Galvanometer

Physikalisches Anfängerpraktikum 1
Gruppe Mo-16
Wintersemester 2005/06
Jens Küchenmeister (1253810)
Julian Merkert (1229929)
Versuch: P1-14
Galvanometer
- Auswertung -
Versuchsdurchführung: Montag, 9.1.2006
Geräte, die auf der Wechselwirkung einer stromdurchossenen Spule mit Magnetfeldern beruhen, heiÿen
allgemein Galvanometer. Das hier verwendete Gerät beruht auf dem Prinzip, dass wenn ein Strom eine
Spule in einem Permanentmagneten durchieÿt, diese ein Drehmoment erfährt, welches gegen eine
rücktreibende Kraft verwandt wird, um die Spule samt einem befestigten Zeiger zu drehen. In diesem
Fall war das ein Spiegel, welcher einen dünnen Lichtstrahl auf ein ca. 25c m vor dem Galvanometer
befestigten Schirm projizierte.
Inhaltsverzeichnis
1 Vorexperimente
2
2 Statische Eigenschaften des Galvanometers
2
2.1
Innenwiderstand und Stromempndlichkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Brücke oen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Brücke geschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Statische Strom- und Spannungsempndlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
3 Schwingverhalten
9
4 Stromstöÿe
12
1
1
Vorexperimente
a) Um die hohe Empndlichkeit des Galvanometers zu testen, sollten wir den einen Zuleitungsstecker
in die rechte und den anderen in die linke Hand nehmen und somit einen Stromkreis, der uns
selbst enthält, schlieÿen. Da unsere Körper bei weitem nicht neutral sind, in ihnen Ströme ieÿen
und der Mensch ein eigenes Magnetfeld besitzt, war davon auszugehen, dass das Galvanometer
diese kleinen Ströme würde messen können. Diese Vermutung bewahrheitete sich, denn bei beiden
Versuchsteilnehmern wurde erfolgreich ein Ausschlag um etwa 20mm gemessen.
b) Das Galvanometer wurde an einen
100Ω
Drahtdrehwiderstand angeschlossen, dessen Schleifer
man nun hin- und herbewegen sollte. Dies sollte in der Theorie, ähnlich dem Bandgenerator,
dazu führen, dass sich Elektronen ablösen, welche somit transportiert würden und als elektrischer
Strom vom Galvanometer messbar wären. Just dies passierte auch: während man den Widerstand
verstellte, zeigte sich auf dem Schirm ein Ausschlag. Es ist anzumerken, dass der Ausschlag jedoch
sehr gering war, im Vergleich zum vorher gemessenen Körperstrom lediglich etwa 20% dessen.
Es lieÿ sich auch beobachten, dass bei schnellerer Drehung am Widerstand, d.h. schnellerem
Schleifen, die Auslenkung noch ein wenig erhöht wurde. Dies lässt sich daher erklären, dass
eine schnellere Bewegung auch automatisch eine Temperaturerhöhung nach sich zieht. Da den
Elektronen also zusätzlich Energie zugeführt wird, ist es leichter für sie, sich abzulösen und somit
erhöht sich der Ausschlag.
c) Beim geöneten Stromkreis ist kein Ausschlag des Galvanometers zu erkennen. Schlieÿt man nun
aber das Galvanometer an einen Drehwiderstand an, so beobachteten wir folgendes: der Lichtstrich, den das Galvanometer auf den Schirm warf, wanderte langsam zur Seite und kam nach
kurzer Zeit und kurzem Weg zum Stillstand. Das Anschlieÿen der Kontakte mag zwar nicht zu
einm messbaren Strom geführt haben, jedoch haben sich unter Umständen einige Ladungsträger bewegt, denn durch den Anschluss des Widerstands ergab sich eine neue Ruhelage für das
Galvanometer.
