Kein Folientitel - Experimentelle Physik 2, TU Dortmund
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PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung B2 3. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell‘schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung Relativität der Felder 4. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 1 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Leiter und Nichtleiter In Leitern sind die Ladungsträger (Elektronen) frei beweglich, während sie in einem Isolator an festen Orten sitzen. Um dies zu verstehen, müssen wir vom atomaren Aufbau der Materie ausgehen. Sie werden später noch sehen, dass Elektronen nur bestimmte „Energieniveaus“ im Atom besetzen können ( ⇒ Quantentheorie ). Für die Besetzung dieser Energiezustände Wegen des Spins („Drehimpuls“) des gelten bestimmte Regeln, etwa: Elektrons kann jedes Energieniveau Pauli‘sches Ausschließungsprinzip: dann zweifach besetzt werden. Die Elektronen bilden für Leiter einen Jeder Zustand kann von höchstens einem Elektron belegt werden. „See“ frei beweglicher Ladungen. Dies soll nun erklärt werden. 2 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Der (schematische) Aufbau eines Atoms Ek Ej Pauli-Prinzip Ei Spektrallinien 3 PHYSIK B2 Einzelatom SS15 SS14 SS13 1 Atom ⇒ 2 Atome E 1 Niveau Zweiatomiges Molekül E 2 Niveaus (aufgespalten) 4 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 2 Atome ⇒ „Viele“ Atome Zweiatomiges Molekül E 2 Niveaus (aufgespalten) Viele Atome: Festkörper E N > 1020 N Niveaus ⇒ „Band“ 5 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Das Bändermodell eines Festkörpers Im Festkörper liegen die Energieniveus so dicht, dass sie quasi kontinuierliche „Energiebänder“ bilden. Notation im Bändermodell: E Innerhalb eines solchen „Bandes“ können die Elektronen sich frei bewegen, sofern es noch „freie Plätze“ gibt, d.h. sofern noch nicht alle Zustände belegt sind. Leitungsband nächstes leeres Band Die Frage, wieviel Energie aufzuwenden ist, um solche „freien Plätze“ einzunehmen, entscheidet darüber, ob ein Material ein Leiter, ein Halbleiter oder ein Isolator ist. Valenzband letztes komplett gefülltes Band 6 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 (i) Bändermodell: Isolator Beim Isolator ist zwischen dem gefüllten Leitungsband und dem Valenzband ein relativ großer Energieabstand E Leitungsband ∆E e- ∆E >> k B T Die Elektronen können nicht durch thermische Anregung (E ~ kBT) in das Leitungsband gelangen. Hier gibt es also keine frei beweglichen Ladungen. >> kBT Im voll besetzten Valenzband können sich Elektronen nur in eine Richtung bewegen, wenn gleichzeitig genauso e gefüllt viele in die Gegenrichtung strömen. Im statistischen Mittel gibt es also keine Ladungsbewegung. Die Ladungen sind im Mittel an ihren Ort z.B. Diamant gebunden. 7 leer PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 (ii) Bändermodell: Halbleiter Wenn das Valenz- und das Leitungsband dicht beieinander liegen, wenn also E Leitungsband ∆E ∆E ≈ k B T gilt, dann gelangen Elektronen leer durch thermische Anregung leicht in das freie Leitungsband. Sie sind da beweglich, weil es freie Energiee zustände gibt, die sie dort einneh≈ kBT gefüllt men können Valenzband Bei einem solchen Material nimmt die elektrische Leitfähigkeit mit der Temperatur zu (bei Metallen und Isolatoren nimmt die Leitfähigkeit thermische Leitfähigkeit: mit steigender Temperatur ab!). z.B. α−Zinn, Si, Ge 8 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 (iii) Bändermodell: Leiter II Wenn das Valenz- und das Leitungsband überlappen, dann können Elektronen ohne großen Energieaufwand in das Leitungsband gelangen und sich dort frei bewegen. E ∆E = 0, Bänder überlappen Leitungsband eValenzband leer gefüllt Halbmetalle z.B. Antimon Dadurch wird eine gewisse Leitfähigkeit gewährleistet. Je nach Größe des Überlapps ist die elektrische Leitfähigkeit relativ gut oder schlecht. Solche Substanzen heißen „Halbmetalle“, weil die Leitfähigkeit zwar „gut“, aber noch nicht „sehr gut“ ist. 9 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 (iv) Bändermodell: Leiter III E e- aüßerstes Band unvollständig gefüllt Metalle z.B. Natrium, Gold Bei Metallen ist das äußerste Band nur halb gefüllt. Dann gibt es genügend freie Zustände, die quasi ohne Energieaufwand durch Anlegen einer kleinen Potentialdifferenz (Spannung) erreicht werden können. In Metallen können sich die Elektronen (fast) völlig frei bewegen, was auch mit dem genauen atomaren Aufbau zusammenhängt. Die Leitfähigkeit von Metallen nimmt in der Regel mit steigender Temperatur ab. 10 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 In Metallen können sich die Elektronen (blaue Punkte) quasi frei durch das Gitter aus den Metallionenrümpfen bewegen. Man spricht von einem „Elektronensee“ oder „Elektronengas“. 11 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 (v) Bändermodell: Halbleiter I p-Dotierung E Leitungsband leeres Akzeptorniveau ∆E ≈ kBT eValenzband leer Reine „Halbleiter“ wie etwa Silizium oder Germanium sind im Prinzip Isolatoren. Durch das gezielte Einbringen von geeigneten Fremdatomen („Dotierung“) werden zusätzliche Energieniveaus sehr nahe an den Bändern erzeugt. e+ „Löcher“ Bor dotiertes p-Silizium gefüllt 12 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 (vi) Bändermodell: Halbleiter II n-Dotierung E Leitungsband ∆E ≈ kBT e- Valenzband leer gefülltes Donatorniveau gefüllt Phosphor dotiertes n-Silizium 13 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung B1 4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell‘schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung Relativität der Felder 5. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 14 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Magnetostatik Magnetische Kraftwirkung Von elektrisch ungeladenem Eisen kann trotzdem eine Kraft auf ein anderes Stück Eisen ausgeübt werden. Versuch 1: Eisenmagnet und Kompaßnadel Kompaßnadel Magnetstab Kompaßnadel Eisenmagnet F 15 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Von dem Eisen geht ein „Magnetfeld“ aus, in dem sich die Kompaßnadel ausrichtet. Je nach Ausrichtung des Magneten wirkt die Kraft anziehend oder abstoßend. Abstoßung F1 F2 Anziehung F1 F2 Es gibt also 2 Pole, die mit Nordpol und Südpol bezeichnet werden. Magnetpole lassen sich nicht trennen. Zerbricht man einen Stabmagneten, dann ergeben sich zwei kürzere Magnete mit beiden Polen.16 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Teilung eines Stabmagneten: Dipol Feldlinien eines magnetischen Dipols Im Gegensatz zu elektrischen Ladungen, die einzeln erzeugt werden können, sind einzelne Magnetpole (sog. „magnetische Monopole“) bisher nicht beobachtet worden. Daher kann das Magnetfeld auch nicht über die Kraftwirkung von Magnetpolen definiert werden. Feldlinien in der Nähe eines Pols. 17 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Versuch 2: Feldlinien eines stromdurchflossenen Leiters Hans Christian Ørsted entdeckt 1820 den Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld: Leiter Plexiglasscheibe Eisenfeilspäne Nach Einschalten des Stromes orientieren sich die Eisenfeilspäne kreisförmig um den Leiter. Hans Christian Ørsted 18 (1777-1851) PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Ein Ausmessen des Magnetfeldes mit einer Kompaßnadel ergibt, dass ein stromdurchflossener Leiter von einem kreisförmigen Magnetfeld umgeben ist. j Strom I Magnetfeld B Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld gibt es geschlossene Magnetfeldlinien. Die Feldlinien geben wieder die Kraftwirkung (Richtung und Stärke) des Magnetfeldes an. Leiter B 19 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Die Richtung der Magnetfeldlinien kann einfach mit der rechten Hand demonstriert werden. j B 20 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Die 2. Maxwell‘sche Gleichung Da es keine magnetischen Monopole gibt, sind die Feldlinien immer geschlossen. Es gibt keine „Quellen“ der magnetischen Feldlinien: Der magnetische Fluß ΦB eines Feldes B ist ein Maß für die „Anzahl“ der Feldlinien, die durch eine Fläche A treten („Feldliniendichte“). B