11. ¨Ubung zur Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik
Prof. Thomas Gasenzer, Dr. Tilman Enss
Universität Heidelberg
Sommersemester 2013
11. Übung zur Quantenmechanik
Abgabe der schriftlichen Aufgaben am 27./28.6.2013 am Anfang der Übung;
Besprechung der Lösungen in der Übung am 4./5.7.2013.
(8 Punkte)
Aufgabe 31: Drehimpuls-Addition
Gegeben seien zwei Teilchen mit Spin s1 und s2 . In der Vorlesung wurde der Fall behandelt,
dass beide Teilchen Spin 21 besitzen, also s1 = 12 = s2 . In dieser Übung wollen wir den Fall
betrachten, dass das erste Teilchen Spin 1 hat, also s1 = 1, und das zweite weiterhin
s2 = 21 .1
Der Zustand dieses Zwei-Teilchen-Systems kann, wie in der Vorlesung, als Vektor aus
einem Tensorproduktraum geschrieben werden. Die Basiselemente dieses Raums sind die
Zustände |s1 , m1 i ⊗ |s2 , m2 i =: |s1 , m1 ; s2 , m2 i, wobei die mi die Ŝi,z -Eigenwerte festlegen.
Unser Ziel ist es, den Basiswechsel vom Tensorproduktraum in den Raum der gemeinsamen Eigenzustände der Operatoren Jˆ2 , Jˆz , Ŝ12 , Ŝ22 zu finden, wobei Jˆ = Ŝ1 + Ŝ2 der
Gesamtdrehimpuls ist. Wir vernachlässigen dem Bahndrehimpuls. Wie in der Vorlesung
bezeichnen wir die entsprechenden Eigenzustände als |j, m, s1 , s2 i, was man gewöhnlich als
|j, mi abkürzt, da s1 = 1 und s2 = 21 vorgegeben sind. Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten
jm
Cm
sind die Entwicklungskoeffizienten dieses Basiswechsels, also
1 m2
|j, mi =
X
jm
Cm
|s1 , m1 ; s2 , m2 i .
1 m2
(1)
m1 , m2
(a) Argumentieren Sie analog zur Vorlesung, daß folgendes gilt.
| 23 , 32 i = |1, 1; 12 , 12 i
(2)
3/2,1/2
(b) Berechnen Sie die Clebsch-Gordan-Koeffizienten Cm1 ,m2 . Wenden Sie hierzu den
Gesamtdrehimpuls-Absteigeoperator Jˆ− = Ŝ1− + Ŝ2− auf | 32 , 32 i an und zeigen Sie:
| 32 , 12 i
=
q
2
3
|1, 0;
1 1
, i
2 2
+
q
1
3
|1, 1; 21 , − 21 i.
(3)
Freiwilliger Zusatz: Bestimmen Sie die Koeffizienten für | 32 , − 12 i und | 23 , − 32 i mit
Hilfe von Symmetrieüberlegungen.
1
Eine solche physikalische Situation tritt z.B. in einem Kollisionsexperiment an einem Teilchenbeschleuniger – etwa dem LHC – auf, etwa wenn ein Elektron (s = 12 ) zusammen mit einem W - oder ZVektorboson (s = 1) produziert wird. (Das Vektorboson ist das Wechselwirkungsteilchen, welches für
die schwache Kernkraft verantwortlich ist.) Um diese Teilchen zu detektieren, mußman u.a. den Gesamtspin des Systems analysieren. Dies wollen wir hiermit üben.
1
1/2,1/2
(c) Zur Berechnung von Cm1 ,m2 wählen Sie den Ansatz
| 21 , 21 i = α |1, 0; 21 , 12 i + β |1, 1; 21 , − 12 i
(4)
und bestimmen Sie die Koeffizienten α und β so, daß sie die folgenden Orthonormalitätsbedingungen erfüllen:
h 21 , 12 | 12 , 12 i = 1 und h 21 , 21 | 32 , 12 i = 0 .
(5)
Erläutern Sie, warum der obige Ansatz gerechtfertigt ist.
(d) Abschließend betrachten wir den Fall s1 = 1 = s2 . Geben Sie auf der Grundlage ihres
Wissens aus der Vorlesung, d.h., ohne explizite Rechnungen oder Herleitungen, an,
welche Werte für den Gesamtdrehimpuls dieses Systems auftreten können und wie
viele Zustände den jeweiligen Werten des Gesamtdrehimpulses entsprechen.