2
Statische Eigenschaften des Galvanometers
2.1 Innenwiderstand und Stromempndlichkeit
Um den Galvanometer-Innenwiderstand und die statische Stromempndlichkeit zu berechnen, nutzen
wir den linearen Zusammenhang zwischen der reziproken Auslenkung
stand
Rx
1
α und dem jeweiligen Vorwider-
aus, den wir in der Vorbereitung hergeleitet haben:
R3
1
R3
=
·Rx +
· (RG + R4 )
α
CI · U0 · R4
CI · U0 · R4
|
{z
}
|
{z
}
m
Wir müssen also den Ausschlag
1
und dann den Kehrwert
α über
Spannung, die wir auf
1V
(1)
b
α des Galvanometers bei verschiedenen Vorwiderständen Rx messen,
Rx auftragen. Dafür lieferte uns die Spannungsteilerschaltung 1 eine
einstellten. Da Schaltung 2 bereits auf der gleichen Platine integriert war,
mussten wir lediglich einige Kontakte überbrücken und das Galvanometer anschlieÿen.
2
Für die verschiedenen Vorwiderstände
Vorwiderstand
Rx
R x [ Ω]
maÿen wir folgende Ausschläge:
Galvanometerausschlag
α
[mm]
1
α
1
[ mm
]
0,0
63
0,0159
10,1
45
0,0222
22,0
33
0,0303
33,1
27
0,0370
47,1
22
0,0455
55,8
20
0,0500
67,6
18
0,0556
Trägt man nun den Kehrwert
1
α über
Rx
auf, so sticht auf den ersten Blick der lineare Zusammenhang
ins Auge - es ist also naheliegend, eine Ausgleichsgerade in das Schaubild einzuzeichnen:
Zur Berechnung der statischen Stromempndlichkeit
CI
durch Umformen von Formel (1) benötigen wir
die Steigung der Ausgleichsgeraden. Wie im Fehlerskript gezeigt wird, lässt sich diese folgendermaÿen
berechnen:
P
P
P
N · ( xi yi ) − ( xi ) · ( yi )
m=
P 2
P
xi − ( xi )2
N·
(2)
Hierbei entsprechen den folgenden Gröÿen:
• N:
Anzahl der Messungen, in diesem Fall
• yi :
y-Werte, in diesem Fall die reziproken Galvanometerausschläge
• xi :
x-Werte, in diesem Fall die Vorwiderstände
Für den y-Achsenabschnitt
b
N =7
1
α
Rx
gilt dann, ebenfalls nach dem Fehlerskript:
P
b=
P
P
P
x2i · ( yi ) − ( xi ) · ( xi yi )
P 2
P
N·
xi − ( xi )2
Zur Berechnung der statistischen Abweichung von
m
und
b
(3)
benötigen wir die Varianz der y-Werte
σy .
Für diese gilt nach dem Fehlerskript:
σy2 =
1 X
(yi − m · xi − b)2
N −2
Haben wir mit (4) die Varianz berechnet, lässt sich die Unsicherheit der Steigung
cherheit des y-Achsenabschnitts
σb
(4)
σm
und die Unsi-
ermitteln:
s
σm =
N·
P
N·
P
s
σb =
σy2
·N
P
x2i − ( xi )2
(5)
X
σy2
·
x2i
P
x2i − ( xi )2
(6)
3
Relativwerte für die Unsicherheiten erhält man, indem man die Unsicherheit durch den ermittelten
Wert teilt:
σm
m
σb
σb (rel.) =
b
σm (rel.) =
(7)
(8)
Mit dem Computeralgebrasystem Maple errechneten wir folgende Werte, hier zusammengefasst in einer
Tabelle (Ausdruck der Maple-Datei im Anhang):
Gröÿe
Steigung
σm
σm
m
R3
Einheit
berechnet mit...
0,0006
1
mm· Ω
1
mm· Ω
Formel (2)
(abs)
0,000014
(rel)
2,4%
y-Achsenabschnitt
Die Widerstände
errechneter Wert
und
R4
b
Formel (7)
1
mm
0,0166
Formel (3)
für den Versuch P1-14 lauten:
Gröÿe
Wert
R3
σ R3
R4
σ R4
14,9
kΩ
0,2
kΩ
0,70
Ω
Ω
0,01
Einheit
Die Toleranz der Widerstände beträgt laut Vorbereitung
Die Spannung von
Formel (5)
U0 = 1 V
±1, 5%, woraus sich obige Fehler errechneten.
