Geometrisches Modellieren, Visualisieren und CAD

Aufgabensammlung
Geometrisches Modellieren,
Visualisieren und CAD
Hans-Peter Schröcker
Arbeitsbereich Geometrie und CAD
Universität Innsbruck
Sommersemester 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Merkwürdige Punkte im Dreieck
1
2 Unmögliche Körper
2
3 Kegelschnitte mit räumlicher Deutung
3
4 Turm des Lichts
4
5 Dachausmittlung
5
6 Kotierte Projektion
6
7 Bienenwaben
7
8 Drehkreuz
8
9 Die Dupinsche Indikatrix
9
10 Designertisch
10
11 Schneidewalze
11
12 Archimedische Schraube
12
13 Das Oloid
13
14 Teelichthalter »Twisted«
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Geometrisches Modellieren, Visualisieren und CAD
Sommersemester 2008
1 Merkwürdige Punkte im Dreieck
• Konstruieren Sie den Schwerpunkt S, den Höhenschnittpunkt H, den Innkreismittelpunkt I und den Umkreismittelpunkt U eines Dreiecks.
• Beschriften Sie diese vier Punkte und verifizieren Sie, dass S, H und U auf einer
Geraden (der Eulerschen Geraden) liegen.
• Stellen Sie In- und Umkreis dar und markieren Sie die Berührpunkte des Innkreises mit den Dreiecksseiten.
H
I
S
U
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
Circle, Extend, Intersect, Line, Notes, Point,
PolyLine, Text, Trim.
1
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Sommersemester 2008
2 Unmögliche Körper
Modellieren Sie einen 3D-Körper K, der bei geeigneter Wahl von Projektionsart,
Kameraposition und Blickrichtung den Eindruck eines »unmöglichen Körpers« erweckt.
Stellen Sie die »unmögliche Ansicht« auch tatsächlich in einem Ansichtsfenster dar.
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
Box, BooleanUnion, CameraTarget, Extrude, Plane,
Silhouette, Trim, Torus, ViewportProperties.
2
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Sommersemester 2008
3 Kegelschnitte mit räumlicher Deutung
Lösen Sie zwei der folgenden Konstruktionsaufgaben für Kegelschnitte mittels räumlicher Deutung:
1. Kegelschnitt aus zwei Linienelementen U, u und V, v sowie einem weiteren
Punkt P.
2. Kegelschnitt aus zwei Linienelementen U, u und V, v sowie einer weiteren
Tangente t.
3. Parabel aus zwei Tangenten u, v und zwei weiteren Punkten P, Q.
4. Kegelschnitt, der einen gegebenen Kreis doppelt berührt und drei weitere Punkte
A, B, C enthält.
5. Kegelschnitt, der einen gegebenen Kreis hyperoskuliert und zwei weitere Punkte
A, B enthält.
Wieviele Lösungen gibt es in den angegebenen Fällen? Können die Angabestücke
auch so gewählt werden, dass keine Lösung möglich ist?
v
u
V
U
v
V
u
u
v
U
P
P
A
Q
B
t
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
Cone, ExtendSrf, Hyperbola, Intersect, Plane,
Project, Revolve, Sphere.
3
C
B
A
Geometrisches Modellieren, Visualisieren und CAD
4 Turm des Lichts
Im »Turm des Lichts«, einem Gebäude am Campus der Tokyo Metropolitan University, sind verschiedene Aspekte des Laufes der Sonne am
Firmament visualisiert. Unter anderem gibt es
eine Treppe, auf die zu Mittag eines jeden Tages
ein durch eine kleine Maueröffnung einfallender
Lichtstrahl trifft. Nur zur Wintersonnenwende
fällt der Lichtstrahl so flach ein, dass er den Fuß
der Treppe erreicht.
Im geometrischen Modell kann man den Lichtstrahl als Gerade interpretieren, welche die
Oberkanten der Treppenstufen trifft (siehe untenstehende Abbildung).
Konstruieren Sie unter der Annahme, dass der
Lichtstrahl unter einem ersten Neigungswinkel
(Winkel mit der Grundrissebene) von 25◦ einfällt, eine Treppe mit mindestens drei Stufen so
dass
1. die Treppenstufen 17 cm hoch und 29 cm
tief sind und
2. die Treppenoberkanten den Lichtstrahl jeweils in einem Punkt treffen!
