Aufgabe 1: Funktionale Modellierungen
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Didaktik des Sachrechnens (Sek. I) Übungsblatt 4 Dr. Astrid Brinkmann Name, Vorname: __________________________________ Matrikelnummer: _______________ Doppelte Lösungen führen zum Verlust aller Punkte beider Personen-Gruppen. Die Lösungen sind handschriftlich abzugeben. Dieses Blatt bitte obenauf heften! Aufgabe 1 2 3 4 5 gesamt Erreichbare Punkte 6 10 4 10 10 40 Erreichte Punkte Aufgabe 1: Funktionale Modellierungen a) Lösen Sie folgende Aufgabe aus einem Schulbuch. b) Vervollständigen Sie die Tabelle auf dem Blatt (!), so dass f eine i) lineare Funktion ist. x 1 3 5 9 f(x) ii) proportionale Funktion ist. x 2 10 12 30 f(x) iii) antiproportionale Funktion ist. x f(x) 2 4 16 11 c) Geben Sie zu den nummerischen Darstellungen unter b) entsprechende algebraische und graphische Darstellungen an. d) Geben Sie für jede der Zuordnungen unter b) je ein Beispiel einer passenden Realsituation an. Formulieren Sie zu jedem Beispiel eine Frage und beantworten Sie diese unter Nutzung eines mathematischen Modells. Aufgabe 2: Proportionale Zuordnungen und mathematische Modelle Betrachten Sie bitte folgende Aufgabe: 2 Brötchen kosten 0,60 €. Wie viel kosten 6 Brötchen? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe der jeweils angegebenen Darstellungsform: a) Situationsskizze b) Bildliche Darstellung (mit selbstgewählten Symbolen) c) Schrittweises Rechnen d) Enaktive Darstellung (Beschreiben Sie hier bitte, wie die handelnde Bearbeitung erfolgt.) e) Nummerische Darstellung in einer Tabelle f) Verhältnisgleichung g) Dreisatzdarstellung h) Strahlensatzfigur i) Graphische Darstellung im Koordinatensystem j) Funktionsgleichung Aufgabe 3: Mathematische Modelle Geben Sie zu den unten abgebildeten Aufgaben jeweils ein passendes mathematisches Modell an und begründen Sie Ihre Wahl. Aufgabe 4: Modellieren rund um Verhältnisse Betrachten Sie folgende Aufgabe: In einer Schulklasse sind dreimal so viele Jungen wie Mädchen. Insgesamt sind 28 Kinder in der Klasse. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sind in der Klasse? a) Lösen Sie die Aufgabe auf möglichst viele, mindestens jedoch 5 wesentlich verschiedene Arten. b) Geben Sie jedem Ihrer Lösungswege unter a) einen Namen, der auf die verwendete mathematische Modellierung und/oder Lösungsstrategie hinweist (z. B. „Lösen mittels Gleichungssystem“, „Lösen durch Probieren mit Tabelle“). c) Welche heuristischen Strategien nach Polya (siehe Kapitel 2 der Vorlesung) könnten für das Finden (einiger) Ihrer Lösungswege eine Hilfe sein? Geben Sie Ihre Antwort in Form einer Tabelle folgender Art an: Name des Lösungsweges (wie unter b) Heuristische Strategie nach Polya Wir öffnen nun die obige Aufgabe, indem wir den zweiten Satz weglassen: In einer Schulklasse sind dreimal so viele Jungen wie Mädchen. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sind in der Klasse? d) Begründen Sie, dass es nun mehr als nur eine Lösung gibt, die Lösungsmenge aber mit Blick auf die Sachsituation endlich sein muss. e) Finden Sie auf unterschiedliche Weisen mögliche Lösungen der Aufgabe. Welche Ihrer Vorgehensweisen unter a) können Sie auch hierfür verwenden? Betrachten Sie nun wieder die Ausgangsaufgabe. f) Ergänzen Sie die Sachsituation und die Fragestellung (ohne weitere Zahlenangaben) so, dass Sie eine Aufgabe zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie erhalten. (Z. B.: „Ein Kind soll (zufällig) für den Tafeldienst gewählt werden. Dafür werden Kärtchen mit den Namen der Kinder in einen Beutel getan und dann ein Kärtchen blind herausgezogen …“.) Stellen Sie die Aufgabe so, dass Sie beim Lösen ein Kombinatorikmodell und ein Baumdiagramm nutzen können und lösen Sie die Aufgabe. Aufgabe 5: Klassische Mittelwerte a) Lösen Sie nachfolgendes Schüler-Arbeitsblatt zu klassischen Mittelwerten. (Bei Aufgabe 3a) reicht als Lösung die Angabe der Formeln, ohne detaillierte Begründung in Bezug auf die Sachaufgaben.) b) Geben Sie eine mögliche stoffliche Einordnung dieses Arbeitsblattes im Unterricht an und begründen Sie diese auch auf der Grundlage von Lehrplanvorgaben. c) Welche (Teil-)Aufgaben könnten Schülerinnen und Schülern besondere Schwierigkeiten bereiten (mit Begründung)? Welche Hilfen könnten ggf. von