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Einführung in die Elektrizitätslehre
Inhalt:
1.
2.
3.
4.
5.
Elektrische Ladung
Elektrisches Feld
Elektrisches Potential, elektrische Spannung
Kondensator
Elektrischer Strom
Physik II für Mechatroniker, SS 2015
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes
1
Einführung in die Elektrotechnik
Literatur
•
Alonso, Finn, Physik, Addison-Wesley Verlag Berlin, 19xx. (Kap. 16, 17)
•
Hering, Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure, Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New
York 19xx, (Kap. 5)
•
Demtröder, Experimentalphysik 2, Elektrizität und Optik, Springer Verlag Berlin,
Heidelberg, New York, 2009, (Kap. 1,2,3,4)
•
Rudolf Busch, Elektrotechnik und Elektronik, B. G. Teubner Verlag, Stuttgart, 1996.
(Kap. 1, 2, 3, 4)
•
H. Claussnitzer, Einführung in die Elektrotechnik, Verlag Technik Berlin. (Kap. 1, 2, 3, 4)
•
M. Albach, Grundlagen der Elektrotechnik, Pearson Studium, München, 2005.
Band 1: (Kap. 1, 2, 3), Band 2: (Kap. 4)
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Einführung in die Elektrotechnik
1. Elektrische Wechselwirkung
Zwei Körper mit der gleichen Art der elektrischen Ladung (positiv oder negativ) stoßen einander ab.
Zwei Körper mit verschiedener Art von elektrischer Ladung (positiv und negativ) ziehen sich einander an.
Während die Gravitationswechselwirkung immer anziehend ist, kann die elektrische Wechselwirkung
anziehend oder auch abstoßend sein.
Die meisten Körper scheinen eine gleiche Anzahl an positive und negative Elektrizität zu haben, so
dass die elektrische Wechselwirkung zwischen zwei makroskopischen Körpern in der Summe sehr klein
ist oder sogar null ist.
Quelle: Alonso/Finn
elektrische Wechselwirkungen zwischen
gleichen und ungleichen Ladungen
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Einführung in die Elektrotechnik
1. Elektrische Wechselwirkung, Coulombsches Gesetz
Wechselwirken zwei elektrische Ladungen q1 und q2 miteinander so üben sie eine gleiche
entgegengesetzte Kraft aus. Die Richtung dieser Kraft ist abhängig von dem Vorzeichen der
Ladungen.
Wechselwirken zwei elektrisch geladene Teilchen miteinander, die sich im Inertialsystem eines
Betrachters in Ruhe befinden (Elektrostatik), so ist die elektrostatische Wechselwirkung der
Ladungen durch die Coulombkraft gegeben:
r
q ⋅q
F( r ) = 1 22
4πε 0 r
Coulombsches Gesetz
elektrische Feldkonstante
As
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
Vm
[ q ] = [ I ] * [ t ] = 1 As = 1 C = 1 Coulomb
Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei geladenen Teilchen ist proportional zum
Quadrat des Abstandes zwischen den Ladungen. Die Richtung ist längs der Verbindungslinie
zwischen den beiden Ladungen.
Kräfte zwischen Ladungen
Quelle: Alonso/Finn
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Einführung in die Elektrotechnik
1. Elektrische Wechselwirkung, Coulombsches Gesetz
Cavendish-Torsionswaage für den Beweis des Gesetzes der elektrischen Wechselwirkung zwischen
zwei Ladungen
Quelle: Alonso/Finn
Quelle: Alonso/Finn
Beispiel:
Berechnung der resultierenden Kraft F die auf q3 wirkt.
r
q ⋅ q'
F( r ) =
4πε 0 r 2
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Feld
In dem Bereich in dem die elektrische Ladung einer Kraft unterliegt,
herrscht ein elektrisches Feld E.
Die Kraft herrscht aufgrund der Anwesenheit anderer Ladungen.
Beispiel:
Befindet sich eine Ladung q in der Nähe von q1 und q2, q3, usw., dann
erfährt q eine Kraft in der Form:
F = F1 + F2 + F3 + ...
Quelle: Alonso/Finn
Die Ladungen q1, q2, q3, q4 usw., erzeugen ein elektrisches Feld. Die Ladung q übt auch eine Kraft
auf die anderen Ladungen aus.
Das elektrische Feld ist gleich der Kraft pro Ladung an einem Punkt:
r
r
Kraft F ( r )
E( r ) =
q
r
r
Kraft F ( r ) = qE( r )
Kraft F und elektrische Feldstärke E
sind gerichtete Größen
r
N
[E] =
C
Wenn zum Beispiel ein elektrisches Feld an einem Bereich angelegt wird in dem sich positive
und negative Ladungen befinden (auch Ionen) wird das Feld die positiven Ladungen und die
negativen Ladungen in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Das nennt man
Ladungstrennung oder Polarisation.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Feld
Berechnung der Geschwindigkeit und kinetischen Energie eines geladenen Teilchens:
l
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Quelle: Alonso/Finn
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Feld einer Punktladung
r
q ⋅ q1
F( r ) =
4πε 0 r 2
Die Gleichung ist die Kraft, die q auf die Ladung q1 im Abstand r von q ausübt.
Man kann auch sagen, dass das elektrische Feld E am Ort von q1 ist:
r
r
Kraft F ( r ) = q1 ⋅ E( r )
r
E( r ) =
q
4πε 0 r 2
In Vektorform
r
E( r ) =
q
4πε 0 r 2
r
ur
ur ist der Einheitsvektor in radialer Richtung von der Ladung q weg, weil F längst dieser Richtung wirkt.
Das E-Feld weist von einer positiven Ladung weg und auf eine negative Ladung zu.
Quelle: Alonso/Finn
E- Feld das von einer positiven und negativen
Ladung erzeugt wird.
Kraftlinien und Äquipotentialflächen des E-Feldes
einer positiven und einer negativen Ladung.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Feld einer Punktladung
Quelle: Alonso/Finn
Die Abbildung zeigt das resultierende E-Feld
an einem Punkt im Fall einer positiven- und
negativen Ladung des gleichen Betrages, wie
zum Beispiel eines Protons und Elektrons in
einem Wasserstoffatom.
Kraftlinien und Äquipotentialflächen des EFeldes zweier identischen Ladungen.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Der elektrische Fluss einer geschlossenen Oberfläche, Gaußsches Gesetz
r
E( r ) =
q
4πε 0 r
r
r
u
2 r
Φ Er = ∫ E ⋅dA =
mit
q
4πε0 r
ur
2
⋅
4
π
r
2
ΦE
q
A
r r
q
Φ = ∫ E ⋅ u N dA =
r
E
:
:
:
:
Einheitsvektor
Elektrische Fluss
Elektrische Ladung
Fläche
ε0
Der elektrische Fluss durch eine Oberfläche die
geschlossen ist, ist durch folgende Gleichung gegeben:
Dabei sind q1, q2… die eingeschlossenen Ladungen.
A1 A2
dA
A3
Gaußsche Gesetz für das elektrische Feld
r r
ρ
q
q
Φ = ∫ E ⋅ u N dA = ∫ dV = ∑ i =
r
E
ε0
i
ε0
ε0
r ρ
div E =
ε0
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Quelle: Alonso/Finn
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Der elektrische Fluss einer geschlossenen Oberfläche, Gaußsches Gesetz
Gaußsche Gesetz für das elektrische Feld
r r
Φ Er = ∫ E ⋅ u N dA =
ρ
qi
q
=
=
dV
∑
ε0 ∫
ε0
i ε0
r ρ
div E =
ε0
Die innerhalb eines Raumes verteilte Ladungen sind Quellen für ρ > 0
und Senken für ρ < 0 des elektrostatischen Feldes.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Der elektrische Fluss einer geschlossenen Oberfläche, Gaußsches Gesetz
Gaußsche Gesetz für das elektrische Feld
ur
ΦE
r r
ρ
q
q
Φ Er = ∫ E ⋅ u N dA = ∫ dV = ∑ i =
ε0
i
ε0
q
A
ε0
Beispiel:
Berechnung E-Feld mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes
Für eine geladene Vollkugel mit r < R:
:
:
:
:
Einheitsvektor
Elektrische Fluss
Elektrische Ladung
Fläche
Vollkugel: Ladung und E-Feld
innerhalb der Kugel
Wenn die Kugel über das gesamte Volumen geladen ist,
dann gilt für die Ladung q' innerhalb ihrer Oberfläche:
4
4
q' π R 3 = q π r 3
3
3
r3
q' = q 3
R
r
q' r 3 r
2
r
ΦE = ∫ E ⋅dS =
=
E
⋅
4
π
r
ε0 R3
R
E‘
r
E=
qr
4πε 0 R 3
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r‘
Quelle: Alonso/Finn
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, E-Feld einer gleichförmig geladenen metallischen Kugel. Gaußsches Gesetz
Fall 1: Gleichförmig geladene Vollkugel
Elektrische Feld einer gleichförmig geladenen Kugel.
