Elektronik für Plasma- und Laserlichtquellen - KIT

Maxwell- und Materialgleichungen
ur
ur
¶B
rotE = ¶t
ur
divB = 0
ur
ur ¶ D r
rotH =
+j
¶t
ur
divD = r
ur
ur
D = e0e r E
ur
ur
B = m 0m r H
r
ur uur
j = sE + jext
W. Heering
ur
E
ur
H
ur
D
ur
B
r
j
elektrische Feldstärke
magnetische Feldstärke
elektrischeVerschiebungsdichte
magnetische Flussdichte
elektrische Stromdichte
Materialgleichungen für isotropes Medium: rel.
Permittivität er, rel. Permeabilität µr und el.
Leitfähigkeit s sind Materialkennzahlen – hier
keine Tensoren
Lichttechnisches Institut
Universität Karlsruhe
Optoelektronik II
Wellengleichung
r
r
2
r
¶ E
¶E
DE - e ×m 2 - s ×m
=0
¶t
¶t
e = e 0 e r , m = m 0m r
c = 1/ e 0m 0
Wellengleichung der elektrischen Feldstärke E,
abzuleiten aus den Maxwell-Gleichungen und
Materialgleichungen für ein homogenes,
isotropes Dielektrikum
c Vakuumlichtgeschwindigkeit, s „optische“
Leitfähigkeit
r
r = 0 ® divE = 0
r
r
E = {E x , 0, 0} , q = {0, 0, q z }
Lösung muss transversale Welle mit Feldvektor
senkrecht zum Ausbreitungsvektor sein!
O.B.d.A.: linear polarisiert
E x = E 0 e j( w×t -qz ×z)
Lösungsansatz ergibt eingesetzt in Wellenglg.
2
2
q
=
emw
- jsmw
Einführung einer komplexen
(1) z
w
Brechzahl n* - Verknüpfung mit
(2) qz º
n * mit n* = n - jk Þ
komplexer Wellenzahl qz
c
Phase
n
w
c
- k × z jw ( t - z )
Phasengeschwindigkeit
Þ
v
=
c
c
ph
E x = E0 e
e
n
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Optoelektronik II
Verknüpfung elektrischer Materialgrößen mit optischen Kennzahlen
Vergleich von (1) mit (2) ergibt:
(3)
n 2 - k 2 = em × c 2 = e r × m r
s × c2
(4) 2n × k =
m
w
n reelle Brechzahl
k Absorptionszahl
n2=er für k =0 und µr=1 – Maxwell-Beziehung
w
Bestrahlungsstärke
2
k ×z
w
2
2
Absorptionskoeffizient
c
Þa=2 k
E x µ E0 e
ist proportional
c
Einführung einer komplexen dielektrischen Funktion e*:
n *2
Þ
e * = e1 - je 2 =
2
m ×c
(5)
(6)
n2 - k 2
=e
e1 =
2
m ×c
2n × k s
e2 =
=
2
m ×c
w
W. Heering
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Optoelektronik II
Kramer-Kronig-Dispersionsrelation
¥
2 w ' e 2 (w ')
dw '
e1 (w) = 1 + P ò 2
2
p 0 w' - w
¥
e1 (w ')
2
dw '
e 2 (w) = P ò 2
2
p 0 w' - w
P Cauchyscher Hauptwert
des Integrales bei der
Singularität w‘= w
n und k wie auch e1 und e2 sind nicht unabhängig von einander,
sondern über die Kramer-Kronig Dispersionsrelation mit einander
verknüpft!
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Optoelektronik II
Polarisierbarkeit
Die ins Material eindringende el.magn. Welle polarisiert die Atome bzw. Moleküle.
