Die geradlinig gleichförmige Bewegung

12-1-2-11 Elektrisches Feld einer Punktladung
Wie sieht das elektrische Feld einer Punktladung aus?
106-108/Kapitel 4.1.3
Wir erinnern uns an das radiale Gravitationsfeld einer Masse:
Die Gravitationsfeldstärke lautete g  
m
mit der Gravitationskonstante  .
r2
Das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel hat die gleiche Gestalt:
Die Feldstärke des elektrischen Feldes lautet entsprechend E  k
Konstanten k.
Die Konstante k erhalten wir durch folgende Überlegung:
Q
(Gleichung 1) mit der
r2
In der nachfolgenden Abbildung erkennt man einen aufgeschnittenen Kugelkondensator.
Die innere Kugel sei positiv aufgeladen, die äußere negativ. Wenn der
äußere Radius b nur geringfügig größer ist als der Radius a, haben beide
Kugeln etwa die gleiche Fläche A  4  a 2 . Der kleine Abstand der
beiden Kugeln ist d. Das elektrische Feld zwischen der inneren
Kugel und der äußeren Kugel ist ein Radialfeld, d.h. die Feldlinien
verlaufen wie Mittelpunktsstrahlen von der inneren Kugel zur
äußeren Kugel.
Wir stellen uns den Kugelkondensator als verformten
Plattenkondensator vor. Die innere Kugel sei die eine Platte, die
äußere Kugel sei die andere Platte. Für die Kapazität des
A
4  a 2
Kugelkondensators gilt dann: C   0    0 
.
d
d
Q
Die Kapazität C ist definiert durch: C  .
U
Q
4  a 2
 0 
Wir erhalten die Gleichung:
U
d
Die Spannung U können wir ersetzen durch U  E  d . Das Feld E hat in dem schmalen Raum
zwischen den beiden Kugeln einen nahezu konstanten Betrag.
Q
4  a 2
 0 
Somit gilt:
. Wir können diese Gleichung nach E auflösen und erhalten:
Ed
d
1
Q
E
 2 .
4 0 a
Das elektrische Feld im Kugelkondensator wird ausschließlich von der inneren Kugel erzeugt,
da die gleichverteilte Ladung auf der äußeren Kugel wie ein Faraday-Käfig wirkt und keinen
Betrag zum elektrischen Feld innerhalb der äußeren Kugel leistet.
Somit ist das elektrische Feld einer geladenen Kugel mit dem Radius r direkt an ihrer
1
Q
Oberfläche E 
 2 (Gleichung 2).
4 0 r
Vergleichen wir Gleichung 2 mit Gleichung 1, so können wir für die Konstante k folgern:
1
.
k
4 0
Das radiale elektrische Feld einer Punktladung
oder einer geladenen Kugel mit gleichmäßiger Ladungsverteilung hat den Betrag
E
1
4 0

Q
r2
1. Drei Ladungen Q1 , Q2 und Q3 befinden sich an den Orten Q1 (0 / 0) , Q2 (1cm / 0)
und Q3 (0 / 1cm) .
a. Es sei Q1  Q2  Q3  1nC . Bestimme die elektrische Feldstärke am Punkt P(1cm / 1cm) .
b. Es sei Q1  Q2  1nC und Q3  1nC . Bestimme die elektrische Feldstärke am Punkt
P(1cm / 1cm) .
1.
a. Die elektrische Feldstärke ist ein Vektor. Wir wollen daher für jede Ladung die x-
Komponente und y-Komponente der elektrischen Feldstärke bestimmen:
Q1 :
Der Betrag der elektrischen Feldstärke von der Ladung Q1 am Punkt P ist
Q1
1
10 9 C
V


 4,5  10 4
2
2
4
2
4 0 1cm  1cm
4 0 2  10 m
m
Dabei ist die x-Komponente dieser elektrischen Feldstärke
V
V
E1, x  4,5  10 4  cos(45)  3,2  10 4
m
m
Die y-Komponente dieser elektrischen Feldstärke ist
V
V
E1, y  4,5  10 4  sin(45)  3,2  10 4
m
m
E1 
1



E1
E1, y
45
E1, x
Q2 :
Der Betrag der elektrischen Feldstärke von der Ladung Q2 am Punkt P ist
Q1
1
10 9 C
V
E2 



 9  10 4
2
4
2
4 0 1cm
4 0 1  10 m
m
Dabei ist die x-Komponente dieser elektrischen Feldstärke
E 2, x  0
1
Die y-Komponente dieser elektrischen Feldstärke ist
V
E 2, y  9  10 4
m
Q3 :
Der Betrag der elektrischen Feldstärke von der Ladung Q3 am Punkt P ist
Q1
1
10 9 C
V


 9  10 4
2
4
2
4 0 1cm
4 0 1  10 m
m
Dabei ist die x-Komponente dieser elektrischen Feldstärke
V
E3, x  9  10 4
m
Die y-Komponente dieser elektrischen Feldstärke ist
E3, y  0
E3 
1

Wir addieren nun die elektrischen Feldstärken komponentenweise auf:
V
V
V
E x  E1, x  E2, x  E3, x  3,2  10 4  0  9  10 4  12,2  10 4
m
m
m
V
V
V
 9  10 4  0  12,2  10 4
m
m
m
Der Betrag der elektrischen Feldstärke, die von den drei Ladungen hervorgerufen wird,
ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:
E y  E1, y  E2, y  E3, y  3,2  10 4
2
V2
V
10 V
E  E  E  1,5  10
 1,5  10
 1,7  10 5
2
2
m
m
m
b. Nach der gleichen Vorgehensweise wie im Aufgabenteil a) ergibt sich (Vorzeichen der
Ladung Q3 beachten):
2
x
2
y
10
V
m
V
 3,2  10 4
m
E1, x  3,2  10 4
E1, y
E 2, x  0
E 2, y  9  10 4
V
m
E3, x  9  10 4
E3, y  0
V
m
E x  E1, x  E2, x  E3, x  3,2  10 4
V
V
V
 0  9  10 4  5,8  10 4
m
m
m
E y  E1, y  E2, y  E3, y  3,2  10 4
V
V
V
 9  10 4  0  12,2  10 4
m
m
m
E  E x2  E y2  0,3  1010
2
V2
V
10 V

1
,
5

10
 1,3  10 5
2
2
m
m
m