Das E-Feld einer Kugel vom Radius R, mit gleichmäßig über
das gesamte Volumen verteilter Ladung q
wird für r >R, gleich dem Feld als ob die Ladung in einem Punkt
konzentriert wäre.
r
q
(1)
E( r ) =
2
r
>
R
4πε 0 r
An allen Punkten im inneren der Vollkugel r < R ist das E-Feld
proportional zu r:
r
qr
(2)
E( r ) =
r<R
3
4πε 0 R
R
Quelle: Alonso/Finn
Fall 2: Hohlkugel nur auf der Oberfläche geladen
Sitzt die Ladung nur an der Oberfläche der Kugel, dann ist
das E-Feld im inneren der Kugel E = 0 und außerhalb der Kugel
wie im Fall (1).
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Faraday-Käfig
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, E-Feld eines langen Drahtes, Gaußsches Gesetz
Beispiel: Elektrisches Feld eines langen geladenen Drahtes:
dq = λds
q = λs
und mit dem Gaußschen Gesetz:
r r
ρ
q
q
Φ = ∫ E ⋅ u N dA = ∫ dV = ∑ i =
r
E
ε0
i
ε0
r r
r λl
Φ = ∫ E ⋅ u N dA = 2π r l E =
r
E
:
ds :
dq :
E :
λ
ε0
Ladung des Drahtes
Länge Abschnitt Draht
elektr. Ladung
elektr.-Feld
ε0
r
λ 1
E=
2πε 0 r
r>R
Das E-Feld ändert sich mit R-1.
Quelle: Alonso/Finn
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, E-Feld eines langen Drahtes, Gaußsches Gesetz
Für r < R gilt für die Ladung q:
λlπ r 2
q=
π R2
r r
r
r
Φ E = ∫ E ⋅ u N dA = E 2π rl =
r
E=
λlr 2
2ε 0π R 2
λr
2πε 0 R 2
Elektrische Feldstärke in Abhängigkeit vom Abstand
r
E
r
E∝r
r 1
E∝
r
R
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r
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, E-Feld eines langen Drahtes
Beispiel: Elektrisches Feld eines langen geladenen Drahtes:
:
ds :
dq :
E :
λ
dq = λds
Der Betrag des E-Feldes den das Stück ds am Punkt P erzeugt ist:
r
λds
dE =
4πε 0 r 2
Ladung des Drahtes
Länge Abschnitt Draht
elektr. Ladung
elektr.-Feld
Das E-Feld ist längs der Strecke AP gerichtet.
Betrachtet man die Komponenten parallel zu OP, ergibt sich das E - Feld
längst dieser Richtung.
r
r
λ
ds cos α
E = ∫ dE cos α =
4πε 0 ∫ r 2
R
ds
=
dα
s
=
R
tan
α
r cos α = R
und
mit
cos 2 α
Quelle: Alonso/Finn
Für α=0 bis α = π/2 ergibt sich für das E-Feld:
r
E=
π /2
λ
cos
d
α
α
=
4πε 0 R ∫0
2πε 0 R
2λ
r
E=
λ r
uR
2πε 0 R
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Das E-Feld ändert sich mit R-1.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Kugelsymmetrisches Feld(1)
Geladene Metallkugel im Raum.
Versuch: Die (positiv) geladene Metallkugel zieht (negativ geladene)
Papierstückchen an.
Die Ursache für die Kraft auf die Ladung q ist der elektrische
Zustand des Raumes (verursacht durch die Ladung q) bzw. die
Stärke des elektrischen Kraftfeldes oder elektrische Feldstärke E.
r
r
Kraft F ( r ) = qE( r )
+q
+q
Kraft F und elektrische Feldstärke E
sind gerichtete Größen
r
E, F
• Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
• Ladungen sind Quellen (Ursachen) der elektrischen Feldstärke. Die Feldlinien beginnen auf
positiven Ladungen und enden auf negativen Ladungen (hier im unendlichen).
• Dort wo die Feldlinien dicht verlaufen, ist die elektrische Feldstärke (und damit die Kraft) groß.
• In der kugelsymmetrischen Anordnung leistet man keine Arbeit, wenn man die Probeladung q auf
einer konzentrischen Kugelschale verschiebt. Flächen, die diese Eigenschaft haben, nennt man
Äquipotentialflächen.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Kugelsymmetrisches Feld(2)
Wenn man die Probeladung q entlang einer Feldlinie von Punkt 1
zu Punkt 2 verschiebt, dann leistet die Feldkräfte an diesem
Probekörper eine mechanische Arbeit
2 r
r
r
r
W = ∫ F ( r )dr = q ∫ E( r )dr
q
1
2
1
dr: radiales Wegelement
1
2 r
r  [ W ] VA sec
E
(
r
)
d
r
=
=V
∫
=
[
q
]
A
sec
1

2
+q
r
r
V
[E] =
m
E, F
q
Das Wegintegral von Punkt 1 zu Punkt 2 liefert die elektrische
Spannung zwischen „1“ und „2“ (Bezugspfeil von 1 nach 2)
1
+q
2
r
r
E
(
r
)
d
r
= U 1,2
∫
2
r
1
U eines geschlossenen Weges ist Null!
Äquipotentialflächen
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E, F
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Potential
Ein geladenes Teilchen in einem E-Feld besitzt wegen seiner
Wechselwirkung mit dem E-Feld Potentielle Energie:
φ=
Ep
E p = qφ
q
J
[φ ] =
C
Alessandro Volta (1745-1827)
Ep
φ
q
W
:
:
:
:
Potentielle Energie
Elektrische Potential
Elektrische Ladung
Arbeit
Wenn sich die Ladung q längs von einem Punkt P1 an einem anderen Punkt P2 bewegt, wird Arbeit
verrichtet.
W = E p 1 − E p 2 = q( φ1 − φ2 )
Es ergibt sich ein Potentialunterschied zwischen beiden Punkten P1 und P2 :
φ1 − φ2 =
W
q
Potentialunterschied zwischen zwei Punkten ist die Arbeit, die ein elektrisches Feld E leistet, wenn sich
eine Ladung von einem Punkt zu einem anderen bewegt.
Es entsteht ein Potentialunterschied von einem Volt, wenn das E-Feld bei der Bewegung einer Ladung
von einem Coulomb von einem Punkt an den nächsten Punkt eine Arbeit von einem Joule leistet.
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Einführung in die Elektrotechnik
2. Elektrische Wechselwirkung, Quantelung der Ladung, Versuch von Millikan
Öltröpfchenmodell
Quelle: Alonso/Finn
Nach Wiederholung des Versuchs mit dem Öltröpfchen mit verschiedenen Tröpfchen, schloss man
daraus, dass ∆q immer ein Vielfaches einer fundamentalen Ladung oder Elementarladung e ist.
∆q = n ⋅ e
−19
mit e = 1,6021 ⋅ 10 C
Alle Ladungen die in der Natur beobachtet werden, sind gleich der Elementarladung e oder
Vielfache der Elementarladung e.
−31
m
=
9
,
1091
⋅
10
kg
e
Die elektrische Ladung ist gequantelt.
m p = 1,6725 ⋅ 10 −27 kg
Die elektrische Ladung besitzt eine Masse.
mN = 1,6748 ⋅ 10 −27 kg
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Potential
Wir definieren deshalb die Einheit 1 eV. Es ist die Arbeit, die an einem Teilchen der
Elementarladung e geleistet wird, wenn sich die Ladung durch einen Potentialunterschied von
einem Volt bewegt.
eV = ( 1,6021 ⋅ 10 −19 C )( 1V ) = 1,6021 ⋅ 10 −19 J
Die Ruhemasseenergie wird auch in eV angegeben.
Ee = me c 2 = 8 ,1867 ⋅ 10 −14 J = 0 ,5110 MeV
E p = m p c 2 = 1,5032 ⋅ 10 −10 J = 938 ,26 MeV
E N = mN c 2 = 1,5053 ⋅ 10 −10 J = 939 ,55 MeV
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Gleichförmiges Feld
Im Bild liegt die x-Achse parallel zu den gleichförmigen Feldlinien. Dann gilt für das E-Feld:
r
dφ
E( r ) = − r
dx
r
E( r ) = − grad φ ( x , y , z ) = −∇φ
Abbildung 1
Da φ = 0 bei x = 0 ist, erhält man durch Integration:
φ
r r
rx r
∫ dφ = − ∫ Edx = − E ∫ dx
0
x
0
oder
rr
φ = − Ex
0
Quelle: Alonso/Finn
Abbildung 2
Diese Gleichung ist sehr nützlich (Abbildung 2).
Das E-Feld weist in Richtung der Abnahme des elektrischen Potentials.
Deshalb ist das Vorzeichen von E negativ!.
Wenn zwei Punkte x1 und x2 betrachtet werden gilt für φ:
v r r
φ2 − φ1 = − E( x2 − x1 )
φ2 − φ1
d
r
= −E
Quelle: Alonso/Finn
mit φ2 − φ1 = U 12
d
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Gleichförmiges Feld
r
dφ
E( r ) = − r
dx
mit
r
E( r ) = − grad φ ( x , y , z ) = −∇φ
r ρ
div E =
ε0
r
ρ
divE = − div( gradφ ) = − ∆φ =
ε0
∆ Ist der Laplace-Operator
div( gradφ ) = ∆φ = 0 wenn ρ = 0
Ist die Ladungsverteilung ρ(r) bekannt, so können das Potential φ und das E-Feld berechnet werden.