Polarisation:
P = N p = Na × Elok » Na × E
D = e * ×E = e 0 E + P
p
mittleres induziertes Dipolmoment
N Anzahldichte der Atome bzw. Moleküle
Elok lokales (mikroskopisches) el. Feld » äußeres (makroskopisches) el. Feld
- gute Näherung bei nicht gebundenen Elektronen
a komplexe Polarisierbarkeit - berechnet aus einem atomaren Modell
D komplexe dielektrische Verschiebungsdichte
W. Heering
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Optoelektronik II
Polarisierbarkeit und optische Kennzahlen
Þ
Mit
µc2=µr/e0
folgt aus (5), (6) und (7)
W. Heering
N ×a
e * = e1 - je 2 = (1 +
)e 0
e0
Na
n - k = Re(1 +
) mr
e0
2
(7)
2
Na
2nk = - Im(1 +
)mr
e0
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(8)
Optoelektronik II
Lorentz-Oszillator
Lorentz-Modell
anwendbar auf Halbleiter und Isolatoren
quantenmechanisch verallgemeinerbar
beschreibt durch elektrisches Feld Elok erzwungene Schwingung eines an ein Atom
gebundenen Valenzelektrons mit Ladung e und Masse m - anstelle der reduzierten Masse kann
Elektronenmasse eingesetzt werden, weil real das Elektron gegen das sehr viel schwerere Kristallgitter schwingt:
d2r
dr
2
m 2 + mG
+ mw 0 r = - e Elok
dt
dt
beschleunigende, dämpfende, rücktreibende,
Mit
antreibende Kraft
Elok (t ) = Elok (0)e jwt
Der 2-te Term der DGL beinhaltet den
Energieverlust durch viskose Dämpfung, der
3-te Term ist gemäß dem Hookschen Gesetz.
erhält man durch Einsetzen in obige DGL
-e/m
r (t ) =
Elok (t )
2
2
(w 0 - w ) + jGw
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Dispersionsgleichungen
p = -e r = a (w ) Elok Þ
e2
1
a (w ) =
m (w 0 2 - w 2 ) + jGw
(9)
Mit (7) und (9) bzw. (7) und (8)
e2 N
1
e * / e0 = 1 +
me 0 (w0 2 - w 2 ) + jGw
(10)
2
e2 N
w0 - w 2
e1 / e 0 = n - k = 1 +
me 0 (w0 2 - w 2 ) 2 + G 2w 2
2
2
e2 N
Gw
e 2 / e 0 = 2nk =
me 0 (w0 2 - w 2 ) 2 + G 2w 2
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(11)
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für nichtmagnetische
Materialien: µr=1
Optoelektronik II
Dielektrische Funktion für Ensemble klassischer Atome mit 1 Elektron
Normale Dispersion: e1 wachsend mit w
e2 N
me0w0 G
Anormale Disprsion: e1 fallend mit w im
Dämpfungsbereich
Dämpfungs (Absorptions)profil für
w - w 0 << w 0
1
e2 N
e2 / e0 »
me 0w 0 G 1 + ( w - w 0 ) 2
G/2
e1 Þ e1 / e0
e 2 Þ e 2 / e0
W. Heering
Lorentzprofil mit Halbwertsbreite G
und Dämpfungsmaximum bei w0
(e 2 / e 0 ) max
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e2 N
»
me 0w0 G
Optoelektronik II
Verallgemeinerung auf mehrere quantenmechanische Oszillatoren
Dielektrische Funktion für Ni Atome proVolumeneinheit mit Übergangsenergie hwi
zwischen zwei atomaren Zuständen und relativer Übergangswahrscheinlichkeit fi
(Oszillatorenstärke)
e2
N i fi
e * / e0 = 1 +
å
me 0 i (wi 2 - w 2 ) + jGiw
N = å Ni
i
Summenregel
1 = å fi
i
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Optoelektronik II
Polarisationsformen
Orientierung
permanenter
Dipole - MW
IonengitterSchwingungen
– MIR + FIR
Auslenkung gebundener
Elektronen – NIR + VIS + UV
Realteil der Polarisierbarkeit als Funktion der Frequenz:
Im Bereich optischer Frequenzen, vor allem im Bereich ©, ist der Beitrag der Orientierungspolarisation wie auch der der Atompolarisation wegen der Trägheit der Dipole und der Atome
(Ionen) klein gegen den der Elektronenpolarisation.
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Optoelektronik II
Spektrale Abhängigkeit der dielektrischen Funktion
Beispiel:
hw0 = 4eV
hG = 1eV
Ne 2
= 60
me0
e1 Þ e1 / e0
e 2 Þ e 2 / e0
W. Heering
Einsatz von
Spektralbereich IV: e1 / e0 = 0
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Spektrale Abhängigkeit von Brech- und Absorptionszahl
n und k berechnet aus der dielektrischen
Funktion:
1
éë (e12 + e 2 2 )1/ 2 + e1 ùû / e 0
n=
2
1
éë (e12 + e 2 2 )1/ 2 - e1 ùû / e 0
k=
2
Einsatz von
Spektralbereich IV: n = k =
e2
2e 0
Bereich I und IV: Medium nahezu
transparent
Bereich II: Medium stark absorbierend
Bereich III: Medium reflektierend
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Spektrale Abhängigkeit der Reflexion
Fresnel-Reflexionsgrad bei
senkrechtem Einfall aus Medium mit
Brechzahl n=1 (Vakuum, Luft,..)
