10. Übungsblatt

Ausgewählte Themen der Algebra für
LA
Übung, LVA 405.731-2
C. Fuchs, C. Karolus
10. Übungsblatt, SS 2016
13.06.2016
1. Sei x4 + px2 + qx + r = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 )(x − α4 ) mit p, q, r ∈ R und
α1 , α2 , α3 , α4 ∈ C. Leite durch Koeffizientenvergleich die Vieta’sche Formel für die
reduzierte quartische Gleichung her.
2. Sei x4 + px2 + qx + r = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 )(x − α4 ) mit p, q, r ∈ R und
α1 , α2 , α3 , α4 ∈ C. Definiere β1 = (α1 + α2 )(α3 + α4 ), β2 = (α1 + α3 )(α2 + α4 ), β3 =
(α1 + α4 )(α2 + α3 ).
a) Drücke die Koeffizienten von (x − β1 )(x − β2 )(x − β3 ) durch p, q, r aus; diese Gleichung nennt man die kubische Resolvente der reduzierten quartischen
Gleichung.
b) Zeige, dass√die vier√Lösungen
√ der quartischen Gleichung sich unter den acht
Zahlen (± −β1 ± −β2 ± −β3 )/2 befinden.
3. Verwenden die Methode aus der letzten Aufgabe, um die quartische Gleichung x4 +
x3 − 4x2 − 4x = 0 zu lösen.
4. Finde eine Radikalerweiterung, welche alle Lösungen der Gleichung x4 + x3 − 4x2 −
4x = 0 enthält.