∆φ = −
ρ
ε0
Poisson-Gleichung
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, elektrisches Potential einer Punktladung
Beispiel: Elektrisches Potential einer Punktladung:
r
dφ
E( r ) = − r = − gradφ
dr
mit
v
E( r ) =
q
4πε 0 r 2
q
dφ
=
−
4πε 0 r 2
dr
1
Die Integration ergibt für φ0 = 0 und für r →∞:
φ
∫ dφ = −
0
q
r
dr
4πε 0 ∞∫ r 2
φ=
q
4πε 0 r
Das elektrische Potential φ ist positiv oder negativ. Dies hängt von dem Vorzeichen der Ladung q ab.
Sind mehrere Ladungen vorhanden dann gilt für das elektrische Potential die Summe der einzelnen
Potentiale:
φ=
q1
4πε 0 r1
+
q2
4πε 0 r2
+
q3
4πε 0 r3
+ ... =
qi
∑
4πε 0 i ri
1
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Elektrisches Potential einer gleichförmig geladenen metallischen Hohlkugel
Beispiel: Gleichförmig geladene Hohlkugel
Das Potential φ einer Hohlkugel vom Radius a, mit gleichmäßig
über die gesamte Oberfläche verteilter Ladung q
wird für r >a, proportional 1/r.
φ( r ) =
q
4πε 0 r
r>a
Potentialverlauf
(1)
q
An allen Punkten im inneren der Hohlkugel r < a ist das Potential
φ konstant:
φ( r ) =
q
4πε 0 a
3
r<a
(2)
Im Inneren einer homogen geladenen Hohlkugel ist das
elektrische Feld E Null, deshalb ist das Potential innerhalb der
Hohlkugel konstant.
Quelle: Demtröter
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, elektrische potentielle Energie
Wenn eine Ladung q‘ in der Entfernung r von einer Ladung q ist, dann gilt für die potentielle Energie
Ep:
φ=
Ep
Ep =
q
qq'
4πε 0 r'
Die potentielle Energie eines Systems von Ladungen ist dann:
Ep =
∑
alle Paare
qq'
4πε 0 r'
Quelle: Alonso/Finn
Beispiel:
Elektrische potentielle Energie der Ladung q3:
φ1 =
q1
4πε 0 r1
φ = φ1 + φ2
φ2 =
q2
4πε 0 r2
E p = q3φ
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, E-Feld und elektrisches Potential eines langen Drahtes
dφ
E=−
dR
mit
Durch Integration
φ =−
r
E=
λ
2πε 0 R
∫ dφ = −
dφ
λ
=−
dR
2πε 0 R
:
ds :
dq :
φ :
λ
Ladung des Drahtes
Länge Abschnitt Draht
Elektr. Ladung
Elelktr. Potenial
λ
dR
2πε 0 ∫ R
λ
ln R + C
2πε 0
Setzt man dem Punkt R = 1 das Potential 0, d.h., C = 0 dann gilt:
φ =−
λ
ln R
2πε 0
r>R
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Quelle: Alonso/Finn
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3. Elektrische Wechselwirkung, elektrische Dipol
Beispiel: Elektrisches Feld und Potential eines elektrischen Dipols:
Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei gleichen Ladungen +q und –q,
die entgegengesetzt sind.
Der Abstand zwischen beiden Ladungen sei sehr klein und gleich a.
Obwohl die Ladungen gleich groß sind und entgegengesetzt
(Gesamtladung = 0), reicht der Abstand aus, um ein permanentes EFeld aufrecht zu erhalten.
Das elektrische Dipolmoment ist definiert als:
r
r
p = q⋅a
Die Ladungen –q und +q können als Pole betrachtet werden.
p
Quelle: Alonso/Finn
Das elektrische Dipolmoment
zeigt von Minus nach Plus.
a ist die Verschiebung von der negativen Ladung zur positiven Ladung.
Das elektrische Potential φ an einem Punkt P aufgrund des elektrischen
Dipols p ist dann:
φ=
1 q q
1 q( r2 − r1 )
 −  =
4πε 0  r1 r2  4πε 0
r1r2
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3. Elektrische Wechselwirkung, elektrische Dipol
Das elektrische Potential φ an einem Punkt P aufgrund des
elektrischen Dipols p ist dann:
φ=
1 q q
1 q( r2 − r1 )
 −  =
4πε 0  r1 r2  4πε 0
r1r2
Wenn a << r dann gilt:
r2 − r1 = a cos θ
φ=
qa cos θ
4πε 0 r 2
p
und r1r2 = r 2
mit
einsetzten in die obere Gleichung
r
r
p = q⋅a
φ=
Quelle: Alonso/Finn
p cos θ
4πε 0 r 2
Das elektrische Potential φ ändert sich mit dem Abstand r-2 statt mit r-1
wie im Fall einer Punktladung!
Das E-Feld des Dipols ändert sich mit r-3 (ohne Rechnung) statt mit r-2
das einer Einzelladung entsprechen würde.
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Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, elektrische Dipol
Das Bild zeigt die Kraftlinien eines elektrischen Feldes eines
elektrischen Dipols.
Befindet sich ein elektrischer Dipol in einem E-Feld, wirkt auf
jede einzelne Ladung eine Kraft F:
r
r
r
r r
F = qE − qE' = q( E − E' )
Ist das E-Feld gleichförmig dann ist E = E‘ und für die
resultierende Kraft F gilt F = 0.
Quelle: Alonso/Finn
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30
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, elektrische Dipol
Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Water_molecule.svg&filetimestamp=20080821131721
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31
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, ungleichförmiges Feld, elektrische Dipol
Das Bild zeigt einen elektrischen Dipol in einem äußeren E-Feld.
Sei das E-Feld ungleichförmig und entlang der x-Achse
gerichtet. Der Dipol soll parallel zum E-Feld gerichtet sein
dann gilt:
r
r r  dE 
a
E − E' = 

 dx 
r
M
r
r r  dE 

F = p 

 dx 
Das elektrische Dipol parallel zum E-Feld, versucht sich in
Richtung zunehmenden Feldes zu bewegen. Das Gegenteil ist
der Fall, wenn der Dipol antiparallel zum Feld gerichtet ist.
Quelle: Alonso/Finn
Die potentielle Energie Ep eines Dipols im E-Feld lautet:
 φ − φ' 
E p = qφ − qφ' = q( φ − φ' ) = − qa −

a


r
r φ1 − φ2
E
=
−
qa
E
E=
Mit
p
a
a
E
r a istvdie Komponente parallel zu E.
Ea = E cos θ
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32
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, ungleichförmiges Feld, elektrische Dipol
r
r
Ea = E cos θ
r
r r
r r
E p = − qa E cos θ = − p E cos θ = − p ⋅ E
Ep erreicht einen Minimum wenn θ = 0°ist. Das bedeutet, dass der
Dipol im Gleichgewicht ist, wenn seine Richtung parallel zum E-Feld liegt.
Unter Vernachlässigung des minimalen Unterschieds zwischen E und E‘,
bilden qE und qE‘ ein Kräftepaar auf die Dipolladungen.
Für das Drehmoment gilt:
r r r r
r
r r r
r
M = r × F = a × ( qE ) = ( qa ) × E = p × E
r
M
Quelle: Alonso/Finn
Das Moment M versucht die Dipole parallel zum E-Feld auszurichten.
M = pE sin θ
Betrag von M
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33
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Energie in einem E-Feld
Die gesamte Energie eines geladenen Teilchens (auch Ions) der Masse m und der Ladung q
innerhalb eines E-Feldes ist:
E = EK + E p =
1 2
mv + qφ
2
Bewegt sich das Teilchen von P1 mit φ1 auf P2 mit φ2 dann gilt:
1 2
1
mv1 + qφ1 = mv22 + qφ2
2
2
1 2 1 2
mv2 − mv1 = q( φ1 − φ2 )
2
2
Ein Teilchen mit q > 0 gewinnt an kinetische Energie, wenn es sich von ein höheres Potential auf
ein niedrigeres Potential bewegt (φ1 > φ2).
Ein negativ geladenes Teilchen q < 0 muss sich von einem niedrigen Potential (φ1 < φ2) zu einem
höheren Potential bewegen, um Energie zu gewinnen.
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34
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Energie in einem E-Feld
Ist der Nullpunkt des elektrischen Potentials φ am Punkt P2 φ2 = 0
und haben die Teilchen an P1 keine Geschwindigkeit dann gilt:
1 2 1 2
mv2 − mv1 = q( φ1 − φ2 )
2
2
1 2
mv = qφ
2
Gibt die kinetische Energie eines geladenes Teilchens an,
wenn es sich durch den Potentialunterschied φ bewegt.
Das Prinzip wird bei elektrostatische Beschleuniger
angewandt.
Quelle: Demtröter
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35
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Leiter im elektrischen Feld, Influenz
Wenn man einen Leiter in ein E-Feld bringt, dann wirkt auf die frei, beweglichen Ladungen eine
Kraft F = q·E.
Die Kraft F verschiebt die Ladungen so lange, bis sich ein Gegenfeld aufgebaut hat.
Das Gegenfeld gleicht das äußere Feld aus.