stellten wir mittels eines Messgerätes ein, dessen Auösung mit einem
halben Skalenteil (Skala mit 50 Schritten), in diesem Fall also
σU0 =
0,5
50
· 1 V = 0, 01 V
angenähert
werden kann. In der Vorbereitung haben wir bereits folgende Formel zur Berechnung der statischen
Stromempndlichkeit hergeleitet:
CI =
R3
m · U0 · R4
(9)
Setzt man obige Werte in (9) ein, so erhält man:
CI = 35, 8 · 106
Um nun den den Fehler von
ihr folgt für den Fehler
s
σ CI
=
=
=
=
Hinweis:
CI
mm
A
(10)
zu bestimmen, benötigt man die Formel für Fehlerfortpanzung. Mit
σ CI :
∂CI 2
∂CI 2
∂CI 2
2
2
+
+ σU0
+ σ R4
∂m
∂U0
∂R4
s
2
2
2
2
1
R3
R3
R3
2
2
2
2
σ R3
+ σm − 2
+ σU0 −
+ σ R4 −
mU0 R4
m U0 R4
mU02 R4
mU0 R42
mm
1, 2 · 106
A
3, 4%
2
σR
3
∂CI
∂R3
2
2
σm
(11)
(12)
(13)
(14)
σm ist hierbei ein statistischer Fehler, während die anderen Abweichungen durch die Auösung
bzw. durch die Bauart bedingt sind.
In der Vorbereitung haben wir gezeigt, dass sich mit dem Wert bei
Innenwiderstand
RG
Rx = 0 Ω
der Galvanometer-
bestimmen lässt:
RG =
Der Galvanometerausschlag für
Rx = 0 Ω
CI · U0 · R4
− R4
R3 · α
(15)
α = 63 mm.
Da wir auch hier von einer Auösung
betrug
von einem halben Skalenteil (0, 5 mm, da es sich um Millimeterpapier handelte) ausgehen, beträgt
σα = 0, 5 mm.
Setzt man die benötigten Werte nun in (15) ein, so erhält man:
RG = 26, 0 Ω
4
(16)
Mittels Fehlerfortpanzung ergibt sich der Fehler zu:
s
σ RG
=
2
σC
I
∂RG
∂CI
2
+
σU2 0
∂RG
∂U0
2
+
2
σR
4
∂RG
∂R4
2
+
2
σR
3
∂RG
∂R3
2
+
σα2
∂RG
∂α
2
(17)
= 1, 1 Ω
(18)
= 4, 2%
(19)
(Ausführliche Rechnung siehe Maple-Worksheet)
2.2 Brückenschaltung
2.2.1 Brücke oen
Die Spannung für diesen Versuch lieferte wieder Schaltung 1, die wir aber diesmal mit Schaltung 3
verbanden. Schon die augenscheinliche Ähnlichkeit von Schaltung 3 bei geöneter Brücke mit Schaltung
2 lässt ein vergleichbares Verhalten vermuten:
In der Vorbereitung haben wir hergeleitet, dass auch hier ein linearer Zusammenhang zwischen
R14
besteht, der sich experimentell gut bestätigte, wie Messtabelle und Diagramm oenbaren:
Vorwiderstand
R14 [ Ω]
Galvanometerausschlag
α
[mm]
1
α
1
[ mm
]
0
62
0,0161
5
59
0,0169
10
57
0,0175
15
55
0,0182
20
53
0,0189
25
52
0,0192
30
49
0,0204
35
48
0,0208
40
47
0,0213
45
44
0,0227
50
43
0,0233
5
1
α und
Auch hier berechnen wir wieder die Steigung sowie deren Fehler und notieren uns die Werte und Fehler
der eingebauten Widerstände:
Gröÿe
Steigung
σm
σm
m
Wert
Einheit
Herkunft
0,00014
1
mm· Ω
1
mm· Ω
Formel (2)
(abs)
0, 45 · 10−5
