Mechatronik - Zusammenfassungen von huberjo

Mechatronik
Jonas Huber
[email protected]
Juni 2010
Diese Zusammenfassung enthält die wichtigsten Formeln etc. aus der Vorlesung Me”
chatronik“ am D-ITET der ETH Zürich, so wie sie im Frühlingssemester 2010 von
Dr. Gempp, Dr. Schöb und Dr. Rohner gehalten worden ist. Weiter wurden ergänzende
Informationen wie z. B. Korrespondenztabellen für Fourier- und Laplace-Transformationen angefügt.
Inhaltsverzeichnis
1 Aktoren
2
2 Sensoren
5
3 Signale
7
4 Magnetlager
4.1 Aktives Magnetlager als Regelstrecke
4.2 Kraftentwicklung im Magnetlager . .
4.3 Wickelraum und Verlustleistung . . .
4.4 Zeitkonstanten . . . . . . . . . . . .
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9
9
9
10
10
5 Linearmotoren
11
5.1 Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Tabellen
12
6.1 Selected Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Selected Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Mechatronik
1 Aktoren
1 Aktoren
Energiewandler
Pzu = Pab + Q̇
(1)
Pzu : zugeführte Leistung; Pab : abgeführte Leistung; Q̇: Verlustleistung.
Wirkungsgrad
η=
Pab
Pzu
(2)
Leistungsformen
Leistungsform
verallg. Potentialgrösse p
verallg. Flussgrösse f
Leistung P = pf
mech. transl.
mech. rot.
elektrisch
fluidisch
thermisch
Geschwindigkeit v
Winkelgeschw. ω
Spannung U
Druck p
Temp.-Diff. ∆T
Kraft F
Moment M
Strom I
Volumenstrom V̇
Wärmedurchgang kA
Ptr = vF
Prot = ωM
Pel = U I
Pf l = pV̇
Pth = ∆T kA
Elektrodynamischer Wandler
" #
"
" #
"
#" #
translatorisch:
d v
0
k/m
=
−k/L −R/L
dt I
rotatorisch:
d ω
0
kϕ /J
=
−kϕ /L −R/L
dt I
"
#
v
0
+
·U
I
1/L
#" #
"
#
ω
0
+
·U
I
1/L
M = kϕ · I
k bzw. kϕ : Aktorkonstante; I: Spulenstrom; v bzw. ω: (Winkel-)geschwindigkeit; R: Spulenwiderstand; L: Spuleninduktivität; U : Klemmenspannung; J: Trägheitsmoment; M : Drehmoment.
Stern-Dreieck-Schaltung
UDreieck
√
3
IDreieck
= √
3
PDreieck
=
3
UStern =
IStern
PStern
Wenn beim Anlaufen ein Motor in Stern statt im Dreieck geschaltet wird, betragen die Anzugsleistung und das Anzugsmoment nur ein Drittel der Werte, die beim Anfahren direkt mit Dreieckschaltung auftreten würden.
2
Mechatronik
1 Aktoren
Asynchronmaschine
• ESB
Abb. 1: Ersatzschaltbild der ASM. Lh : Hauptinduktivität; Lσ : Streuinduktivität; R20 : Rotorwiderstand; R1 : Statorwiderstand; U1 : Strangspannung; s: Schlupf.
R0
P = η · Pδ mit Pδ : Leistung über s2 .
• Drehzahl der ASM:
n=f·
60
· (1 − s)
p
n: Rotordrehzahl; f : Statorfrequenz; p: Polpaarzahl; s: Schlupf.
• Kenngrössen der ASM:
√
3 · UN · IN · cos ϕ · η
P
· f = Pω
M=
2π
P =
mit R1 = 0
UN : Nennspannung (verkettet); IN : Nennstrom; fN : Statornennfrequenz; nN : Nenndrehzahl;
M0 : Anlaufmoment; Mmax : max. Drehmoment; MN : Nenndrehmoment; PN : Nennleistung;
cos ϕ: Phasenwinkel U . . . I; η: mech. Wirkungsgrad.
• Kennlinie der ASM:
M
=
MK
s
sk
2
+
M
s
≈2
MK
sk
R20
sk =
Xσ
Mk = p ·
sk
s
für s klein
mit Xσ = 2π · f (L1σ + L02σ )
3
U2
· Str
2πf 2Xσ
M : Drehmoment; s: Schlupf; MK : Kippm.; sK : Kippfschlupf; MN : Nennm.; sN : Nennschl.
3
Mechatronik
1 Aktoren
Fluidischer (hydraulischer) Aktor
Vorsicht: Beim Verwenden dieser (Näherungs-)formeln müssen die Grössen unbedingt in den unten