Hinweis Die Aufgabe kann günstig mit Methoden der Kotierten Projektion gelöst werden
(Böschungskegel!).
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
Explode, Join, Offset, Rotate.
4
Sommersemester 2008
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Sommersemester 2008
5 Dachausmittlung
45
45
°
Lösen Sie die folgende Aufgabe zur Dachausmittlung zuerst durch eine ebene Konstruktion im Grundriss. Fertigen Sie anschließend ein 3D-Modell der Dachlandschaft an.
Es ist darauf zu achten, dass kein Wasser auf das umschließende Mauerwerk abrinnt.
Alle Traufen befinden sich in derselben Höhe und alle Dachflächen sind (mit einer
Ausnahme) unter 45◦ geneigt.
°
45
°
45°
60°
45°
Die Angabe kann in elektronischer Form von der Seite http://geometrie.uibk.ac.
at/Lehre/gmvc/ heruntergeladen werden.
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
ExtendSrf, ExtrudeCrvTapered, Trim.
5
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Sommersemester 2008
6 Kotierte Projektion
Ein ebene Plattform mit gegebenen Abmessungen ist, unter Beibehaltung der Orientierung, so in ein durch eine Ebene angenähertes Gelände einzupassen, dass sich Dammund Einschnittsvolumen ungefähr die Waage halten. Stellen Sie die notwendigen Dämme (Böschung 2 : 3) und Einschnitte (Böschung 4 : 5) sowie ihre Verschneidungen
untereinander und mit dem Gelände im Grundriss und in einem 3D-Modell. Die
Falllinien der Geländeebene führen mit der Böschung 1 : 6 in Richtung Süd-Ost.
Von der Plattform führt eine Straße mit dem Gefälle 1 : 6 weg. Stellen Sie auch die
Straße und die zugehörigen Damm- und Einschnittsebenen mit den entsprechenden
Verschneidungen dar.
26.00
6.00
19.00
R10.00
Plattform
1:6 Straße
N
16.00
Maße in m!
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
InterpCrv, Loft, Offset.
6
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Sommersemester 2008
7 Bienenwaben
Bienenwaben bestehen aus zwei Schichten kongruenter Zellen. Die Schichten passen auf ihrer gemeinsamen Rückseite lückenlos aufeinander. Jede Zelle
wird von einem regelmäßigen sechseitigen Prisma
H berandet. Die Rückwand wird von den Seitenflächen einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide D
gebildet.
Prisma H und Pyramide D haben diesselbe Achse. Außerdem schließt jede Pyramidenseitenfläche
mit zwei benachbarten Prismenseitenflächen einen
Winkel von 120◦ ein.
H
S
D
• Modellieren Sie eine einzelne Wabe. Über Durchmesser und Tiefe der Wabe ist
nichts ausgesagt – wählen Sie beides geeignet.
• Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Seitenflächen von D? Bemaßen Sie diesen
Winkel in einer Ebene, in welcher er in wahrer Größe erscheint.
• Demonstrieren Sie, dass zwei aus diesen Waben gebildete Schichten tatsächlich
auf ihrer Rückseite lückenlos aufeinander passen. Positionieren Sie dazu drei
Waben einer Schicht und eine Wabe der zweiten Schicht wie in untenstehender
Abbildung.
• Zeigen Sie weiters, dass die Teile der Pyramide D welche an der fertigen Wabe
tatsächlich auftreten, drei Seitenfläche eines Rhombendodekaeders bilden. Verwenden Sie dazu die Eigenschaft, dass die kürzeren Diagonalen der an einem
Rhombendodekaeder auftretenden Rhomben einen Würfel bilden.
Hinweis: Alle Ebenen durch einen festen Punkt S, welche
mit einer gegebenen Ebenen einen fixen Winkel (zum Beispiel 120◦ ) einschließen, umhüllen eine Drehkegel. Um eine
Seitenfläche von D zu erhalten, müssen Sie eine gemeinsame Tangentialebene zweier derartiger Kegel bestimmen.
Informationen zum Rhombendodekaeder:
• http://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_dodecahedron
• http://de.wikipedia.org/wiki/Rhombendodekaeder
7
S
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Sommersemester 2008
8 Drehkreuz
Ein Drehkreuz zum Zählen der durchgehenden Personen besteht aus einem orthogonalem
Dreibein, dessen drehsymmetrisch angeordnete
Beine von kongruenten Drehzylindern (Radius
rz = 3 cm, Höhe h = 50 cm) gebildet werden.
