Physik I

Physik I
Prof. G. Dissertori
Vorlesungsmitschrift WS 2002/2003 – ETH Zürich
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
Font- Embe dding
Euclid: Euclid Mat h One:
Euclid Mat h Two:
Euclid Ext ra:
Euclid Fraktur : Euclid Sym bol:
tyber is1:
Literatur zur Vorlesung:
Paul A. Tipler, Physik
Demtröder, Experimentalphysik 1
(Version 1.1 – Originalversion geschrieben von Simon Bucheli, 2003)
2
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
Inhalt
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1 Die Physik als Wissenschaft, Modellbildung, der Physik-Stammbaum . . . . . . . . . . . 4
2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Geschwindigkeit
2.3 Beschleunigung .
2.4 Schräger Wurf .
Einschub Statistik .
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5
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6
7
8
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9
9
9
9
3 Dynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Newton’sche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 2. Newton’sches Axiom (Kraftwirkungsgesetz) . . . . . .
3.1.2 1. Newton’sches Axiom (Trägheitssatz, Spezialfall von
3.1.3 3. Newton’sches Axiom (im abgeschlossenen System) .
. . . . . .
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2. Axiom)
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9
4 Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1 Beschleunigte Bezugssysteme. . . . . . . . . . . . .
Das Foucaultpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Galileisches (oder Newton’sches) Relativitätsprinzip.
4.3 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . .
Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skalarprodukt zweier Vierervektoren . . . . . . . . .
Vierergeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
Viererimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie eines Massenpunktes: . . . . . . . . . . . . .
Energie-Impulserhaltung: . . . . . . . . . . . . . . .
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11
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13
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16
16
16
17
17
18
5 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.1 Der Drehimpuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7 Mechanik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.1 Dynamik eines Systems von Massenpunkten . . . . . . . . . .
7.2 Verknüpfung von kin. und dyn. Grössen eines N-Teilchen-Systems im
Einschub: 3-Teilchenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Herleitung der Drehimpulserhaltung. . . . . . . . . . . . . . .
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 25
Labor und Schwerpunktsystem 26
. . . . . . . . . . . . . . 28
. . . . . . . . . . . . . . 28
. . . . . . . . . . . . . . 28
8 Gravitationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
1 Einleitung
1.1 Die Physik als Wissenschaft, Modellbildung, der Physik-Stammbaum
Physik
Physik ist die Beobachtung von (komplexen) Naturvorgängen.
Satz von „einfachen“ Gesetzmässigkeiten, die das Verhalten von „elementaren“ Teilchen beschreiben.
Naturvorgänge vorhersagen.
Das Experiment ist ein wichtiger Teil der Physik. z. B. freier Fall: Alle Körper fallen gleich – im Vakuum.
Wichtig: störende Rahmenbedingungen eleminieren (z. B. Luftwiderstand)
Das Physikalische Modell (z. B. Modell des Massenpunktes, das das Rechnen sehr vereinfacht). Achtung: ein
bewährtes Modell/Theorie kann nie „absolut“ verifiziert werden, nur verfeinert, verbessert oder widerlegt.
neues Modell
bestehendes Modell
Es gibt vier Wechselwirkungen:
- elektromagnetische Wechselwirkung
- starke Wechselwirkung
- schwache Sechselwirkung
- Gravitaton
Messen und Masseinheiten
Ziel ist: Beobachtung
quantitative Information. Messung: einer physikalischen Grösse wird eine Zahl
zugeordnet. Diese Zahl ist das Ergebnis eines Vergleichs (!) mit einer standardisierten Grösse. Diese
standardisierte Grösse heisst Einheit.
G = {G } × [G ]
G : phys. Grösse
dabei ist: {G} : (gemessene) Zahl
[G] : Einheit
Beispiel: Alter von Prof. Dissertori = 1 038 794 450s
Beispiel: maximale Geschwindigkeit auf den Schweizer Autobahnen:
v max = 120km / h = 12000m / 3600s = 33.3m / s
[m ]
Länge
l
In
der Mechanik
gibt es drei fundamentale Einheiten:
Zeit t
[s ]
Andere (mechanische) physikalische Grössen sind immer Zusammensetzungen:
Masse m
[kg ]
G = c l a tb mc
[G ] = m d [s e ] kg f
z. B. Geschwindigkeit: [v ] = [m / s ] d = 1, e = 1, f = 0
Der Begriff der Grössenordnung
G 10a [G ]
z. B. Erdradius
107 m
genauer: 6400km = 6.4 106 m
Grössenordnung 107
4
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
2 Kinematik
2.2 Geschwindigkeit
1.
Koordinatensysteme
a) kartesisches Koordinatensystem
b) Polarkoordinaten
siehe Blatt
2.
