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Elektrizitätslehre
Prof. Wachutka
(TU München)
Formelsammlung
Stand: 03.06.2004
Urheberrecht:
Simon Blank
Druck und Vertrieb:
Fachschaft Elektro- und
Informationstechnik e.V.
Preis:
SN: 1.03.0
0,90 €
Vorwort zur 7. Auflage:
Grundlage dieser Formelsammlung ist die Erstsemester-Vorlesung "Elektrizitätslehre", welche Herr Prof. Dr.
Wachutka im Wintersemester 1999/2000 an der TU München für Studierende der Fachrichtung "Elektrotechnik
und Informationstechnik" gehalten hat. Alle Kapitel- und Formelnummerierungen stimmen mit den
Nummerierungen aus der Vorlesung überein.
Für die 6. Auflage habe ich die Formelsammlung mit Hilfe des aktuellen Originalskriptums (von Herrn Prof. Dr.
Wachutka, welches während der Vorlesung an die Tafel geschrieben wird) im Juli 2003 komplett überarbeitet und
inhaltlich erweitert. Dabei habe ich einen kleinen Fehler in Formel (2.14) und in Kapitel 5.3.1 (bei Zeigeraddition)
übersehen, die ich hiermit korrigiert habe.
wichtiger Hinweis:
Diese Formelsammlung darf leider nicht in der Prüfung „Elektrizitätslehre“ an der TU München verwendet
werden, sondern nur (außer dem Skriptum der Vorgängerprofessoren und einer mathematischen Formelsammlung)
„5 Blätter DIN-A4 eigene handschriftliche Aufzeichnungen“.
Kontakt:
Die jeweils aktuelle (farbige) Version dieser Formelsammlung und anderes (Formelsammlungen für andere
Fächer, Linksammlungen etc.) kann man sich auf meiner Webseite herunterladen:
http://home.pages.at/studium_elt/
Korrektur- und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit herzlich willkommen. Ich bin unter folgender E-MailAdresse zu erreichen: [email protected]
letzte Aktualisierung: 03.06.2004
Elektrizitätslehre - Formelsammlung
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1: Elektrostatik
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
Superpositionsprinzip
Elektrische Feldstärke
Elektrische Arbeit
Elektrische Spannung und Potenzial
Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien
Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien
Kondensatoraggregate
Elektrostatische Feldenergie
S. 1
S. 1
S. 1
S. 1
S. 2
S. 3
S. 4
S. 5
S. 6
S. 7
Kapitel 2: stationäre Ströme
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Stromstärke, Stromdichte
Ladungstransport im elektrischen Feld
Ladungserhaltung
Schaltungen mit Widerständen
Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen
Elektrische Leistung und Energieübertragung
S. 8
S. 8
S. 10
S. 10
S. 10
S. 11
Kapitel 3: Magnetostatik
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Kräfte auf bewegte Ladungen
Kraft und Drehmoment auf Strom führende Leiter
Permanentmagnete
Quellenfreiheit des B-Feldes
Erzeugung magnetostatischer Felder
Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus gegebener Stromverteilung
Magnetische Kreise
S. 13
S. 14
S. 14
S. 15
S. 15
S. 16
S. 17
Kapitel 4: induzierte elektrische Felder und Spannungen
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Bewegungsinduktion
Galvanomagnetismus (Halleffekt)
Ruheinduktion
Allgemeine Form des Induktionsgesetzes
Induktivität
Transformatoren
Magnetostatische Feldenergie
S. 19
S. 19
S. 20
S. 20
S. 20
S. 21
S. 22
Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Grundbegriffe
Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen
Einfache Schaltungen aus R, L und C
Leistung und Effektivwerte
Gedämpfter Schwingkreis
Transformator in komplexer Rechnung
S. 23
S. 24
S. 25
S. 28
S. 29
S. 33
S. 34
Elektrizitätslehre - Formelsammlung
Kapitel 1: Elektrostatik
1.1 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
(1.1)
F2←1 = −F1← 2 =
q ⋅q
1
⋅ 1 2 3 ⋅ ( r2 − r1 )
4 ε 0 r2 − r1
Coulombsches Gesetz
π
1.2 Superpositionsprinzip
(1.2)
q
F (r ) =
⋅
q
4 ε0
π
N
qi
∑ r − r
i =1
3
⋅ (r − ri )
Kraft, die eine Anordnung von N Ladungen q i ( i = 1… N ) an den Orten
i
ri ( i = 1… N ) auf eine weitere Ladung q am Ort r ausübt.
1.3 Elektrische Feldstärke
(1.3)
E=
( )
V
E -Feld einer diskreten Ladungsverteilung ( q i , ri )i =1…N ; Einheit: dim E =
m
N
q
1
⋅ ∑ i 3 ⋅ ( r − ri )
4 ε 0 i =1 r − ri
π
(iii) Spezialfall: Feld einer Punktladung q 0 am Ort r0
(1.4)
E(r ) =
q
1
⋅ 0 ⋅ (r − r0 )
4 ε 0 r − r0 3
π
(iv) Spezialfall: Dipolfeld, Ladungen ( Q, r1 ) und ( Q, r2 )
(1.5)
Q  1
1

E(r) =
⋅  3 ⋅ ( r − r1 ) − 3 ⋅ ( r − r2 ) 
4 ε 0  r − r1
r − r2


π
1.4 Elektrische Arbeit
(1.6)
l
W12 = ∫ F ( r(s) ) ⋅ t ( s ) ⋅ ds =: ∫ F ( r ) ⋅ dr
CPP
0
(
dr
Der Wert des Wegintegrals
∫
C ( P1, P2 )
1, 2
)
F ( r ) ⋅ dr ist unabhängig von der Parameterdarstellung, solange die Orientierung
P 1 → P 2 beibehalten wird.
-1-
(iii) konservative Kraftfelder
Ein Kraftfeld F ( r ) heißt konservativ, wenn das Wegintegral
∫
C ( P1, P2 )
F ( r ) ⋅ dr nur von P1 und P2 , aber nicht von der
Wahl des verbindenden Weges C ( P1 , P2 ) abhängt.
∂Fj ∂Fi
Es gilt: F ( r ) konservativ <=>
=
für alle i,j ( i ≠ j)
∂x i ∂x j
1.5 Elektrische Spannung und Potential
(1.7) Def.:
W12
= ∫ E⋅ dr
q
C ( P1 ,P2 )
U12 =
Elektrische Spannung; Einheiten: dim ( W12 ) = J , dim ( U12 ) = V
Da elektrostatische Felder konservativ sind, ist U 12 wegunabhängig!
(iii) Folgerung: In der Elektrostatik gilt:
(1.8)
∫ E ⋅ d r = 0 für jede geschlossene Kurve C !
C
(iv) Definition des elektrischen Potentials
(1.9a)
P0
P
(r ) = U P,P 0 = E⋅ d r = − E⋅ dr bzgl. P0 ; P0 (am Ort r0 ) fester Referenzpunkt, P (am Ort r ) beliebiger
Φ
∫
∫
P
P0
Punkt.
Insbesondere gilt:
Φ
( r0 ) := 0
(v) Folgerung:
(1.10)
U P1P2 = U 12 =
Φ
(r ) − (r )
Φ
1
2
(1.9b)
Φ
(r) =
Φ
( r0 ) −
P(r)
∫ E ( r ) dr , wobei Φ(r0 ) beliebig zu wählen ist.
P0
(vi) Äquipotentialflächen
E steht senkrecht auf allen Tangenten an die Äquipotentialflächen
male.
1
Zeichenerklärung: ↑↑ − parallel
-2-
Φ
(r ) = const . , d.h.,
E ist ↑↑ 1 zur Oberflächennor-
(vii) Beispiel: Potential einer Punktladung Q am Ort rQ
(1.11)
P ( r0 )
Q  1
1 
E⋅ dr =
⋅ −  =
4 0  r − rQ r0 − rQ 
P( r )
∫
π
Φ
ε
( r ) − ( r0 )
Φ
(1.12)
Φ
( r ) = ∞ +
Φ
=:0
1
Q
⋅ für Referenzpunkt r0 → ∞
4 ε 0 r − rQ
π
(iix) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung (q i, ri );i = 1... N
(1.13)
Φ
1
(r) =
4
π
ε
0
N
q
⋅ ∑ i
i =1 r − ri
1.6 Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien (Dielektrikum)
1.6.1 Dielektrizitätskonstante (elektrische Permittivität)
(1.14)
N
q
1 q
⋅ ∑ i 3 ⋅ ( r − ri )
Fq ( r ) = Fq,Vakuum ( r ) =
εr
4 ε 0 ε r i =1 r − ri
π
=:
ε
1.6.2 Dielektrische Verschiebung, Gaußsches Gesetz
(1.15)
D ( r ) := ⋅ E ( r ) =
ε
ε
r
⋅
ε
0
E(r)
(iii) Verallgemeinerung: beliebiger Ort r0 von Q und beliebige Hüllfläche
(1.16)
Q ⇐ r0 ∈ V 
D⋅ da = 