Die Drehzylinder laufen in einer Kugel κ vom
Radius rk = 6 cm zusammen. Beim Durchgehen einer Person wird das Zählkreuz aus der
Raststellung, in der einer der Zylinder horizontale Lage hat, um die Achse a in die nächste
Ruhestellung gedreht, wo es wieder einrastet.
• Erstellen Sie ein 3D-Modell des Drehkreuzes und bestimmen Sie auch die Drehachse a.
• Um welchen Winkel α dreht sich das Drehkreuz um die Achse a, während eine
Person durchgeht?
• Das Drehkreuz ist in einer senkrechten Wand verankert, die den Mittelpunkt der
Kugel κ und zwei Drehzylinderachsen (in Ruhelage) enthält. Modellieren Sie die
Mindestaussparung in der Wand, die notwendig ist, um die Beweglichkeit des
Drehkreuzes zu garantieren. Welche Flächenteile und Schnittkurven treten dabei
auf?
8
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Sommersemester 2008
9 Die Dupinsche Indikatrix
√
rn
P
√ rn
√
rn
Gegeben ist eine Fläche Φ. Zu jeder Flächentangente in einem regulären Flächenpunkt
−1 .
P gehört eine Normalkrümmung κn und ein Normalkrümmungsradius rn = κn
√
Trägt man auf den Flächentangenten den Wert ± rn ab, so entsteht eine Kurve in der
Tangentialebene von Φ in P – die Dupinsche Indikatrix. Sie ist entweder eine Ellipse, ein
Paar von parallelen Gerade oder ein Paar von konjugierten Hyperbeln. Je nachdem
wird der Flächenpunkt P auch elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch genannt.
P
P
Folgerungen
• Ist die Dupinsche Indikatrix kein Kreis, so gibt es in jedem Flächenpunkt genau
zwei Richtungen mit extremaler Normalkrümmung. Diese beiden Hauptkrümmungsrichtungen schließen einen rechten Winkel ein.
• Ist die Dupinsche Indikatrix ein Kreis, so sind die Hauptkrümmungsrichtungen
unbestimmt. Jeder solche Punkt wird Flachpunkt genannt.
• In hyperbolischen Flächenpunkten gibt es zwei Richtungen, die Asymptotenrichtungen, mit verschwindender Normalkrümmung. Die zu diesen Richtungen
gehörenden Normalschnittkurven besitzen in P einen Wendepunkt. Die Asymptotenrichtungen besitzen die Hauptkrümmungsrichtungen als Winkelsymmetralen.
• Die Integralkurven der Hauptkrümmungsrichtungen, die so genannten Hauptkrümmungslinien, bilden ein orthogonales Kurvennetz auf der Fläche.
Konstruieren Sie die Dupinsche Indikatrix in einem elliptischen, einem parabolischen
und einem hyperbolischen Punkt eines Torus. Ermitteln Sie an einem dieser Punkte
den Krümmungskreis eines allgemeinen Normalschnitts auf zwei verschiedene Arten:
Einmal mit Hilfe der Dupinschen Indikatrix, ein zweitesmal mit Hilfe des Rhinoceros®Befehls Curvature.
Möglicherweise nützliche Rhinoceros®-Befehle:
CPlane, Curvature, Ellipse, Hyperbola,
Intersection.
9
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Sommersemester 2008
10 Designertisch
Ein Beistelltisch besteht aus einer drehzylindrischen Glasplatte und drei ebenfalls
drehzylindrischen Metallrohren, die um die Achse der Tischplatte drehsymmetrisch
angeordneten sind und sich paarweise berühren. Die drei Beine werden durch einen
torusförmigen Ring stabilisiert, der jedes der Beine genau einmal berührt. Die Trägerebene seines Mittenkreises schneidet die Beinachsen in einem möglichst kleinem Dreieck.
Der Meridiankreisradius ist unter diesen Nebenbedingungen so groß wie möglich zu
wählen.
In der folgenden Skizze ist die Tischplatte und ein Tischbein so dargestellt, dass
die Achse des Tischbeins in wahrer Größe erscheint. Erstellen Sie ein 3D-Modell des
gesamten Tisches.