Vektoren
a) Betrag und Richtung, z. B. F , v , a , E
Falls Betrag und Richtung zweier Vektoren identisch
(Angriffspunkt gibt es nicht
ignorieren)
Vektoren sind identisch!
b) A = A1 + A2
A1 = Ax ex
A2 = Ay ey
ex , ey sind Einheitsvektoren.
Linearkombination
A = Axex + Ayey =:
A = Ortsvektor =
C = A+B =
ex =
1
0
()
Ax
Ay
()
x
y
( )
Ax +By
Ay +By
0
; ey =
1
0
0
Einheitsvektor in beliebige Richtung: eA =
Polar: r = A ; A = r
cos
A
A
wobei A = Ax2 + Ay2
sin
C = A+B ; C ! A + B
c) Skalarprodukt
A B = A B cos
Falls A " B
ex ey = 0
A B=0
orthogonale Basis .
A B = (Ax ex + Ay ey ) (Bx ex + By ey )
= Ax Bx (ex ex ) + Ay By (ey ey ) + Ax By (ex ey ) + Ay Bx (ey ex )
1
1
0
0
= Ax Bx + Ay By
2
A = Ax2 + Ay2
cos
=
A B
A B
5
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
d) Vektor-(Kreuz-)produkt
C = A × B = B × A (Schraubenziehregel)
C =
Ax
Ay
×
Bx
By
Ay
Az
Ax
=
Bz
Az
Bz Az By
Bx Ax Bz
By Ay Bx
C = A B sin
(A × B)×C = (A C ) B (A B) C
(A + B)×C = A ×C + B ×C
Drehimpuls: L = r × p
3.
Bewegung in einer Dimension
x 1 Verschiebung [#x ] = m
#x = x 2
[v ] =
m
s
#x
#t = t2
#t
#x
dx
Momentangeschwindigkeit: v (t ) = lim
=
= x (t)
#t 0 #t
dt
Durchschnittsgeschwindigkeit: v = N =
n
Sn = $ vi #ti =
i =0
t
% v (t )dt
= x (t)
x0
t0
t
t
=
t1
2
% c t dt = c
t0
t3
1
= (c t 3
3 t0
3
c t03 )
x (t0 ) = x 0
4.
Bewegung in 3 Dimensionen
v =
r2
t2
r1
t1
#r
=r =
0 #t
v (t) = lim
#t
x
y
z
v x2 + v y2 + v z2
v =
t
r (t) = r0 + % v (t)dt =
t0
v = const
r0 x + % vx (t )dt
r0 y + % vy (t)dt
r0 z + % vz (t)dt
gleichförmig.
2.3 Beschleunigung
a =
#v
#t
Durchschnittsbeschleunigung
a = lim
#
a=
#v
=v =
#t
vx
vy
Momentanbeschleunigung
vz
t
d 2s
=s
dt
v (t ) = v 0 + % v (t )dt
t0
Spezialfall: a (t ) = const (Betrag, Richtung)
gleichförm. beschleunigte Bewegung: v (t ) = v 0 + a t
t0
0
t
t
t0
t0
s (t) = s 0 + % v (t )dt = s0 + % (v0 + a t )dt
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PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
1
s (t) = s 0 + v 0 + at 2 (Jeweils in allen Komponenten)
2
häufige Anwendung: Freier Fall!
2.4 Schräger Wurf
0
a=
vx 0
; va =
0
0
vz 0
9
x (t )
0
=
y (t )
+t
0
0
vz 0
h
z (t)
vx 0
0
;x =
0
h
1
+ t2
2
0
0
9
x (t) = vx 0 t unbeschl. geradl. gleichform.
y (t) = 0
1 2
z (t) = h + vz 0 t
t g gleichförm. beschl. Beweg.
2
Überlagerung der Bewegungen: unabhängig
x=
x
vx 0
z (t) =
g 2 v 0z
x +
x +h
2v 02x
v 0x
tan
(Experiment: Pfeil auf Platte)
rechnerisch auch möglich:
v = v ev (Einheitsvektor in Richtung v )
a =
d
dv
dex
ev + v
=
(v ev ) =
dt
dt
dt
+ an
at
Tantential
normal
a ! 0 , wenn v ändert und/oder die Richtung.
dev
dev
d 2
" ev weil: 2ev
=0
(ev ) = 0
dt
dt
dt
a = at et + an en
v (t1 ) v (t0 )
#v = #v en
#t
#s =
# ; #v = v #
a =
Radius
lim
#t
0
Winkel
#v
#v
#v #s
v2
= en lim
= en lim
=
en = an
#t 0 #t
#t
#s #t
v
#
Spezialfall Kreis:
ist konstant.