 0 ⇐ r0 ∉ V 
H =∂ V
∫
(iv) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen)
(1.17)
∫
H =∂ V
D⋅ da = Q ( V ) = ∑ q i
ri ∈V
(v) Einschub: Flächenintegrale in ℝ 3
da = N ⋅ da = ( t1 × t2 ) ⋅ dudv
Vektorielles Oberflächenelement
v1 u1 ∂r ∂r 
F
⋅
da
:
=
F
r
u,
v
⋅
×
(
)
(
)

 dudv
∫S
∫∫
∂u ∂v
v0 u 0
Fluss eines Vektorfeldes F ( r ) durch die Fläche S
-3-
1.7 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
1.7.1 Raumladungsdichte
(i) Idee
Zahl der Ladungen in ∆ V ( r )
(r) =
∆ V(r)
ρ
für ∆ V → 0
(ii) Definition
( r ) ⋅ d 3 r = ( x, y, z ) ⋅ dxdydz ist die im Volumenelement dxdydz enthaltene Ladung dQ , sodass gilt:
3
∫ ( r )⋅ d r = ∫∫∫ ( x, y, z ) ⋅ dxdydz = Q ( V ) für beliebige Volumina V , die eingeschlossene Ladung ergibt.
ρ
ρ
ρ
ρ
V
1.7.2 Oberflächenladungsdichte
(i) Idee
In Leitern sitzt elektrostatische Ladung auf sehr dünner Schicht an der Oberfläche S verteilt.
σ
Zahl der Ladungen in ∆ A ( r )
(r) =
∆ A(r)
für ∆ A → 0
(ii) Definition
σ
( r ) ⋅ da =
∫ ( r ) ⋅ da = Q ( S)
σ
σ
∂r ∂r
( r ( u, v ) ) ⋅ ∂ u × ∂ v ⋅ dudv ist die in Oberflächenelement da enthaltene Ladung dQ , so dass
für beliebige Flächenstücke S die enthaltene Ladung ergibt.
S
1.7.3 Gaußsches Gesetz (für Raumladungsverteilungen)
(i) Raumladungsverteilung
(1.18)
∫
H =∂ V
D⋅ da = Q ( V ) = ∫ ⋅ d 3 r
für jedes Gebiet V mit Hüllfläche ∂V .
ρ
V
(ii) Oberflächenladungsverteilung
(1.19)
∫
D⋅ da = Q ( V ∩ S ) =
H =∂ V
(1.20)
D⋅ N =
∫
σ
⋅ da
für jedes Gebiet V , das eine Leiteroberfläche S schneidet.
S∩ V
σ
auf Leiteroberflächen außerhalb des Leiters ( N zeigt vom Leiter nach außen)
-4-
1.8 Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien
1.8.1 Influenz
(i) Definition von Leiter
Ein Leiter besitzt sehr viele (≈1021 - 2023) Ladungsträger pro Volumen (cm3).
=> Leiter sind Äquipotentialgebiete (-flächen)
=> Leiter haben wegen dielektrischer Abschirmung keine Raumladung: E ≡ 0 ⇔
Φ
( r ) = const.
(ii)
Wird ein Leiter einem äußeren elektrostatischen Feld ausgesetzt, so wird durch Ladungsverschiebung eine Oberflächenladung σ induziert, so dass gilt:
1. E = 0 im Inneren des Leiters
2. E ⊥ Leiteroberfläche (außen)
3. = D⋅ N auf Leiteroberfläche (Influenz).
σ
1.8.2 Kapazität
(i) Definition
U12 =
Φ
1
−
2
= ∫ E⋅ dr
Φ
2
hier:
Φ
1
>
Φ
2
; Leiter 1 habe die Ladung Q , Leiter 2 die Ladung −Q
1
D⋅ da
∫
Q=
H um "1"
(1.21)
Q
>0
U12
C=
(1.22)
ε
C=
⋅ ∫ E⋅ da
H
"2"
∫
E⋅ dr
=> C = f ( ε, Geometrie ) , unabhängig von E !
"1"
(ii) Beispiel: Plattenkondensator
(1.23)
C=
σ
Q
= ⋅
ε
U 12
A
d
mit Q =
2
D
⋅
da
=
D
⋅
A
=
⋅
E
⋅
A
und
U
=
E ⋅ dr = E ⋅ d
12
∫
∫
ε
H1
Q
= D⋅ N = D ⇒ D = = const.
A
1
Flächenladungsdichte
-5-
(iii) Beispiel: Kugelkondensator
(1.24)
Q
C=
=4
U 12
Q=
π
⋅
ε
a⋅b
b−a
mit a := Innenradius, b := Außenradius,
∫
D⋅ da = ⋅ E ( r )
b
b
∂ K(0,r)
da = ⋅ E ( r ) ⋅ 4 r 2 und
∫
ε
π
ε
∂ K(0,r)
U12 = ∫ E ( r ) ⋅ dr =
a
Q
4
=4
C∞
π
π
⋅ dr =
2
Q 1 1
Q  b− a 
⋅ −  =
⋅

