TM3_H2009 - Leibniz Universität Hannover
Werbung
Herbst 2009 Seite 1/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 1 ( ≈ 2 Punkte) 3 w3 Der skizzierte Mechanismus besteht aus drei Stäben, die über Drehgelenke miteinander verbunden sind. Der Stab 1 wird mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω1 angetrieben. C a) Zeichnen Sie den Momentalpol Q2 des Stabes 2 in die Skizze ein! 1 w1 l b) Ermitteln Sie das Übersetzungsverhältnis A i = ω1 /ω3 in der skizzierten Stellung! l 2 Gegeben: `, ω1 . i= ω1 = ω3 Lösung v3 Q2 3 w3 C w2 2 1 w1 A i= l l v1 ω1 v1 6` v1 ω2 · 3` 9 = · =3 =3 = = 2, 25 ω3 2` v3 v3 ω2 · 4` 4 Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 2/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 2 (≈ 2 Punkte) Eine Kugel wird unter dem Winkel α mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 vom Boden über eine Mauer (Höhe h) geschossen. a) Geben Sie den Winkel α an, bei dem die Wurfbahn der Kugel gerade in der Höhe h eine waagerechte Tangente aufweist! g v0 h a w b) Welche Wurfweite w wird erreicht? Gegeben: h, v0 , g. α= w= Lösung a) ż = v0 sin α − gt = 0 → t = v0 sin α g g z = h = v0 t sin α − t2 2 v 2 sin2 α h= 0 2g √ 2gh α = arcsin v0 b) w = v0 t cos α w= v02 sin 2α g Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 3/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 3 (≈ 2 Punkte) Eine Punktmasse besitzt bei x = 0 die Geschwindigkeit v0 . Sie wird für x ≥ 0 gemäß a(x) = −kx mit k > 0 abgebremst. a) Geben Sie die Geschwindigkeit v(x) an! b) Wie groß muss k = k ∗ gewählt werden, damit die Masse bei x = ` zur Ruhe kommt? Gegeben: `, v0 , k, a(x) = −kx. l x v(x) = v0 k* = Lösung a) a(x) = −kx sZ v(x) = 2a(x)dx + v02 = q v02 − kx2 dv dv dx dv a= = = v → adx = vdv → dt dx dt dx q → v(x) = v02 − kx2 b) v(x = `) = 0 → k ∗ = oder Zx a(x̄)dx̄ = 1 2 1 2 1 v (x) − v02 → − kx2 = v (x) − v02 2 2 2 0 v 2 0 ` oder anschaulich über Ersatzsystem (Kinetik): l x v0 reibungsfrei Feder entspannt bei x = 0. Impulssatz mẍ = −cx → ẍ = a(x) = − Energiesatz: Herbst 2009 cx c = −kx mit k = m m 1 2 1 2 c v2 mv0 = c` → k ∗ = = 20 2 2 m ` Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 4/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 4 (≈ 4 Punkte) Zwei miteinander verbundene Zylinder (Radien R und r, gesamtes Massenträgheitsmoment J (A) ) sind in A reibungsfrei drehbar gelagert. Auf ihnen können zwei Seile abrollen, an denen jeweils ein Turner hängt. In der statischen Gleichgewichtslage bewegen sich beide Turner nicht. Der linke Turner (Masse m) klettert nun mit konstanter Absolutgeschwindigkeit v1 an dem Seil hoch, der rechte Turner (Masse M ) hält sich an seinem Seil fest. a) Wie groß ist der Drall L(A) der beiden Turner und des Zylinders bezüglich des Punktes A in Abhängigkeit der eingezeichneten Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 