnetfeld
umgeben ist.

j
Strom
I
Magnetfeld B
Im Gegensatz zum elektrostatischen
Feld gibt es geschlossene Magnetfeldlinien. Die Feldlinien geben wieder
die Kraftwirkung (Richtung und Stärke)
des Magnetfeldes an.
Leiter

B
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Die Richtung der Magnetfeldlinien
kann einfach mit der rechten Hand
demonstriert werden.

j

B
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Die 2. Maxwell‘sche Gleichung
Da es keine magnetischen Monopole
gibt, sind die Feldlinien immer geschlossen. Es gibt keine „Quellen“
der magnetischen Feldlinien:
Der
 magnetische Fluß ΦB eines Feldes
B ist ein Maß für die „Anzahl“ der
Feldlinien, die durch eine Fläche A
treten („Feldliniendichte“).

B

B
A
Wenn die Feldlinien senkrecht auf
der Fläche A stehen, dann ist der
magnetische Fluß durch diese Fläche
definiert durch:
Analog zum elektrischen Fluß wird
der magnetische Fluß ΦB definiert.
Φ=
B

B=
A BA
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
A

B
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
B⊥
α
Für eine beliebig geformte Fläche A
gilt im Fall eines inhomogenen Feldes:
A

dA  
B(r )
Der magnetische Fluß ΦB durch die
Fläche A ist nun:


B⊥=
A B A cos α
Φ
=
B
 
⇒ ΦB = B ⋅ A
A
Alle bisherigen Betrachtungen gelten
Der magnetische Fluß dΦB, der durch
nur, wenn das durch die Fläche A tredie Fläche dA tritt, ist dann:
tende Feld konstant ist. Ist dies nicht
  
der Fall, dann muß der Fluß durch
d Φ=
B (r ) ⋅ dA
B
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Summation bestimmt werden.
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
dA  
B(r )
A
Der gesamte magnetische Fluß ΦB
durch die Fläche A ist dann durch
Integration über alle Einzelflüsse
dΦB durch die Flächen dA gegeben:
Wie im Fall des elektrischen Feldes
soll nun wieder der Fluß durch geschlossene Flächen betrachtet werden.
1.Fall: Magnet außerhalb der
geschlossenen Oberfläche

B

dA
O
  
=
Φ B ∫∫ B(r ) ⋅ dA
A
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Befindet sich der Magnet außerhalb
der geschlossenen Oberfläche, dann
liegen dieselben Verhältnisse vor,
wie beim statischen elektrischen
Feld. Es gilt daher:
Φ=
B
∫∫

B

dA
 
B ⋅ dA
= 0
O
2.Fall: Magnet innerhalb der
geschlossenen Oberfläche
Da die Feldlinien immer geschlossen
sind, fließen aus einem Pol genauso
viele Feldlinien heraus, wie in den
anderen Pol hineinfließen. Daher
gilt auch hier:
Φ=
B
∫∫
O
 
B ⋅ dA
= 0
Für das statische magnetische Feld
gilt also immer der folgende Zusammenhang:
Φ=
B
∫∫
 
B ⋅ dA
= 0
O
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∫∫
 
B ⋅ dA =
0
O
Bemerkungen:
• Dies ist die 2. Maxwell‘sche-Gleichung in integraler Form.
• Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass es keine Quellen
(und Senken) des statischen magnetischen Feldes gibt. Die Feldlinien
sind immer geschlossen.
• Die 2. Maxwell‘sche Gleichung beschreibt den experimentellen Befund,
dass es keine magnetischen Monopole gibt.
• Es ist zu beachten, dass die Gleichung für jede beliebig geformte
Oberfläche O gültig ist !!
• Die obige Gleichung gilt ganz allgemein in der Elektrodynamik.
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Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters
Wir wollen jetzt das Magnetfeld eines Es gilt also
 

geraden Leiters, durch den der Strom
B (r ) = B (r ) eϕ
I fließt, aus Symmetrieüberlegungen
mit dem Einheitsvektor in Polarkoorherleiten.


I | B |= const. dinaten eϕ .
Experimentell findet man für den
Betrag des Magnetfeldes B(r):
I
B(r ) ∝
r
r


B = B (r ) eϕ
Das Feld kann nur vom Abstand r
vom Leiter abhängen. Die Feldlinien
müssen konzentrische Kreise wegen
der 2. Maxwell-Gleichung sein.
Die Proportionalitätskonstante wird
mit µ0/2π bezeichnet. Für das magnetische Feld eines stromdurchflossenen Leiters ergibt sich daher:
 
µ0 I 
B(r ) =
eϕ
2π r
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Bemerkungen:
(1) µ0 ist die magnetische Permeabilität des Vakuums. Sie wird auch als
−7 Vs
magnetische Feldkonstante bezeichnet. Ihr Wert ist: µ=
4π ⋅10
0
Am

Vs
Die Einheit des Magnetfeldes ist damit: =
[ B] 1=
1T (Tesla)
2
m
(2) In Materie muß die Formel für das Magnetfeld eines Leiters
abgeändert werden. Mit der Permeabilität µ des Mediums gilt:
  µ0 µ I 
B(r ) =
eϕ d.h. µ0 muß durch das Produkt µ0 µ ersetzt werden.
2π r
Beispielsweise ist für Eisen µ ≈ 5000.
(3) Der Leiter ist hier als „unendlich ausgedehnt“ angenommen worden.
Deswegen fällt das Feld nur wie 1/r ab und nicht gemäß 1/r2 wie im
Falle von elektrischen Punktladungen.
(4) Es ist zu beachten, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das
Magnetfeld läßt sich daher nicht über die Kraftwirkung auf „magnetische Ladungen“ definieren, sondern nur über Ströme.
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Das Ampère‘sche Gesetz
Das Resultat für das Magnetfeld eines
geraden Leiters, durch den der Strom
I fließt, läßt sich stark verallgemeinern.
I

| B |= const.
r

dr


B = B (r ) eϕ
 
µ0 I 
Das Resultat B (r ) =
eϕ
2π r
läßt sich „rückwärts“ umformen zu:
 