Drehbewegung (S.10): r (t ) =
&v (t) =
( )=R
x (t )
y (t )
(t)
(
(
)= R
R cos (t )
R sin (t )
er (t)
(const)
(ändert)
) = Rv (t)(t) e
sin (t )
cos (t )
t
d (t)
rad
=:
'
( „Winkelgeschwindigkeit“
' s (
dt
er × et =: e
v (t) = r
e ×er = r er × e = r ×
(t ) = 0 t +
Gleichförmige Kreisbwegung (t ) = const
2 rad
Periode T: (t )
rad = 0 T
0 = 2
0 =
T
2
2
v
v
at = 0; an =
en =
er = R 2 er
R
(t) =
0
7
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
v =R
e × en
v =R
( )=
a (t) = R
2 cos t
sin t
R
2
er
Einschub Statistik
Statistische Fehler
- in der Natur (Radioaktivität)
- Störungen (Wind)
Systematische Fehler
- falsch gemessen
- nicht alles berücksichtigt
- schlechte Aparatur
schwierig
mehrere Messwerte
Mittelwerte: x =
1 n
$ xi
n i =1
gute Abschätzung
Fehler des Mittelwertes
n
1
=
Standardabweichung:
n
1
$ (x
2
x)
i
Streuung um x
i =1
=
x
n
für n = ) Versuche ist der Fehler 0.
Histogramm/Verteilung
ni = Total Messungen in #x i
N = Anzahl Bins
n = Total Messungen
p j = Wahrscheinlichkeit in #x j zu fallen
N
N
$ nj = n
$n
j =1
#x i
pj =
nj
j =1
N
= $ pj = 1
j =1
0 Verteilung f (x )dx
%
% x f (x )dx
V [x ] = % (x E [x ]) dx
E [x ] =
Erwartungswert
f (x )dx
2
Varianz
#x j
Fehlerfortpflanzung:
z = f (x , y)
z
bekannt
z
=
*f
*x
2
x2 +
*f
*y
2
y 2 (Partielle Ableitungen)
Fehler auf z = Summe der Fehler auf x und y;
Impuls (Bewegungsgrösse)
p = mv
[p] = kg m s
1
Abgeschlossenes System: Gesamtimpuls ist konstant
ptot = p1 + p2 = p1 + p2
a) m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2
b)
1
mv 2
2
m1 = m1; m2 = m2
v1 2 = v22 + 2v2v2 + v2 2 (Impuls)
v22 = v1 2 + v2 2 (Energie)
a+b) 0 = 2v2 2 + 2v2v2
8
Lösung 1: v2 = 0
v1 = v2
Lösung 2: v2 = 0
v2 = v2
v1 = 0 (Keine Lösung, weil #p1 = 0; #p2 =
2v2 ! 0 )
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
3 Dynamik
3.1 Newton’sche Axiome
3.1.1 2. Newton’sches Axiom (Kraftwirkungsgesetz)
lim
#t
0
#p
t
F~
dp
Kraft proportional zu Impulsänderung
dt
Dies ist keine Definition der Kraft! Sondern kinetische Verknüpfung zur Kraft und Impulsänderung
(exp. verifizieren)
t2
Kraftstoss :=
% F (t )dt
t2
=
t1
#p
% #t #t
2
= p (t2 )
p (t1 )
t1
dp d (mv ) dm (t)
dv (t)
=
=
v +m
dt
dt
dt
dt
falls m (t ) = const
F = m a = m (at + an ) = Ft + Fn
F=
Fn = 0
geradlinig, sonst krummlinig.
später: Kraftfelder
m a = $ Fi = F (=Vektorsumme aller einwirkenden Kräfte)
i
Falls F = 0
Gleichgewicht
3.1.2 1. Newton’sches Axiom (Trägheitssatz, Spezialfall von 2. Axiom)
F =0
p (t) = const
Bezugssysteme ( Kopie)
r (t) = r (t ) vs t Sei vs = const
v = r (t) = r (t)
vs = v
v = r (t) = r (t) = v
vs
(a
= a)
Inertialsystem:
Bezugssystem in dem das 1. Newton’sche Axiom gilt:
$F
i
=0
r (t) = 0 .
Nicht beschleunigt.