(n - 1) 2 + k 2
R=
(n + 1) 2 + k 2
Bereich III:
Weit oberhalb der Resonanzfrequenz, wo
n¹1 und k relativ groß ist, starke
Reflexion.
Photonenenergie>Bindungsenergie der
Elektronen – Elektronen quasi frei,
Isolator mit „metallischer“ Reflexion. Für
gute Isolatoren wie die Alkalihalogenide
liegt Bereich III im VUV, für Halbleiter
wie Ge und Si mit Bandkante im IR liegt
Bereich metallischer Reflexion im VIS.
W. Heering
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Diskussion des Lorentz-Modells
Bereich I:
Wenn w << w0 Þ e 2 / e 0 = 2nk ® 0 Þ
Schwache
Absorption
k » 0 Þ e1 / e0 » n 2
Beispiele
KCl: n=1,5 in I, folglich hohe Transparenz im Gebiet I
Si: 4 Valenzelektronen / Atom; damit folgt aus (11) mit unten
2
stehender Übergangsfrequenz für w ® 0 e1 / e 0 » n = 15 ,
also n=3,87 – tatsächlich n=3,5 im Niederfrequenzbereich
Ge: n=4 im Gebiet I, wegen der großen Brechzahl wie bei Si
nennenswerte Reflexion im Bereich I, obwohl keine
Absorption dort stattfindet
Bereich II:
Dielektrische Funktion und Reflexionsgrad
von Si; E 0 = hw0 » 3eV Þ w0 » 4,5 ×1015 s -1
W. Heering
Hohe Absorption, aber auch nennenswerte Brechzahlen und
damit auch beträchtliche Reflexion
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Plasmafrequenz
Bereich IV:
Einsatz von IV: e1=0 bzw. n=k
w >> w0 >> G Þ
Nahezu freie Elektronen, schwache Dämpfung;
Für
n = k Û e1 = 0
Damit folgt aus (11)
(12)
Ne 2
w = wp =
me0
Plasmafrequenz – liegt im UV oder VIS
Oberhalb der Plasmafrequenz mit zunehmender Frequenz abnehmende Reflexion!
W. Heering
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Drude-Modell der Metalle
Quasifreie Elektronen im Leitungsband von Metallen – Übergang vom LorentzModell zum Drude-Modell durch Ansetzen der rücktreibenden Kraft gleich Null:
(11)
w0 = 0 Þ
Ne 2
1
e1 / e0 = 1 me0 w2 + G 2
Ne 2
1
e2 / e0 =
me0 w(w2 + G 2 )
(12)
e1 / e0 = 1 -
Þ
e2 / e0 =
W. Heering
w p 2 t2
1 + w 2 t2
wp 2 t
In Metallen (viskose) Dämpfung durch
Stöße der Elektronen mit dem Gitter -
G = 1/ t
t » 10-14 s
mittlere Zeit zwischen zwei Stößen
Metalle sollten sich optisch verhalten wie
Isolatoren im Bereich IV: w >> w0 >> G
w(1 + w2 t2 )
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Optoelektronik II
Dielektrische Funktion von Metallen
Im Bereich nahe der Plasmafrequenz:
wt >> 1 Þ
e1 / e0 = n 2 - k 2 = 1 -
wp 2
w2
Insbesondere dicht oberhalb der Plasmafrequenz:
n >> k Þ
n2 » 1hwp = 5,5eV, hG = 0, 02eV
W. Heering
Siehe folgendes Bild!
wp 2
w2
Bei der Plasmafrequenz verschwindet die Brechzahl,
die Phasengeschwindigkeit c/n und die Wellenlänge
lVak/n werden folglich unendlich groß – alle
Elektronen schwingen in Phase!
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Optoelektronik II
Optische Eigenschaften von Metallen
Hohe Absorption und Reflexion unterhalb der Plasmafrequenz, meist im VIS, immer im IR!
W. Heering
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Optoelektronik II