L¨osung zu Aufgabe 21(b) auf Blatt 6

Lösung zu Aufgabe 21(b) auf Blatt 6
Aufgabe:
P
Sei (ak )k∈N eine Folge reeller Zahlen, so dass die Reihe ∞
k=1 ak konvergent, aber nicht absolut
konvergent ist.
P∞ +
−
(a) P
Definiere a+
k := max(ak , 0), k ∈ N und ak := max(−ak , 0), k ∈ N. Zeige, dass
k=1 ak und
∞
−
k=1 ak divergieren.
P∞
(b) Beweise: Zu jedem s ∈ R gibt es eine Umordnung
σ
:
N
→
N,
so
dass
k=1 aσ(k) = s. Weiter
P∞
gibt es eine Umordnung τ : N → N, so dass k=1 aτ (k) divergiert.
Lösung zu (b):
−
Die Mengen I + := {k ∈ N | a+
:= {k ∈ N | a−
k ≥ 0} und I
k > 0} besitzen nach Teil (a) der
Aufgabe jeweils unendlich viele Elemente, sie sind disjunkt und ihre Vereinigung ist N. Wir ordnen
ihre Elemente aufsteigend an: I + = {c1 < c2 < · · · }, I − = {d1 < d2 < · · · }. Per Konstruktion
ist also acm das m-te nichtnegative Folgenglied und adm das m-te negative Folgenglied von (ak )k∈N .
−
−
+
Zur Vereinfachung
schreiben wir b+
m := acm und bm := adm . Nach Teil (a) sind die
P∞ + derPNotation
−
Reihen m=0 bm und ∞
m=0 bm unbeschränkt. Sei (tn )n∈N eine monoton wachsende Folge in R. Wir
konstruieren zu dieser Folge induktiv für alle n ∈ N0 ganze Zahlen mn und ln , sowie Abbildungen
σn : {1, . . . , mn + ln } → N mit folgenden Eigenschaften:
(i) m0 = 0, l0 ≥ 1
(ii) mn > mn−1 , ln > ln−1 für alle n ≥ 1
(iii) Für alle n ≥ 1 gilt σn (k) = σn−1 (k), falls k ≤ mn−1 + ln−1
(iv) σn ist injektiv mit Bild {c1 , . . . , cmn } ∪ {d1 , . . . , dln }
mP
n +ln
aσn (k) gilt sn < tn für alle n ≥ 0
(v) Für sn :=
k=1
(vi) Für n ≥ 2 und mn−1 + ln−1 ≤ j ≤ mn + ln gilt
|tn −
j
X
−
+
aσn (k) | ≤ max{tn − tn−1 + b−
ln−1 , bmn , bln }
k=1
P
Für n = 0: Es existiert ein L ≥ 1, so dass − Li=1 b−
i < t1 . Wir setzen m0 = 0, l0 = L und definieren
σ0 (i) := di für 1 ≤ i ≤ L. Damit sind (i), (iv) und (v) automatisch erfüllt.
Sind mj , lj , σj mit den Eigenschaften (i)-(vi) für j ≤ n − 1 definiert, so setzen wir
m
X
mn := min{m ≥ mn−1 | sn−1 +
b+
i > tn }
i=mn−1 +1
ln := min{l ≥ ln−1 | sn−1 +
mn
X
i=mn−1 +1
b+
i −
l
X
b−
i < tn }
i=ln−1 +1
Da (tn )n∈N monoton wachsend ist, gilt nach der Induktionsvoraussetzung für (v) und nach Konstruktion mn > mn−1 und ln > ln−1 .
Wir definieren
σn (k) := σn−1 (k) für 1 ≤ k ≤ mn−1 + ln−1
σn (mn−1 + ln−1 + j) := cmn−1 +j für 1 ≤ j ≤ mn − mn−1
σn (mn + ln−1 + j) := dln−1 +j für 1 ≤ j ≤ ln − ln−1
Mit diesen Definitionen sind die Eigenschaften (ii)-(v) offensichtlich erfüllt. Für (vi) beachte, dass
+
−
per Konstruktion für n ≥ 1 die Ungleichungen tn − b−
ln ≤ sn < tn gelten und dass die bi und bi alle
nichtnegativ sind.
Aus (ii), (iii) und (iv) folgt, dass durch
σ(k) := σn (k), falls k ≤ mn + ln
P
−
+
eine Bijektion σ : N → N erklärt wird. Da ∞
k=1 ak konvergiert, sind (bm )m∈N und (bm )m∈N Nullfolgen. Zu jedem > 0 gibt es daher nach (ii) und (vi) ein N ∈ N, so dass
|tn −
j
X
aσ(k) | < tn − tn−1 + für alle n ≥ N und alle mn−1 + ln−1 ≤ j ≤ mn + ln
(*)
k=1
Sei nun s ∈ R, dann wählen wir tn = s für alle n ∈ N, für die zugehörige Umordnung gilt dann
P
∞
k=0 aσ(k) = s (da tn − tn−1 = 0 in (*)).
P
Wählen wir andererseits tn = n, so folgt für die zugehörige Umordnung die Konvergenz von jk=0 aσ(k)
P
gegen ∞, da (*) insbesondere jk=1 aσ(k) ≥ tn−1 − = n − 1 − impliziert.