angegebenen Einheiten eingesetzt werden!
Md
Vg · ηmh
Vg · n
V̇ =
1000 · ηvol
30000 P
Md =
π n
∆p = 20 · π
V̇ : Volumenstrom [l/min]; ∆p: Differenzdruck [bar]; P : Leistung [kW]; Md : Drehmoment [Nm];
n: Drehzahl [rpm]; Vg : Nennvolumen [cm3 ]; ηmh : Mechanisch-Hydraulischer Wirkungsgrad [0.9..0.95];
ηvol : Volumen-Wirkungsgrad [0.9..0.95].]
4
Mechatronik
2 Sensoren
2 Sensoren
Messfehler
Fehler
Messbereich
Beachte, dass der Fehler immer in Prozenten des gesamten Bereichs des Ausgangssignals, d. h. des
gesamten Messbereiches angegeben wird.
δM ess =
Wheatstone-Brücke
∆U = U0 ·
R2
R4
−
R1 + R2 R3 + R4
Induktiver Weggeber
L(x) = L0 ·
1
1 + xxm
N 2 · A · µ0
· µr
l
µLuf t · l
=
µr
L0 =
xm
L0 : Induktivität für x = 0; xm : Weg, bei welchem L(x) =
Induktiver Weggeber (Differenzschaltung)
∆U ≈
1
x
· U0 ·
2
xm
U0 : Speisespannung; xm : wie oben;
∆U : Brückenspannung (Ausgangsspannung).
Magnetfeldsensoren
UH = I0 · BZ ·
RH
d
UH : Hallspannung; BZ : Magnetfeld durch
Sensor; I0 : Strom durch Sensor;
RH : Hallwiderstand; k: Sensorkonstante.
5
L0
2 ;
N : Anzahl Windungen der Spule.
Mechatronik
2 Sensoren
Dehnmessstreifen
Beachte, dass die Leiterbahnen senkrecht zur zu messenden Ausdehnungsrichtung deutlich breiter
ausgeführt werden, um die Sensitivität gegenüber Störauslenkungen in dieser Richtung zu senken.
Rmess = ρ ·
l ± ∆x
A
(3)
Rmess : Messwiderstand; I: Länge des Drahtes; A: Querschnitt des Drahtes; ρ: relativer Widerstand.
Die Auswertung erfolgt über eine Viertel-, eine Halb- oder eine Vollbrücke. Bei der Variante mit der
Halb- bzw. Vollbrücke werden zwei bzw. vier Dehnmessstreifen eingesetzt, welche entgegengesetzt
beansprucht werden. Durch diese Differenzbildung kann die Kennlinie linearisiert werden. Details
siehe ZF zu Sensoren 2“.
”
Differenzverstärker
R2
R2
= −Ui
R1
R1
Z2
Z2
Ua = −(U2 − U1 ) ·
= −Ui
Z1
Z1
Ua = −(U2 − U1 ) ·
Beachte, dass bei einer RC-Dämpfungsbeschaltung
eine Kapazität jeweils parallel zu beiden R2 geschaltet werden muss.
Instrumentationsverstärker
R4
Ua = Ui · −
R3
2R2
+1
R1
Sinus-Cosinus Auswertung Innerhalb eines Quadranten kann die Position mit diesem Verfahren
sehr genau bestimmt werden.
ϕ = arctan
6
sin ϕ
cos ϕ
(4)
Mechatronik
3 Signale
3 Signale
Signalkennwerte und -funktionen
Bezeichung
Formel
Arithmetischer Mittelwert
x̄ =
Effektivwert
Varianz
1
T
Z T
s
1
T
x̃ =
σx2
x(t)dt
0
Standardabweichung
Schiefe
Kurtosiswert
Autokorrelation (AKF)
Autospektraldichte
Autokovarianz
σx =
γx =
βx =
x(t)2 dt
0
Z T
1
=
T
s
Z T
(x(t) − x̄)2 dt
0
1
T
Z T
(x(t) − x̄)2 dt
0
1
σx3
Z T
1
σx4
Z T
3
x(t) − ¯(x)
dt
0
x(t) − ¯(x)
4
dt
0
1
T →∞ 2T
Rxx (τ ) = lim
Z T
x(t)x(t + τ )dt
−T
Sxx (ω) = F{Rxx (τ )} =
1
T →∞ 2T
Cxx (τ ) = lim
Z T
Z ∞
−∞
Rxx (τ )e−jωτ dτ
(x(t) − x̄) (x(t + τ ) − x̄) dt
−T
Cxx (τ ) = Rxx (τ ) − x̄2
Fourier-Spektrum
XT (jω) = F{xT (t)} =
Z ∞
−∞
1
|XT (jω)|2
lim
2π T →∞
T
Leistungsverteilung
Ex (ω) =
Autospektraldichte
Sxx (ω) = lim
|XT (jω)|2
T →∞
T
7
xT (t)e−jωt dt
Mechatronik
3 Signale
Zeitfenster und zugehörige Fourier-Spektren
w(t)
Bezeichung
W (f )
(
w1 (t) =
Rechteck
1 |t| ≤ T2
0 sonst
T
1 − 2 |t|
T
0
T
2
(
|t| ≤ T2
sonst
Bartlett (Dreieck)
w2 (t) =
Hanning (Tukey)
  1 1 + cos 2πt
T
w3 (t) = 2
0
Parzen

