P(N) ist gleich mächtig wie R

P(N) ist gleich mächtig wie R
1. Vorbemerkung: Die Relation “ist gleich mächtig wie” ist eine Äquivalenzrelation auf
der Menge aller Mengen. Insbesondere ist diese Relation transitiv:
A gleich mächtig B ∧ B gleich mächtig C
⇒
A gleich mächtig C
2. Sei M1 die Menge aller 0-1-Folgen:
M1 :=
(an )n∈N ∀n ∈ N : an = 0 ∨ an = 1
Wir zeigen: M1 und P(N) sind gleich mächtig: Die Abbildung
f : P(N) → M1 : M 7→ (an ) mit an := 1 falls n ∈ M , an := 0 falls n 6∈ M
ist offensichtlich bijektiv.
3. Nun soll gezeigt werden, dass M1 gleichmächtig wie M2 := [0, 1[ ist. Wir verschieben das auf später und zeigen jetzt, dass M2 gleichmächtig wie M3 :=]0, 1[ ist. Hier
verwenden wir eine einfache Version des Arguments, das später beim Beweis von “M1
gleichmächtig wie M2 ” verwendet wird.
Definiere
f : [0, 1[→]0, 1[: x 7→
Das bedeutet: 0 7→ 12 ,
1
2
7→ 14 ,
1
4




1
2
falls x = 0
1
falls x =
2j+1


 x
sonst
1
2j
für ein j ∈ N
7→ 18 , . . . und alle x, die nicht als 0 oder
1
2j
dargestellt
werden können, werden auf sich selbst abgebildet. Die Abbildung ist offensichtlich
bijektiv.
4. Dass M3 :=]0, 1[ gleichmächtig wie R ist, sieht man an der Abbildung
1
f :]0, 1[→ R : x 7→ tan π(x − )
2
oder an der Abbildung
f˜ :]0, 1[→ R : x 7→
1
.
x(x − 1)
Datei: /hm/mathe-inf/Zusatzmaterial/maechtigkeit
P(N) ist gleich mächtig wie R, Seite 2
5. Nun soll gezeigt werden, dass M1 (=Menge aller 0-1-Folgen) gleichmächtig wie M2 :=
[0, 1[ ist. Man könnte nun die 0-1-Folgen als Dualdarstellungen von reellen Zahlen aus
M2 interpretieren. Aber leider ist die Abbildung
f : M1 → M2 : (an ) 7→ (0, a1 a2 a3 . . .)2
nicht bijektiv, da z.B. (0, 01111111 . . .)2 = (0, 1000000 . . .)2 . Daher müssen zunächst
die Folgen aus M1 herausgenommen werden, die ab einer Stelle nur Einsen enthalten:
˙ 5
M1 = M4 ∪M
mit M4 := (an ) ∈ M1 ∃n1 ∈ N ∀n > n1 : an = 1 , M5 := M1 \ M4 .
˙ :
(a) Sei P := {p ∈ N : p ist Primzahl}. Wir zeigen: M1 ist gleich mächtig wie [0, 1[∪P
Die Menge M5 ist gleich mächtig wie [0, 1[, da die Abbildung
f : M5 → [0, 1[: (an ) 7→ (0, a1 a2 a3 . . .)2
bijektiv ist.
Die Menge M4 ist Teilmenge der rationalen Zahlen in ]0, 1[ und daher abzählbar.
Die Menge der Primzahlen ist als unendliche Teilmenge von N auch abzählbar,
also ist M4 gleich mächtig wie P .
˙ 5 (disjunkte! Vereinigung) ist M1 gleich mächtig wie [0, 1[∪P
˙ .
Wegen M1 = M4 ∪M
˙ ist gleich mächtig wie [0, 1[. Dies folgt aus der Bijektivität der Abbildung
(b) [0, 1[∪P

1

falls x = p ∈ P


p
1
˙ → [0, 1[: x 7→
f : [0, 1[∪P
falls x = p1j für ein j ∈ N
pj+1



x
sonst
(Dies ist derselbe Trick wie in Punkt 3, nur abzählbar oft angewandt.)
Damit ist die letzte Lücke geschlossen:
Punkt 2: P(N) und M1 sind gleich mächtig.
Punkt 5: M1 und [0, 1[ sind gleich mächtig.
Punkt 3:
[0, 1[ und ]0, 1[ sind gleich mächtig.
Punkt 4:
]0, 1[ und R sind gleich mächtig.