Beschleunigte Systeme:
1
r (t) = r (t ) + As t 2
2
v (t) = v (t ) + As t
Sei v (t ) = 0
v (t) = v (t ) + As
v (t) = As
F = m As ! 0
3.1.3 3. Newton’sches Axiom (im abgeschlossenen System)
F21 = Kraft von Masse 2 zu Masse 1
F12 = Kraft von Masse 1 zu Masse 2
#p1 #p2
#p1 + #p2 = 0
+
=0
#t
#t
F21
F21 = F12
F12
Summe der äusseren Kräfte = 0
vs = const
2. Newton’sches Axiom
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PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
F1 = F2
m1
a
= 1
m2
a2
Hook’sches Gesetz (Federkraft) F =
k #x
Kräfte durch Kraftfelder ersetzen:
Kraftfeld f (t, x , y, z ) : An jedem Raum-Zeit Punkt ist ein Vektor gegeben.
f (t, x , y, z ) =
g (t, x , y, z )
..Kopplungskonstante
Statische Felder: g (t, x , y, z ) = g (t 0 , x , y, z ) = g (x , y, z )
+t
Beispiel a)
Coulombkraft zwischen zwei Ladungen.
Coulombkraft, ausgeübt von Ladung Q auf eine Testladung q, die sich im Kraftfeld befindet.
fq (x , y, z ) =
=q
1
4
Q
q
rqQ
0
2
er
Q
1
g (x, y, z ) =
4
0
rqQ
2
eR = g (r )eR Zentralkraftfeld
Beispiel b)
Gravitation: Kraft auf einen Massenpunkt (MP) m, ausgeübt von einer Masse M.
f (x , y, z ) = Gm
g (x , y, z ) = G
M
rmM
2
eRmM
( = m)
M
g (r )er
2 er =
r
Auf Erdoberfläche: (EO)
GM E
er = ger
9.81 sm2
RE2
GM E
g (nahe EO) =
er
g(RE + h ) < g = 9.81 sm2
(RE + h )2
Kopplungskonstante
= m = mG (Gravitation)
Gewichtskraft FG = mG g = mT a mT ..träge Masse
g (EO) =
Experiment: (siehe Tipler 10.4)
mG = mT
mG g = mT e
g =a
A) Anscheinende Gewichtskraft
In Ruhe: a = 0 (keine Beschleunigung)
FG + FN = ma = 0
FG = FN
FN = FG
Beispiel Aufzug.
1) Aufzug fährt nach oben los
FG + FN = ma A
mg + FN = maA
FN = mg + maA > mg
2) Aufzug fährt mit vA = const , aA = 0
FG + FN = 0
FN = mg
3) Aufzug hält an
aA < 0
FN = mg + maA
FN < mg
10
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
B) Astronaut
mA ..Astronaut mR ..Raumschiff
UB..Umlaufsbahn (Orbit)
A : mAg (UB) + FN = mA aA
R : mRg (UB) + FN = mRaR
Falls Astronaut in Ruhe im Raumschiff: aR = aA = a
(mR + mA )g (UB) = mRaR + mAa A = (mR + mA )e
a = g (UB)
mAg (UB) + FN = mAg (UB)
FN = 0
schwerelos
Erdanziehungskraft
mg + FN = ma
v2
ex
R
2 cos
R = Rz ,
v=
24h
azp = 0.034 cos sm2
a = azp = azp ex =
FNX = mg cos
mazp < mg cos
FNY = mg sin
=0:
FNX = m(g
azp ) = m(9.78 sm2
FN = mg 1
2
a zp
g
0.034 sm2 ) = m 9.75 sm2
cos +
azp
g
2
< mg
1
Reibung in Flüssigkeiten und Gasen
Kv
FR =
(kleine Geschwindigkeiten)
2
v
(grosse Geschwindigkeiten)
2
cv ..Widerstandsbeiwert
A..Querschnittsfläche des Körpers
CW A
..Dichte des Gases/Flüssigkeit
v..Geschwindigkeit
Für Kugel gilt: K = 6
R (Stoke’sches Reibungsgesetz)
..Viskosität des Mediums
R..Kugelradius
Auftriebskraft
FA = gV
..Dichte des Mediums
v..Eintauchvolumen
4 Relativitätstheorie
4.1 Beschleunigte Bezugssysteme
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in S :
R = x ex + y ey + z ez
v = x ex + y ey + z ez
a = x ex + y ey + z ez
in S :
r = R +r
v =
dr
dR dr
=
+
dt
dt
dt
vS
x ex +
y ey +
z ez
de
dex
dez
+y y +z
dt
dt
dt
dex
de
Erinnerung: et = r =
= ×ex
dt
dt
x
v = VS + vS + x
v = VS + vS +
×ex + y
×er
×ey + z ' ×ez =
×r
×r
dVS
dv
dv
=
+
+
dt
dt
dt
v = x ex + y ey + z ez
a=
×
dr
dt
de
de
dv
dex
= x ex + y ey + z ez + x
+y y +z z
dt
dt
dt
dt
a
×v
a = AS + a + × (v + × r )
a = AS + a
+ 2 ×v
aC
Beschl. von S
relativ zu S
+
(Coriolisbeschl.)
w ×( ×r )
aZP = 2r er (Zentripetalbeschl.)
aZF = aZP (Zentrifugalbeschl.)
x
Falls wir tatsächlich die Beschleunigung in jedem System mit
y
z
(
F = ma = m AS + a + aC + aZP
)
F = ma
ma = F
mAS
Trägheitskraft
maC
maZp
Corioliskraft
Zentripetalkraft
Scheinkräfte
a) Falls a = 0 ; aber es gibt äussere echte Kräfte F .
