Prof

Prof. Dr. Richard Roth
Musterlösung für Übungsaufgaben zu Auswertungs- und Prognosemethoden
Aufgabe 1. A)
Das arithmetische Mittel kann (sinnvollerweise) nicht gebildet werden, da kein quantitatives Merkmal vorliegt.
Der Modus (Modalwert) ist der häufigste Wert (bzw. besser ausgedrückt: das häufigste Qualitätsurteil), in diesem Fall ist der Modus xz : Mangelhaft (8 Urteile)
Der Median (Zentralwert) ist der Wert, der eine der Größe nach geordnete Reihe von Merkmalswerten halbiert, d.h. 50% sind größer (oder gleich bei Gleichheit mehrerer Werte) und 50% sind
kleiner (oder gleich …) als der Zentralwert. Im Beispiel werden die Rangplätze für die Urteilswerte
gebildet:
Urteile:
sehr gut(1) gut(2)
zufriedenstellend(3) mangelhaft(4) sehr mangelhaft(5)
Rangplätze:
0
1 bis 7
8 bis 12
13 bis 20
0
Somit ergibt sich xz = xn+1  x5+1 = 3 ( zufriedenstellend)
2
2
Das Urteil „zufriedenstellend“ belegt die Rangplätze 8 bis 12.
Aufgabe 1. B)
Modus (häufigster Wert)  xz = 65,00€ Dieser Preis tritt am häufigsten auf: 6 mal!
Median (Zentralwert) xz = n+1
2
Bildung einer Rangfolge von n = 20 Preisen:
35 35 35 50 50 60 60 60 60 65 65 65 65 65 65 70 70 70 75 75
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
Bei gerader Zahl von Merkmalswerten gilt: xz = 1 • (xn + x(n + 1))
2
2
2
= • (x10 + x11)
1
2
= • (65 + 65)  Zentralwert: 65
1
2
Arithmetisches Mittel:
Das a.M. wird aus der Summe der Merkmalswerte gebildet und durch die Anzahl der
Merkmalswerte dividiert: µ = x1 + x2 + x3 + ….. xn
N
oder
µ = ∑xi
n
bei i = 1 bis n
 Ungewogenes arithmetisches Mittel!
Wenn einzelne Merkmalswerte unterschiedliche Gewichte haben (also z.B. mehrfach auftreten)
dann muss man das  gewogene arithmetische Mittel berechnen.
µ = ∑gi•xi
∑gi
Also in diesem Beispiel:
µ = 3•35 +2•50 +4•60 +6•65 + 3•70 + 2•75
20
µ = 1195
20
µ = 59,75€
Ein Fonduegerät kostet Ø 59,75€.
Aufgabe 1. C
a) Zentralwert
Umsätze der Filialen nach Größe ordnen:
357 363 410 424 430 464
n = 6 Werte (gerade Zahl)
xz = 1 (x3 + x4))
2
xz = 1 (410 + 424)
2
xz = 417€
b) Arithmetisches Mittel
µ = 357 + 363 + 410 + 424 + 430 + 464
6
µ = 2448
6
µ = 408€
Aufgabe 2. A)
Spannweite R = xmax - xmin
R = 464 – 357
R = 107€
Der umsatzmäßige Abstand zwischen der umsatzstärksten Filiale und der umsatzschwächsten
Filiale beträgt 107€.
Aufgabe 2. B)
Varianz:
Arithmetisches Mittel µ = 408€ (siehe oben)
Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abweichungen der Merkmalswerte vom arithmetischen
Mittelwert, dividiert durch die Anzahl der Merkmalswerte:
σ2 = ∑(xi - µ)2
i
i (Filialen A bis F)
1
2
3
4
5
6
∑
Xi
424
357
410
363
430
464
2448
Xi - µ
+16
-51
+2
-45
+22
+56
0
σ2 = 8506 = 1417,667  Varianz
6
Standardabweichung:
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, also
s = √σ2
s = √1417,667 = 37,652  Standardabweichung
(xi - µ)2
256
2601
4
2025
484
3136
8506