Beispiele aus dem täglichen Leben

2. Mittelwerte (Lageparameter)
Beispiele aus dem täglichen Leben
 Pro Heimspiel hatte Borussia Dortmund in der letzten Saison
durchschnittlich 74.624 Zuschauer.
 Die deutschen Aktien sind im Durchschnitt um 10 Zähler
gefallen.
 In Indien wurde in den letzten 10 Jahren eine durchschnittliche Wachstumsrate der Bevölkerung von 20% verzeichnet.
 Der neue BMW Z4 verbraucht durchschnittlich 12 Liter auf
100 km.
 Dortmunder Pommesbuden erhielten bei einer Bewertung
durch französische Gourmet-Experten im Mittel 4 Sterne.
Achtung: 5 alltägliche Beispiele = 5 verschiedene Mittelwerte !
2. Mittelwerte (Lageparameter)
- 11 -
Arithmetisches Mittel
Beispiel:
xi  3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 6
x
n6
1
 3  3  4  4  4  6 
6
x
24
4
6

1 n 
 x   xi 
n i 1 

x
1
 2  3  3  4  6 
6
x 4


1 r
x

H

a

 j j
n j 1


x
2
3
1
3   4  6
6
6
6
x
6 12 6
  4
6 6 6
r


x

h

a


j
j
j 1


2. Mittelwerte (Lageparameter)
- 12 -
Situation:

Ein Gebäude mit 10 Stockwerken

Ein Aufzug

Sie stehen im 2. Stock und warten auf den Aufzug
 Bekannt:
o vom 2. Stockwerk nach ganz oben und zurück braucht der
Aufzug 200 Sekunden
o vom 2. Stockwerk nach ganz unten und zurück braucht der
Aufzug 50 Sekunden

Gesucht:
Mittlere Wartezeit im 2. Stock
o Wenn der Aufzug oben ist:
Mittlere Wartezeit = 200/2 = 100 Sekunden
o Wenn der Aufzug unten ist:
Mittlere Wartezeit = 50/2 = 25 Sekunden
o D.h. mittlere Wartezeit insgesamt = (100+25)/2 = 62,5 Sek.
FALSCH!!!

Denn der Aufzug ist mit Wahrscheinlichkeit
200/250 = 0,8 oben
50/250 = 0,2 unten

Deshalb ist die mittlere Wartezeit
0,8 • 100 + 0,2 • 25 = 85 Sekunden
 Richtige Lösung:
n
Gewogenes arithmetisches Mittel
xg   gi  xi
i 1
mit 0  gi  1 und
n
 gi  1
i 1
2. Mittelwerte (Lageparameter)
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Situation:
 Kauf einer Aktie für 100,- €
 Kursverlauf über zwei Jahre:
Kurs
Kauf
1. Jahr
2. Jahr
100,- €
160,- €
80,- €
Wachstumsrate ri
 Gesucht:
+ 60%
- 50%
Durchschnittliche Wachstumsrate pro Jahr
r
r1  r2 60%  50%

 5%
2
2
BLÖDSINN!!!
(Positive mittlere Wachstumsrate und trotzdem Verlust)
 Richtige Lösung:
Geometrisches Mittel
1
n
 n
x geo  x1  x2  ...  xn    xi 
 i 1 
n
 Anzuwenden, falls das beobachtete Merkmal als
Wachstumsrate vorliegt
2. Mittelwerte (Lageparameter)
- 14 -
Situation:
 Planung des Bier-Catering für die nächste Skatrunde
o Betrachtetes Merkmal:
X = benötigte Trinkzeit für zwei Flaschen Bier
o Von den drei Skatspielern ist bekannt:
x1 = 9 Minuten
x2 = 12 Minuten
x3 = 18 Minuten
 Gesucht:
Durchschnittliche Trinkzeit für zwei Flaschen Bier
1
x  (9  12  18)  13
3
ist falsch!!!
 Richtige Lösung:
Harmonisches Mittel
r
xh 
n
n

i 1

1
xj
H j
j 1
r
1
H j  a
j 1
j
Anzuwenden, falls das beobachtete Merkmal als
Quotient vorliegt (km/h, €/Stück, usw.)
 Hier:
xh 
3
1
9
1
1
 12
 18

3
201510
180

3  180
 12 min./2 Fl.
45
2. Mittelwerte (Lageparameter)
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„Veranstaltungskritik“ am Ende des Semesters:
Urteil
Häufigkeit
schlecht
langweilig
erträglich
interessant
aufregend
2
5
4
4
2
Gesucht: Durchschnittliche Bewertung
Skalenniveau: Nominal
→ Mittelwert: Modus,
die am häufigsten vorkommende Ausprägung
= langweilig
Aber: Durch die Bewertung ist eine „natürliche“ Rangfolge gegeben.
Urteil
schlecht
langweilig
erträglich
interessant
aufregend
Häufigkeit
x(i)
2
5
4
4
2
x(1), x(2)
x(3) - x(7)
x(8) - x(11)
x(12) - x(15)
x(16), x(17)
Skalenniveau: Ordinal
→ Mittelwert: Median,
der „Mittlere“ der der Größe nach geordneten
Beobachtungen x(1), …, x(17)
= x(9) = erträglich
Median allgemein:
x0,5  min{ x   : Fn ( x)  0,5}
2. Mittelwerte (Lageparameter)
- 16 -
 Vorteile des Medians gegenüber dem arithmetischen
Mittel:
 eine vorkommende Merkmalsausprägung
 kann auch bei ordinal skalierten Merkmalen angewendet
werden
 ausreißerrobust,
z.B.
n = 5:
1,2 1,1 1,3 1,4 1,6
 Median = 1,3
 arithmetisches Mittel = 1,3
aber Fehler bei der Dateneingabe, 16 statt 1,6:
 Median = 1,3
 arithmetisches Mittel = 4,18
 Nachteil des Medians:
 Information wird verschenkt:
 Angenommen, Durchschnittseinkommen (arithmetisches
Mittel) und Bevölkerungszahl (n) sind bekannt, dann ist
auch das Gesamteinkommen bekannt (Produkt der beiden
Werte).
 Aber aus dem Median und der Bevölkerungszahl ist kein
Rückschluss auf das Gesamteinkommen möglich.
2. Mittelwerte (Lageparameter)
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Mittelwerte (Lageparameter)
Beispiele aus dem täglichen Leben
 Pro Heimspiel hatte Borussia Dortmund in der letzten Saison
durchschnittlich 74.624 Zuschauer.
→ Arithmetisches Mittel (gerundet)
 Die deutschen Aktien sind im Durchschnitt um 10 Zähler
gefallen.
→ Gewogenes arithmetisches Mittel
 In Indien wurde in den letzten 10 Jahren eine durchschnittliche Wachstumsrate der Bevölkerung von 20% verzeichnet.
→ Geometrisches Mittel
 Der neue BMW Z4 verbraucht durchschnittlich 12 Liter auf
100 km.
→ Harmonisches Mittel
 Dortmunder Pommesbuden erhielten bei einer Bewertung
durch französische Gourmet-Experten im Mittel 4 Sterne.
→ Median
2. Mittelwerte (Lageparameter)
- 18 -