4
 a b 4
 a⋅ b 
π
a
⋅a
ε
1
∫r
ε
π
ε
ε
mit b → ∞
Kugelkapazität g e gen ∞
Zwei koaxiale Metallzylinder (senkrecht zur Zeichenebene unendlich ausgedehnt; nach Lösung von Übung 5)
Q = q ⋅ L = D ⋅ da
mit da = er ⋅ 2πr ⋅ dz und D = e r ⋅ D r
∫
H
⇒ Q = 2 r L ⋅ Dr ( r )
π
q
2 r
q
⇒ Er ( r ) =
2πεr
Dabei gilt: r := Radius ( a ≤ r ≤ b ) und L := Höhe einer zylindrischen Hüllfläche.
⇒ Dr ( r ) =
σ
1
=
π
Q1
qL
q
= 1 = 1
A1 2 aL 2 a
π
π
σ
2
=
Q2
q L
q
= 2
= 2
A2 2 b L 2 b
π
Oberflächenladungen
π
mit a := Radius von Innenleiter (Ladung: q1 ) und b := Radius von Außenleiter (Ladung: q 2 )
a
U12 =
Φ
( a ) − ( b ) = ∫ − E ( r´) dr´=
Φ
b
c=
q
2π ⋅ ε
=
U12
b
ln  
a
q
b
ln  
2πε  a 
Potentiale
Kapazität pro Längeneinheit
1.9 Kondensatoraggregate
(i) Parallelschaltung
(1.25)
Cp =
Q total
=
U
N
∑C
i
mit C p ≡ C parallel
i =1
(ii) Serienschaltung
(1.26)
N
1
1
=∑
Cs i =1 Ci
mit C s ≡ C seriell
-6-
(iii) „Parallele“ dielektrische Materialien
(1.27)
A
Q
= 1 1+
U
d
ε
C=
A2
d
ε
mit Q = (
2
Dabei gilt: Q = Q1 + Q 2 =
σ
1
A1 +
D1
σ
2
A2 =
D2
ε
ε
1
1⋅
⋅A1 +
⋅ A 2 )⋅
ε
2
E1 ⋅ A 1 +
ε
2
U
d
U
d
⋅ E2 ⋅ A2
U
d
(iv) „Serielle“ dielektrische Materialien
Q
D1 = D 2 =
A
(1.28)
C=
Q
U
=
A
d1
+
ε
d2
d d  1
mit U = E1 ⋅ d1 + E 2 ⋅ d 2 =  1 + 2  ⋅ ⋅ Q
 1
2  A
ε
ε
ε
1
2
1.10 Elektrostatische Feldenergie
(i) Energie eines aufgeladenen Kondensators
(1.29)
Wel =
1
1
1 Q2
⋅ UQ = ⋅ CU 2 = ⋅
2
2
2 C
(ii) Energiedichte des E -Feldes
(1.30)
w el =
1 E⋅ D
2
(
)
aus w el :=
Wel 1 1 2
1 2
= E⋅D = ⋅E =
⋅D
V
2
2
2
ε
ε
-7-
Kapitel 2: stationäre Ströme
2.1 Stromstärke, Stromdichte
(i) Strom
Strom: =
Ladungsfluss
Zeit
IA ( A ) =
dQ A
dt
(2.1)
Einheit: dim ( A ) =
C
s
(ii) Stromdichte:
IA ( A )
j =
für A → 0 und A ⊥ Stromfluss ; die Richtung von j ist die Tangente an den LadungsflussliA
nien (Ladungstrajektorien)
(2.2)
d Q = j⋅ da ⋅ dt ist die pro Zeiteinheit durch da fließende Ladung => d IA = j⋅ da => I A ( A ) = ∫ j ⋅ da
A
A
Einheit: dim j = 2
m
()
(iii) Zusammenhang mit Raumladungsdichte
ρ
( r ) = q⋅ n ( r )
mit n := Trägerkonzentration =
für mehrere Trägersorten gilt:
ρ
N
Trägeranzahl
und q := Ladung eines Trägers
Volumen
( r ) = ∑ qi ⋅ n i ( r )
i =1
Die im Volumen dV = da⋅ dr befindlichen Ladungsträger sind genau die, die in der Zeit dt die Kontrollfläche da
passiert haben: dQ = j⋅ da⋅ dt = q⋅ n⋅ dV = q⋅ n⋅ da ⋅ v⋅ dt
(2.3)
j = q⋅ n⋅ v
gilt nur für eine Trägersorte; j := Stromdichte
(2.4)
N
j = ∑ q i ⋅ n i ⋅ vi
gilt für mehrere Trägersorten
i =1
2.2 Ladungstransport im elektrischen Feld
2.2.1 Transport ohne Stoßprozesse (Vakuum)
m⋅
dv
= q⋅ E ( r )
dt
gilt nur für einen Ladungsträger
-8-
(2.5)
1
m⋅ ( v12 ⋅ v 22 ) = q⋅ U12
2
2⋅q
v(U) =
m
wenn gilt: Anfangsgeschwindigkeit v ( 0 ) = 0
⋅U
2.2.2 Transport mit Stoßprozessen (Leiter; Driftbewegung)
(i) Beweglichkeit
Viele Ladungsträger, die an Streuzentren gestreut werden. Statistik => mittlerer Driftgeschwindigkeit v = v E , mittle-
( )
re Stoßzeit τ und effektive Masse m
*
∆v
v
q⋅
q⋅ E = m * ⋅
= m* ⋅
⇔ v=
⋅E
*
∆t
m
τ
linearer Ansatz mit
:= Beweglichkeit. Dabei gilt: µ > 0
τ
sgn ( q ) ⋅
(2.6)
v = sgn ( q ) ⋅ ⋅ E
mit v := mittlerer (Drift-)Geschwindigkeit
(2.7)
j = q ⋅ n⋅ ⋅ E
Stromdichte für eine Trägersorte
(2.8)
k
j = ∑ ( qi ⋅ ni ⋅
i =1
i
)⋅E
Stromdichte für mehrere Trägersorten
(ii) Ohmsches „Gesetz“ in lokaler Form
(2.9)
j = σ⋅E
k
mit σ = ∑ q i ⋅ n i ⋅
i
i =1
:= spezifische elektrische Leitfähigkeit; Einheit: dim ( σ ) =
A
S
1
= =
Vm m Ωm
(iii) Ohmsches „Gesetz“ in integraler Form
(2.10)
I = G⋅ U12
A
mit I = ∫ j⋅ da = ∫ ⋅ E⋅ da = ⋅ ⋅ U ( A := homogener Querschnitt, σ := homogene Leitfähigkeit
l
A
A
σ
σ
=G
und l := Länge des Leiters)
(2.11)
G = σ⋅
A
l
elektrischer Leitwert; Einheit: dim ( G ) = S = ⋅
(2.12)
U12 = R ⋅ I
mit R =
1
G
-9-
1
Ω
(2.13)
R=
σ
1 l
l
⋅ = ρ⋅
A
A
elektrischer Widerstand
(2.14)
1
ρ=
spezifischer elektrischer Widerstand; Einheit: dim ( ρ ) = Ωm = Ω
σ
mm 2
m
Flussrichtung von I : vom höheren Potentialwert zum niedrigeren Potentialwert
2.3 Ladungserhaltung
(i) integrierte Darstellung (allgemein gültig)
(2.15)
dQ ( V )
∫∂ V j⋅ da = − dt
Für eine stationäre Stromverteilung gilt:
d
= 0 (wg. Q ( V ) zeitlich konstant) =>
dt
fläche ∂V für stationären Fall
∫
j⋅ da = 0 für jede beliebige Hüll-
∂V
(ii) Kirchhoffsche Knotenregel
(2.16)
N
∑I
k =1
k
=0
2.4 Schaltungen mit Widerständen
(i) serielle Schaltung
(2.17)
N
N
N
i =1
i =1
i =1
U = ∑ Ui = ∑ R i ⋅ I ⇒ R s = ∑ R i
(ii) Parallelschaltung
(2.18) und (2.19)
N
N
1
1
=∑
⇔ G = ∑ Gi
R p i =1 R i
i =1
2.5 Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen
(i) Spannungsquelle
(2.20)
U 0 = R i ⋅ I + R Last ⋅ I ⇒ U k = U 0 − R i ⋅ I
mit U 0 := eingeprägte Spannung, R i := Innenwiderstand
Uk
und U k := Klemmenspannung
Für max. Stromfluss gilt: U k = 0 ⇔ I max =
U0
Ri
- 10 -
(ii) Stromquelle
U k = R i ⋅ Ii = R i ⋅ I 0 − R i ⋅ I
Klemmenspannung; mit I 0 := eingeprägter Strom und R i := Innenwiderstand
= U0
einer Stromquelle
(iii) Kirchhoffsche Maschenregel
(2.21)
N
= 0 für jede Masche K 0 , K1 ,..., K N , K N +1 (:= geschlossene Knotenfolge), wobei U i := U K i −1 K i die
i =0
:= K 0
gerichtete Spannung längs des Stromzweiges K i −1 K i bezeichnet.
Es gilt
∑U
(
i
)
(v) Allgemeine Regeln für Netzwerkanalyse
1.
2.
Bestimme K = Anzahl der Knoten (:= Verknüpfung von mehr als zwei Zweigen) des Netzwerks
Bestimme Z = Anzahl der Zweige (:= Folge von einfachen Kanten zwischen zwei Knoten)
Unbekannte:
• Zweigströme I1 , I 2 ,..., I Z´ (es gilt: Z´≤ Z ) in den Zweigen ohne Stromquellen
• Spannungen U1 , U 2 ,..., U Z − Z´ in den Z − Z´ Zweigen mit eingeprägtem Strom
=> also Z Unbekannte
Gleichungen:
K − 1 linear unabhängige Knotengleichungen
•
•
M = Z − ( K − 1 ) linear unabhängige Maschengleichungen
Regel: Jede neue Maschengleichung muss über noch nicht genutzte Zweige des Netzwerkes führen.
Sind ( I1 , I2 ,..., I Z´ ; U1 , U 2 ,..., U Z − Z´ ) bestimmt, lassen sich Zweigspannungen gemäß U k = R k ⋅ I k ( k = 1… Z´) bestimmen.
2.6 Elektrische Leistung und Energieübertragung
(i) Leistungsbegriff (allgemein)
dWel q⋅ E⋅ dr
Pel =
=
= q ⋅ E⋅ v
dt
dt
(2.22)
Pel(i ) = q i ⋅ v i ⋅ E
gilt nur für einen Ladungsträger
Leistungsumsatz pro (Ladungs-)Träger der Sorte i
(ii) Leistung bei bewegter Raumladung
j=
k
∑q
i
⋅n i ⋅vi
Stromdichte; vgl. (2.4)
i =1
(2.23)
k
  k
i
p el = ∑ Pel( ) ⋅ n i =  ∑ q i ⋅ n i ⋅ v i  ⋅ E = j ⋅ E
i =1
 i =1