Maße in cm
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11 Schneidewalze
Die Schneidewalze dient zum raschen Ausschneiden eines Dreiecksmusters aus Teig.
Sie besteht aus drei Rollkreisen, die durch Teile von Wendelflächen verbunden sind.
Die ausgeschnittenen Dreiecke sind gleichschenkelig, haben eine Höhe von 18 cm und
eine Basislänge von 14 cm.
• Welchen Radius r besitzen die Rollkreise?
• Wie groß ist der Schraubparameter der Wendelflächen?
• Erstellen Sie ein 3D-Modell der Rollkreise, der Wendelflächen und des Mittenzylinders. Die Bandbreite der Wendelflächen nimmt linear mit dem Drehwinkel der
Schraubung ab (ein Rand liegt also auf einem Drehkegel). Sie variiert von 0,5r am
Rand bis zu r in der Mitte des Objektes. Der Mittenzylinder hat den Radius 0,25r.
• Ergänzen Sie sinnvolle Griffteile nach eigenem Ermessen (Drehfläche mit frei
geformter Randkurve).
Schneidewalze
Schnittskizze
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12 Archimedische Schraube
Eine Archimedische Spirale ist ein Vorrichtung zum Heben von Flüssigkeiten oder
Schüttgütern. Sie besteht aus einer Wendelfläche mit schräggestellter Achse, die
von zwei koaxialen Drehzylinderflächen
berandet wird.
• Modellieren Sie ein Archimedische
Schraube.
• Wie groß ist der maximale erste Neigungswinkel der Achse, bei dem die
Schraube gerade keine Flüssigkeiten
(bei Vernachlässigung der Reibung)
mehr beförden kann?
• Bestimmen Sie das Volumen (bei
gegebener zulässiger Achsneigung),
dass bei einem Durchgang befördert
werden kann.
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Sommersemester 2008
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Sommersemester 2008
13 Das Oloid
Das Oloid ist der Rand der konvexen Hülle zweier Kreise mit gleichem Radius r, die
so in zwei zueinander orthogonalen Ebenen liegen, dass ein Kreis den Mittelpunkt des
anderen enthält.
• Modellieren Sie ein 3D-Modell des Oloids.
• Verifizieren Sie, dass die Oberfläche des Oloids gleich der Oberfläche der Kugel
mit Radius r ist.
• Verifizieren
√ Sie, dass das Oloid durch Bewegung einer Strecke mit der konstanten
Länge 3r erzeugt werden kann.
• Werden die beiden Kreise fest miteinander verbunden, so entsteht ein Objekt,
dass auf einer ebenen Fläche eine »torkelnde Rollbewegung« ausführen kann.
Stellen Sie die Bahnkurven der Randkreise bei dieser Rollung dar.
• Stellen Sie einige Lagen (darunter mindestens eine allgemeine) des Objektes
während der Rollbewegung dar.
z
x
y
Weitere Informationen
• http://de.wikipedia.org/wiki/Oloid
• H. Dirnböck and H. Stachel. The development of the oloid. J. Geom. Graphics 1:1
(1997), 105–118. http://www.geometrie.tuwien.ac.at/stachel/jgg0113.pdf.
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14 Teelichthalter »Twisted«
Ein Teelichthalter besteht aus einem Gestänge, das sich
zusammensetzt aus
• zwei kongruenten, in horizontalen Ebenen liegenden regelmäßigen Sechsecken mit identischer Achse a und
• kongruenten Verbindungsbögen zwischen je zwei
Eckpunkten eines Sechsecks. Je zwei benachbarte
Bögen können durch eine Drehung um 60◦ um die
Achse a ineinander übergeführt werden.
Die Segmente zwischen zwei benachbarten Verbindungsbögen und den entsprechenden Sechseckseiten sind mit
einer abwickelbaren Bespannung abgedeckt. Konstruieren Sie den Teelichthalter so, dass die Verbindungsbögen
ebene Kurven (zum Beispiel Kreisbögen oder Parabelsegmente) sind.
Dabei ist zu beachten, dass je eine Seite des Basis- bzw.
Decksechsecks eine Erzeugende der abwickelbaren Verbindungsfläche sein muss. Wie hat man zu diesem Zweck
die Tangente im Start- bzw. Endpunkt des Verbindungsbogens zu wählen?
Konstruieren Sie außerdem eine allgemein liegende Erzeugende der abwickelbaren
Verbindungsfläche.
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