Diese Ladungsverschiebung ist als Influenz bekannt. Aus diesem Grund gilt für das Innere des
Leiters: E = 0.
Verschiebung von Ladungen innerhalb eines Leiters
Quelle: Demtröter
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36
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Leiter im elektrischen Feld, Influenz
Trennung von zwei Leiterplatten, die sich berühren in einem E-Feld und Nachweis der entgegengerichteten Ladungen außerhalb des elektrischen Feldes E.
Quelle: Demtröter
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37
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Leiter im elektrischen Feld, Influenz
Beispiel:
+q
Eine ungeladene Kugel wird in das Feld eines Plattenkondensators
eingebracht.
Im oberen Bild: tangentiale Komponenten der elektrische Feldstärke
bezüglich der Kugeloberfläche.
→ Kraft auf die im Metall frei beweglichen Ladungsträger (Elektronen).
→ Die Elektronen verschieben sich solange, bis alle Feldlinien der
elektrische Feldstärke senkrecht auf der Kugeloberfläche stehen.
→ Die Kugeloberfläche ist zur Äquipotentialfläche geworden.
Wenn dieser Zustand erreicht ist (was extrem schnell geht), ergibt sich
das unterer Bild.
Äquipotentialfläche:
-q
+q
-q
• Auf ihr können Ladungsträger verschoben werden, ohne daß
elektrische Arbeit geleistet werden muß.
• Eine Fläche konstanter Ladungsträgerenergie
• Es existiert kein Energiegefälle, dem Ladungsträger „freiwillig“ folgen.
• Feldlinien schneiden Äquipotentialflächen senkrecht.
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38
Einführung in die Elektrotechnik
3. Elektrische Wechselwirkung, Leiter im elektrischen Feld, Influenz
Frage:
Warum durchdringen die Feldlinien nicht den metallischen Leiter?
Warum sitzen die Ladungen eines geladenen metallischen
Leiters nur auf der Oberfläche in einer sehr dünnen Haut?
+q
-q
Feldlinien der elektrischen Feldstärke beginnen und enden auf Ladungen.
Beispiel: Bei einem Metall z.B. Kupfer befinden sich rund 1015 Atome/cm2 in der obersten Atomlage,
d.h. wenn jedes Cu-Atom ein Elektron abgegeben hat, beginnen bei diesen positiv geladenen
Atomrümpfen 1015 Feldlinien/cm2.
Wenn das nicht reicht, müssen die Atome in der zweiten Reihe dran glauben.
Im elektrostatischen Feld (d.h. keine Ladungsbewegung, kein Strom) ist das Innere eines
metallischen Leiters feldfrei, das gilt auch für Hohlkörper. Man kann die Hüllfläche auch als Gitter
mit nicht zu weiten Maschen ausbilden:
→ Faraday‘scher Käfig
Darin sind z.B. Personen von der Einwirkung starker elektrischer Felder geschützt (z.B.
Metallkarosserie eines Autos bei Blitzeinschlag).
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39
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Kondensatoren, Plattenkondensator
2 parallele Platten im Abstand d, mit der Fläche einer Platte A,
tragen die Ladung +q und -q.
Das elektrische Feld im Innenraum ist homogen,
d.h. die elektrische Feldstärke ist konstant und ortsunabhängig, der Außenraum ist praktisch feldfrei.
+
− gradφ =
+
+1
E
h
-
Mit der Gleichung:
r
dφ
E( r ) = −
= − gradφ
dr
Ladung +q
+ + + +
Ladung -q
U
-
-
-2
U
⋅ x̂
d
Spannung zwischen den Platten:
2
r
r
U = ∫ E dx = E ⋅ d
1
Bei einer Plattenfläche A gilt für die Feldstärke E:
r
E=
q
A ⋅ε0
Der Quotient q/U heißt Kapazität C; C ist eine Eigenschaft der Leiteranordnung.
C=
q ε0E ⋅ A ε0 A
=
=
U
E ⋅d
d
[C ] =
A sec
= F = Farad
V
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40
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Kondensatoren, Kugelkondensator
Äquipotentialfläche ist eine Kugeloberfläche: A = 4π r2
Verschiebungsdichte:
elektrische Feldstärke:
q
q
=
A 4π r 2
D( r ) =
E( r ) =
D( r )
r2
ε0
=
r1
r2 r
q
4π ε 0 r 2
Spannung zwischen
den Elektroden:
U1,2 = ∫ E( r )dr =
Kapazität des
Kugelkondensators:
C=
r1
Innenradius r1, Außenradius r2
r2 − r1
4π ε 0 r1 r2
q
q
rr
= 4π ε 0 1 2
U1,2
r2 − r1
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41
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Kondensatoren, Kugelkondensator
Äquipotentialfläche ist eine Kugeloberfläche: A = 4π r2
Verschiebungsdichte:
D( r ) =
elektrische Feldstärke:
E( r ) =
r2
D( r )
ε0
=
q
4π ε 0 r 2
Spannung zwischen
den Elektroden:
U1,2 = ∫ E( r )dr =
Kapazität des
Kugelkondensators:
C=
r1
r2
q
q
=
A 4π r 2
r2 − r1
4π ε 0 r1 r2
q
q
rr
= 4π ε 0 1 2
U1,2
r2 − r1
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Quelle: Demtröter
42
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Kondensatoren, Zylinderkondensator
Äquipotentialfläche ist eine Zylindermantelfläche: A = 2π r l
l
Verschiebungsdichte:
D( r ) =
elektrische Feldstärke:
E( r ) =
r2
q
q
=
A 2π r l
D( r )
ε0
=
q
2π ε 0 r l
Spannung zwischen
den Elektroden:
U1,2 = ∫ E( r )dr =
Kapazität des
Zylinderkondensators:
C=
r1
r1
q
2π ε 0 l
r2
ln
r2
r1
q
l
= 2π ε 0
U1,2
ln( r2 / r1 )
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43
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Serienschaltung von Kondensatoren
Serienschaltung von zwei zunächst ungeladenen Kondensatoren
mit den Kapazitäten C1 und C2.
Zur Zeit t0 = 0 beginnt Ladevorgang mit Strom i0.
Nach t Sekunden ist die Ladung q = i0 t auf die obere Platte von C1
transportiert, die gleiche Ladungsmenge von der unteren Platte von
C2 abtransportiert worden.
i0
+q
-q
+q
-q
C1
i0
C2
U1
U2
i0
Die Feldlinien, die an der positiven Ladung der oberen Platte von C1
entspringen, müssen auf der unteren Platte von C1 auf genauso
vielen negativen Ladungen enden.
→ Beide Kondensatoren tragen zu jedem Zeitpunkt die gleiche
Ladung: q1 = q2 = q.
→ Spannung Uges an der Serienschaltung der Kondensatoren:
U ges =
C ges =
q
q
q
= U1 + U 2 = + ;
C ges
C1 C2
1
C ges
=
1
1
+
;
C1 C2
C1C2
C1 + C2
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44
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Parallelschaltung von Kondensatoren
Zur Zeit t0 = 0 beginnt der Ladevorgang mit Strom i0.
Nach t Sekunden hat die Stromquelle die Ladung q = i0 t geliefert.
Davon ist der Anteil q1 = C1U in C1 und der Anteil q2 = C2U in C2.
i0
C1
U
C2
Die Gesamtladung q ist in der Gesamtkapazität Cges gespeichert.
q = C gesU = q1 + q2 = C1U + C2U
C ges = C1 + C2
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45
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Aufladen mit Kondensatoren
Für die zugeführte Ladung q gilt:
Wenn i = konst.:
q = ∫ i( t )dt
i0
iC
∆q = i ∆t
uC
C
Mit q = C U bzw. q(t) = C uC(t) wird daraus:
q( t ) = ∫ i( t )dt = CuC ( t )
∆q = i ∆t = C ∆uC
1
uC ( t ) = ∫ i( t )dt
C
1
∆uC = i ∆t
C
i( t ) = C
duC dq
=
dt
dt
i =C
i, u
i0
∆uC ∆q dq
=
=
∆t
∆t dt
uC
iC
t
Die Spannungsänderung am Kondensator ist proportional dem Strom i(t).
Beim konstantem Strom i(t) = i0 ergibt sich ein linearer Anstieg der Spannung.
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46
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Aufladen über einen Widerstand
R
1
U = uR + uC = Ri + ∫ i( t )dt
C
0=R
di 1
+ i;
dt C
0=
1
1
di
=
−
dt
∫i
RC ∫
U
i(t ) = e
R
di
1
+
i;
dt RC
ln i = −
Startwerte: uC ( t = 0+ ) = 0
−
abgeleitet:
t
+ k;
RC
i( t = 0+ ) =
i
uR
U
di
dt
=−
i
RC
t
i = e RC ⋅ k'
−
U − uC ( t = 0+ ) U
=
R
R
uC
C
i, u
U
uC
U
R
i
1
t/τ
τ = RC: Zeitkonstante
t
RC
t
uC ( t ) = U − u R ( t ) = U − Ri( t ) = U − Ue RC
−
uC ( t ) = U ( 1 − e
−
t
RC
)
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47
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Gespeicherte und entnommene Energie
Energiebilanz:
Gesamte Energie
im Ladewiderstand in
Wärme umgesetzt
∞
W =
∫ U 0i(t )dt
∞
=
0
∫
−t
U
U 0 0 e RC dt
0
W =
∫ Ri
∞
2
( t )dt
+
0
∞
W =
im Kondensator gespeichert
CU 02
R
∞
=
∫
0
=
∫ uC ( t )i( t )dt
0
2 −2t
U
R 0 e RC dt
2
R
1
CU 02
2
∞
+
2 −t
2 −2t
U 0 RC U 0 RC
e
−
e dt
∫R
0
+
R
1
CU 02
2
Bei der Aufladung eines Kondensators wird unabhängig von der Größe des Ladungswiderstandes R
im Widerstand R genauso viel Energie umgesetzt wie im Kondensator gespeichert wird.