B A Wenn die Feldlinien senkrecht auf der Fläche A stehen, dann ist der magnetische Fluß durch diese Fläche definiert durch: Analog zum elektrischen Fluß wird der magnetische Fluß ΦB definiert. Φ= B B= A BA 21 PHYSIK B2 A B SS15 SS14 SS13 B⊥ α Für eine beliebig geformte Fläche A gilt im Fall eines inhomogenen Feldes: A dA B(r ) Der magnetische Fluß ΦB durch die Fläche A ist nun: B⊥= A B A cos α Φ = B ⇒ ΦB = B ⋅ A A Alle bisherigen Betrachtungen gelten Der magnetische Fluß dΦB, der durch nur, wenn das durch die Fläche A tredie Fläche dA tritt, ist dann: tende Feld konstant ist. Ist dies nicht der Fall, dann muß der Fluß durch d Φ= B (r ) ⋅ dA B 22 Summation bestimmt werden. PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 dA B(r ) A Der gesamte magnetische Fluß ΦB durch die Fläche A ist dann durch Integration über alle Einzelflüsse dΦB durch die Flächen dA gegeben: Wie im Fall des elektrischen Feldes soll nun wieder der Fluß durch geschlossene Flächen betrachtet werden. 1.Fall: Magnet außerhalb der geschlossenen Oberfläche B dA O = Φ B ∫∫ B(r ) ⋅ dA A 23 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Befindet sich der Magnet außerhalb der geschlossenen Oberfläche, dann liegen dieselben Verhältnisse vor, wie beim statischen elektrischen Feld. Es gilt daher: Φ= B ∫∫ B dA B ⋅ dA = 0 O 2.Fall: Magnet innerhalb der geschlossenen Oberfläche Da die Feldlinien immer geschlossen sind, fließen aus einem Pol genauso viele Feldlinien heraus, wie in den anderen Pol hineinfließen. Daher gilt auch hier: Φ= B ∫∫ O B ⋅ dA = 0 Für das statische magnetische Feld gilt also immer der folgende Zusammenhang: Φ= B ∫∫ B ⋅ dA = 0 O 24 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 ∫∫ B ⋅ dA = 0 O Bemerkungen: • Dies ist die 2. Maxwell‘sche-Gleichung in integraler Form. • Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass es keine Quellen (und Senken) des statischen magnetischen Feldes gibt. Die Feldlinien sind immer geschlossen. • Die 2. Maxwell‘sche Gleichung beschreibt den experimentellen Befund, dass es keine magnetischen Monopole gibt. • Es ist zu beachten, dass die Gleichung für jede beliebig geformte Oberfläche O gültig ist !! • Die obige Gleichung gilt ganz allgemein in der Elektrodynamik. 25 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters Wir wollen jetzt das Magnetfeld eines Es gilt also geraden Leiters, durch den der Strom B (r ) = B (r ) eϕ I fließt, aus Symmetrieüberlegungen mit dem Einheitsvektor in Polarkoorherleiten. I | B |= const. dinaten eϕ . Experimentell findet man für den Betrag des Magnetfeldes B(r): I B(r ) ∝ r r B = B (r ) eϕ Das Feld kann nur vom Abstand r vom Leiter abhängen. Die Feldlinien müssen konzentrische Kreise wegen der 2. Maxwell-Gleichung sein. Die Proportionalitätskonstante wird mit µ0/2π bezeichnet. Für das magnetische Feld eines stromdurchflossenen Leiters ergibt sich daher: µ0 I B(r ) = eϕ 2π r 26 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Bemerkungen: (1) µ0 ist die magnetische Permeabilität des Vakuums. Sie wird auch als −7 Vs magnetische Feldkonstante bezeichnet. Ihr Wert ist: µ= 4π ⋅10 0 Am Vs Die Einheit des Magnetfeldes ist damit: = [ B] 1= 1T (Tesla) 2 m (2) In Materie muß die Formel für das Magnetfeld eines Leiters abgeändert werden. Mit der Permeabilität µ des Mediums gilt: µ0 µ I B(r ) = eϕ d.h. µ0 muß durch das Produkt µ0 µ ersetzt werden. 2π r Beispielsweise ist für Eisen µ ≈ 5000. (3) Der Leiter ist hier als „unendlich ausgedehnt“ angenommen worden. Deswegen fällt das Feld nur wie 1/r ab und nicht gemäß 1/r2 wie im Falle von elektrischen Punktladungen. (4) Es ist zu beachten, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das Magnetfeld läßt sich daher nicht über die Kraftwirkung auf „magnetische Ladungen“ definieren, sondern nur über Ströme. 