F
FT
FC
FZf = 0
Dieses “Kräftegleichgewicht“ ist kein echtes Kräftegleichgewicht.
b) Falls die äussere Kraft F = 0 : 0
0
mAS
maC
FC
maZP = ma
im Allgemeinen a ! 0 FZF =
12
FT
maZP
FZF = ma
identifizieren, dann gilt:
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
x
Ursprung des Problems ist die Identifikation der Beschleunigung mit
y
in jedem Bezugssystem.
z
Tatsächlich: „wahre“ Beschleunigung:
aW = AS + a + 2 × v + x ( × r ) ! a
Nur in einem Inertialsystem gilt: aW =
x
y
F = maW
z
Erklärung für a)
Nur äussere Kräfte F1,2,... induzieren Beschleunigungen.
F1 + F2 +
= maW
im S : F1 + F2 +
= mAS + ma + maz + maZP
Es ist möglich, dass a = 0 .
Beispiel: Fallender Aufzug: S
v = 0,
=0
F = mg , AS = g
mg = mg + ma
a =0
Erklärung zu b)
Falls äussere Kräfte=0,
n
$ (F ) = 0
i
i =1
0 = maW = ma + mAS + maC + maZP
a = AS
aC
aZP
Das Foucaultpendel
Schwingungszeit des Pendels:
l
= 6.25s
g
Tp = 2
Während Tp dreht sich die Erde um den Winkel
in ZH:
=
"
E
sin
=
2
sin
24h
= 5.34 10 5 s
= Tp
"= 3.34 10
4
1
#s = 21 ac (#t )2
#t =
s=
1
2
Tp
2
, ac
v
"
#s
=# =
s
2
"
Tp2
+ v (mittlere Geschwindigkeit)
v =
4
s
#t
Tp
"
2
4.2 Galileisches (oder Newton’sches) Relativitätsprinzip
-
Zeit und Raum sind homogen und isotrop („Zeit und Raum sind absolut“)
13
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
-
Alle Inertialsysteme sind äquivalent für die Beschreibung der physikalischen Gesetze (es gibt keine
absolute Geschwindigkeit, bzw. kein ausgezeichnetes IS)
Ein Ereignis in Raum und Zeit ist charakterisiert durch 4 Zahlen
t, x , y, z . Mit einer Konstanten c, [c] = ms
[ct ] = m
ct
Koordinaten des Ereignisses E : x E =
x
y
z
Wir führen einen Vierervektor ein:
X µ , µ = 0 (Zeit), 1, 2, 3
X E = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )
=
VS
,VS .. Relativgeschwindigkeit eines Inertialsystems S bezüglich einem IS S.
c
Galileitransformation:
r =r
vS t = r
v =v
c
ct
a =a
ct = ct
Darstellung als Matrixtransformation:
XE
XE
X µ = MGµ
x
MG =
1
0 0 0
x
1 0 0
y
0 1 0
z
0 0 1
X 0 = 1 x 0 + 0 x 1 + 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = x 0 . ct = ct
X1 =
x
x 0 + 1 x1 + 0 x 2 + 0 x 3
x =
x
ct + x
Raum ist „absolut“ bedeutet: räumliche Längen sind in allen Inertialsystemen dieselben!
(#x )2 = #x 2 + #y 2 + #z 2 = (#x
2
)
= (#x
2
)
+ (#y
2
)
+ (#z
2
)
„Zeit ist absolut“ bedeutet: Zeitliche Intervalle sind in allen Inertialsystem dieselben!
#ct = ct =
Gleichzeitigkeit ist absolut!
Falls jetzt auch die Wechselwirkung invariant
F =F
F = ma = ma = F . Physik ist invariant.
ct
Sei q µ =
1 2
at
2
0
eine Lösung der Bewegungsgleichung in S.
0
Symmetrie der Dynamik: Auch q µ = MGµ q ist Lösung.
qµ =
ct
1at 2
2
, MG =
1 0
1
qµ =
ct
1at 2 + ct
2
Auch Lösung von F = mx
Welche Kräfte sind zugelassen? Nur solche, die vom Abstand r oder Relativgeschwindigkeit abhängen, oder
Konstant sind!