Allgemein gilt für die im Kondensator gespeicherte Energie:
Wel =
1
CU C2
2
UC: Spannung am Kondensator
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48
Einführung in die Elektrotechnik
4. E-Feld, Entladen über einen Widerstand
Der Kondensator ist auf die Spannung U0 aufgeladen. Zum
Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen: uC(t=0) = U0 > 0.
iR
i
du ( t )
i( t ) = C C
;
dt
C
duC ( t ) uC ( t )
+
=0
dt
R
u (t )
iR ( t ) = C
;
R
C
i( t ) + iR ( t ) = 0
duC
dt
=−
uC
RC
U0
∫
U0
t
duC '
dt'
= −∫
uC '
RC
0
uC ( t ) = U 0 e
−
t
RC
u
ln U ' UC = ln uC − ln U 0 = −
0
U
iR ( t ) = 0 e
R
−
t
RC
R
i R, u
U0
R
uC
uC
t
RC
U
i( t ) = − 0 e
R
uC
i
1
t/τ
τ = RC: Zeitkonstante
−
t
RC
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49
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, Dielektrikum, Polarisation
Dielektrika sind Nichtleiter (Isolatoren) wie Glas, Keramik,
Kunststoffe (PVC, Teflon, ...) usw.
In einem Nichtleiter gibt es keine frei beweglichen Ladungen.
Unter Einfluß eines elektrischen Feldes tritt in einem Nichtleiter
Ladungspolarisation auf.
ohne
elektr. Feld
mit
elektr. Feld
a)
E
b)
Man unterscheidet folgende Polarisationsmechanismen:
a)
Elektronische Polarisation
Auslenkung von Atomkern und -hülle; induzierte Dipole
b)
Ionische Polarisation
Auslenkung von Kathionen und Anionen; induzierte Dipole
c)
Orientierungs-Polarisation
Ausrichtung von permanenten Dipolen
d)
Raumladungspolarisation
Ansammlung von freien Ladungsträgern an isolierenden
Korngrenzen (Körner sind elektrisch leitend)
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E
c)
E
d)
E
50
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, Dielektrikum, Polarisation
Elektronische Polarisation
Auslenkung von Atomkern und -hülle; induzierte
Dipole
ohne
elektr. Feld
mit
elektr. Feld
a)
E
Die Vektorsumme der Dipolmomente aller N-Atome pro
Volumeneinheit ist die Polarisation:
r 1
r
P = ∑ pi
V i
mit
r
r
p = q⋅a
Hier wurden Wechselwirkungen wie die Thermische
vernachlässigt.
P
p
a
N
: Polarisation
: Induzierte Dipolmoment
: Verschieb. Ladungsschwerpkte.
: Anzahl Dipole pro Volumen
Die Dipole richten sich bevorzugt parallel zum E-Feld. Für
ein homogenes E-Feld gilt:
r
r
r
P = Nqa = N p
Die Verschiebung a geht so weit, bis die elektronischen Anziehungskräfte zwischen den
verschobenen Ladungen, die ja rücktreibend sind, die äußere Kraft F = qE ausgleichen.
Für a gilt: a<<Atomdurchmesser.
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51
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, relative Dielektrizitätszahl
Das Dielektrikum wird im elektrischen Feld polarisiert, an den
Oberflächen des Isolators entstehen Ladungen.
Die Polarisierbarkeit eines Dielektrikums ist eine materialspezifische
Größe und wird beschrieben durch
εr
E
relative Dielektizitätszahl
Je größer εr ist, umso leichter lassen sich die Ladungsschwerpunkte auseinanderziehen, umso mehr
Ladungen werden auf der Oberfläche erzeugt.
Ein Plattenkondensator mit der Kapazität C0 = ε0A/h ist auf die Spannung U0 aufgeladen, speichert
also die Ladung q0 = C0U0 und die Energie W0 = 1/2 C0U02.
Nun wird bei konstant gehaltener Spannung ein Dielektrikum zwischen die Platten des Kondensators
eingefügt. Das Dielektrikum wird polarisiert; der polarisierte Zustand der Materie ist ein Zustand
höherer Energie.
Die im Feldvolumen des Kondensators gespeicherte Energie ist angewachsen. Da die Spannung
konstant gehalten wurde, muß die Kapazität größer geworden sein.
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52
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, Dielektrikum, Einfluss auf die Kapazität
Ohne Dielektrikum:
C0 = ε0A/h
Mit Dielektrikum:
C = ε0εrA/h
Vakuum
E=U0/h
ε0
Im von Materie erfüllten Raum gilt statt ε0 → ε = ε0εr.
Die auf dem Dielektrikum durch Polarisation entstandenen
Ladungen binden durch Feldkräfte genauso viele Ladungen auf
den Kondensatorplatten, die aber dann zur Aufrechterhaltung des
elektrischen Feldes nicht mehr zur Verfügung stehen. Deshalb
müssen zusätzliche Ladungen auf die Platten fließen.
→ Die Kapazität vergrößert sich.
Materie
E=U0/h
ε = ε0εr
Man kann große Kapazitätswerte erreichen durch:
• große Plattenfläche
• kleinen Plattenabstand
• Füllen des Volumens zwischen den Platten mit Material mit
großem εr.
(Teflon: εr ≈ 2; Glas: εr ≈ 10; Titanate: εr ≈ 100 ... 5000)
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53
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, Dielektrikum, Einfluss auf die elektrische Feldstärke
Wenn man ein Dielektrikum (isolierende Platte) zwischen den Platten eines Kondensators bringt,
sinkt die Spannung U um den Wert εr.
Das dielektrische Material soll den Kondensator komplett ausfüllen.
q εε A
C= = 0 r
U
h
q⋅h
U=
ε 0ε r A
mit
2
r
r
U = ∫ E dx = E ⋅ h
1
Die elektrische Feldstärke E sinkt wenn im Kondensator ein Dielektrikum ist, da E proportional U ist.