2
3
2|t|
2t


1
−
6
+
6

T
T
 3
w4 (t) = 2 1 − 2|t|

T



0
|t| ≤
T
2
sin πf T
πf T
sin πf T2
πf T2
!2
1
T sin πf T
2 πf T 1 − (f T )2
sonst
|t| ≤
T
4
T
4
< |t| ≤
sonst
T
2
3T
8
sin πf T4
πf T4
!4
Frequency domain.
Time domain.
Satz von Shannon
Um aus einem abgetasteten Signal wieder verlustfrei das Originalsignal zu berechnen, muss die
Abtastfrequenz ωs mindestens doppelt so hoch sein, wie die höchste Frequenz ωmax , die im Originalsignal enthalten ist.
ωs > 2 · ωmax
bzw. fs > 2 · fmax
(5)
Ist diese Bedingung erfüllt, wird verhindert, dass die Spektren des abgetasteten Signals einander
überlappen (Aliasing) und so eine Rekonstruktion unmöglich machen.
8
Mechatronik
4 Magnetlager
4 Magnetlager
4.1 Aktives Magnetlager als Regelstrecke
Für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt kann die Magnetkraft als lineare Funktion des Weges
und des Stromes angegeben werden:
F (x, i) = ks · x + ki · i
mit x = X − X0 und i = I − I0
(6)
ks : Kraft-Weg-Faktor, ks < 0; ki : Kraft-Strom-Faktor, sign(ki ) = sign(I0 ), wobei I0 den Arbeitspunktstrom bezeichnet.
4.2 Kraftentwicklung im Magnetlager
B=
n·i
n · i · µ0
≈ µ0
lF e
2δ
2δ + µr,F e
F =
Bδ2 · 2Aδ
n2 i2 µ0 · 2Aδ
−2 −2
2
=
≈ 40 N cm T · 2Aδ · Bδ
2µ0
lF e 2
2δ + µr,F e
lF e
Θ = ni ≈ B · 2δ +
µr,F e
weil µr,F e 1 ⇒ 2δ lF e
µr,F e
!
· 800 A T−1 mm−1
i: Strom [A]; δ: Luftspaltlänge eines (!) Luftspalts [m]; B: Flussdichte [T]; Bδ : Flussdichte im Luftspalt [T]; n: Windungszahl; lF e : Eisenweglänge [m]; µr,F e : relative Permeabilität; Θ: Durchflutung
[A]; Aδ : Polfläche [m2 ].
Wenn die Polflächen nicht parallel zueinander
stehen, muss dies berücksichtigt werden:
Fy = 2Fp cos α
Bei 8 Polen ist beispielsweise α = 22.5◦ .
Vorsicht: für das F aus obigen Formeln gilt bereits F = 2Fp .
9
Mechatronik
4 Magnetlager
4.3 Wickelraum und Verlustleistung
Wickelraum
Θ
S
ACu
=
kf
ACu =
ASpule
ACu : Kufperfläche; ASpule : Wicklungsfläche; Θ: Durchflutung [A Wdg]; S: Thermisch zulässige
Stromdichte im Kupfer; kf : Füllfaktor.
Verlustleistung Die Verlustleistung berechnet sich aus den ohm’schen Verlusten im Kupfer der
Windungen:
PCu =
ρ · lCu,avg
ρ · lCu,avg
· Θ2 =
· n2 i2
ACu
ACu
