Höhere Quantenmechanik

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
PD Dr. M. Buballa
Institut für Kernphysik
Höhere Quantenmechanik
WS 2008/2009,
13. Übungsblatt
3./4. Februar 2009
Präsenzübungen:
Aufgabe 46:
Die Zeitentwicklung der Feldoperatoren ψ(~x, t) im Heisenberg-Bild ist durch die HeisenbergGleichung
∂
i~ ψ(~x, t) = [ψ(~x, t), H]
∂t
gegeben.
Sei der Hamilton-Operator H = T̂ + Û + V̂ mit der kinetischen Energie
Z
~2
~ 2 ψ(~x, t) ,
T̂ = −
d3 x ψ † (~x, t)∇
2m
dem Einteilchenpotenzial
Û =
Z
d3 x ψ † (~x, t)U (~x)ψ(~x, t)
und dem Zweiteilchenpotenzial
Z
Z
1
d3 x2 ψ † (~x1 , t)ψ † (~x2 , t)V (~x1 , ~x2 )ψ(~x2 , t)ψ(~x1 , t) .
d3 x1
V̂ =
2
Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichung für ψ eine Schrödinger-ähnliche Form annimmt,
wobei das Zweiteilchenpotenzial auf einen nichtlinearen Term führt.
Hinweis: Die zeitabhängigen Feldoperatoren im Heisenberg-Bild genügen den bekannten
Vertauschungsrelationen, solange alle Feldoperatoren zur gleichen Zeit betrachtet werden,
d.h. [ψ(~x, t), ψ(~x′ , t)]± = [ψ † (~x, t), ψ † (~x′ , t)]± = 0 und [ψ(~x, t), ψ † (~x′ , t)]± = δ(~x − ~x′ ).
1
Aufgabe 47:
Für Teilchen mit Spin definiert man analog zum Dichteoperator n(~x) den Spindichteoperator
als den Einteilchenoperator
~ x) =
S(~
N
X
~α .
δ3 (~x − ~xα ) S
α=1
~α ein Spinoperator, der auf das Teilchen α wirkt.
Dabei ist S
Wie in der Vorlesung nehmen wir im Folgenden ein endliches Volumen V mit periodischen Randbedingungen an. Eine vollständige Einteilchenbasis ist dann durch die Zustände
{|~k, si} = {|~ki ⊗ |si} gegeben, wobei |~ki Impuls- und |si Spin-Eigenzustände sind.
a) Zeigen Sie, dass
~ x) =
S(~
X
~ ψ †′ (~x)ψs (~x) .
hs′ |S|si
s
s,s′
b) Werten Sie diesen Ausdruck für Spin- 12 -Teilchen weiter aus, indem Sie die Spin~ durch Pauli-Matrizen
Zustände durch zweikomponentige Spinoren und den Operator S
darstellen:
1
0
~ = ~ ~σ
|↑i =
, |↓i =
,
S
0
1
2
c) Analog zur Gesamtteilchenzahl Rerhalten wir den Gesamt-Spinoperator durch Integra~ges =
~ x).
tion über das Volumen, S
V S(~
Sei |~k, ↑i = a~† |0i ein Einteilchenzustand mit Wellenzahl ~k und Spin aufwärts. Bek,↑
~ges |~k, ↑i.
rechnen Sie h~k, ↑|S
Hausübungen:
d) Zeigen Sie, dass
Z
Z
~2
† ′
2
2
3
3 ′ †
′
2
~
N̂↑ + N̂↓ + 2N̂↑ + 2N̂↓ − 2N̂↑ N̂↓ − 4 d x d x ψ↓ (~x)ψ↑ (~x )ψ↑ (~x)ψ↓ (~x ) ,
Sges =
4
wobei N̂s =
R
d3 x ψs† ψs der Teilchenzahloperator für Spin s ist.
~ 2 |~k, ↑i das für Spin- 1 -Teilchen zu erwartende Resultat liefert.
e) Zeigen Sie, dass S
ges
2
f) Betrachten Sie nun die Zweiteilchenzustände
|φ1 i = a~† a~† |0i ,
k,↓ k,↑
|φ2 i = a~† ′ a~† |0i
k ,↑ k,↑
und |φ3 i = a~† ′ a~† |0i
k ,↓ k,↑
mit ~k′ 6= ~k.
2 |φ i und interpretieren Sie die Ergebnisse.
~ges
Berechnen Sie jeweils Sges,z |φi i und S
i
~ 2 ist.
~ 2 |φi i, falls |φi i kein Eigenzustand von S
Berechnen Sie dazu auch hφi |S
ges
ges
2