Trägheitsmoment eines Speichenrades

2
Grundlagen
2.1
• Frequenz / Periodendauer / Zeit
Physikalisches Grundlagenlabor
• Pendel / Schwingungen / Klein-Winkel-Näherung
• Winkel / Winkelgeschwindigkeit / Winkelbeschleunigung
Versuch 1.3 Bestimmung des Trägheitsmomentes
eines Speichenrades
1
Fachbegriffe
• s-t-Diagramm / v-t-Diagramm / a-t-Diagramm
• Kraft / Träge Masse / Newton-Axiome / Energieerhaltung
Geräte
• Drehmoment / Drehimpuls / Trägheitsmoment
• Speichenrad
• Aluminiumscheibe mit Bohrung
2.2
• Kugellagerachse
Das Massenträgheitsmoment J eines Speichenrades bezüglich der Radachse soll
nach drei verschiedenen Methoden bestimmt werden.
• Maßstab mit Stativ
Theorie
Verfahren 1: Ab- und Auflaufmethode
• Meßschieber
Aus Messungen von h1 , h2 , t1 , m und r kann das Massenträgheitsmoment
J berechnet werden. Das Gewicht hat in der Ausgangslage (Marke s1 )
gegenüber seiner tiefsten Lage (Marke s0 ) die Lageenergie E1 = m · g · h1 .
Die Bewegungsenergie der Anordnung ist Null. Durchläuft das Gewicht die
Strecke h1 , so wird die Lageenergie in Bewegungsenergie des Gewichts,
Rotationsenergie des Rades und Reibungsenergie umgewandelt:
• Schlitzgewichte mit Halter
• Stoppuhr
• Zusatzgewicht mit Befestigungsschraube
v 2 1
1
·J ·
+ · m · v 2 + FR · h1 = m · g · h1
2
r
2
• Befestigungstück für Gleitlager mit Kerbe
1
(2)
erstellt: 26.8.2016
Das Speichenrad wird so auf die Kugellagerachse gesteckt, daß es um seine Radachse drehbar gelagert
ist. Das Rad wird durch ein Gewicht der Masse m,
das an einem auf der Radachse (Radius r) einlagig aufgewickelten Faden hängt, in eine gleichmäßig
beschleunigte Drehbewegung versetzt. Das Gewicht
durchläuft aus der Ruhelage (Marke s1 ) in der Zeit
t1 die Strecke h1 bis zur Marke s0 , bei der der Faden vollständig abgewickelt ist. Seine Geschwindigkeit ist hier:
2·h
v=
(1)
t1
Der Faden wickelt sich wieder auf, das Massenstück
kommt nach Durchlaufen der Strecke h2 an der Marke s2 zur Ruhe.
erhält man
s1
s2
v 2
1
h1 − h2
1
·J ·
= m · g · h1 · 1 −
− · m · v2
2
r
h1 + h2
2
(5)
Auflösen nach J ergibt:
s0
Zu Verfahren 1
J = m · g · r 2 · t2 ·
h2
− m · r2
h1 · (h1 + h2 )
(6)
FR ist die Reibungskraft. Nach dem Auflaufen des Gewichts um h2 (Marke
s2 ) ist die Bewegungsenergie der Anordnung wieder Null und für die
Energiebilanz gilt:
FR · (h1 + h2 ) + m · g · h2 = m · g · h1
Auf diese Weise läßt sich das Massenträgheitsmoment des Speichenrades
inclusive Antriebsachse JSp+Achse bestimmen.
Beachte: Für den Vergleich der Messungen ist die Antriebsachse zu berücksichtigen. Dazu führt man Verfahren 1 mit einem bekannten Körper durch und erhält JK örper+Achse . Das Massenträgheitsmoment JK örper
kann durch vermessen seiner Geometrie und einer Wäagung berechnet
werden. Durch geeignete Differenzbildung läßt sich so das Massenträgheitsmoment der Antriebsachse JAchse ermitteln.
(3)
Hieraus folgt:
FR = m · g ·
h1 − h2
h1 + h2
(4)
Setzt man die Beziehungen für v und FR in die Energiegleichung ein, so
2
erstellt: 26.8.2016
Verfahren 2:
Wie in Verfahren 1 (vgl. 2.2, „Beachte“ auf Seite 2) ist auch hier die
Achsaufhängung mit zu berücksichtigen.