Elektrische Leistungsdichte
- 11 -
(iii) (Verlust-)Leistungsdichte bei ohmscher Driftbewegung
(2.24)
2
2 1 2
p el = j ⋅ E = ⋅ E = ⋅ j = ⋅ j
σ
ρ
σ
(iv) Verlustleistung am ohmschen Widerstand (der Länge l mit dem Querschnitt A)
P el = p el ⋅ A ⋅ l = j ⋅ A ⋅ E ⋅ l = I ⋅ U
aus I = j ⋅ A und U = E ⋅ l = R ⋅ I
(2.25)
P el = U ⋅ I = R ⋅ I 2 =
U2
R
falls U = R ⋅ I gilt; Einheit: dim ( Pel ) = W = VA
(v) Elektrische Energieübertragungsverluste
Eine Energiequelle speist in eine Leitung (Widerstand der Leitung: R L ) die Spannung U E , den Strom I und die
transportierte Leistung zum Energieverbraucher (Eingangsspannung: U V ). Dann gilt:
Erzeugte Leistung:
PE = U E ⋅ I
Verbrauchte Leistung:
PV = U V ⋅ I
mit U V = U E − R L ⋅ I
(2.25)
η
= 1−
Herleitung:
Es gilt:
η
η
=
R L ⋅ PE
U 2E
Übertragungswirkungsgrad
PV U V U E − R L ⋅ I
R ⋅I
=
=
= 1− L
PE U E
UE
UE
→ 1 für U E → ∞
- 12 -
Kapitel 3: Magnetostatik
3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld
(i) Lorentzkraft
(3.1)
(
)
FL = q ⋅ v × B
(„Magnetfeld“).
dim ( vB ) =
mit F L := Lorentzkraft und B := magnetische Kraftflussdichte (Induktion) oder B -Feld
V
Vs
⇒ dim ( B ) = 2 = T
m
m
mit T := Tesla
(ii) Superpositionsprinzip: elektromagnetische Kraftwirkung
(3.2)
F = q⋅ E + v× B
(
)
(iii) Leistung im B -Feld
P magn =
dr = q⋅ v× B ⋅
=0
dt
(
dW magn
dt
)
mit dWmagn = FL ⋅ dr = q⋅ v× B ⋅ dr
(
)
v
=> Ein Magnetfeld leistet keine Arbeit!
(iv) Bewegung im homogenen Magnetfeld
m⋅
dv
= q ⋅ v× B
dt
(
)
mit q := Ladung und m := Masse eines Massenpunktes
(3.4)
=
q⋅B
m
= 2⋅ ⋅f
π
mit
:= Gyrationsfrequenz
Trajektorie im Ortsraum:
t
x ( t ) = x ( t 0 ) + ∫ v x ( t´)dt´= x ( t 0 ) −
t0
t
y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ v y ( t´)dt´= y ( t 0 ) +
t0
v⊥
⋅ cos  Ω ⋅ ( t − t 0 ) 
Ω
v⊥
⋅ sin  Ω ⋅ ( t − t 0 ) 
Ω
z ( t ) = z ( t 0 ) + v|| ( t − t 0 )
mit v ⊥ = v 2x ( t 0 ) + v 2y ( t 0 )
(3.5)
R=
v⊥
Radius einer Schraubenlinie in ℝ 3 ;
- 13 -
(v) Kraft auf Stromverteilung
(3.6)
f L = j×B
Herleitung: f L =
mit f L := Lorentzkraftdichte;
∑ (
k
i =1
)
 k
 q i vi ×B ⋅n i =
q i ⋅n i ⋅ v i ×B


 i =1

∑
j
3.2 Kraft und Drehmoment auf Strom führende Leiter
(i) Grundvorstellung
(3.7)
Die Kraft auf im Leiter bewegte Ladungen wird vollständig auf das Substratmaterial (z.B. Wirtsgitter) übertragen:
FLeiter = ∫ j ( r ) × B ( r ) ⋅ d 3 r
V
(ii) linienförmige Leiter („Drähte“)
(3.8)
FLeiter = − ∫ B ( s ) × I⋅ ds
mit I =
C
∫ j ( s ) ⋅ da = const.
A( s )
Differentielle Schreibweise
(3.9)
FLeiter = ∫ dF
mit dF = I⋅ ds × B
C
(iii) Drehmoment auf Leiterschleife
M = ( r − r 0 )× F
Drehmoment an Hebel
Drehmoment auf rechteckige Leiterschleifen
M = ∫ ( r − rAchse ) × dF = M = 2 ⋅ I⋅ b⋅ R ⋅ B
C
(
)
Gesamtdrehmoment;
R
mit b := Länge parallel zur Drehachse und R := Radiusvektor (halbe Breite senkrecht zur Drehachse)
(3.10)
(
M = I⋅ A× B
)
gilt für beliebig geformte Leiterschleifen C
(3.11), (3.12) und (3.13)
1 M = m × H mit m = ⋅ I⋅ A und H = ⋅ B ;
mit m := magnetisches Moment, H := magn. Feldstärke und
:= magn. Permeabilität
3.3 Permanentmagnete
Ein Permanentmagnet besteht aus einem Material, in dem viele atomare Ringströme gleich orientierte magnetische
Momente m 0 beitragen. Die Orientierung des magnetischen Moments ist von Süden nach Norden.
- 14 -
M = n⋅ m 0
Magnetisierung; mit n := Zahl der Ringströme pro Volumen
M = V ( n⋅ m 0 ) × H = V
⋅M×H
m
Drehmoment auf Dauermagnet;
M
mit m := gesamtes magnetisches Moment und V := Volumen
=> Dauermagnete und Ringströme zeigen gleiches Verhalten!
3.4 Quellenfreiheit des B -Feldes
(i) experimentelle Erfahrung
Es gibt keine magnetischen Ladungen bzw. Monopole (nur magnetische Dipole)
(ii) Divergenzsatz
∫ D⋅ da = Q ( V )
Elektrostatik; vgl. (1.17)
∂V
(3.14)
∫ B ⋅ da = 0
Magnetostatik (der Wert dieses Integrals ist 0, da es keine magnetischen Dipole gibt!)
∂V
3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder
(i) Ampèresches Durchflutungsgesetz
(3.15)
⋅ ⋅ I(A)
∫ B⋅ dr = r
0
experimenteller Befund für alle (orientierten) Flächen A ;
∂A
s
:= magnetische Feldkonstante (auch: Vakuumpermeabilität und
m
(Korrekturfaktor, dimensionslos). Im Vakuum gilt: r = 1 und κ = 0 .
mit
= 4 ⋅ ⋅ 10 −7
π
0
r
:= relative Permeabilität
(3.16) und (3.20)
µ := r ⋅
0
κ :=
(absolute) Permeabilität
r
−1
magnetische Suszeptibilität
(ii) magnetische Feldstärke
(3.17)
B=
⋅ H = µ0 ⋅ H + µ0 ⋅ κ ⋅ H
mit H := magnetische Feldstärke und B := magnetische Kraftflussdichte
< 0 , aber κ << 1
Diamagnetismus:
µ r < 1 bzw.
Paramagnetismus:
µ r > 1 bzw.
Ferromagnetismus:
µ r >> 1 bzw. κ >> 1
(3.18)
∫
H ⋅ dr = I ( A )
κ
κ
> 0 , aber κ << 1
gilt in magnetisierbaren Medien.
∂A
Fazit: H hängt nur von dem erzeugenden Strom, nicht vom umgebenden Material ab!
- 15 -
(iii) allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes
(3.19)
∫ H ⋅ d r = ∫ j ⋅ da
∂A
A
(iv) Analogie zwischen E-Statik und H-Statik:
Kraft wirkt auf:
Art der Kraft:
Symbol:
Bemerkung:
E-Statik:
M-Statik:
ruhende Probeladung bewegte Probeladung
elektrische Kraft
Lorentzkraft
E
B
E und B sind materialabhängige Größen!
Wirkung von:
E-Statik:
Ladungsverteilung
ρ( r )
Gesetz:
Symbol:
Bemerkung:
„Gauß“
„Ampère“
D
H
D und H sind nur von Quellen abhängig!
D = ε⋅E
B = µ⋅H
M-Statik:
Stromverteilung j(r )
Materialgesetze
3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus gegebener Stromverteilung
3.6.1 Mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes
(i) Beispiel: unendlich langer, gerader Draht
(3.21)
H(r) =
(3.22)
I
2⋅ ⋅r
π
 − sin ϕ 


mit eϕ =  cos ϕ 
 0 


⋅ eϕ
⋅I ⋅I dF12
= − 1 2 ⋅ e12
ds
2⋅ ⋅a
Kraft pro Längeneinheit zwischen zwei parallelen, geraden Drähten.
π
e12 weist von 1 nach 2, e12 = 1 => parallele Ströme ziehen sich an.
(ii) Beispiel: allgemeine zylindersymmetrische Stromverteilung
(3.23)
r
1
H ϕ ( r ) = H ( r ) ⋅ eϕ = ⋅ ∫ j(r´) ⋅ r´⋅ dr´
r 0
(iii) Spezialfall: gerader und unendlich langer Draht mit Radius a
I