B
(r ) 2π r µ0 I eϕ
=
  
B (r ) ⋅ eϕ 2π r =
µ0 I
  
µ0 I
∫ B(r ) ⋅ dr =

⋅ eϕ
Kreis
Hierbei handelt es sich auf der linken
Seite um ein Wegintegral über das

Vektorfeld B (r ) entlang eines Kreises
mit dem Radius r.
Das geschlossene Wegintegral über

das Magnetfeld B (r ) , welches den
Strom I umfaßt, ergibt also µ0I.
Es stellt sich heraus, dass dieses
Resultat stark verallgemeinert
werden kann.
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Ein Strom I ruft ein Magnetfeld hervor, welches die folgende
Gleichung erfüllt:
 
B
⋅
dr
=
µ
I
0
∫
André Marie
Ampère
(1775-1836)
Bemerkungen:
• Dies ist das sog. Ampère‘sche Gesetz. Hierbei handelt es sich bereits um
den ersten Teil der 4. Maxwell‘schen Gleichung in integraler Form.
• Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme
(statische) magnetische Felder hervorrufen.
• Statische Magnetfelder werden generell durch das Fließen von Strömen
erklärt. Das bedeutet beispielsweise, dass in einem magnetischen Stück
Eisen mikroskopische Ströme fließen müssen.
• Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang
jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve, die den Strom I umschließt,
berechnet werden darf.
• Die obige Gleichung wird in der Elektrodynamik noch vervollständigt.
• Mit dem Ampère‘schen Gesetz können Magnetfelder berechnet werden.
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Beispiel 1: Das magnetsiche Feld einer sehr langen stromdurchflossenen Spule
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Feldlinien
SS15
SS14
SS13

B
l


B = B0 ex

ex
N Windungen
I
Das Magnetfeld im Inneren der
Spule der Länge l soll jetzt mit dem
Ampère‘schen Gesetz und einigen
vereinfachenden Annahmen berechnet werden. Wir betrachten die
folgende Zeichnung:
 
B≈0
Näherungsweise gilt:
  
Innerhalb der Spule: =
B B=
const.
0
 
B≈0
Im Außenraum:
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SS13
Mit dem Ampèschen Gesetz ergibt
sich nun:




∫ B ⋅ dr=
∫

B ⋅ dr +
innerhalb
∫

B ⋅ dr
Feldlinien eines
stromdurchflossenen Torus
außerhalb


 
B ≈0
 
= B0 ⋅ lex + 0 = µ0 N I
Das homogene Magnetfeld im Inneren
einer Spule der Länge l mit N Windungen, durch die ein Strom der Stäke I
fließt, ist damit also:
NI
B = µ0
l
Diese Formel ist für dicht gewickelte
Spulen mit großer Windungszahldichte
N/l sehr genau.
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SS14
SS13
Versuch 4: Magnetfeldstärke in einer Spule
Wird die Hallsonde („Magnetfeldmesser“ ) im Innern der Spule parallel
zur Achse bewegt, dann wird ein nahezu konstantes Feld gemessen.
Erst im Randbereich nimmt es ab.
Lange Spule
Hallsonde
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SS15
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SS13
Versuch 5: Spule mit Eisenkern
Nach dem Einschalten des Stromes wird der Eisenkern in die Spule
hineingezogen.
Eisenkern
Federwaage
Eisenkern
Stromversorgung
Spule
Spule
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Versuch 6: Magnetfeld einer Spule ohne und mit Eisenkern
Ohne Eisenkern
= schwaches Feld
Spule
Hallsonde
Mit Eisenkern
= starkes Feld
Eisenkern
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PHYSIK B2
SS15
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SS13
Eisenkern
Die Formel für das Magnetfeld im
Inneren einer langen Spule war:
Spule
NI
B = µ0
l
Dabei wurde angenommen, dass sich
keine Materie im Inneren befindet. Mit
Materie gilt (µ0 ⇒ µ0µ):
I
Hallsonde
Das an einer Spule mit einer Hallsonde gemessene Magnetfeld ist
erheblich größer, wenn ein Eisenkern in die Spule geschoben wird.
Kerne aus z.B. Kupfer oder Aluminium zeigen keinen größeren
Effekt.
NI
B = µ0 µ
l
Da für Eisen µ ≈ 5000 gilt ergibt sich
die große Verstärkung mit dem Eisenkern.
Dies kann allerdings erst später genauer
verstanden werden ( ⇒ Kapitel 4.7).
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PHYSIK B2
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Hallsonde
Spule
Beispiel eines Experimentiermagneten
zur Erzeugung von Magnetfeldern bis
etwa Bmax ≈ 1 Tesla:
Luftspalt
Eisenjoch
Noch effektiver ist eine Anordnung mit einem geschlossenen
Eisenjoch, in dessen Spalt
Felder bis ca. 1 Tesla erzeugt
werden können. Hier werden
die Feldlinien geschlossen im
Eisen geführt (⇒ Trafo).
Spulen
Eisenjoch 37
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Beispiel 2: Das magnetische Feld der Erde
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