der Turner? R A j r g m v1 M v2 b) Welchen Wert nimmt der Gesamtdrall L(A) ges an? c) Mit welcher Absolutgeschwindigkeit v2 bewegt sich der zweite Turner nach oben? Gegeben: r, R = 2r, m, M = 2m, J (A) , v1 , g. (A) (A) LTurner links (v1 ) = (A) LTurner rechts (v2 ) = L(A) ges = LZylinder (v2 ) = v2 = Lösung (A) a) LTurner links (v1 ) = −mRv1 = −2mrv1 , (A) b) LZylinder (v2 ) = J (A) c) L(A) ges = 0, da X v2 , r M (A) = d (A) (A) L = 0 und Lges,0 = 0 dt d) 0 = −2mrv1 + 2mrv2 + J (A) Herbst 2009 (A) LTurner rechts (v2 ) = M rv2 = 2mrv2 , v2 2mr2 → v2 = v1 r 2mr2 + J (A) Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 5/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 5 (≈ 3 Punkte) An einer Kreisscheibe A (Radius R, Masse M ) ist einer weitere Kreisscheibe B (Radius r = R/3, Masse m = M/4) exzentrisch befestigt. Kreisscheibe A wird von einem Seil umschlungen, an dessen Ende eine Masse M befestigt ist. a) Bestimmen Sie das gesamte Massenträgheitsmoment J (O) der Kreisscheiben A und B bezüglich O! m B g r A R O M M b) Wie groß ist die Beschleunigung ẍ der Masse M in der dargestellten Lage? x c) Wie groß ist die Seilkraft S? Gegeben: R, r = R/3, M , m = M/4, g. J (O) = ẍ = S= Lösung 1 1 1 1 a) J (O) = M R2 + · M r2 + M (R − r)2 2 2 4 4 5 J (O) = M R2 8 b) x: J (O) ϕ̈ = RS mit ↓: M ẍ = M g − S ẋ = Rϕ̇ → ẍ = Rϕ̈ ẍ = M (g − ẍ) R2 8 ẍ = g 13 J (O) c) S = M (g − ẍ) = M (g − 8 5 g) = M g 13 13 Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 6/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 6 (≈ 2 Punkte) g Eine homogene Walze (Radius r, Masse m) rollt mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 auf eine Rampe zu. Die Rampe führt auf eine um die Höhe h versetzte Ebene. Die Walze rollt ohne zu rutschen und hebt nicht vom Boden ab. a) Geben Sie die Anfangswinkelgeschwindigkeit ω0 der Walze an! r v0 m h b) Für welchen Wert v0 = v ∗ der Anfangsgeschwindigkeit erreicht die Walze gerade noch die obere Ebene? Gegeben: r, h, v0 , m, g. v∗ = ω0 = Lösung a) ω0 = v0 r b) Energiesatz: Ep0 + Ek0 = Ep1 + Ek1 Ep0 = Ek1 = 0 Ep1 = mgh 1 1 1 v∗ Ek0 = mv ∗2 + Jw ω ∗2 mit Jw = mr2 und ω ∗ = 2 2 2 r 1 ∗2 1 ∗2 mv + mv = mgh 2 4 √ 2 gh ∗ v = √ 3 ⇒ Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 7/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 7 (≈ 8 Punkte) Der skizzierte Mechanismus besteht aus drei Stäben der Längen ` bzw. 2`. In der Lage ϕ = 45◦ erfährt der Stab 1 (Länge 2`) gerade die Winkelgeschwindigkeit ω1 und die Winkelbeschleunil gung ω̇1 . B D a) Wie lauten die Koordinaten xQ und yQ des Momentanpols von Stab 2 für die dargestellte Lage? 2l 2 3 1 C ω1 , ω̇1 l j y A Geben Sie jeweils in vektorieller Schreibweise z x b) die Winkelgeschwindigkeiten ω ~ 2 und ω ~ 3 der Stäbe 2 und 3 , c) die Beschleunigung ~aB des Punktes B sowie d) die Winkelbeschleunigungen ω ~˙ 