14
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
mM
FG = G
1
µ0
c=
r
FR = µ FN
2
= 3 108
FR = kvR (bei einer Kugel) FF = k #x
m
s
0
4.3 Spezielle Relativitätstheorie
Einstein’sches Relativitätsprinzip
- Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat den selben Wert relativ zu allen Inertialsystemen.
- Alle Inertialsysteme sind äquivalent für die Beschreibung der physikalischen Gesetze (es gibt kein
ausgezeichnetes IS, also keine absoluten Geschwindigkeiten (von MPen))
Was bedeuten die Axiome?
Aussendung eines Lichtsignals vom Ursprung O in ein Inertialsystem S.
l 2 = x 2 + y2 + z 2
l =c t
x 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2
c 2t 2
x2
y2
z2 = 0
Nach den Axiomen muss auch in einem anderen Inertialsystem S gelten:
x
2
c 2t
+y
2
2
2
+z
2
x
y
= c 2t
2
z
2
2
= 0 (c bleibt gleich und nicht die Distanz oder das Zeitintervall)
Frage: Welche Koordinatentransformation lässt obigen Ausdruck invariant?
Antwort: Die Lorentztransformation
Der entscheidende Punkt: ct = ct wurde aufgegeben!
In 2 Dimensionen:
x =
(x
ct =
(ct
ct )
=
x)
=
vs
c
0 /b /1
1
1
01
2
Als Matrix-Multiplikation:
0 0
x =
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
ct
x
x=
x
y
z
M E oder
xµ =
µ
x
Beachte: Symmetrie zwischen Raum und Zeit
1 0 0 0
MG =
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Für
vS
1
ME =
MG
c
2
2
2
2
(#ct ) (#x ) (#y ) (#z ) =
=
2
(#ct )
2
(#x )
2
(#y )
2
(#z )
= ±s 2 = const
Zeitdifferenzen und Längen müssen sich ändern, damit c gleich bleiben kann.
Minkowski-Diagamme:
15
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
(Skizzen)
x = (x
ct )
x = ct . ct =
ct = (ct
1
ct -Achse ist definiert durch x = 0
+t
x -Achse ist definiert durch ct = 0
+x
x
x)
ct = x
Gleichzeitigkeit
(Skizzen)
Massstäbe
(Skizze)
2 #t =0
2
(#ct )
2
(#x ) =
(#x ) = l 02 =
2
(0A)
Es gilt:
2
(#ct )
2
(#x ) = l02
2
(#x )
falls #ct =0
= l02
Achte auf die Längeneinheiten!
Längenkontraktion
(Skizze)
Zeitdilatation
(Skizze)
Bewegte Uhren bewegen sich langsamer.
Kausalität
(Skizze)
Vierervektoren
u0
Sei u =
u1
u2
u3
ein Vierervektor. Vierervektoren transformieren wie Koordinaten unter einer
Lorenztransformation, d.h., seien u µ die Komponenten eines Vierervektors im Inertialsystem S, dann
µ
sind in S : u µ =
u
und es gilt: u 2 := u 02
u12
u22
u32 = u
2
= u0 2
u1 2
u2 2
u 3 2 = const !
Skalarprodukt zweier Vierervektoren
u v = u 0 v0
u1 v1
u2 v2
u3 v3
Vierergeschwindigkeit
(Skizze)
Sinvoller Parameter zur Beschreibung der Weltlinien vom Massenpunkt m ist die Eigenzeit
16
.
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
dct
d
Die Vierergeschwindigkeit u =
dx
d
dy
d
dz
d
uµ =
c 2dt 2
dx µ
dt dx µ
d
d
d
2
2
(dx ) (dy )
=
2
1
2
2
(dz ) = (cd )
2
2
(dx ) + (dy ) + (dz )
d
=
2
2
c dt
dt
2
v
=
c
Sei
2
1
=
2
()
1
=:
2
2
=
die normierte Dreiergeschwindigkeit von m,
u2 =
2
(c 2
v2) =
2 2
(
2
c 1
)=c
Sei S ein Inertialsystem, das sich mit
1
c
vx
vy
vz
c
, dann gilt: u µ =
v
2
S
0
=
S
relativ zu S bewegt:
0
S
uµ =
µ
u ; uµ =
S S
S S
0
0
u =
vx c
S
1
S x
vy ,z
v =
1
S (
u
2
S x
c
0 0
vx
vy
vz
S
0
1 0
0
0 1
S
c
(1
S
0 0
S
=
v2
c2
1
a
2
S
c
)v =
1
=
)
x
1
=
v
(1
S
S
x
)
= c2
Beachte den Fall: vx = c
vx =
c
1
c
S
S
1
=c
Viererimpuls
Def: P = m 0 u
m 0 :Ruhemasse des Massenpunkts oder auch m bei ihm (Dissertori)!