(rel)
3,2%
y-Achsenabschnitt
σb (abs)
σb (rel)
R11
σR11
R12
σR12
R13
σR13
U0
σU0
b
Formel (5)
Formel (7)
1
mm
1
mm
0,0161
0,00013
0,8%
Formel (3)
Formel (6)
Formel (8)
477
kΩ
Tabelle der Vorbereitungshilfe
7,2
kΩ
Tabelle der Vorbereitungshilfe
47
Ω
Ω
Ω
Ω
Tabelle der Vorbereitungshilfe
0,7
47
0,7
1
Volt
0,01
Volt
Tabelle der Vorbereitungshilfe
Tabelle der Vorbereitungshilfe
Tabelle der Vorbereitungshilfe
Messgerät
Die Gleichung der Ausgleichsgeraden lautet also mit den Werten aus obiger Tabelle:
y =m·x+b
(20)
2.2.2 Brücke geschlossen
Wie bereits in der Vorbereitung angedeutet, erwarten wir in diesem Fall eine quasi zur x-Achse parallele
Gerade, da der Widerstand des Potentiometer-Kreises klein gegen den Vorwiderstand ist. Die Messwerte
variieren kaum:
Vorwiderstand
R14 [ Ω]
Galvanometerausschlag
α
[mm]
1
α
1
[ mm
]
0
51
0,0196
5
51
0,0196
10
51
0,0196
15
51
0,0196
20
51
0,0196
25
51
0,0196
30
50,5
0,0198
35
50,5
0,0198
40
51
0,0196
45
51
0,0196
50
50,5
0,0198
Jetzt zeichnen wir beide Geraden in ein Diagramm ein, bestimmen allerdings auch für den Fall Brücke
geschlossen die Steigung
m und den y-Achsenabschnitt b der Ausgleichsgeraden (Formel: y = m·x+b)
sowie deren Fehler.
6
Gröÿe
Wert
Steigung
σm
σm
10−5
0, 29 ·
0, 16 · 10−5
m
(abs)
Herkunft
1
mm· Ω
1
mm· Ω
Formel (2)
Formel (5)
55,2%
(rel)
y-Achsenabschnitt
σb
σb
Einheit
b
Formel (7)
1
mm
1
mm
0,0196
(abs)
0,000048
(rel)
0,24%
Formel (3)
Formel (6)
Formel (8)
R14 , für den sich die beiden Geraden
In der Vorbereitung haben wir gezeigt, dass mit dem Widerstand
schneiden, der Innenwiderstand
RG
des Galvanometers mit folgender Formel berechnet werden kann:
RG =
R14 · R12
R13
(21)
Doch zunächst müssen wir diesen Schnittpunkt bestimmen. Hierzu setzen wir die beiden Geraden
gleich:
m · R14 + b = m · R14 + b
(22)
b−b
m−m
= 25, 6 Ω
⇒ R14 =
(23)
⇒ R14
(24)
Mit der Formel für Fehlerfortpanzung bestimmt man die Abweichung von
s
σR14
RG
σb2
=
∂R14
∂b
2
+
σb2
∂R14
∂b
2
+
2
σm
2
+
2
σm
∂R14
∂m
2
(25)
= 0, 95 Ω
(26)
= 3, 7%
(27)
berechnet sich nun mit Formel (21). Da in Versuch P1-14
mit gröÿerem Fehler
∂R14
∂m
R14 :
σ RG ,
ist, gilt
RG = R14 ,
allerdings
da die Widerstände zusätzliche Fehler verursachen:
RG = 25, 6 Ω
s
σ RG
R12 = R13
=
2
σR
14
(28)
∂RG
∂R14
2
2
+ σR
13
∂RG
∂R13
2
2
+ σR
12
∂RG
∂R12
2
(29)
= 1, 1 Ω
(30)
= 4, 3%
(31)
2.3 Statische Strom- und Spannungsempndlichkeit
Um die Proportionalität zwischen
Widerstand
α
und
U
zu bestimmen, verwendeten wir Schaltung 4 mit dem
Ra = ∞.