(5 Punkte)
Aufgabe 32: Spinpräzession im konstanten Magnetfeld
Wir betrachten ein Elektron, dessen Bahnfreiheitsgrade wir vollständig vernachlässigen.
Die Wellenfunktion dieses Elektrons hat dann, in der Basis {| 12 iz , |− 21 iz }, die Form
ψ1 (t)
ψ(t) =
,
(6)
ψ2 (t)
und der Hamiltonoperator des Elektrons in einem Magnetfeld lautet
Ĥ = −
2µB
B · Ŝ
~
mit µB =
e~
.
2mc
(7)
In der obigen Basis ist Ŝ = ~2 σ, wobei σ = (σx , σy , σz ) die Pauli-Matrizen sind.
(a) Nehmen Sie an, das Elektron sei zur Zeit t = 0 im Zustand
1
ψ(0) =
.
0
(8)
Berechnen Sie den Erwartungswert hŜi zu diesem Zeitpunkt.
(b) Wie lautet die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung des Elektrons in einem konstanten homogenen Magnetfeld B = B ex ? Lösen Sie diese Schrödinger-Gleichung für die
Anfangsbedingung
0
ψ(0) =
.
(9)
1
Nach welchen Zeitpunkten ist das Elektron vollständig in +z-Richtung polarisiert?
Hinweis: Berechnen Sie hierzu entweder den Operator Û (t) = exp(− ~i Ĥt), oder
wandeln Sie das gekoppelte Gleichungssystem erster Ordnung durch (nochmalige)
Zeitdifferentiation in zwei getrennte Differentialgleichungen zweiter Ordnung um.
2
(7 Punkte)
Aufgabe 33: Zeeman-Effekt
Wir betrachten ein Wasserstoffatom in einem konstanten B-Feld mit B = B ez . In der
folgenden Betrachtung sei der Spin zunächst zu vernachlässigen. In der Vorlesung wurde
gezeigt, daß, ausgehend von der eichkovarianten Schrödinger-Gleichung
2
1
~
e
[i~∂t − e φ(x, t)] ψ =
∇ − A ψ,
(10)
2m i
c
der Hamiltonoperator Ĥ in Coulomb-Eichung ∇ · A = 0 gegeben ist durch
Ĥ = −
e2
~2 2 i~e
∇ +
A·∇+
A2 + e φ.
2m
mc
2mc2
(11)
(a) Vernachlässigen Sie den Term e2 A2 /(2mc2 ) und zeigen Sie, dass
Ĥ = Ĥ0 −
e
B L̂z ,
2mc
(12)
wobei Ĥ0 = −~2 ∇2 /(2m) + e φ, A = −(x × B)/2 und L̂i = −i~ijk xj ∂k ist.
Anmerkung: φ ist, wie auch im Fall ohne Magnetfeld, durch das elektrostatische
Potential des Protons gegeben.
(b) Zeigen Sie nun, dass L̂2 und L̂z noch immer mit Ĥ kommutieren, L̂+ und L̂− hingegen
nicht mehr. Benutzen Sie hierzu Ihre Vorkenntnisse aus der Vorlesung, das heißt
[Ĥ0 , L̂i ] = 0. Erläutern Sie, warum das B-Feld die Entartung bezüglich der mz Eigenwerte aufhebt und verifizieren Sie, daß die Energieaufspaltung
∆E =
e~B
2mc
(13)
beträgt, also linear mit dem Magnetfeld ansteigt und äquidistant ist. Diskutieren Sie
auf dieser Grundlage die Energie-Entartung der zweiten Energieschale (Hauptquantenzahl n = 2) in Abhängigkeit von B. Geben Sie hierzu die Energieeigenwerte zu
n = 2 an und wie viele Energieeigenzustände jeweils zu diesen Eigenwerten existieren.
(c) Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 31 und bestimmen Sie die Zeeman-Aufspaltung der n = 2 Niveaus in einem Magnetfeld B = Bez unter Einbeziehung des
Spins. Betrachten Sie zwei Grenzfälle: (i) Schwaches B-Feld, für welches die ZeemanVerschiebung klein im Vergleich zur Feinstruktur, d.h., j eine gute Quantenzahl ist.
(ii) Starkes B-Feld (Paschen-Back-Effekt), für welches die Zeeman-Verschiebung groß
gegenüber der Feinstruktur ist und ml und ms jeweils gute Quantenzahlen sind.
3