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54
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, dielektrische Werkstoffe in Kondensatoren
Kapazität
A
C = εr ⋅ ε0 ⋅
d
Keramik-Kondensator
Keramik-Kondensator
hohe
hoheKapazität
Kapazitätdurch
durch
große
großeDielektrizitätszahl
Dielektrizitätszahlεεr
r
Folien-Kondensator
Folien-Kondensator
(Kunststoff/Papier)
(Kunststoff/Papier)
hohe
hoheKapazität
Kapazitätdurch
durch
große
Plattenfläche
große PlattenflächeAA
Elektrolyt-Kondensator
Elektrolyt-Kondensator
hohe
hoheKapazität
Kapazitätdurch
durch
geringen
Plattenabstand
geringen Plattenabstanddd
Kondensatoren (je nach Stoffklasse und Bauform) mit C = 1pF...1F
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55
Einführung in die Elektrotechnik
Technische Kondensatoren, Übersicht
Kondensatoren
Keramik-Kondensatoren
LeistungsKondensatoren
KleinKondensatoren
Kunststoffolien-Kondensatoren
Metallschicht
Metallfolie
Elektrolyt-Kondensatoren
Aluminium
Tantal
z.B. Vielschichtkondensator
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56
Einführung in die Elektrotechnik
Auswahlkriterien für Kondensatoren
Auswahlkriterien
• Kapazität C (1 pF bis 1 F)
• Nennspannung (1,5 V ... > 1 KV)
• Betriebstemperatur (typ.: -55 ... 125 °C)
• Verlustfaktor (typ. Angabe bei 25 °C, 1 KHz)
• Bauform und Volumen
Detailierte Charakterisierung
• Toleranz C ± ∆C
• Temperaturverlauf C(T)
• Frequenzverlauf C(ω
ω)
• Spannungsabhängigkeit C(U)
• Leckstrom bei Gleichspannung (RC-Zeit)
• selbstheilende Eigenschaften
• Lebensdauererwartung
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57
Einführung in die Elektrotechnik
Übersicht Kondensatoren
Keramikkondensator
Dielektrikum
Keramik
Folienkondensator
Dielektrikum
(NDK, HDK, Vielschicht)
Kunststoff,
Papier
Elektrolytkondensator
Dielektrikum
Oxidschichten
(Al2O3, Ta2O5)
• εr ≈ 10 ... >104
• εr ≈ 2 ... 4
• εr ≈ 8 bzw. 27
• dDiel: 10 ... 30 µm
• dDiel: 1 ... 3 µm
• dDiel: 0,05 ... 0,5 µm
• C: 1 pF ... 1 µF
• C: 10 pF ... 10 µF
• C: 100 µF ... 1 F
• tan δ: 1·10-3 ... 50·10-3
• tan δ: ≤ 0,2·10-3 ... 5·10-3
• tan δ: 40·10-3
+ hochwertiger Standard-
+ preiswerter Standard-
+ sehr hohe Volumenkapazität
kondensator
kondensator
- feuchte- und temperatur-
- hoher Leckstrom
- nur für NF-Anwendungen
empfindlich
dDiel: Dicke des Dielektrikums
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58
Einführung in die Elektrotechnik
Aufbau von Keramikkondensatoren
• Einschicht- oder Scheibenkondensator
• Vielschichtkondensator
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59
Einführung in die Elektrotechnik
Aufbau eines keramischen Sperrschichtkondensators
++
+
Ausbildung von Miniatur-Kondensatoren
- ++
--+++
-- -
---
++
+++
+++
Werkstoff: dotiertes BaTiO3
-
durch leitfähige Körner
+
+
(n-leitend, z.B. mit Sb3+-Dotierung)
und isolierende Sperrschichten (Korngrenzen)
(p-leitend, z.B. mit Cu2+ oder Fe3+-Dotierung)
Raumladungs - Polarisation
---
εeff bis zu 105, höchste Kapazitätswerte pro Volumen
--+++
+++
Dielektrikums-Dicke d entspricht der Dicke der
isolierenden Randschichten
Kontaktierung
Sperrschicht leitende Zone
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60
Einführung in die Elektrotechnik
Definierter Temperaturkoeffizient von Keramikkondensatoren
%
Werkstoffe mit einem definierten,
linearen Temperaturkoeffizienten
(positiv, negativ oder null)
TKε von TiO2 ≈ -1000 ppm/K = N1000
TKε von Ba2Ti9O20 ≈ 0 ppm/K = NP0 (COG)*
TKε von MgTiO3 ≈ +100 ppm/K = P100
* EIA-Standard
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61
Einführung in die Elektrotechnik
1. Materie im E-Feld, Folienkondensatoren
Folienkondensatoren
K
MP
MK
Kunstoffund Metallfolie
metallisiertes
Papier
metallisierte
Kunststofffolie
Metallfolie
Dielektrikum
(Papier, Kunststoff)
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62
Einführung in die Elektrotechnik
4. Materie im E-Feld, Folienkondensatoren
Aufmetallisierter
Belag
(Elektroden)
KunststoffolienDielektrikum
Kontaktierung
(Schoopierung)
MP- und MK- Folienkondensatoren:
Elektrischer
Durchschlag
Verdampfung der
zerstörten Gebiete
Gehäuse
Trennung vom
Kondensator
Anschlußdraht
Selbstheilung
Selbstheilung nach Durchschlag
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63
Einführung in die Elektrotechnik
Elektrolytkondensatoren
gepolter Elko
+
Anschlußfahnen
(kaltgeschweißt)
-
Anode Dielektrikum Elektrolyt
d ≈ 0,05...0,5 µm
flüssig
+
-
Papier und
Elektrolyt
Elektrolyt Kathode
trocken
Al
Al2O3
Salzlösung Mangan-
Ta
Ta2O5
Schwefel-
oxid
säure
MnO
Al
Ta / Ag
• Dielektrikum entsteht durch anodische Oxidation
• Dielektrikum sperrt den Stromfluß in eine Richtung
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Anodenfolie
aufgerauht
Kathode
64
Einführung in die Elektrotechnik
Elektrolytkondensatoren
Polaritätsmarkierung
Silberleitlack
Silberleitkleber
MnO2
Dielektrikum
Anode
Kathode
{
Graphit
Poröser Ta-Sinterkörper
-
+
Ta2O5
Silberleitlack
Graphit
Alloy 42 (NiFe)/TaSchweißung
Ta-Draht
Ta
Teflonring
Anschluß
Epoxidharz
Anode
Ta 2O5
MnO 2
Kathode
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65
Grundlagen
5. Bewegung von Ladungsträgern
Ein elektrischer Strom ist die Bewegung von Ladungsträgern.
Jede vorkommende Ladung ist ein Vielfaches der Elementarladung e (e = 1.6*10-19 C).
Technische Stromrichtung nach DIN 5489:
Der Strom in einem Leiter von Punkt 1 zu einem Punkt 2 wird positiv gerechnet, wenn
• positive Ladungsträger sich von 1 nach 2 oder
• negative Ladungsträger sich von 2 nach 1
bewegen.
i
1
2
+
-
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66
1.1 Grundlagen
5. Bewegung von Ladungsträgern
Zusammenhang zwischen bewegter Ladungsmenge q und Stromstärke i:
Ladungsmenge ∆q, die während der Zeit ∆t durch die Fläche A strömt:
i
-
-
A
-
-
x
∆q dq
I=
=
∆t dt
[ I ] = 1 A = 1 Ampère ( SI − Einheit )
[ q ] = [ i ] * [ t ] = 1 As = 1C = 1Coulomb
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67
1.1 Grundlagen
5. Geschwindigkeit im metallischen Leiter
l
Gegeben: ein homogener elektrischer Leiter.
An den Leiter der Länge l wird die Spannung U angelegt.
Die Elektronen bewegen sich zwischen den ortsfesten CuAtomrümpfen hindurch entgegen der Zählpfeilrichtung von i.
dx
i
A i
Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Elektronen?
i=
dq
dt
i = −e n A
dq = −e n A dx n : Elektronendichte n ≈ 1022 cm−3
dx
dt
mit der Stromdichte
J=
U
dx
1 i
1
=−
=−
J
dt
en A
en
positiv geladene, ortsfeste CuAtomrümpfe
negativ geladene, frei
bewegliche Elektronen
i
;
A
Im örtlichen und zeitlichen Mittel
gleiche Anzahl von Elektronen
und Atomrümpfen je cm3.
[J] =
A
cm2
oder
A
m2
Beispiel: i = 1 A; A = 1 mm2 :
dx
1 A / mm2
cm
=−
= −0.063
dt
s
1.6 ⋅ 10 −19 As ⋅ 10 22 cm− 3
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68
1.1 Grundlagen
5. Elektrisches Feld, Kraft auf ein Elektron
Zusammenhang zwischen elektrischem Feld und Stromdichte:
U = Ri = ρ
l
i;
A
U
i
=ρ
l
A
ρ : spezifischer
E=ρ J
Widerstand in Ωm
E = U / l ist die elektrische Feldstärke im Inneren eines homogenen vom Strom i durchflossenen
Leiter der Länge l.
Kraft auf ein Elektron:
Aus J = −e n
dx 1
= E
dt ρ
und
F = −e E
folgt:
F = −e E = e 2 nρ
dx
dt
F~
dx
dt
Die Kraft proportional zur Transportgeschwindigkeit der Ladungsträger ist eine Reibungskraft: die
Ladungsträger geben ihre kinetische Energie fortwährend durch unelastische Stöße mit den
Atomrümpfen ab; dadurch erwärmt sich der Leiter.
Für ein Elektron im Vakuum gilt das Newton‘sche Kraftgesetz:
F = −e E = m
d 2x
dt
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2
; F~
d 2x
dt 2
69
1.1 Grundlagen
Elektrische Leiter, Nichtleiter
Elektrische Leiter
z.B. Metalle.
Wenn sich elektrisch neutrale Cu-Atome zu einem Festkörper (Cu-Draht) zusammenfügen, dann
sind bereits bei T = 0 K die Valenzelektronen nicht mehr an ein bestimmtes Cu-Atom gebunden,
sondern sind in dem Kristallgefüge aus Cu-Rümpfen frei beweglich.
Es hat aber keine Ladungstrennung in eigentlichen Sinn stattgefunden, der Cu-Draht ist
elektrisch neutral, pro Volumeneinheit gibt es genausoviele positiv geladene unbewegliche CuAtomrümpfe wie negativ geladene bewegliche Elektronen.
Elektrische Nichtleiter, Isolatoren
z.B. Glas, Kunststoffe, Keramik.
Bei zivilen Temperaturen keine beweglichen Ladungsträger vorhanden.
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70
1.2 Gleichspannungsquellen
Galvanische Elemente
Wandeln gespeicherte chemische Energie in elektrische Energie.
Können nur für eine einmalige Entladung verwendet werden.
Akkumulatoren (Batterien)
Wandeln chemische Energie in elektrische Energie und umgekehrt.
Können entladen und geladen werden.
z.B. Bleiakku, Elektrolyt: Schwefelsäure, Elektroden: Blei und Bleioxid
Brennstoffzellen
Wandeln chemische Energie kontinuierlich und ohne Umweg über Wärme oder mechanische
Energie in elektrische Energie um.
Solarzellen
Wandeln Lichtenergie in elektrische Energie um (sind Halbleiterbauelemente).