In der Vorbereitung haben wir gezeigt, dass aufgrund des im Vergleich zu den übrigen Bauteilen extrem
hohen Vorwiderstands
R15
für den Strom, der durch das Galvanometer ieÿt, näherungsweise folgendes
gilt:
I=
U
R15
7
(32)
Für verschiedene Spannungen
U
maÿen wir folgende Galvanometerausschläge
α (I
anschlieÿend be-
rechnet mit Formel (32)):
α
Spannung U [V]
Galvanometerausschlag
0
0
0,00
0,1
8
0,21
0,2
16
0,42
0,3
23
0,63
0,4
31
0,84
0,5
39
1,05
0,6
47
1,27
0,7
55
1,48
0,8
63
1,69
0,9
70
1,90
1
78
2,11
[mm]
Strom
I [µ A]
Der lineare Zusammenhang wird im Schaubild sehr schön deutlich:
Mit Maple und den Formeln aus 2.1 bestimmen wir die Steigung sowie deren statistische Abweichung:
Gröÿe
Wert
Einheit
Herkunft
mm
A
mm
A
Formel (2)
(abs)
36, 9 · 106
0, 12 · 106
(rel)
0,3%
Steigung
σm
σm
Aufgrund der Beziehung
α = CI · I
m
Formel (5)
Formel (7)
und weil der y-Achsenabschnitt nahe 0 ist, ist die Steigung
Ausgleichsgeraden gerade die statische Stromempndlichkeit
CI = m = 36, 9 · 106
CI ,
m
der
also:
mm
A
(33)
Dies kommt dem in Aufgabe 2.1 (10) ermittelten Wert recht nahe. Der statistische Fehler ist selbstverständlich gleich der Abweichung der Ausgleichsgeraden:
σCI = σm = 0, 12 · 106
mm
= 0, 3%
A
(34)
Für die statische Spannungsempndlichtkeit gilt:
CU =
8
CI
RG
(35)
Setzt man die Werte für den Galvanometer-Innenwiderstand
RG
ein, die wir in Aufgabe 1 ermittelt
haben, so erhalten wir für die statische Spannungsempndlichkeit und deren Fehler:
CU
σ CU
3
mm
= 1, 42 · 106
V
s
∂CU 2
∂CU 2
2
2
=
σ CI
+ σ RG
CI
RG
s
2
1
CI 2
2
2
σ CI
+ σ RG
=
2
RG
RG
mm
= 0, 06
V
= 4, 2%
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
Schwingverhalten
Wir verwendeten für diese Aufgabe die Schaltung 4 aus der Vorbereitungsmappe (s.o.). Da wir bisher
nur statische Eigenschaften des Galvanometers betrachtet hatten, wollen wir uns jetzt dem Schwingverhalten zuwenden. Dafür zogen wir schlicht das Kabel für das Galvanometer aus der Apparatur somit wurde der Stromkreis geönet und das Galvanometer schwang, mit unterschiedlicher Dauer und
Schwingungsanzahl, je nach Widerstand, in seine Ruhelage zurück. Während des Herausziehens des
Kabels wurde eine Stoppuhr betätigt, dann wurde gewartet, bis der Zeiger erst zur einen Seite ausschwang, wendete und dann zur anderen Seite schwang (Schwingung um die Ruhelage); wobei er es
natürlich nicht wieder so weit schate, wie anfangs, denn die Schwingung ndet ja gedämpft statt.
Der 2. Umkehrpunkt (α1 ) wird notiert - die Ausgangsgangslage
α0
wurde ebenfalls notiert. So ging es
weiter - der 4. Umkehrpunkt, etc. wurden allesamt notiert, bis der Zeiger wieder in seiner Ruhelage
ankam. Dann wurde die Stoppuhr gestoppt. Von uns zu bestimmen war nun das Dämpfungsverhältnis,
welches sich als
kn =
αn
αn+1
(41)
ergibt. Darüber hinaus sollte die Schwingungsdauer des Galvanometers ermittelt werden, welche sich
als Quotient aus der Gesamtschwingdauer und der Anzahl der Schwingungen ergibt.