 2
j(r) =  a ⋅
 0
für 0 ≤ r ≤ a
π
für
r>a
- 16 -
 I⋅r
 2 ⋅ π ⋅ a 2
H ϕ (r) = 
 I
 2 ⋅ π ⋅ r
für 0 ≤ r ≤ a
für
r>a
H ϕ für r>a verhält sich wie H -Feld eines linienförmigen Leiters!
3.6.2 Feldberechnung mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes
(i) Biot-Savartscher Satz
(3.24)
j ( r´) × ( r − r´) 3
1
H(r) =
⋅
⋅ d r´
3
4 V∫
r − r´
π
durch gegebene Stromverteilung j ( r ) erzeugtes Magnetfeld H ( r )
(ii) Spezialfall: linienförmige Stromleiter („Drähte“)
(3.25)
ds × ( r − s )
I
H(r) =
⋅∫ 3
4 C r− s
π
(iii) Magnetfeld eines Ringstromes
2 π a 2 − ra ⋅ e + za ⋅ e ϕ
(
)
I
z
r( )
H(r) =
⋅∫
⋅ dϕ => elliptische Integrale für allgemeinen Aufpunkt r = ( x, y, z )
3
4 0
r − s ( ϕ)
π
I⋅ a 2
1
H ( 0, 0, z ) =
⋅
⋅ ez
2 ( a 2 + z 2 )3 2
Spezialfall: r auf z -Achse
3.7 Magnetische Kreise
3.7.1 Magnetisierbarer Kern mit Luftspalt
Annahmen:
• Magnetfeld nur in Kern (Eisen) und Luftspalt (gute Näherung für µ Kern >> 1 )
•
keine Streufelder außerhalb, homogenes Feld innerhalb des Kerns
(3.27)
(3.28)
B Kern = B Spalt : = B
H Spalt
=
H Kern
Kern
>> 1
Spalt
mit HSpalt =
B
B
und H Kern =
µ 0 ⋅µ Kern
µ 0 ⋅µSpalt
(iii) Strom-Feld-Beziehung
(3.29)
B=
l Kern
Kern
0
⋅w
l Spalt
+
⋅I
mit w := Windungszahl der Spule, l Kern := Kernlänge und lSpalt := Spaltbreite
Spalt
- 17 -
3.7.2 Allgemeiner magnetischer Kreis
(i) Analogie: Elektrischer Stromkreis - magnetischer Stromkreis
siehe auch Skript „Elektrizitätslehre“ auf S. 109-112 (3.6.4 Vergleich zwischen magnetischen Kreisen und elektrischen
Stromkreisen)
Analogie ist durch folgende Korrespondenzen gegeben:
j = σ⋅E ⇔ B = µ⋅H : j ⇌ B , σ ⇌ µ , E ⇌ H
U = R ⋅ I ⇔ Vm = R m ⋅ Φ : U ⇌ Vm , R ⇌ R m , I ⇌ Φ
Definitionen
(3.30)
Φ
( A ) := ∫ B⋅ da
magnetischer Kraftfluss
A
(3.31)
P2
Vm := ∫ H⋅ dr
magnetische Spannung (ev. Wegabhängig beachten!)
P1
(3.32)
Rm =
Vm
= R m Kern + R mSpalt
Φ
magnetischer Widerstand
(3.33)
lj
Rm j =
rj
⋅
0
⋅ Aj
magnetische Serienwiderstände
- 18 -
Kapitel 4: induzierte elektrische Felder und Spannungen
4.1 Bewegungsinduktion
(i) leitfähiges Medium wird durch Magnetfeld B mit Geschwindigkeit v bewegt
(4.1)
FL E ind =
= v× B
q
mit FL :=Lorentzkraft
(ii) bewegte Leiterschleife mit der Fläche A
(4.2)
U ind = −
d
⋅
dt
(A)
Φ
mit
Φ
( A ) = ∫ B⋅ da = −B ⋅ A
:= magnetischer Fluss
A
(4.3)


d
∫ ( V× B) ⋅ dr = − dt  ∫ B⋅ da 
() ()
()
U ind =
A t
∂ A t =C t
allgemein gültige Darstellung;

gilt für zeitlich veränderliche (Leiter-)Schleife ∂ A ( t ) in zeitlich konstantem Magnetfeld B ( r )
(iii) Unipolar-Maschinen
(4.4)
a
U ind = ∫ ( ⋅ B⋅ r )⋅ dr =
0
1
⋅ B⋅ a 2
2
Barlowsches Rad; mit
= 2 ⋅ ⋅ f und a := Außenradius
π
4.2 Galvanomagnetismus (Halleffekt)
Im leitfähigen, ruhenden Medium bewegen sich Ladungsträger mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v .
Lorentzkraft: FL = q ⋅ v × B
(
)
FL „zusätzliches“ E -Feld: E H =
= v× B
q
1 ⋅j
mit v =
q⋅n


=> Heuristisches Modell für Stromtransport: j = σ ⋅ 
E el
+ EH  = σ ⋅ E + v × B


 Potentialgradient

(
)
(4.5)
j = σ ⋅  E + R H ⋅ j × B 
(4.6)
1
rigorose Transporttheorie; mit R H = Faktor
⋅ q ⋅ n
UH = EH ⋅ d = R H ⋅ d ⋅ j ⋅ B
≈ 0,7…1,3
Hallspannung
- 19 -
4.3 Ruheinduktion
(4.7)
U ind = −
(4.8)
U ind
d
⋅ Φ (A)
dt
∂B = −∫
⋅ da
∂t
A
(Leiterschleife zeitlich unverändert, d.h. B = B ( t ) )
4.4 Allgemeine Form des Induktionsgesetzes
(4.9)
∫
U ind =
∂B ∫A(t) ∂ t ( r, t ) ⋅ da
v ( r, t ) × B ( r, t ) ⋅ dr −
∂ A(t)
Leiterschleife ∂A ( t ) und Magnetfeld B ( r, t ) zeitlich unver-
ändert
(4.10)
U ind = −
d
dt
Φ
d
( A ( t ) ) = − dt ∫ B ( r, t ) ⋅ da
A(t)
(4.11)
U ind =
d
E ind ( r, t ) ⋅ dr = −
B ( r, t ) ⋅ da
∫
dt
∂ A( t )
A(t)
∫
(Maxwellsche Hypothese: ∂A ( t ) kann auch immateriell sein!)
4.5 Induktivität
(i) generelle Annahmen
•
Ortsfeste Anordnung von Leiterschleifen (Spulen) Ci ( i = 1… N ) , die von Strömen Ii ( t ) durchflossen werden =>
nur Ruheinduktion
•
Quasistationäre Änderung der Ströme:
dIi
erzeugt keine Strahlungsfelder (keine Antennen)
dt
(iv) Flussberechnung bei magnetisch gekoppelten Stromkreisen
(4.12)
N
ψ
i ( t ) = ∑ L ij ⋅ I j ( t )
mit
ψ
i
= wi
Φ
i
, w i ist Windungszahl der Spule i
j=1
(4.13)
L ji = L ij
mit i, j = 1… N
Dabei gelten folgende Bezeichnungen:
L ij := Induktivitätskoeffizienten
•
•
L ii := Selbstinduktionskoeffizienten
•
L ij , i ≠ j := Gegeninduktionskoeffizienten
- 20 -
4.6 Transformatoren
(i) Leiterschleife
(4.14)
N
dI j
j =1
dt
U i = R i ⋅ Ii + ∑ Lij
Transformatorgleichungen; mit R i := Innenwiderstand
(ii) Spezialfall: zwei Spulen (i,j=1…2), kein Innenwiderstand
(4.15)
U1 ( t ) = L11ɺI1 + L12 Iɺ 2
U ( t ) = L ɺI + L Iɺ
2
21 1
22 2
(4.16)
 U2

 U
 1
L 21

M

=
=

L
L
11
1
 I 2 =0
Spannungsübersetzung
es gilt: L 1 : = L 11 , L 2 : = L 22 und M : = L 12 = L 21
(4.17)
 I2 
L
M
= 21 =
− 
I
L
L
 1  U2 = 0
22
2
Stromübersetzung
(4.18)
K: = Stromübersetzung ⋅ Spannungsübersetzung =
M2
≤1
L1L 2
Kopplungsfaktor: K ist ein Maß für das Ver-
hältnis zwischen Sekundär- und Primärleistung
(iii) Berechnung für spezielle Geometrie: Dreischenkelkern
(4.19a), (4.19b) und (4.19c)
L 11 = L 1 =
L 22 = L 2 =
w12
N
w22
N
L 12 = L 21 = M =
(R m2
+ R m3
)
mit w i := Windungszahl der Spule i
( R m1 + R m 3 )
w1w 2
N
= R m3
(4.20)
K
2
R 2m 3
M2
=
=
L1L1
( R m 2 + R m 3 )( R m1 + R m 3
)
Kopplungsfaktor ( 0 ≤ K 2 ≤ 1)
(4.21)
 U2 
R m3
w
w
M
=
=
⋅ 2 = K⋅ 2