Lehrerseite geboten werden? Mathematik Name: ______________________________________ Klasse: _____________ Klassische Mittelwerte Datum: _____________ Seite 1 Arbeitsblatt-Nr.: ______ Aufgabe 1 Die folgende Abbildung zeigt den Thaleskreis über der Strecke [AB] mit dem Mittelpunkt M. P h g a · Q M · A B N x y a) Berechne a, h, g für x = 2 cm und y = 8 cm. b) Gib allgemeine Terme zur Berechnung von a, h und g in Abhängigkeit von x und y an. Formuliere auch einen Berechnungsterm für den Kehrwert von h. Trage die Berechnungsterme unten in den InfoKasten ein. c) (i) Begründe anhand der Abbildung, dass a g h. (ii) Begründe algebraisch mit Hilfe der Berechnungsterme aus b), dass a g h. (Setze dabei x > 0 und y > 0 voraus.) d) Gib eine Gleichung an, die genau nur die Variablen a, h und g enthält und begründe sie. Info: Klassische Mittelwerte: a heißt arithmetisches Mittel von x und y. Berechnung: a = g heißt geometrisches Mittel von x und y. Berechnung: g = h heißt harmonisches Mittel von x und y. Berechnung: h = 1 = h Mathematik Name: ______________________________________ Klasse: _____________ Klassische Mittelwerte Datum: _____________ Seite 2 Arbeitsblatt-Nr.: ______ Aufgabe 2: Anwendungsaufgaben zu Mittelwerten Löse folgende Aufgaben: a) Herr Adam fährt eine Stunde lang auf der Landstraße mit der Geschwindigkeit x = 80 km/h und in der zweiten Stunde auf der Autobahn mit der Geschwindigkeit y = 120 km/h. Mit welcher Geschwindigkeit ist er durchschnittlich gefahren (d. h., mit welcher konstanten Geschwindigkeit hätte er fahren müssen, um in derselben Zeit dieselbe Strecke zurückzulegen)? b) Frau Hampel fährt auf der Autobahn die ersten 200 km mit einer Geschwindigkeit von x = 80 km/h. Mit welcher Geschwindigkeit y muss sie die nächsten 200 km fahren, um eine mittlere Geschwindigkeit von 100 km/h zu erreichen? Schätze zuerst und rechne dann. c) Hugo vereinbart bei einem Kauf folgende Ratenzahlung über 200,- €: Die ersten 100,- € werden mit einer Rate von x = 20 € pro Monat abgezahlt, die weiteren 100,- € mit einer Rate von y = 50 € pro Monat. Wie groß ist die durchschnittliche Monatsrate für die Abzahlung? d) Anna spart in den ersten 6 Monaten eines Jahres je x = 20 € pro Monat und in den nächsten 6 Monaten je y = 50 € pro Monat. Wie viel € hat Anna durchschnittlich pro Monat gespart? e) Ein Sparguthaben über 100,- € wird im ersten Jahr mit 2 % verzinst (Wachstumsfaktor: x = 1,02) und im zweiten Jahr mit 5 % (Wachstumsfaktor: y = 1,05). Welcher über die 2 Jahre konstanter Zinssatz p % (gleicher, d. h. durchschnittlicher Wachstumsfaktor: 1 + p %) hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben? f) Ein Bauer hat im ersten Jahr die Anzahl seiner Zuchtkaninchen verdoppelt (Faktor x = 2) und im zweiten Jahr verfünffacht (Faktor y = 5). Um welchen durchschnittlichen Faktor m hat der Bauer jährlich die Anzahl seiner Zuchtkaninchen vergrößert? g) Welcher Mittelwert von x und y wurde in den Aufgaben a) bis f) jeweils berechnet: der arithmetische, der geometrische, der harmonische oder keiner dieser drei Mittelwertarten? Mathematik Name: ______________________________________ Klasse: _____________ Klassische Mittelwerte Datum: _____________ Seite 3 Arbeitsblatt-Nr.: ______ Aufgabe 3: Verallgemeinerung der Berechnungsformeln für die klassischen Mittelwerte a) Gib Formeln zur Berechnung des arithmetischen Mittels, des geometrischen Mittels sowie des Kehrwertes des harmonischen Mittels dreier Zahlen x, y und z an, so dass damit die Anwendungsaufgaben aus Aufgabe 2 bei Hinzunahme einer dritten Größe z sinnvoll gelöst werden können. b) Verallgemeinere die Berechnungsformeln aus a) für die Berechnung der entsprechenden Mittelwerte von fünf Zahlen: x1, x2, x3, x4, x5. c) Ergänze passend: Klassische Mittelwerte für n Zahlen: x1, x2, …, xn: Beim _______________________ sucht man die Zahl m, für die m m ... m n m x1 x2 ... xn . n Summanden Beim _______________________ sucht man die Zahl m, für die ____________ m n x1 x2 ... xn . ______________ Beim harmonischen Mittel sucht man die Zahl m, für die 1 1 1 1 1 1 ... _________ ... . m m m x1 x2 xn n Summanden d) Konstruiere jeweils eine Sachaufgabe, bei der das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel bzw. das harmonische Mittel von mindestens 3 Werten berechnet werden muss.