m c
P =
m v
E
c
=
pR
Der relativistische Drehimpuls
pR =
mv
1
v2
c2
= mRv
mr =
m
v2
c2
1
Energie eines Massenpunktes:
E := cP0 = m c 2 =
Ruheenergie: v = 0
mc 2
1
2
=0
Ev =0 = E 0 = mc 2
Beachte:
17
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
Fm v
E =
c
mc 2
2
1
E
(
mc 2 1
2
)
1
2
mc 2 1 +
1
2
2
+ 0(
4
)
1
mv 2 (Ruheenergie + kinetische Energie)
2
mc 2 +
Quadrat des Viererimpulses:
P 2 = P02
P12
P22
P32 =
E2
c2
PR2 = const
Bestimmung der Konstanten: Gehe in ein Inertialsystem, wo
v =0
(
)
P2 v = 0 =
E 02
c2
Nun: Da P 2 = (mc )2 =
02 = (mc )2
E2
c2
PR2
P 2 = (mc )2
(
E 2 = c 2 PR + (mc )2
)
E = c PR2 + (mc )2
NB: In der Teilchenphysik; Natürliche Einheiten, d.h.
c = 1,
2
=1
2
P =m
E 2 = PR2 + m 2
Für massenlose Teilchen (z.B. Photonen) gilt:
P2 = Q
E = c PR ; PR =
E
c
v =c
Energie-Impulserhaltung:
A) 2 einlaufende Teilchen
Stoss
2 auslaufende Teilchen:
P1 + P2 = P3 + P4 gilt für alle Komponenten, d.h. P1µ + P2µ = P3 µ + P4 µ
0-Komponente: Energieerhaltung
1-3 Komponente: Impulserhaltung
B) Zufall eines Teilchens µ in 2 Teilchen b und c:
Pa = Pb + Pc
Ea = Eb + Ec ; pa = pc + pb
2
2
2
2
Pa2 = (ma c ) = (Pb + Pc ) = Pb2 + Pc2 + 2Pb Pc = (mbc ) + (mc c ) + 2Pb Pc
E E
Pb Pc = b 2 c Pa Pb
c
z.B. a in Ruhe: Pa = 0
Ea = ma c 2 ; pb = pc ; pb = pc
5 Arbeit und Energie
A) Definition von Arbeit
18
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
P2
W =
%F
dr
W ist ein Skalar [W ] = Nm = J
P1
2 Linienintegral
P2
W =
% (F
x
dx + Fy dy + Fz dz )
P1
B) Definition der Leistung
p=
dW
J
; [P ] = = Watt
dt
s
P=
d
dt
=
d
dt
t
%
F (r (t
)
dr (t
t0
)) =
d
dt
dr (t
t
% F r (t )
)
dt
dt
t0
t
% F (r (t )) v (t )
dt = F (r (t )) v (t ) = F v
t0
C) Anmerkung: Nur Komponente von F parallel zu dr trägt zur Arbeit bei, d.h.
W =0
Falls F " dr
Beispiele:
- bei gleichförmigen Kreisbewegung
- Masse wird Reibungsfrei auf Horizontalen bewegt: F dr = FG dr =
0
mg
dx
0
=0
D) Kinetische Energie
P2
W =
%F
P1
P2
dr =
%
P1
vP2
P2
dv
dv
m
dr = m %
dt
dt
P
v
dt = m % v
dv
vP1
1
vx (P2 )
vx (P2 )
1
'
(
= m ' % vx dvx + ( = mvx2 | vx (P1 ) +
2
'v
(
' x (P1 )
(
1
1
W = mv 2 (P2 )
mv 2 (P1 )
2
2
Definition: Kinetische Energie eines Massenpunktes mit Geschwindigkeit v
1
p2
mv 2 =
; p = mv für (v )
2
2m
W = E kin 2 E kin 1
Ekin =
c
E) Etwas Mathematik
a) der Gradient einer Funktion
Sei f (x , y, z ) eine skalare Funktion. Dann ist
grad f = 3f =
*f
*f
*f
ex +
ey +
ez =
*x
*y
*z
*f
*x
*f
*y
*f
*z
*
*x
2xy
z.B. f (x , y, z ) = x 2y + z 2
3f =
x2
2z
3f ist ein Vektor! Formal: 3 =
*
*y
*
*z
19
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
*f
*f
*f
dnx +
dny +
dnz =: (df )n
*x
*y
*z
totale Differential auf f in Richtung n
3f gibt die Richtung der maximalen Änderung von f an!