Thermoelemente
Wandeln thermische Energie in elektrische Energie um, Seebeck-Effekt. (Kombination von
zwei Substanzen, die in der Spannungsreihe weit auseinander stehen)
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71
1.2 Gleichspannungsquellen
Blei - Batterie: Ablauf der Entladereaktion
i
_
Pb + H2SO4 → PbSO4 + 2 e- + 2 H+
Anode
Pb PbSO4
Elektrolyt
H2O + H2SO4
Kathode
PbSO4 PbO2
PbSO4
PbSO4
2
ePb
SO42-
SO42Pb2+
+
2 H+ + 2 e- + PbO2 + H2SO4 → PbSO4 + 2 H2O
H2SO4
H2SO4
Pb2+
2 e-
2 H+
2 H+
2 H 2O
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2 H+
2 O2-
Pb4+
PbO2
72
1.2 Gleichspannungsquellen
Prinzip der Brennstoffzelle (SOFC, Solid Oxide Fuel Cell)
H Wasserstoff
Nutzstrom
O2
O
O
Oxidationsgas
O2
O
O
O
-
O
-
O
O
-
-
-
-
O
-
- H
O
-
H
H
H
H
Brenngas
+
-
-
O Sauerstoff
- Elektronen
H
H
H
H
O
O
H2
H2O
H
Kathode
Elektrolyt
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Anode
73
1.2 Gleichspannungsquellen
Prinzip der Brennstoffzelle (PEMFC, Polymer Electrolyte Membrane Fuel Cell)
+
H+
H+
H
O
H
Kathode
O2 → 2 Oads
2 Oads + 4 H+ + 4 e→ 2 H2O
H+
H+
H+
H+
H+
H+
H+
H
H+
H
H+
H+
H+
H
H+
H+
Pt-Katalysator
Graphitpapier
H+
H+
Elektrolyt-Membran
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, Siemens
2 H2 → 4 Hads
4 Hads → 4 H+ + 4 e-
H
H+
H
O
H
O2, N2, H2O
H2
Anode
O2, N2
H2
74
1.2 Gleichspannungsquellen
Symbol
Symbol für eine Gleichspannungsquelle:
+ Pol:
U:
U
- Pol:
Überschuß an positiver Ladung
(Mangel an negativer Ladung)
Elektrische Spannung wird durch Bezugsspfeil
symbolisiert.
Zeigt vom positiven Pol zum negativen Pol,
in die Richtung, in der positive Ladungsträger bei
einem Ladungsausgleich fließen würden.
[U] = 1 V = 1 Volt
Überschuß an negativer Ladung
(Mangel an positiver Ladung)
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75
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Geschlossener Stromkreis
Ein geschlossener Stromkreis besteht z.B. aus einer Quelle
und einem Verbraucher.
Geschlossener Stromkreis
Die Pole einer Batterie werden durch einen Leiter (z.B. eine Glühlampe)
zu einem Stromkreis geschlossen.
Beobachtungen:
• Der Draht erwärmt sich, in der Lampe bis zur Rot- oder Weißglut
• Bei lang andauerndem Versuch wird die Lampe dunkel;
der Versuch läßt sich mit der gleichen Batterie nicht wiederholen.
U
Deutung:
Durch den elektrischen Leiter findet Ladungstransport statt; der Ladungstransport hört auf, wenn die
gesamte überschüssige Ladung abgeflossen ist, d.h. wenn die Batterie elektrisch neutral geworden
ist.
Der Ladungstransport durch den elektrischen Leiter geht nicht "reibungslos" vor sich, der Leiter setzt
dem Ladungstransport einen (Reibungs-)Widerstand entgegen.
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76
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Elektrischer Widerstand, elektrischer Leitwert
Elektrischer Widerstand
i
i
Der elektrische Widerstand R des Leiters, der den +Pol mit dem -Pol
verbindet, ist zu bestimmen nach dem ohm'schen Gesetz:
R=
U
i
bzw. U = R i
[ R] =
U
R
[U ]
V
= 1 = 1 Ω = 1 Ohm
[i]
A
Elektrischer Leitwert
Leitwert G = Kehrwert des Widerstandes R:
G=
1 i
=
R U
[G] =
[ 1]
1
A
=
= 1 = 1 S = 1 Siemens
[ R] Ω
V
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77
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Spezifischer Widerstand, spezifischer Leitwert
Spezifischer Widerstand ρ
ρ ist eine Eigenschaft des elektrischen Leiters:
i
i
l
R=ρ
A
l: Länge des elektrischen Leiters
A: Querschnittsfläche des elektrischen Leiters
ρ: spezifischer Widerstand, charakterisiert das
Leitermaterial
A
ρ=R
l
[ A]
Ω mm 2
[ ρ ] = [ R]
=1
[l ]
m
U
R
auch üblich : 1 Ω m
Spezifischer Leitwert κ
κ=
1
[κ ] =
ρ
Leitermaterial
ρ
Ω mm 2
m
[ 1]
m
=1
[ρ]
Ω mm 2
auch üblich : 1
S
m
Ag
Cu
Au
Al
Fe
0,0165
0,0178
0,023
0,0306
0,135
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78
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Elektrische Energie, elektrische Leistung
Geschlossener Stromkreis mit Quelle und Verbraucher:
Elektrische Energie W:
Von der Quelle fließt elektrische Energie zum Verbraucher, die in
Wärme (oder eine andere Form der Energie) umgesetzt wird:
i
i
U
R
t
W ( t ) = ∫ U ( t' )i( t' )dt'
[ W ] = [ U ][ i ][ t ] = 1VAs = 1Ws
t0
Elektrische Leistung P:
Den Energiestrom, das ist die transportierte Energiemenge oder
"geleistete" Arbeit pro Zeiteinheit, bezeichnet man als Leistung:
P( t ) =
dW ( t )
= U ( t )I ( t )
dt
[ P ] = [ U ][ I ] = 1VA = 1W = 1Watt
Die elektrische Leistung, die in einem ohm'schen Verbraucher in
Wärmeleistung umgesetzt wird, ist:
2
P = u* i =
u
= i2R
R
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P > 0: Leistung wird aufgenommen,
z.B. Widerstand
P < 0: Leistung wird abgegeben, z.B. Quelle
79
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Widerstands-Kombinationen: Serienschaltung, Spannungsteiler
Serienschaltung
Der gleiche Strom fließt durch beide Widerstände, die
einzelnen Spannungsabfälle addieren sich zu einem
Gesamtspannungsabfall U.
U = U 1 + U 2 = iR1 + iR2 = i * ( R1 + R2 )
i
R1
R2
U1
U2
U
Der Gesamtwiderstand
n
Rges = R1 + R2
allgemein: Rges = ∑ Rn
i =1
ist die Summe der Einzelwiderstände.
i
Spannungsteiler
 U2
R2
R2
U
bzw. U 2 =
=

U = i( R1 + R2 )  U
R1 + R2
R1 + R2
U 2 = iR2
U
R1
U1
R2
U2
0 .. 1
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80
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Verstellbarer Widerstand: Potentiometer
Potentiometer
Das Potentiometer ist ein verstellbarer Widerstand.
Entlang einer Widerstandsbahn kann ein Abgriff
bewegt werden. Für die Position x des Schleifers gilt:
0 ≤ x ≤ 1.
Damit folgt für den Widerstand R2
R2 = x Rges = x( R1 + R2 )
1
R1
U
Rges =
R1 + R2
x
R2
U2
Für die Spannung U2 ergibt sich
U2 =
R2
U = xU
R1 + R2
d.h. U2 ist proportional der Schleiferstellung x.
U1
0
Kohle- oder MetallschichtWiderstandsbahn
Anwendung z.B zur Lautstärkeeinstellung:
x = 0: U2 = 0 → kein Ton
x = 1: U2 = U → maximale Lautstärke
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81
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Widerstands-Kombinationen: Parallelschaltung
Parallelschaltung
An beiden Widerständen liegt die gleiche Spannung an; der
Gesamtstrom i verzweigt sich auf i1 und i2:
i = i1 + i2 =
u
u
1
1
+
= u(
+
)
R1 R2
R1 R2
i
1
1
1
=
=( +
)
u
Rges
R1 R2
allgemein:
1
Rges
n
1
R
i =1 n
=∑
i1
R1
i2
R2
i
u
Die Leitwerte addieren sich.
Der Gesamtwiderstand
Rges =
R1 R2
R1 + R2
ist kleiner als R1 bzw. R2.
Stromteiler
i1 i1 u 1 R1 R2
R2
=
=
=
i u i R1 R1 + R2 R1 + R2
bzw.
i2
R1
=
i R1 + R2
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82
1.3 Elektrischer Strom, Widerstand, Energie, Leistung
Beispiel
UL
Ein Heizofen (laut Typschild: PN = 2 kW, UN = 230 V) wird über
eine lange Zweidrahtleitung (l = 100 m, je 1 mm2, Kupfer) an
eine Spannungsquelle mit U = 230 V angeschlossen.
RH
Widerstand des Heizofens
RL
Widerstand einer Ader der Zuleitung
i
RL
UH RH
U
RL
UL
U N2
PN =
;
RH
2
U N2 ( 230 V )
RH =
=
= 26.5 Ω
PN
2000 W
l
Ω mm 2 100 m
RL = ρCu = 0.0178
= 1.78 Ω
A
m 1 mm 2
U = 2U L + U H = i (2 RL + RH )
U
= 7.65 A
i=
2 RL + RH
U H = iRH = 203 V ;
PH = iU H = 1553 W ;
U L = iRL = 13.6 V
PL = 2iU L = 208 W
PH + PL = 1761 W
PL : Gesamte in der Zuleitung umgesetzte Leistung
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83
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Spannungsquelle
Jede reale Quelle hat einen inneren Widerstand Ri.