w
 U1  I2 = 0 L1 R m 2 + R m 3 w1
1
Spannungsübersetzung
falls R m 2 = R m1
- 21 -
(4.22)
 I2 
Rm3
w
w
M
=
=
⋅ 1 = K⋅ 1
− 
w
 I1  U2 = 0 L 2 R m1 + R m 2 w 2
2
Stromübersetzung
falls R m1 = R m 2
4.7 Magnetostatische Feldenergie
(i) Energie einer stromdurchflossenen Induktivität
U ⋅ dt = L ⋅ dI
(4.23)
I
1 2
LI
2
∫
W mag = LÎ ⋅ dÎ =
0
Energieinhalt bei Stromanstieg von Î = 0 bis Î = I
(4.24)
W mag =
1 2 1
1
LI =
I=
⋅
2
2
2⋅L
ψ
ψ
Wmag =
1 N
⋅ ∑ Lij ⋅ Ii ⋅ I j
2 i, j=1
Wmag =
1 2 1
L1I + L 2 I22 + M ⋅ I1 ⋅ I 2
2 1 2
2
äquivalente Formulierung zu (4.23) wegen
gilt bei N gekoppelten Induktivitäten
Beispiel: Transformator ( N = 2 )
(ii) Energiedichte des Magnetfeldes
(4.25) und (4.26)
1 1 2
1 2
w mag = ⋅ H⋅ B =
⋅H =
⋅B
2
2
2
falls B = µ ⋅ H und µ = const.
- 22 -
ψ
= w⋅
Φ
= L⋅ I
Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre
Zeitlich periodische, insbesondere sinusförmige („harmonische“) Strom- und Spannungsverläufe sind technisch außerordentlich wichtig:
• Transformierbarkeit ( => Energieübertragung)
• Modellierbarkeit ( => Informationsübertragung)
• Anpassung an Generatoren und Motoren
5.1 Grundbegriffe
5.1.1 Wechselspannungsgenerator
(i)
Erzeugungsprinzipien:
• in B -Feld rotierende Leiter (kleine Frequenzen, hohe Leistung)
• Schwingkreis (hohe Frequenzen, kleine bis mittlere Leistungen)
(ii) Beispiel: rotierende Leiterschleife erzeugt induzierte Spannung u ( t )
(5.1)
ϕ(t ) = ω t + ϕ 0
Drehwinkel mit Kreisfrequenz
(5.2)
u (t ) = Û⋅ sin (ω t + ϕ 0 )
dϕ
= ω = const.
dt
⋅ B := Scheitelwert (Amplitude) der Spannung
induzierte Spannung; mit Û = ω⋅ A
Φ max
5.1.2 Kenngrößen sinusförmiger Wechselspannungen und -ströme
(5.3)
u ( t + kT ) = u ( t )
mit T := Zeit für eine Periode und k ∈ ℤ
5.1.3 Zeigerdiagramm
(i) Idee
(5.4)
 Û ⋅ cos ϕ ( t ) 
 u (t) 

 =: u ( t ) =  1 
U
ˆ ⋅ sin ϕ ( t ) 
 u2 ( t ) 


Der Zeiger Û := u ( t = 0 ) hat die Länge Û und den Drehwinkel ϕ0
ˆ ⋅ sin ( ωt + ϕ ) eindeutig
=> Û charakterisiert (bei fester Kreisfrequenz ω ) den Spannungsverlauf u ( t ) = U
0
(ii) allgemeine Zeigerdarstellung
(5.5)


ˆ =  cos ω t − sin ω t  ⋅ Û⋅ cos ϕu 
U ( t ) = D (ω t ) ⋅ U

  ˆ
 sin ω t cos ω t   U⋅ sin ϕu 
(5.6)
 Î⋅ cos ϕi 
I ( t ) = D (ω t ) ⋅ 

 Î⋅ sin ϕ 

i 
- 23 -
mit D ( ω t ) := Drehmatrix
5.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen
5.2.1 Ohmscher Widerstand
(5.7a) und (5.7b)
Û = R ⋅ Î
ϕu = ϕi
(5.8)
Û = R ⋅ Î
5.2.2 Induktivität („Spule“)
(5.9a) und (5.9b)
π
Û = ω ⋅ L⋅ Î
ϕ u − ϕi =
2
(5.10)
 
   0 −1
Û = ω ⋅ L⋅ D  ⋅ Î mit D   = 
;
 2  1 0 
2
π
π
 
ω⋅ L⋅ D   entspricht Widerstand mit Phasendrehung um + (Blindwiderstand, Reaktanz)
2
2
π
π
5.2.3 Kapazität („Kondensator“)
(5.11a) und (5.11b)
π
Î = ω ⋅ C⋅ Û
ϕ u − ϕi = −
2
(5.12)
1


   0 1
⋅ D −  ⋅ Î mit D   = 
;
ω⋅C  2 
 2   −1 0 
π
Û =
π
1


⋅ D  −  entspricht Widerstand mit Phasendrehung um − (Blindwiderstand, Reaktanz)
2
ω⋅ C  2 
π
π
 
ω⋅ C ⋅ D   entspricht Leitwert mit Phasendrehung um + (Blindleitwert, Suszeptanz)
2
2
π
π
5.2.4 Parasitäre Elemente, Gültigkeit der quasistationären Näherung
1 i α 
 1 u
ω ≪ min  ⋅ α ,
⋅
 , also bei kleinen Frequenzen arbeiten. Typische Werte: f ≪ 1MHz
 L p i α C p u α 
mit Lp := Leitungsinduktivität, C p := Leitungskapazität und α = R, L, C
- 24 -
5.2.5 Kirchhoffsche Regeln bei quasistationären Bedingungen
(i) Momentanwerte am Zeitpunkt t (parasitäre Ströme und Spannungen vernachlässigt)
(5.13) und (5.14)
∀
t∈R
∀
t∈R
∑i (t) = 0
am Knoten
k
k
∑ u (t) = u (t)
k
e
längs Maschen; mit u e ( t ) := eingeprägte Spannungen
k
(ii) Zeigerdarstellung (falls alle Ströme und Spannungen sinusförmig)
(5.15) und (5.16)
∑ Î
k
=0
k
∑ Û
k
= Û e
Kirchhoffsche Regeln in Zeigerdarstellung
k
5.3 Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen
5.3.1 Komplexe Zahlen
(i) komplexe Zahlen = Zeiger mit Addition und Multiplikation ℂ = ℝ 2 , +, ⋅)
 U  V   U +V 
U + V =  1  +  1  =  1 1 : = U + V + j ⋅ U + V
1 1
2
2
U  V  U + V 
 2  2  2
2
(
) (
)
Zeigeraddition
 U   V   U V − U 2 V2 
U ⋅V =  1 ⋅ 1  =  1 1
 = ( U1V1 − U 2 V2 ) + j ⋅ ( U1V2 + U 2 V1 )
 U 2   V2   U1V2 + U 2 V1 
(ii) Satz: ℂ = ℝ 2 , +, ⋅) ist ein Körper
Es gelten für komplexe Zahlen dieselben Rechenregeln wie bei reellen Zahlen
(5.17)
j2 = −1
 0
mit j :=   = e 2
1
(iii) Darstellung in Real- und Imaginärteil (=kartesische Koordinaten)
(5.18)
U = U 1 + j⋅ U 2
(iv) Darstellung in Polarkoordinaten
(5.19)
 cos ϕ 
Z = r⋅ 
 = r⋅ ( cos ϕ + j⋅ sin ϕ )
 sin ϕ 
(5.20a)
r = Z := a 2 + b 2
a
Länge des Zeigers Z ; mit Z :=  
 b
- 25 -
Zeigermultiplikation
(5.20b)
tan ϕ =
b
b
=> ϕ = arg ( z ) = arctan mit 0 ≤ ϕ ≤ 2π
a
a
(v) konjugiert komplexe Zahl
z = a − jb = r ⋅ ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ) = r ⋅ e − jϕ
*
(vi) Berechnung von Quotienten („Nenner reell machen“)
U
U ⋅ V* U ⋅ V*
:=
=
V
V ⋅ V*
V2
5.3.2 Drehungen in ℂ ; Eulersche Formel
(i) komplexe Exponentialfunktion
(5.21)
∞
eZ = ∑
n =0
1 n
⋅Z
n!
(5.22)
e j ϕ = cos ϕ + j⋅ sin ϕ
Eulersche Formel
(ii)
(5.23)
Z = r⋅ ( cos ϕ + j⋅ sin ϕ ) = r⋅ e j ϕ
(5.24)
d (ϕ) = cos ϕ + j⋅ sin ϕ = e j ϕ
z = z ⋅ e j ⋅arg z
mit 0 ≤ ϕ < 2 ⋅
π
(„Einheitszeiger“)
Multiplikation von d ( ϕ ) mit Z ∈ ℂ ist Drehung von Z um Winkel ϕ im Gegenzeigersinn
(iii)
2
Drehungen in ℝ ( ℂ ) sind additiv:
•
d ( ϕ ) ⋅ d ( ψ ) = e jϕ ⋅ e jψ = d ( ϕ + ψ )
•
D ( ϕ) ⋅ D ( ψ ) = D (ϕ + ψ )
Matrixschreibweise; mit D ( ω t ) := Drehmatrix
5.3.3 Komplexe Zahlen als Drehstreckungen im ℝ 2
(i)
•
•
Drehung um ϕ entspricht einer Multiplikation mit e j ϕ
Streckung um Faktor r entspricht einer Multiplikation mit r ∈ ℝ
=> Eine Drehstreckung entspricht einer Multiplikation mit r⋅ e j ϕ
(ii)
Jede komplexe Zahl lässt sich als Drehstreckung im ℝ 2 auffassen und umgekehrt
- 26 -
(iii)
(5.25)
speziell gilt: Z ⋅ U = Z ⋅ U
für Z, U ∈ ℂ
5.3.4 Wechselstromzeigerdiagramm in komplexer Darstellung
(i) Spannungs- und Stromzeiger
(5.26) und (5.27)
Û = Û⋅ e j ϕu
Î = Î⋅ e j ϕi
Anfangswerte
(5.28) und (5.29)
ˆ = e jω t ⋅ U
ˆ =U
ˆ ⋅ e j⋅( ω t +ϕu )
U ( t ) = D (ω t ) ⋅ U
I ( t ) = D ( ω t ) Iˆ = e
jω t
⋅ Iˆ = Iˆ⋅ e
Momentanwerte
j⋅( ω t +ϕi )
(ii) lineare Bauelemente
(5.30)
ˆ = Z⋅ ˆI
U
komplexes Ohmsches Gesetz; mit Z := komplexer Scheinwiderstand (Impedanz)
(5.31) und (5.32)
für z = z ⋅ e j⋅ψ ; mit Z := Impedanz
Û = Z ⋅ Î
ϕu + ϕi = arg ( Z ) =
ψ
(5.33)
Î =
1
⋅ Û = Y ⋅ Û
Z
mit Y =
1 1 −j
=
⋅ e := komplexer Scheinleitwert (Admittanz)
Z Z
ψ
(iii) Beispiele:
a) Ohmscher Widerstand
Z=R
Y=
1 1
= =G
Z R
Z =R
ϕu − ϕi = arg ( Z ) = 0
b) Induktivität
(5.34)
ˆ = j ω L ⋅ ˆI
U
Z
Y=
1
jω L
Z = ωL
ϕ u − ϕ i = arg(Z ) =
π
2
c) Kapazität
(5.35)
ˆ =
U
1 ˆ
⋅I
j
ωC
Y = j ωC
Z =
1
ωC
ϕ u − ϕ i = arg(Z ) = −
Z
- 27 -
π
2
5.4 Einfache Schaltungen aus R, L und C
5.4.1 R und L in Serie geschaltet (RL-Glied)
(5.36)
Z = R+ jω L
Impedanz
Z = R 2 + ω 2 L2
Scheinwiderstand
(5.37)
Z = Z1 + Z 2
Serienschaltung von Impedanzen
(5.37a) und (5.37b)
Û e = R 2 + ω 2 L2 ⋅ Î
ϕe − ϕi = arg ( Z ) = arctan
ωL
R
Übungsaufgabe 30: Scheinleistung und Wirkleistung (R und L in Serie)
Ps =
1
⋅ Û ⋅ Î
2
Pw =
1 ˆ ˆ
⋅ U⋅ I⋅ cos ( ϕ )
2
Scheinleistung
PB = PS2 − PW2
Wirkleistung Pw und Blindleistung PB
5.4.2 R und C parallel geschaltet (RC-Glied)
(5.38)
Y = G+ jω C =
1
+ jω C
R
Y = G 2 + ω2 C 2
Y = Y1 + Y 2
Admittanz
Scheinleitwert
Z + Z2
1
1
1
=
+
= 1
=Y
Z Z1 Z 2
Z1 ⋅ Z 2
Parallelschaltung zweier Impedanzen Z1 und Z2
(5.39a) und (5.39b)
ˆI = G 2 + ω2 C 2 ⋅ U
ˆ
e
e
 ωC 
ϕi − ϕe = arg ( Y ) = arctan 
 = arctan ( ω R C )
 G 
5.4.3 Gedämpftes LC-Glied
ZRL = R + j ω L
Serienschaltung von R und L , parallel zu C
(5.40)
1
1
= Y = j ω C+
Z
ZRL
(5.41)
Y=
1 − ω2 L C+ j ω R C
R + jω L
- 28 -
mit −
π
≤ ϕe − ϕi ≤ 0
2
(5.42)
1 + ω2 ⋅ ( R 2 C 2 − 2 L C ) + ω4 L2 C 2
Y =
R 2 + ω2 L2
(5.43) und (5.44)
 ωR L 
 ωL 
1