Es ergaben sich die folgenden Messwerte:
Ra (in Ω)
1001
1194
1500
2260
3300
∞
Gesamtschwingdauer (in s)
12,51
16,41
20,74
24,37
24,59
57,41
α0 (mm)
α1 (mm)
α2 (mm)
α3 (mm)
α4 (mm)
α5 (mm)
α6 (mm)
α7 (mm)
α8 (mm)
α9 (mm)
α10 (mm)
α11 (mm)
α12 (mm)
α13 (mm)
76
76
77
78
78
79
23
26
31
38
43
60
7
9
12
19
25
45
2
3
5
8
14
35
1
2
5
8
26
1
2
4
20
1
2
15
1
11
8
6
5
3,5
2,5
2
Somit ergibt sich für die Dämpfung für die jeweiligen Widerstände samt Mittelwert
9
k:
k0
k1
k2
1001
3,30
3,29
3,5
1194
2,92
2,89
3
3
1500
2,48
2,58
2,4
2,5
2
2260
2,05
2
2,38
1,6
2,5
2
3300
1,81
1,72
1,79
1,75
2
2
2
∞
1,32
1,3
1,29
1,35
1,3
1,33
1,36
Widerstand
(in
k3
k4
k5
k6
k7
k8
k9
k10
k11
k12
k
Ω)
3,36
2,95
2,39
2,09
1,87
1,38
1,33
1,2
1,43
1,4
1,25
1,33
Hier bleibt festzuhalten, dass es wahrscheinlich eher ungünstig war, so viele Werte aufzunehmen, da
die Skala einfacher bei groÿen
α
ablesbar ist (bzw. sich dort der realtive Fehler in Grenzen hält). Es
wäre sinnvoll gewesen, bei 3mm oder 4mm Auslenkung vor der Ruhelage aufzuhören.
Für die Schwingungsdauern bei den einzelnen Widerständen ergibt sich:
Widerstand (in
Ω)
Schwingungsdauer (in s)
1001
1194
1500
2260
3300
∞
4,17
4,10
4,15
4,06
4,10
4,10
Aus den Mittelwerten für die Schwingungsdauer lässt sich jetzt wiederum ein Mittelwert berechnen,
T = 4, 11s
die mittlere Schwingungsdauer des Galvanometer lautet unserer Messung nach:
Desweiteren können wir mittels
βRa
1
= · ln
T
αn
αn+1
Ra
die Abklingkonstanten für die verschiedenen Widerstände
(42)
bestimmen:
β1001
β1194
β1500
β2260
β3300
β∞
0,29 Hz
0,26 Hz
0,21 Hz
0,18 Hz
0,15 Hz
0,07 Hz
Jetzt werden wir, um die Galvanometerkenngröÿen ausrechnen zu können,
(βRa − β∞ )−1
über
Ra
auftragen. Wir erhalten als Werte:
Ra (in Ω)
(βRa − β∞ )−1 (in s)
Widerstand
1001
1194
1500
2260
3300
4,55
5,26
7,14
9,09
12,50
∞
Es ergibt sich also das bereits angesprochene Diagramm, wobei allerdings noch ein Wert hinzugefügt
(−RG , 0). Dieser ergibt sich aus vorangegangenen Aufgabenteilen: In Aufgabe 2.1 erhielten
wir RG2.1 = 26, 0Ω, in Aufgabe 2.2 wurde RG2.2 = 25, 6Ω ermittelt. Ergo verwenden wir hier das
arithmetische Mittel und der hinzukommende Punkt lautet: (−25, 8Ω , 0).
werden soll:
10
Nun ist die Frequenz des ungedämpften Galvanometers zu ermitteln, mit deren Hilfe wir später die
Kenngröÿen berechnen werden. Für die gesuchte Frequenz gilt:
s
ω0 =
2π
T∞
2
2
+ β∞
Mit obigen Werten folgt für die von uns ermittelte Frequenz:
Desweiteren ergibt sich der Auÿenwiderstand,
Ra , gr
(43)
ω0 = 1, 53 Hz
für die Grenzdämpfung, der bei
(ω0 − β∞ )−1
)−1
(ω0 − β∞
= 0, 68s. Setzt man dies als
y-Wert in die Geradengleichung unserer Ausgleichsgerade ein (y = 0, 0037x + 0, 7126), so erhält man
als Widerstandwert für die Grenzdämpfung: Ra , gr = −7, 48 Ω.