Darüberhinaus sind folgende Korrekturen zur der Bestimmung der Periodendauer durchzuführen:
Bestimmung des Trägheitsmomentes aus der
Schwingungsdauer des um die Radachse D drehbar
gelagerten und durch ein am Radkranz angebrachtes Zusatzgewicht m zu einem physikalischen
Pendel gemachten Rades. Das Speichenrad mit
Zusatzgewicht wird wie bei dem Verfahren 1 auf
die Kugellagerachse gesteckt. Wird das Pendel um
den Winkel ϕ0 ausgelenkt und danach losgelassen,
so ergibt sich für kleine Auslenkungswinkel die
Schwingungsgleichung für ϕ (t):
D
1. Berücksichtigung der Dämpfung: Für die gemessene Schwingungsdauer Td gilt
2 !
1
1
ϕi
Td ≈ T · 1 + ·
· ln
2
2·π
ϕi+1
l
M
Zu Verfahren 2
d2 ϕ
+ mges · g · s · ϕ = 0
(7)
dt2
Hierbei bedeuten Jges = J + m · l2 , mges = mRad + m und s der Abstand
des Pendelschwerpunktes von der Drehachse D. Der Abstand s errechnet
sich aus dem Momentensatz:
Jges ·
mges · g · s = m · g · l + mRad · g · 0 ⇐⇒ s =
m
·l
mges
Aus der Schwingungsgleichung ergibt sich die Schwingungsdauer
s
Jges
T =2·π·
mges · g · s
ϕi
ϕi+1
ist das Verhältnis zweier in gleicher Richtung aufeinander folgender Amplituden.
2. Bei größeren Ausschlägen gilt für die gemessene Schwingungsdauer
Tϕ0 :
1
2 ϕ0
Tϕ0 ≈ T · 1 + · sin
4
2
(8)
(9)
Für das Trägheitsmoment des Speichenrades folgt hieraus
J=
T2
· m · g · l − m · l2
4 · π2
(10)
3
erstellt: 26.8.2016
3
Verfahren 3:
Bestimmung des Trägheitsmomentes aus der
Schwingungsdauer des am Radkranz drehbar aufgehängten Rades. Für kleine Anfangsauslenkung
gilt die Schwingungsgleichung:
1. Nach Verfahren 1 werden nach Auswahl eines geeigneten Gewichts bei
fester Ablaufhöhe h1 in beiderlei Drehsinn je 2 Messungen der Ablaufzeit
t1 und der Auflaufhöhe h2 durchgeführt.
P
s 2. Bei dem Verfahren 2 werden zunächst die Zusatzmasse M und ihr Ab-
2
JP ·
d ϕ
+ mRad · g · s · ϕ = 0
dt2
(11)
JP ist das Trägheitsmoment der Anordnung bezüglich der Drehachse P.
Zu Verfahren 3
JP = J + mRad · s2
(12)
4. Für alle drei Verfahren sind die a(t)−, v(t)− und s(t)− bzw. α(t)−, ω(t)−
und ϕ(t)−Diagramme basierend auf den Messwerten zu zeichnen. Es sind
für alle drei Verfahren Fehlerrechnungen durchzuführen und die erhaltenen
Ergebnisse miteinander zu vergleichen.
Man erhält aus der Schwingungsgleichung die Schwingungsdauer
T =2·π·
JP
mRad · g · s
stand l zum Aufhängepunkt gemessen. Zur Ermittlung der Schwingungsdauer T werden bei fester Anfangsauslenkung 10 Messungen über je 5
Schwingungsperioden durchgeführt. Es ist abzuschätzen, ob die angegebenen Korrekturen für die Schwingungsdauer berücksichtigt werden müssen.
3. Beim Verfahren 3 wird die Strecke s gemessen und die Schwingungsdauer
T bei fester Anfangsauslenkung aus 10 Messungen über je 10 Schwingungsperioden ermittelt. Korrekturen für die Schwingungsdauer sind wie
bei Verfahren 2 zu berücksichtigen.
Nach dem Satz von Steiner ist
s
Versuch
(13)
und für das Trägheitsmoment
J=
T2
· g − s · mRad · s
4 · π2
(14)
4
erstellt: 26.8.2016