2
2 2
arg ( Y ) = ϕi − ϕe = arctan 
 − arctan 
 = arctan  ⋅ ω⋅ C ( R + ω L ) − ω L  
2
 R 
R

 1− ω L C 
5.5 Leistung und Effektivwerte
5.5.1 Momentane Leistung
(5.45)
p(t) =
1 ˆ ˆ
1 ˆ ˆ
⋅ U⋅ I⋅ cos ( ϕu − ϕi ) − ⋅ U
⋅ I⋅ cos ( 2ω t + ϕu + ϕi )
2
2
Mittelwert: Pm
Mittelwert: 0
(5.46)
Pm =
1
⋅ Û⋅ Î⋅ cos(ϕ u − ϕ i )
2
Mittelwert
Eine Schaltung enthält einen Energiespeicher (z.B.
1
1
⋅ C ⋅ U 2 oder ⋅ L ⋅ I 2 ), falls ∆ϕ = ϕu − ϕi ≠ 0
2
2
5.5.2 Wirkleistung, Effektivwerte
(i) Def.
(5.47)
T
Pw :=
1
1 ˆ ˆ
⋅ ∫ p ( t ) ⋅ dt = Pm = ⋅ U
⋅ I⋅ cos ( ∆ϕ ) mit ∆ϕ = ϕu − ϕi
T 0
2
(5.48)
T
1
⋅ u ( t ) 2 ⋅ dt
T
∫
U eff : =
0
(5.49)
T
I eff : =
1
⋅ i ( t ) 2 ⋅ dt
T
∫
0
(5.50) und (5.51)
U eff =
1
2
⋅ Û
I eff =
1
2
⋅ Î
(5.52)
Pw = U eff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕu − ϕi ) = U eff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕ )
mit ϕ = ϕu − ϕi := „relativer Phasenwinkel“;
oft wird „eff“ weggelassen!
(5.53)
U=
1
2
⋅ Û
I=
1
2
⋅ Î
komplexe Effektivwerte
- 29 -
Phasenwinkel
(ii) komplexe Schreibweise für Leistung
(5.54)
P :=
1 ˆ ˆ*
*
⋅ U ⋅ I = U ⋅ I = Pw + j⋅ PB
2
komplexer Leistungszeiger
(5.55) und (5.56)
P = U eff ⋅ Ieff ⋅ ( cos ϕ + j⋅ sin ϕ )
Pw = Re ( P )
mit ϕ = ϕu − ϕi
(iii) Beispiele
a) ohmscher Widerstand
(5.57)
P w = U eff ⋅ I eff , also cos ϕ = 1 !
b) Spule
Pw = Re ( P ) = 0 , also cos ϕ = 0 mit ϕ =
π
!
2
c) Kondensator
Pw = Re ( P ) = 0 , also cos ϕ = 0 mit ϕ = −
π
2
!
5.5.3 Energiespeichernde Elemente
(i) Spule
(5.58)
p(t) =
dWmag
dt
=
1
ω L ˆI 2 ⋅ sin ( 2ω t )
2
T
PW =
1
p ( t ) dt = 0
T ∫0
(ii) Kondensator
(5.59)
p(t) =
PW =
dWel
1
ˆ 2 ⋅ sin ( 2ω t )
= u (t) ⋅i (t) − ⋅ ωC U
dt
2
T
1
p ( t ) dt = 0
T ∫0
5.5.4 Scheinleistung und Blindleistung
(i) Leistungsbilanz bei linearen Elementen
(5.60)
p ( t ) = Re ( Z ) ⋅ i ( t ) + Im ( Z ) ⋅ I 2 eff ⋅ sin ( 2ωt )
2
zugeführte
(Netto − )
Leistung
Anteil an im
System verbrauchte
Leistung ≥ 0
Zunahme oder Abnahme an gespeicherter
>
dW
Energie =
=0
dt
<
- 30 -
(5.61)
p(t ) = R w ⋅i(t )2 +
dW
dt
Leistungsbilanzgleichung mit R w := Re ( Z ) (Wirkwiderstand) und
dW
= Im ( Z ) ⋅ I 2 eff ⋅ sin ( 2ωt )
dt
T
PW =
T
1
1
2
p ( t ) dt = R w ⋅ ∫ i ( t ) dt = Re ( Z ) ⋅ I 2eff = mittlere verbrauchte Leistung ≥ 0
∫
T0
T0
(ii) Blindleistung
(5.63)
PB := Im ( Z ) ⋅ I 2 eff
(5.64)
Blindleistung
p ( t ) = Pw ⋅ (1 − cos ( 2ω t ) ) + PB ⋅ sin ( 2ω t )
(iv) komplexe Zeigerdarstellung
(5.65a)
( ) = Z⋅I
P = Z⋅ I⋅I
*
2
eff
(5.66)
2
2
P = Re ( Z ) ⋅ Ieff
+ j ⋅ Im ( Z ) ⋅ I eff
Pw
PB
(5.65b)
P = U ⋅ I * = U ⋅ Y* ⋅ U = Y* ⋅ U 2 eff
(5.67)
Ps := P
Scheinleistung
(5.68)
Ps 2 = Pw2 + PB2
(5.69)
P s = U ⋅ I * = U ⋅ I = U eff ⋅ I eff
(5.70) und (5.71)
Pw = Ps ⋅ cos ϕ
(5.72)
tan ϕ =
PB = Ps ⋅ sin ϕ
Im ( Z )
Re ( Z )
- 31 -
5.5.5 Energieaustausch zwischen Kapazitäten und Induktivitäten
(i) Impedanz (bei Parallelschaltung von Kondensator und Spule)
(5.73)
ˆ =
U
e
jω L
⋅ Iˆ
1 − ω2 L C
(5.74) und (5.75)
Z ( ω) =
ωL
1 − ω2 L C

