Einführung Seite 28 Zahlenebene C

Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Einführung
Lösung von
x 2 + 1 = 0,
pq-Formel√liefert
x1/2 = ± −1 ;
| {z }
Vorlesung 1
23. bzw. 24. Oktober 2013
x 2 − 6 x + 11 = 0 ?
√
x1/2 = 3 ± −2
| {z }
Definition
Imaginäre Einheit i :=
Seite 29
√
Seite 30
verboten
verboten
Komplexe Zahlen
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−1
Dann
x1/2 = ±i;
i 2 = −1.
Allgemein
z = x + i y ; x, y ∈ R
x1/2 = 3 ±
√
2·i
Komplexe Zahl.
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Komplexe Zahlen C
Zahlenebene C
C : = {z = x + i y | x, y ∈ R}
C
Komplexe Addition & Multiplikation
Mit z1 : = x1 + i y1 ,
z = a + ib
b
z2 : = x2 + i y2
definiere
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
|z|
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
a
Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i 2 = −1 :
|z̄|
(x1 +i y1 )(x2 +i y2 ) = x1 x2 +i x1 y2 +i y1 x2 +i 2 y1 y2 = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +y1 x2 ).
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z̄ = a − ib
−b
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Bezeichnungen
Komplexe Zahlen C
Re(a + i b) = a
Realteil
Im(a + i b) = b
Imaginärteil
a+i b =a−i b
konjugiert Komplexes
|a + i b| : =
√
a2 + b 2
Komplexe Zahlen C
Grundlagen
Im(z)
C
z Seite 31
|z|
Seite 31
Division
z1
z1 · z¯2
z1 · z¯2
=
=
z2
z2 · z2
|z2 |2
Re(z)
|z̄|
z̄
Betrag ∈ R
z1 · z¯2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(y1 x2 − x1 y2 )
Konsequenzen
z + z̄ = 2Re z
Also
z − z̄ = 2i Im z
z̄¯ = z
z1
=
z2
x1 x2 + y1 y2
x22 + y22
+ i
y1 x2 − x1 y2
x22 + y22
z · z̄ = |z|2
z1 + z2 = z¯1 + z¯2
z1 · z2 = z¯1 · z¯2 (Nachrechnen!!!)
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Komplexe Zahlen C
Geometrie komplexer Operationen
Achtung:
C nicht ordenbar.
Aber:
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|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
z1 + z2
z1
z2
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1. Addition wie Vektoraddition in der
Ebene
C
z1
b1
a2
a1
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2. Multiplikation und Division mit
Polardarstellung komplexer Zahlen
Seite 33
Seite 32
z2
Seite 32
a1 + a2
b1 + b2
z1 + z2
b2
z2
z + z = a + ib1 + a2Lineare
+ ibAlgebra
2 =I (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
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2
1
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Sinus und Cosinus am Einheitskreis
1
zu ϕ gehörige Bogenlänge
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sin(ϕ)
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
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π
2
-1
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
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3
2π
ϕ
2π
cos(ϕ)
Additionstheoreme für sin und cos
sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ)
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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π
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Komplexe Zahlen C
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Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
y
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Geometrischer Beweis −→ Skript.
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
Kürze ab:
Analytischer Beweis −→ nächstes Semester.
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
z
Einfache Merkregel: kommt gleich.
Abkürzung gut?
r sin ϕ
Benötigt werden etwas später noch:
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
ϕ
tan(ϕ) =
sin ϕ
cos ϕ ,
nicht definiert bei ϕ =
cot(ϕ) =
cos ϕ
sin ϕ ,
nicht definiert bei ϕ = nπ, n ∈ N.
2n+1
2 π, n
∈ N
r = |z|
r cos ϕ
Dann
z = reiϕ
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y
Eulers Formel
z = Re(z) + i Im(z)
= r eiϕ , ϕ = arg z.
arg z nur bis auf Vielfache von
2π bestimmt.
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
z
Im(z)
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
ϕ
Euler liefert:
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ)
r = |z|
Re(z)
x Praktische Bestimmung von ϕ
aus
Im(z)
tan ϕ = Re(z)
Im(z)
ϕ = arc tan Re(z)
Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig!
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Aber Achtung!
y1
y2
=
x1
x2
tan ϕ
x2
y1
ϕ2
ϕ1
x1
0 ϕ1
− π2
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π
2
π ϕ2
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3π
2
y2
ϕ
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Wozu der Aufstand?
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De Moivre rückwärts:
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Gesucht n-te Wurzel aus
Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach!
i(ϕ1 +ϕ2 )
(r1 ei ϕ1 )(r2 ei ϕ2 ) =
r1 · r2
·
e
| {z }
| {z }
z = r ei ϕ
Eine Antwort
√
n
z = r 1/n ei ϕ/n
addiere Argumente.
multipliziere Beträge
.
(r1 ei ϕ1 ) (r2 ei ϕ2 ) = rr12 ei (ϕ1 −ϕ2 ) .
Aber auch
√
2π
n
z = r 1/n ei(ϕ/n+ n ·k )
2π
n
Speziell (Formel von de Moivre)
da
(r ei ϕ )n = r n ei n ϕ
Allgemein:
n
n
[r (cos ϕ + i sin ϕ)] = r (cos n ϕ + i sin n ϕ) ⇒ weitere Additionstheoreme
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n·
· k = 2π · k
√
n
k = 1, · · · , n − 1
ϕ
z = r 1/n ei ( n +
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2π
n ·k )
,
k = 0, 1, · · · , n − 1
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Komplexe Zahlen C
ζ2
ζ3
ζ1
Sind komplexe Zahlen wirklich?
ζ4
ζ0
ζ5
ζ7
ζ6
Die 8 achten Wurzeln aus 1.
Die 8 achten ““Einheitswurzeln““.
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Ende der 1. Vorlesung
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