abgelesen werden soll. Mit den Werten von oben ergibt sich:
Dies ist ein nicht so guter Wert. Der wirkliche Wert ergab sich, wie im Aufgabenblatt angedeutet,
durch Schaltung 4. Betätigte man dort nämlich den Taster, so stellte man fest, dass der Zeiger des
Galvanometers in sehr kurzer Zeit in Ruhe war, mit anderen Worten - mit geschlossenem Stromkreis
am Taster, benden wir uns recht nahe am Grenzwiderstand. Betrachtet man Schaltung 4, so sieht
man, dass bei geschlossenem Taster der
330Ω-Widerstand
und das Galvanometer parallel geschaltet
sind. Für parallel geschaltete Widerstände gilt reziproke Addition:
Ra , gr =
1
1
+
330Ω RG
−1
=
RG · 330Ω
= 24, 0Ω
RG + 330Ω
(44)
Das heiÿt, dass sich unser Wert (mal abgesehen vom Vorzeichen) immerhin in der gleichen Gröÿenordnung bendet, aber prozentual doch eher weiter weg liegt.
Was nun noch zu berechnen bleibt, sind die Galvanometerkenngröÿen:
•
Die Galvanometerkonstante
G:
G=
•
Das Trägheitsmoment
Θ
Die Rückstellkonstante
(45)
des schwingenden Systems:
2
m · CI02 · ω04
Θ=
•
2
m · CI0 · ω02
D
(46)
der Torsionsaufhängung:
D=
Dafür müssen wir aber noch beachten, dass
CI0
2
m · CI02 · ω02
(47)
als Drehwinkel im Bogenmaÿ von Spule, bzw. Drehspie-
gel, geteilt durch den entsprechenden Strom, genommen werden muss. Die Umrechnung von unserer
bisherigen Abweichung in mm zu Bogenmaÿ ergibt sich folgendermaÿen:
CI
CI
· I; CI0 =
2r
2r
0
⇒ 2 · ϕ · r = α = CI · I ⇒ ϕ = CI · I
α = 2 · ϕ · r; ϕ =
(48)
(49)
Daher erklärt sich also die Forderung aus dem Aufgabenblatt, wobei sich der Faktor 1/2 in obiger
Gleichung folgendermaÿen erklärt: der Lichtstrahl ist doppelt so weit ausgelenkt wie der Spiegel (Einfallswinkel vom Strahl = Ausfallswinkel).
CI0
kann jetzt einfach mittels
CI0 =
CI bedienen wir uns aus den vorangegangenen
CI2.3 = 3, 69 · 104 m
A aus Aufgabe 2.3. Wir bilden
4 m und es ergibt sich:
dem Wert CI = 3, 64 · 10
A
Aufgabenblatt ist 0,25m für den Radius gegeben. Für
Aufgaben:
CI2.1 = 3, 58 · 104 m
A
aus Aufgabe 2.1 und
wieder das arithmetische Mittel und rechnen mit
Die statische Stromempndlichkeit (Bogenmaÿ):
Die Galvanometerkonstante:
CI0 = 7, 27 · 104
1
A
G = 3, 18 · 10−3 ΩAs
Das Trägheitsmoment des schwingenden Systems:
Die Rückstellkonstante der Torsionsaufhängung:
CI
2r berechnet werden, im
Θ = 1, 87 · 10−8 ΩA2 s3
D = 4, 4 · 10−8 ΩA2 s
11
4
Stromstöÿe
Bei den vorangegangenen Aufgaben oss der Strom zumindest solange, bis sich ein Gleichgewicht
eingestellt hatte. Nun wollen wir aber untersuchen, wie sich das Galvanometer bei kurzen Stromstöÿen
verhält. Der Einfachheit halber wird der kurze Stromstoÿ von einem Kondensator ausgeführt - da dessen
Entladung aber exponentiell verläuft, ist es nicht möglich eine feste Länge des Stoÿes anzugeben. Man
wählt deshalb als gute Näherung für die Stromstoÿdauer
TQ
(nach dieser Zeit sind etwa 95% der
Ladung abgeossen):
TQ = 3 · R · C
(50)
Für die Ladung eines Kondensators gilt bekanntlich:
Z
I dt = Q = C · U
(51)
Man verwendet Schaltung 5:
TQ
Wir sollten nun bei sehr kurzer Stromstoÿdauer
d.h. man stellt das Potentiometer
R17
auf
0Ω
(dies ist einfach durch ein kleines