2 und ω ~˙ 3 der Stäbe 2 und 3 an! Gegeben: `, ϕ = 45◦ , ω1 , ω̇1 . Lösung a) B vB l D 2 3 l √ xQ = −( 2 − 1)`, Herbst 2009 1 C ω3 , ω̇3 2l ω2 , ω̇2 ω1 , ω̇1 vC Q2 j y A z x √ yQ = ( 2 − 1)` Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Herbst 2009 Seite 8/14 Musterlösungen (ohne Gewähr) ! b) ~vB = ω ~ 1 × ~rA,B = ω ~ 2 × ~rQ2 ,B √ 0 −√ 2` 0 −` 2` = 0 × ` 0 × ω1 ω2 0 0 √ −ω2 ` −ω1 √2` √ −ω1 2` = −ω2 ` ⇒ ω2 = 2ω1 0 0 0 √ = −`ω2 = `ω3 → ω3 = −ω2 = − 2ω1 → ω ~ 3 = √0 − 2ω1 vC,y c) ~aB = ~a ~˙ 1 ×~rA,B − ω12~rA,B √ A +ω √ −√ 2` 0 −√ 2` 0 2 = 0 + 0 × 2` − ω1 2` ω̇1 0 0 0 √ 2`(ω12 − ω̇1 ) √ ~aB = − 2`(ω12 + ω̇1 ) 0 d) Ebene Kinematik: ! ~aC = ω ~˙ 3 × ~rDC − ω32~rDC = ~aB + ω ~˙ 2 × ~rBC − ω22~rBC √ 2 0 ` ` 2`(ω − ω̇ ) 0 0 0 1 1 √ 2 2 0 × 0 − ω3 0 = − 2`(ω12 + ω̇1 ) + 0 × −` − ω2 −` ω̇3 0 0 ω̇2 0 0 0 √ 2`(ω12 − ω̇1 ) + ω̇2 ` −ω22 ` √ ω̇3 ` = − 2`(ω12 + ω̇1 ) + ω22 ` 0 0 √ √ ⇒ ω̇2 = √ 2ω̇1 − (2 + √ 2)ω12 ⇒ ω̇3 = − 2ω̇1 + (2 − 2)ω12 Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 9/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 8 (≈ 8 Punkte) Eine homogene Walze (Masse m1 , Radius r) liegt auf einem Brett (Masse m2 ). Das Brett kann sich auf einer glatten Unterlage reibungsfrei bewegen. Ein auf die Walze aufgewickeltes Seil ist über eine Umlenkrolle mit einer Masse m3 verbunden. Seil und Umlenkrolle sind masselos. Das System befindet sich zu Beginn in Ruhe. Die Walze rollt auf dem Brett ohne zu rutschen. a) Zeichnen Sie die Freikörperbilder für die beteiligten massebehafteten Körper des Systems! x1 j g M r m1 m2 ¹ reibungsfrei m3 x2 x3 b) Stellen Sie die Geschwindigkeiten ẋ3 und ẋ2 als Funktionen von ẋ1 und ϕ̇ dar! c) Berechnen Sie die Beschleunigung ẍ1 des Walzenschwerpunktes M! d) Wie groß muss der Reibkoeffizient µ zwischen Walze und Brett mindestens sein, damit gerade noch kein Rutschen auftritt? Gegeben: r, m, m1 = 2m, m2 = m3 = m, g. Lösung a) Kinematischer Zusammenhang: Freikörperbilder: S S M m1g x1 m3g N R NG Herbst 2009 j x2 R N x3 m2g Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Herbst 2009 Seite 10/14 Musterlösungen (ohne Gewähr) b) Kinematischer Zusammenhang: ẋ3 = ẋ1 + ϕ̇r ẋ2 = ẋ1 − ϕ̇r c) Impuls- und Drallsätze: m1 ẍ1 = S + R m2 ẍ2 = −R m3 ẍ3 = m3 g − S (i) (ii) (iii) J (M) ϕ̈ = Sr − Rr (iv) 1 mit J (M) = m1 r2 2 Eliminieren von S und R: (ii) nach R auflösen, (iii) nach S auflösen und in (i), bzw. (iv) einsetzen ergibt m1 ẍ1 = m3 g − m3 ẍ3 − m2 ẍ2 1 m1 r2 ϕ̈ = (m2 ẍ2 + m1 ẍ1 )r − (−m2 ẍ2 )r = (2m2 ẍ2 + m1 ẍ1 )r 2 Mit den kinematischen Zusammenhängen aus b) m1 ẍ1 = m3 g − m3 (ẍ1 + ϕ̈r) − m2 (ẍ1 − ϕ̈r) 1 m1 r2 ϕ̈ = (2m2 (ẍ1 − ϕ̈r) + m1 ẍ1 )r 2 Auflösen führt mit m1 = 2m und m2 = m3 = m auf 1 ẍ1 = g 4 1g ϕ̈ = 3r d) Haftbedingung: R ≤ µN 1 1g 1 mit R = −m2 ẍ2 = −m(ẍ1 − ϕ̈r) = −m g + m r = mg 4 3r 12 und N = m1 g = 2mg folgt 1 mg ≤ µ2mg 12 Herbst 2009 ⇒ µ≥ 1 