An den außen zugänglichen Klemmen liegt die Spannung URL.
Die innere Spannung U0 ist durch die Art der Energieumwandlung bestimmt und ist eingeprägt, d.h. unabhängig
von der Belastung durch den Verbraucher RL.
U RL = U 0 − iRi = U 0
RL
Ri + RL
Ersatzschaltbild einer
realen Spannungsquelle
i
Ri
U0
URL
RL
URL: Klemmenspannung
i Ri: Spannungsabfall an Ri
Zwei Grenzfälle:
Leerlauf:
RL → ∞
i=0
URL = U0 = UL
UL: Leerlaufspannung
Kurzschluß:
RL = 0
URL = 0
i = U0 / Ri = ik
ik : Kurzschlußstrom
In beiden Fällen ist die am Verbraucher umgesetzte Leistung null (P = URL i).
Außerdem gilt:
U L = Ri ik
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84
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Spannungsquelle
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85
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Stromquelle
Der Strom i0 der idealen Stromquelle verzweigt sich auf die
Parallelschaltung von Ri und RL:
U RL = Rges i0 =
Ri RL
i0 oder
Ri + RL
Ersatzschaltbild einer
realen Stromquelle
U RL = Ri ( i0 − i ) = U L − Ri i
i0
i
Ri
URL
RL
Ri
RL
U
) = i0
i = i0 − RL = i0 ( 1 −
Ri + RL
Ri + RL
Ri
Zwei Grenzfälle:
Leerlauf:
RL → ∞
i=0
Kurzschluß:
RL = 0
URL = 0
URL = Ri i0 = UL
UL: Leerlaufspannung
i = i0 = ik
ik : Kurzschlußstrom
In beiden Fällen ist die am Verbraucher umgesetzte Leistung null (P = URL i).
Ausserdem gilt:
U L = Ri ik
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86
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Vergleich: Spannungsquelle, Stromquelle
Spannung:
Strom:
reale Spannungsquelle
reale Stromquelle
U RL = U 0 − Ri i = U L − Ri i
U RL = Ri i0 − Ri i = U L − Ri i
i=
U 0 U RL
U
−
= ik − RL
Ri
Ri
Ri
Leerlaufspannung (i = 0):
U L = U0
Kurzschlußstrom (URL = 0):
U
iK = 0
Ri
URL
Zwei Quellen verhalten
sich gleich, wenn von
den Größen UL, iK, Ri
zwei gleich sind.
UL = U 0
U
U
i = i0 − RL = ik − RL
Ri
Ri
U L = Ri i0
U L = Ri iK
U L = Ri iK
iK = i0
Kennlinie
URL
Steigung: -Ri
Steigung: -Ri
0
0
i K = U0 / Ri
UL = Ri i 0
Kennlinie
i
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0
0
i
iK = i0
87
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Spannungsquelle, maximal entnehmbare Leistung
Welche Leistung kann man einer realen Spannungsquelle durch
einen Verbraucher RL maximal entnehmen:
Ri
P = U RL ⋅ i = ( U 0 − U Ri )i = ( U 0 − Ri i )i = U 0i − Ri i 2
U
i
dP
= U 0 − 2iRi = 0 ; i = 0 = k
di
2 Ri 2
U
U
U RL = U 0 − iRi = 0 = L
2
2
1
1
Pmax = U 0 ik = U Lik
4
4
URi
U0
U
mit iK = 0
Ri
i
URL RL
Dabei muß RL folgende Größe haben:
RL =
U0 / 2
U RL
=
= Ri
i
U 0 /( 2 Ri )
Also: maximale Leistung in RL,
wenn RL = Ri. → Anpassung
Wirkungsgrad η:
Nutzleistung im Verbraucher RL
i 2 RL
η=
=
Gesamtleistung in Ri und RL
i 2 Ri + i 2 RL
η=
RL
Ri + RL
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η = 50 % für RL = Ri
η → 100 % für RL → ∞
88
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Spannungsquelle, Leistungsbilanz
Wirkungsgrad:
Wirkungsgrad, norm. Leistung
1.0
η=
U 02
)
Pnorm = U L ⋅ iK ( = U 0iK =
Ri
RL / Ri
1 + RL / Ri
Leistung der Quelle:
0.8
PQ
U 02
0.6
MPP: Maximim Power Point
=
/ Ri
1
1 + RL / Ri
Leistung im Verbraucher:
P
0.4
U 02 / Ri
0.2
=
RL / Ri
( 1 + RL / Ri )2
Leistung im Innenwiderstand:
Pi
U 02 / Ri
0.0
0
Kurzschluss
1
2
Nachrichtentechnik
3
4
RL/Ri
5
U 02 / Ri :
=
1
( 1 + RL / Ri )2
Leistung der Quelle bei
Kurzschluß
Energietechnik
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89
1.4 Quellen-Ersatzschaltbilder
Beispiele zu Spannungs- und Stromquellen-Ersatzschaltbildern
Eine reale Spannungsquelle (gestrichelt umrandet) bestehe aus einer
idealen Spannungsquelle UA und einem Spannungsteiler R1 und R2. An
den Klemmen K K' kann ein beliebiger Verbraucher RL angeschlossen
werden.
i
R1
UA
R2
K
UKL
Klemmspannung = UKL, Strom durch Verbraucher i = UKL /RL.
K'
Gesucht: Elemente des äquivalenten Spannungs- und StromErsatzschaltbildes.
K
Ri
U 0 = U KL ( i = 0 ) = U L = U A
i0 = i( U KL = 0 ) = ik =
Ri =
UL
RR
= 1 2
ik
R1 + R2
UA
R1
R2
R1 + R2
U0
Leerlaufspannung
K'
Kurzschlußstrom
K
i0
Ri
Innenwiderstand
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K'
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1.5 Kirchhoffsche Gesetze
Knotenregel
Knotenregel, 1. Form
i1
An einem Knoten ist die Summe aller Ströme null.
Bezugspfeil zum Knoten hin:
Bezugspfeil vom Knoten weg:
positiv.
negativ.
i2
i3
i1 − i2 − i3 + i4 − i5 = 0
i5
i4
Knotenregel, 2. Form
An einem Knoten gilt:
Σ der zufließenden Ströme = Σ der abfließenden Ströme
i1 + i4 = i2 + i3 + i5
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1.5 Kirchhoffsche Gesetze
Maschenregel
Maschenregel
In einer geschlossenen Masche ist die Summe aller Spannungen
(Quellenspannungen, Spannungsabfälle an Widerständen usw.) null.
U2
U1
M1
U3
Der Umlaufsinn ist beliebig.
Spannungsbezugspfeil in Umlaufrichtung:
positiv.
Spannungsbezugspfeil entgegen der Umlaufrichtung:
negativ.
U4
− U1 + U 2 + U 3 + U 4 = 0
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1.5 Kirchhoffsche Gesetze
Anwendungsbeispiel für Knoten- und Maschenregel
M1:
− i1R1 − i5 R5 + i3 R3 = 0
M2:
− i2 R2 + i4 R4 + i5 R5 = 0
M3:
− U + i1 R1 + i2 R2 = 0
R1
M3
i1 − i2 − i5 = 0
2
i3 − i4 + i5 = 0
1
−1
 1
 0
0

− R1
0

− R2
 0
 R1
R2
2
M1:
M2:
M3:
U1
i2
R2
M1
R3
R5
1
U
1
i3
i1
U2
U5
i5
U3
2
i4
R4
U4
M2
0
1
0
−1
R3
0
0
0
R4
0
− 1   i1   0 
1  i2   0 
− R5  i3  =  0 
   
R5  i4   0 
0  i5  U 
Unter welcher Bedingung ist i5 = 0?
Wenn i5 = 0, dann
i1 = i2 ; i3 = i4 ; i1R1 = i3 R3 ; i2 R2 = i4 R4 ;
→
i1R2 = i3 R4
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→
R1 R3
=
R2 R4
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1.6 Überlagerungsprinzip
Bei mehreren Quellen können Ströme und Spannungen durch
Überlagerung von Teillösungen berechnet werden.
i0
Voraussetzung: lineare Beziehungen an den Elementen zwischen
Strom und Spannung.
Berechnung einer Teillösung:
1. Nur eine Quelle betrachten, die anderen zu Null setzen:
- Spannungsquelle → Kurzschluss (U = 0)
- Stromquelle → Leerlauf (I = 0)
i2
U0
a)
i0
i1
R2
i2
R2
i2
R1
Beispiel:
R2
i0 ;
R1 + R2
R2
R1
2. Gesamtstrom = Summe der Teilströme (aus den Teillösungen)
i1a =
i1
i1b =
U + R2i0
i1 = i1a + i1b = 0
R1 + R2
U0
R1 + R2
i2 a = −
U0
R1
i0 ; i2b =
R1 + R2
R1 + R2
U − R1i0
i2 = i2 a + i2b = 0
R1 + R2
Achtung: Zur Berechnung der Leistung an einem Widerstand darf
das Überlagerungsprinzip nicht angewendet werden!
(nichtlinearer Zusammenhang zwischen Leistung und Strom!)
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b)
i1
R1
U0
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