27 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Das Ampère‘sche Gesetz Das Resultat für das Magnetfeld eines geraden Leiters, durch den der Strom I fließt, läßt sich stark verallgemeinern. I | B |= const. r dr B = B (r ) eϕ µ0 I Das Resultat B (r ) = eϕ 2π r läßt sich „rückwärts“ umformen zu: B (r ) 2π r µ0 I eϕ = B (r ) ⋅ eϕ 2π r = µ0 I µ0 I ∫ B(r ) ⋅ dr = ⋅ eϕ Kreis Hierbei handelt es sich auf der linken Seite um ein Wegintegral über das Vektorfeld B (r ) entlang eines Kreises mit dem Radius r. Das geschlossene Wegintegral über das Magnetfeld B (r ) , welches den Strom I umfaßt, ergibt also µ0I. Es stellt sich heraus, dass dieses Resultat stark verallgemeinert werden kann. 28 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Ein Strom I ruft ein Magnetfeld hervor, welches die folgende Gleichung erfüllt: B ⋅ dr = µ I 0 ∫ André Marie Ampère (1775-1836) Bemerkungen: • Dies ist das sog. Ampère‘sche Gesetz. Hierbei handelt es sich bereits um den ersten Teil der 4. Maxwell‘schen Gleichung in integraler Form. • Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäre) Ströme (statische) magnetische Felder hervorrufen. • Statische Magnetfelder werden generell durch das Fließen von Strömen erklärt. Das bedeutet beispielsweise, dass in einem magnetischen Stück Eisen mikroskopische Ströme fließen müssen. • Es ist zu beachten, dass das Wegintegral in der obigen Gleichung entlang jeder beliebig geformten geschlossenen Kurve, die den Strom I umschließt, berechnet werden darf. • Die obige Gleichung wird in der Elektrodynamik noch vervollständigt. • Mit dem Ampère‘schen Gesetz können Magnetfelder berechnet werden. 29 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Beispiel 1: Das magnetsiche Feld einer sehr langen stromdurchflossenen Spule 30 PHYSIK B2 Feldlinien SS15 SS14 SS13 B l B = B0 ex ex N Windungen I Das Magnetfeld im Inneren der Spule der Länge l soll jetzt mit dem Ampère‘schen Gesetz und einigen vereinfachenden Annahmen berechnet werden. Wir betrachten die folgende Zeichnung: B≈0 Näherungsweise gilt: Innerhalb der Spule: = B B= const. 0 B≈0 Im Außenraum: 31 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Mit dem Ampèschen Gesetz ergibt sich nun: ∫ B ⋅ dr= ∫ B ⋅ dr + innerhalb ∫ B ⋅ dr Feldlinien eines stromdurchflossenen Torus außerhalb B ≈0 = B0 ⋅ lex + 0 = µ0 N I Das homogene Magnetfeld im Inneren einer Spule der Länge l mit N Windungen, durch die ein Strom der Stäke I fließt, ist damit also: NI B = µ0 l Diese Formel ist für dicht gewickelte Spulen mit großer Windungszahldichte N/l sehr genau. 32 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Versuch 4: Magnetfeldstärke in einer Spule Wird die Hallsonde („Magnetfeldmesser“ ) im Innern der Spule parallel zur Achse bewegt, dann wird ein nahezu konstantes Feld gemessen. Erst im Randbereich nimmt es ab. Lange Spule Hallsonde 33 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Versuch 5: Spule mit Eisenkern Nach dem Einschalten des Stromes wird der Eisenkern in die Spule hineingezogen. Eisenkern Federwaage Eisenkern Stromversorgung Spule Spule 34 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Versuch 6: Magnetfeld einer Spule ohne und mit Eisenkern Ohne Eisenkern = schwaches Feld Spule Hallsonde Mit Eisenkern = starkes Feld Eisenkern 35 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Eisenkern Die Formel für das Magnetfeld im Inneren einer langen Spule war: Spule NI B = µ0 l Dabei wurde angenommen, dass sich keine Materie im Inneren befindet. Mit Materie gilt (µ0 ⇒ µ0µ): I Hallsonde Das an einer Spule mit einer Hallsonde gemessene Magnetfeld ist erheblich größer, wenn ein Eisenkern in die Spule geschoben wird. Kerne aus z.B. Kupfer oder Aluminium zeigen keinen größeren Effekt. NI B = µ0 µ l Da für Eisen µ ≈ 5000 gilt ergibt sich die große Verstärkung mit dem Eisenkern. Dies kann allerdings erst später genauer verstanden werden ( ⇒ Kapitel 4.7). 36 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Hallsonde Spule Beispiel eines Experimentiermagneten zur Erzeugung von Magnetfeldern bis etwa Bmax ≈ 1 Tesla: Luftspalt Eisenjoch Noch effektiver ist eine Anordnung mit einem geschlossenen Eisenjoch, in dessen Spalt Felder bis ca. 1 Tesla erzeugt werden können. Hier werden die Feldlinien geschlossen im Eisen geführt (⇒ Trafo). Spulen Eisenjoch 37 PHYSIK B2 SS15 SS14 SS13 Beispiel 2: Das magnetische Feld der Erde 38