24 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 11/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 9 (≈ 7 Punkte) m Eine homogene Rolle (Radius r, Masse m) liegt auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und wird im Mittelpunkt C über ein Seil gehalten. Über ein zweites Seil ist wie skizziert eine Masse M angebracht. Ihre Lage wird durch die Koordinate x beschrieben. Nachdem das System aus der Ruhe losglassen wird, tritt Gleitreibung zwischen Rolle und Ebene bzw. zwischen Masse und Ebene auf (Gleitreibkoeffizient jeweils µ). g x C r m M m a a) Wie groß ist die kinetische Energie T (ẋ) des Systems? b) Wie groß ist die potentielle Energie U (x)? c) Welche Arbeit W (x) wird an dem System verrichtet? d) Wie groß ist die Geschwindigkeit ẋ(x) in Abhängigkeit des Weges x? 1 Gegeben: r, α = 30◦ , m, M = 2m, µ = , g. 3 Lösung 1 1 TR = J (C) ϕ̇2 = mẋ2 2 4 mit ẋ = rϕ̇ 1 TM = M ẋ2 = mẋ2 2 5 T = TR + TM = mẋ2 4 U = −M gxsin(α) = −mgx Z x √ W1 = − FR ds = − 3µmgx 0 Z W2 = − ϕ Z MR dβ = − 0 √ ϕ µmgcos(α)rdβ = −µmg 0 3 x 2 W12 = W1 + W2 T2 + U2 = U1 + T1 + W12 s 4 1√ 1− 3 gx ⇒ ẋ = 5 2 Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Herbst 2009 Seite 12/14 Musterlösungen (ohne Gewähr) alternativ mit Impuls- und Drallsatz: 2 1√ ẍ = 1− 3 g 5 2 r 2x mit ẋ = ẍ t und t = ẍ s 1√ 4 ⇒ ẋ = 1− 3 gx 5 2 Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Herbst 2009 Seite 13/14 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Musterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 10 (≈ 7 Punkte) Der homogene Stab 1 (Länge `, Masse mS ) dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω und stößt gegen die Punktmasse mP . Diese stößt anschließend wie skizziert gegen den Stab 2 (Länge `, Masse mS ). Zu Beginn befinden sich die Punktmasse und der Stab 2 in Ruhe. Der erste Stoß ist vollelastisch, der zweite vollplastisch. Reibung tritt nicht auf. a) Geben Sie die Geschwindigkeit V an, mit der sich die Punktmasse nach dem ersten Stoß bewegt! mS Stab 2 Stoß vollplastisch g mP w mS Stab 1 Stoß vollelastisch l b) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit Ω2 , mit der sich Stab 2 nach dem zweiten Stoß bewegt! Gegeben: `, ω, m, mS = m, mP = 3m. Lösung Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009 Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau Herbst 2009 Seite 14/14 Musterlösungen (ohne Gewähr) 1 a) J (O) (Ω − ω) = −F̃1 ` (alternativ: ∆T1 = JS (ω 2 − Ω2 )) 2 1 mP (V − v) = F̃1 , v = 0 (alternativ: ∆TP 1 = mP V 2 ) 2 1/3mS `2 (Ω − ω) = −F̃1 ` mP V = F̃1 e=− Ω` − V = 1 → Ω` = −ω` + V ω` 1 1/3m(−ω` + V ) − 1/3m`ω = −3mV → V = ω` 5 b) −F̃2 = mP (Ω2 ` − V ) (da Stoß vollplastisch) F̃2 ` = J (O) Ω2 VP 2 = Ω` V 1 V 10 + Ω2 → = Ω2 ` 3 ` 9 9 9 V = ω Ω2 = 10 ` 50 0 = 3Ω2 − 3 Herbst 2009 Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau 03.08.2009