lCu,avg : mittlere Windungslänge; ACu : Kupferquerschnitt.
4.4 Zeitkonstanten
Der unterlagerte Stromregler ist nur vernachlässigbar, wenn gilt:
2..3 · Tel < Tmech
für grosse Systeme
5..10 · Tel < Tmech
für kleine Systeme
Tmech =
Tel =
s
2π
ωmech
L · ∆I
U
ωmech =
kx
mRotor
mit L =
µ 0 Aδ N 2
2δ
Die Formel für L liefert aber immer zu hohe Werte: bis ca. 100 Hz liegen die Werte um 30 %–40 %
zu hoch.
10
Mechatronik
5 Linearmotoren
5 Linearmotoren
5.1 Regelung
Die verschiedenen Farben beschreiben verschiedene Teilgruppen: a) Begrenzung der Anforderungen;
b) Applikationswissen; c) PID-Regler; d) Mechanische Komponenten.
11
Mechatronik
6 Tabellen
6 Tabellen
6.1 Selected Laplace Transforms
Time Function f (t), t ≥ 0
Laplace Transform F (s)
1
δ(t)
1
2
σ(t)
1
s
3
t
1
s2
4
t2
2!
s3
5
t3
3!
s4
6
tm
m!
sm+1
7
e−at
1
s+a
8
te−at
1
(s+a)2
9
1 2 −at
2! t e
1
(s+a)3
10
1
m−1 e−at
(m−1)! t
1
(s+a)m
11
1 − e−at
a
s(s+a)
Number
12
1
a (at
− 1 + e−at )
a
s2 (s+a)
13
e−at − e−bt
b−a
(s+a)(s+b)
14
(1 − at)e−at
s
(s+a)2
15
1 − e−at (1 + at)
a2
s(s+a)2
16
ae−at − be−bt
(a−b)s
(s+a)(s+b)
17
sin at
a
s2 +a2
18
cos at
s
s2 +a2
19
e−at sin bt
b
(s+a)2 +b2
20
e−at cos bt
s+a
(s+a)2 +b2
21
1 − e−at cos bt +
a
b
sin bt
a2 +b2
s[(s+a)2 +b2 ]
Source: Franklin, F. G., Powell, J. D. and Emami-Naeini, A. Feedback Control of Dynamic Systems. 2009. Fifth Edition. Pearson. New Jersey.
12
Mechatronik
6 Tabellen
6.2 Selected Fourier Transforms
These fourier transforms are using the angular frequency w and are non-unitary:
Z ∞
F (ω) =
f (t)e−jωt dt
(7)
−∞
Time Function f (t)
Fourier Transform F (ω)
1
1
2πδ(ω)
2
δ(t)
1
3
ejat
2πδ(ω − a)
4
cos at
π (δ(ω − a) + δ(ω + a))
5
sin at
jπ (δ(ω + a) − δ(ω − a))
6
cos at2
7
sin at2
8
tn
9
1
t
Number
q
π
a
q
−
cos
π
a
sin
ω2
4a
π
4
−
ω2
4a
−
π
4
2πj n δ (n) (ω)
−jπsgn(ω)
10
σ(t)
11
e−at σ(t)
12
e−at
13
e−a|t|
14
rect(at)
π
1
jπω
+ δ(ω)
1
a+jω
q
2
π
a
ω2
· e− 4a
2a
a2 +ω 2
1
|a|
· sinc
ω
2πa
Rectangular function:
rect(t) =



0
1
2


1
if |t| >
if |t| =
if |t| <
1
2
1
2
1
2
(Normalized) sinc function:
sinc(x) =
sin(πx)
πx
Source: Wikipedia, Fourier transform, http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (as of June 24, 2010, 06:15 GMT).
13