 + 2 , für ω <

∆ ϕ = ϕu − ϕi = 
 − , für ω >
 2

π
π
1
LC
1
LC
(ii) Leistung
Pw = 0
PB =
Spezialfall für ω =
1
LC
ωL
1 − ω2 L C 2
⋅ I 2 eff =
⋅ U eff
2
ωL
1− ω L C
: LC-Glied nimmt überhaupt keine momentane Leistung auf, d.h. p ( t ) ≡ 0
(iii) gespeicherte Energie
(5.76)
WL ( t ) =
1
1
2
L⋅ i L ( t ) = L⋅ IˆL2 ⋅ sin 2 ( ω t )
2
2
WC ( t ) =
1
1 ˆ2 1 2
2
C⋅ u ( t ) ⋅ cos 2 ( ωt ) = C⋅ U
= ω ⋅ C⋅ L2 ⋅ ˆI L2 ⋅ cos 2 ( ω t )
2
2
2
Energie in Spule
(5.77)
W ( t ) = WL ( t ) + WC ( t ) =
1 ˆ2
L⋅ I L ⋅ ( sin 2 ( ω t ) + ω2 ⋅ L⋅ C⋅ cos 2 ( ω t ) )
2
(5.78a) und (5.78b)
dW ˆ ˆ
= U ⋅ IL ⋅ (1 − ω2 L C ) ⋅ sin ( ωt ) ⋅ cos ( ωt )
dt
Energie in Kondensator
gespeicherte Gesamtenergie
zeitliche Änderung der Gesamtenergie
dW
1 − ω2 L C
= Û 2 ⋅
⋅ sin ( ωt ) ⋅ cos ( ωt )
dt
ωL
Spezialfall: ω =
p(t) =
1
LC
(Resonanz): W ( t ) = const. ⇒
dW ˆ 2 1 − ω2 L C
=U ⋅
⋅ sin ( ωt ) ⋅ cos ( ωt )
dt
ωL
dW
=0
dt
zugeführte Leistung
1
(Resonanz): p ( t ) = 0
LC
=> es wird nur zwischen L und C Energie ausgetauscht ( => Schwingkreis)
Falls ω =
- 32 -
5.6 Gedämpfter Schwingkreis - eine Fallstudie (LC-Parallelkreis, R und L in Reihe)
5.6.1 Resonanzverhalten bei erzwungener Schwingung
[vgl. (5.41) und Übungsaufgabe 30]
(i) komplexe Impedanz
(5.80)
Z ( ω) =
R + j ωL
= R⋅
1 − ω2 LC + jωRC
1 + jωτ1
2
 ω
1 −   + jωτ2
 ω0 
mit τ1 :=
L
, τ 2 := RC und ω0 :=
R
(ii) Schweinwiderstand
(5.81)
Z ( ω) = R ⋅
1 + ω2 τ12

2   ω
1 + ω2  τ 22 − 2  +  
ω

0 
 ω0 
4
(iii) Resonanzverschiebung
(5.82)
ωr = ω0 ⋅
1+ 2
τ2 τ2
−
τ1 τ1
(iv) Dämpfungsverhalten
(5.83)
R 2 ⋅ C τ2
=
< 1+ 2
L
τ1
Fazit: bei erzwungenen Schwingungen gilt…:
Widerstand
R=0
R 2C
< 1+ 2
L
R 2C
= 1+ 2
L
R 2C
> 1+ 2
L
Dämpfung
Ungedämpft
Resonanzfrequenz
ωr = ω0
Impedanz
hat Pol bei ω0
unterkritisch
0 < ωr < ω0
hat Maximum Z ( ωr ) > R
kritisch
ωr = 0
Z ( ωr ) = R
überkritisch
kein ωr
Z ( ω) ≤ R
(v) Phasenwinkel
(5.84)

τ 
ϕu − ϕi = − arctan ω⋅ ( τ 2 − τ1 ) + ω3 ⋅ 12  = − arctan f ( ω ) 
ω0 

(5.85)
ωR = ω0 ⋅ 1 −
R 2C
L
- 33 -
1
LC
Es gilt:
•
ωR ≤ ω0
•
ωR existiert nur im unterkritischen und kritischen Fall, d.h. nur für
•
ωR ≤ ωr
ωR := ω bei ϕu − ϕi = 0 mit R ≠ 0
ω0 := ω bei ϕu − ϕi = 0 mit R = 0
5.6.2 Energiebilanz für erzwungene Schwingungen
(i) Leistung
(5.86)
PW =
2
2
R ⋅ U eff
U eff
1
=
⋅
R 2 + ω2 L2 1 + ω2 τ21 R
Wirkleistung
(5.87)
2


 ω

ω⋅ τ1 − τ2 −   ⋅ τ1 

 U2
 ω0 
 ⋅ eff
PB = 
1 + ω2 τ12
R
Es gilt:
PW > 0
•
Blindleistung
(wegen ohmschen Verlust)
•


R 2C
Falls τ 2 > τ1  ⇔
> 1 : PB ( ω) < 0 für alle ω
L


•


 > 0 für 0 < ω < ωR
R 2C
Falls τ 2 ≤ τ1  ⇔
≤ 1 : PB ( ω) = 
L
< 0 für ωR < ω


(ii) momentane Leistungs- und Energiebilanz
(5.88)
dWL dWC
p ( t ) = pR ( t ) +
+
dt
dt
>0
>
=0
<
5.7 Transformator in komplexer Rechnung
5.7.1 Transformator-Gleichungen
N
u k ( t ) = R k + i k ( t ) + ∑ L kj ⋅
j =1
di k
(t)
dt
R k und L k1 … L kN befinden sich in Reihe. Es gilt: L kj = L jk
- 34 -
R 2C
≤ 1+ 2
L
(iv) komplexe Trafo-Gleichungen
(5.89)
N
U k = ( R k + j ω L kk ) ⋅ I k k + ∑ j ω L k j ⋅ I j
komplexe Trafo-Gleichungen
j≠ k
 U1   R 1 + jωL11

 
 U 2  =  jωL 21
 ⋮  
⋮

 
 U N   jωL N1
jωL12
jωL1N
  I1 
 I 
 ⋅ 2 
  ⋮ 
⋱
⋮
  
⋯ R N + jωL NN   I N 
⋯
R 2 + jωL 22
⋮
⋯
Matrixschreibweise
(v) Spezialfall: Trafo mit zwei Wicklungen (Primär- und Sekundärwicklung)
(5.90) und (5.91)
 U1   R 1 + jωL1
 =
 U 2   jωM
jωM
  I1 
⋅ I 
R 2 + j ωL 2   2 
mit L1 := L11 , L 2 := L 22 und M := L12 = L 21
entspricht dem Widerstand eines Zweitors (bzw. Vierpols):
 U1   Z11 Z12   I 1 
 =
 ⋅   ( I 1 und I 2 fließen in den Vierpol hinein)
 U 2   Z21 Z22   I 2 
6.7.2 Transformator mit sekundärseitigem Verbraucher
Schaltplan: siehe Skript „Elektrizitätslehre“ auf S. 221 (5.6.2 Sekundärseitig belasteter Transformator)
(5.92)
U 2 = U1 ⋅
I 2 = I1⋅
j ωM ⋅ Z
( R1 + jωL1 ) ⋅ ( Z + R 2 + jωL 2 ) + ω2 M 2
Z + R 2 + j ωL 2
( R1 + jωL1 ) ⋅ ( Z + R 2 + jωL 2 ) + ω2 M 2
mit U1 : Spannungsquelle; Z : Impedanz des Verbrauchernetzwerks; R1 und L1 bzw. R 2 und L 2 in Serie
(ii) Kenngrößen
(5.93)
ωM
 U2 
=


 U1  I2 = 0
R 1 + ω2 L21
I2
=


 I 1  U2 =0
R 2 + ω2 L22
2
Spannungsübersetzung
(5.93)
ωM
2
 I2
 U2 
=


 ⋅ 
 U1 I2 = 0  I 1  U2 = 0
Stromübersetzung
(R
ωM
2
1
)
+ ω L ⋅ ( R 22 + ω2 L22 )
2
2
1
- 35 -
Kopplungsfaktor