7. ¨Ubung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015

7. Übung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015
Aufgabe 22
Spin-Bahn Kopplung
Der Wechselwirkungsoperator der Spin-Bahn Kopplung ist gegeben durch
V̂LS =
Ze2 µ0 L̂
·
Ŝ
.
8πm2 r 3
D
E
a) Stellen Sie den allgemeinen Ausdruck für die Energieverschiebung ∆ELS = V̂LS auf.
b) Berechnen Sie im Wasserstoffatom die Energieverschiebung für die Zustände mit n = 2 und
n = 3.
c) Welchen Wert haben für n = 30 die kleinste und die größte Verschiebung?
Hinweis:
drücken Sie den Operator L̂ · Ŝ in Jˆ2 , L̂2 , Ŝ 2 aus und verwenden Sie die Beziehung
1
Z3
.
= a3 n3 l l+
r3
( 12 )(l+1)
0
Aufgabe 23
Hyperfeinaufspaltung
Hat ein Atom einen nicht-verschwindenden Kernspin I, so wechselwirkt dieser mit dem Gesamtbahndrehimpuls J der Elektronenhülle. Diese Wechselwirkung führt zu einer zusätzlichen Aufspaltung der atomaren Eigenzustände Ψn,l,j in mehrere Hyperfeinzustände. Die Energieverschiebungen
∆EHF S dieser Zustände sind durch
∆EHF S =
A
(f (f + 1) − j(j + 1) − i(i + 1))
2
gegeben, wobei j die Drehimpulsquantenzahl des Gesamtdrehimpulses der Elektronenhülle, i die
des Kerns, und f des gesamten Atoms darstellt.
a) Zeigen Sie, dass für die Energiedifferenz zweier benachbarter Hyperfeinzustände die Beziehung
∆EF +1 − ∆EF = A(f + 1) gilt. Alle anderen Quantenzahlen seien dabei identisch.
b) Ein atomarer Zustand mit j = 5/2 zeige im Experiment eine Hyperfeinaufspaltung in sechs
verschiedene Komponenten. Die gemessene Energiedifferenz benachbarter Komponenten sei
0.19 cm−1 , 0.251 cm−1 , 0.318 cm−1 , 0.378 cm−1 und 0.439 cm−1 . Bestimmen Sie die Kernspinquantenzahl i und die Hyperfeinstrukturkonstante A.
Hinweise: Die Wellenzahl ν̃ = 1/λ (Einheit cm−1 ) ist eine gängige Einheit in der Spektroskopie. Beachten Sie, dass die gemessenen Werte mit Messfehlern behaftet sind!
c) Skizzieren Sie die Lage der Hyperfeinzustände relativ zum unaufgespaltenen Niveau in Einheiten von A.
Aufgabe 24
Spinpräzession bei Neutronen
Neutronen haben Spin 12 und ein damit verbundenes magnetisches Moment. Die Evolution dieses
Zweizustandsystems ist in vielerlei Hinsicht der des atomaren Systems aus Kapitel 4.3 ähnlich.
Wir betrachten die folgende Anordnung zur experimentellen Beobachtung der Präzession des Spins
von Neutronen. Ein monochromatischer Neutronenstrahl mit De-Broglie-Wellenlänge λ = 1.9 Å
wird zunächst so polarisiert, dass der Spin aller Neutronen entlang der z-Richtung orientiert ist
(orthogonal zu der Flugrichtung (y), siehe Bild). Im zweiten Schritt wird die Polarisation um 90◦
gedreht, so dass die Spins in der x-y Ebene liegen. Danach passiert der Strahl einen 25 cm langen
Bereich, wo ein homogenes Magnetfeld B in z-Richtung angelegt ist. Dieses führt zu einer Rotation
der Spins. Im vierten Schritt wird die Polarisation wieder auf die z-Achse gedreht. Schließlich wird
die Polarisation analysiert, indem die beiden Spin Komponenten getrennt und deren Intensitäten
gemessen werden.
Die Notation für den Spin ist die folgende: die Basiszustände sind |↑i und |↓i, welche der Orientierung parallel/antiparallel zu der vertikalen (z)
Achse
entsprechen. Allgemein schreibt
man
den
c↑
1
Zustand |ψi = c↑ |↑i + c↓ |↓i in Vektorform als
. Der Anfangszustand ist |ψ1 i =
.
c↓
0
B
z
R1
Detektor
R2
y
x
|
1⟩
|
2⟩
|
3⟩
|
4⟩
Analysator
Detektor
25 cm
1 1
a) Die erste Drehung kann man darstellen als R1 =
. Wie lautet der Zustand
1 −1
nach der Drehung? Wie ist der Spin orientiert? Hinweis: betrachten Sie die Eigenzustände
der Pauli Spin-Matrizen σ̂x , σ̂y , σ̂z .
√1
2
b) Berechnen sie die Zeit TB , welche die Neutronen brauchen, um den Bereich des Magnetfeldes
zu passieren.
c) Wie ändert sich der quantenmechanische
Zustand
in dem Magnetfeld? Hinweis: der Hamil
1
0
− 2 ωL
die s.g. Larmor Frequenz ist
, wobei ωL = 2·µ·B
tonian hat die Form Ĥ = ~
1
~
ω
0
L
2
und µ = 0.966 · 10−26 J/T das magnetische Moment des Neutrons. Wie lautet der Zustand
|ψ3 i nach dem Austritt aus dem Magnetfeld? Wie ist der Spin orientiert, wenn ωL · TB = π2
gilt? Hinweis: betrachten Sie die zeitabhängige Evolution für die Durchflugszeit durch das
Magnetfeld.
1 1
−1
1
d) Die letzte Drehung ist R2 = R1 = √2
. Welcher Zustand |ψ4 i ergibt sich all1 −1
gemein in Abhängigkeit von Feldstärke B und Durchflugszeit TB ? Welche Polarisation in
z-Richtung (Erwartungswert von σ̂z ) erhält man?
e) Wie groß muss das Magnetfeld B sein, damit der Spin eine halbe Umdrehung macht? Wie
viele volle Umdrehungen macht der Spin bei einem Magnetfeld von B = 1 T?