ein.) die Stromempndlichkeit
Cb
R
zu realisieren,
des Galvanometers
prüfen. Der Kondensator konnte mittels Knopfdruck ge- und entladen werden, bei der Entladung ergab
sich dann (je nach Widerstand:
33Ω, 332Ω, 999Ω
und
∞ Ω)
ein Maximalausschlag, mit dem man die
gesuchte Empndlichkeit errechnen kann:
Cb =
αmax
C · U · 2r
(52)
Theoretisch lassen sich diese Werte ebenfalls berechnen und zwar in folgenden Fällen mit den entsprechenden Formeln, die sich aus der Dierentialgleichung (s.Vorbereitungsmappe) herleiten, welche das
Schwingverhalten des Galvanometers beschreibt:
• Ballistische Empndlichkeit bei minimaler Dämpfung, Schwingfall: Ra = ∞
Cb =
G
Θ · ω0
(53)
• Ballistische Empndlichkeit nahe der Grenzdämpfung, Grenzfall: Ra = 332Ω, Ra = 999Ω
Cb =
G
Θ · ω0 · e
(54)
• Fluxmetrische Empndlichkeit, Kriechfall: Ra = 33Ω
Cb =
Ra + RG
G
(55)
Dabei wirkt sich der Term, der sich aufgrund der Parallelschaltung ergibt, nur bei kleinen
Unsere Messwerte waren die Folgenden:
Ladespannung
U
= 0,2V, Kapazität des Ladekondensators
12
C
= 5,52µF
Ra
aus.
Ra (in Ω)
Maximalausschlag αmax
(in mm)
33
332
999
∞
6
32
46
57
Es ergeben sich nun aus den obigen Formeln und den bisher gesammelten Werten für die Galvanometerkenngröÿen folgende Werte:
Ra
Widerstände
(in
Cbexp (in C1 )
1, 09 · 104
5, 80 · 104
8, 33 · 104
1, 03 · 105
Ω)
33
332
999
∞
Cbtheo (in C1 )
1, 85 · 104
4, 10 · 104
4, 10 · 104
1, 10 · 105
Prozentuale Abweichung
41,1%
41,5%
103,2%
6,4%
Aufgrund der vielen möglichen Folgefehler kann man die wirkliche Güte der Messung schwer bewerten
- da ja nämlich die Werte aus Aufgabe 3 durchaus auch stark fehlerbehaftet sein können, trüge sich
der Fehler bis hierher weiter.
Am Schluss sollten wir uns noch durch mehrere Messungen mit gröÿeren
dass nur für
TQ << T
R-Werten davon überzeugen,
TQ ist. Dafür maÿen wir
die Stromstoÿempndlichkeit nahezu unabhängig von
also bei unterschiedlichen Werten für
Widerstand
R
R17
und
(in
R a = ∞:
kΩ)
Maximalausschlag (in mm)
0
58
40
55
80
50
120
43
160
37
200
32
240
30
280
30
320
27
360
25
13
Man erkennt hier deutlich, dass die Stromstoÿempndlichkeit, die proportional zur Auslenkung ist
(s.o.), mit wachsendem
R
sinkt und von
TQ
abhängig wird.
Es bleibt als letztes noch die Frage zu beantworten: Welchen Sinn haben ballistische Messungen?
In der Mechanik kann man sich zum Beispiel die Frage nach der Geschwindigkeit eines Projektils
stellen - dafür schieÿt man es auf ein Pendel, beispielsweise einen Sandsack, und misst dann den
Ausschlag des Pendels. Die Aussschlagshöhe des Pendels ist dann charakteristisch für die Energie, die
das Projektil besaÿ und man kann mittels der Erhaltungssätze für Impuls und Energie zurückrechnen,
welche Geschwindigkeit das Projektil vor dem Einschlag besessen haben muss.
Beim Galvanometer benutzen wir das gleiche Prinzip - der Ausschlag des Zeigers ist charakteristisch
für den geossenen Strom, denn es gilt:
Z
αmax = Cb ·
TQ
I dt
(56)
0
Ist also die ballistische Empndlichkeit unseres Galvanometers bekannt, können wir mittels des Maximalauschlags auf die durch das Galvanometer geossene Ladung schlieÿen (für kleine T).
14