(df ) ist minimal, falls n || 3f
(3f ) dn =
b) Divergenz eines Vektorfeldes
Sei F (r ) ein Vektorfeld. Dann ist
div F = 3 F =
*Fy
*Fx
*F
+
+ z ; Skalar!
*x
*y
*z
c) Rotation eines Vektorfeldes:
*
*x
rot F = 3 × F =
*
*y
Fx
× Fy =
Fz
*
*z
*Fz
*y
*Fy
*z
*Fx
*z
*Fz
*x
*Fy
*x
*Fx
*y
d) Es gilt: rot (grad f ) = 0 , für skalare Funktion f.
Also: 3 × (3f ) =
Also:
*
*x
*
*y
*
*z
×
*2 f
*2 f
=
*y *z
*z *y
*f
*x
*f
*y
*f
*z
=
*2 f
*2 f
*z *y *y *z
3 × (3f ) = 0 !
e) Satz von Stokes:
Sei F (r ) ein Vektorfeld, dann gilt:
Falls rot F = 0
%F
%F
s
ds =
% (rot F )
dA
A
ds = 0
f) Satz von Gauss
%F
% (div F ) dV
dO =
O
(div=Divergenz)
V
O..Oberfläche, V..eingeschlossenes Volumen
div F = 0: ein quellenfreies Feld
F) Potentialfelder/Konservative Kraft(felder)
Sei F (r ) ein Kraftfeld, und sei U (r ) = U (x , y, z ) eine stetige Funktion, sodass gilt:
F (r ) =
3U
dann nennt man F (r ) ein konservatives Kraftfeld. U..Potentialfunktion. [U ] = Nm = J
Warum?
In diesem Fall gilt:
dx
dr = dy
P2
W =
%F
P1
P2
dr =
% (3U )dr
P1
= U (P1 ) U (P2 )
20
dz
=
P2
%
P1
*U
*U
*U
dx +
dy +
dz =
*x
*y
*z
U (P2 )
%
U (P1 )
dU
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
In diesem Fall: W hängt nur von Endpunkten ab. Zugeführte Arbeit entspricht der Abnahme der potetiellen
Energie.
%F
rot(
% (3U ) dr = % rot (3U )
dr =
)=0
dA =
0
A
G) Energiesatz der Mechanik
falls F
konservativ
1
1
W = mv22
mv12 = U (P1 ) U (P2 )
2
2
1
1
mv12 + U (P1 ) = mv22 + U (P2 ) = E gesamt
2
2
Gesamtenergie ist konstant
Siehe Tipler: Falls F = FK + FNK (K=Konservativ und NK=nicht Konservativ)
P2
Wges =
%
P2
F dr =
P1
%(
P2
)
%(
FK + FNK dr =
P1
P1
)
P2
(
)
FK dr + % FNK dr = #Ekin
P1
P2
%F
dr = #Ekin + #E pot
NK
P1
H) Diskussion der Potentialfunktion
3U = F (Skizze 10.01.2002 Seite 2)
Beachte: F = 3U : Für U = U + C , C = const ergibt sich dasselbe Kraftfeld: da 3C = 0 .
d.h.: 3U = 3 (U + C ) = 3U = F
Nullpunkt der Potentialfunktion ist nicht festgelegt und ist physikalisch nicht von
Relevanz, d.h. er ist nicht messbar.
I) Beispiel
r = r = x 2 + y2 + z 2
m m2
U (x , y, z ) = G 1
+U0
r
1
F = 3U = Gm1m13
,
r
(31) r 1 (3r )
1
3
=
r
r2
3r = 3
=
=
3
1
=
r
(
x 2 + y2 + z 2
ex +
x
x
y
ex +
er
r2
U 0 = const
3U 0 = 0
)
ey +
y
z
ey +
F = G
z
ez =
1
ez
x
r
y = = er
r
z
m1 m2
er (Zentralkraftfeld Gravitationskraft)
r2
Coulombkraft:
Ersetze G durch
1
4
, und m1,2 4 Q1,2 , Q1,2 ..Ladungen
0
Festlegung vonU 0 :
Oft:U 0 = lim U , setze U 0 = 0
r
)
21
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
d. h. um einen MP von r = r0 nach r = ) zu bringen, muss Arbeit
W = U (r0 ) U ()) = U (r0 ) aufgebracht werden.
U (r0 ) < 0
W < 0 Arbeit muss von aussen ins System gebracht werden.
Wenn MP von ) nach r0 läuft, verrichtet die Gravitationskraft
W2 = U ())
U (r0 ) > 0
kinetische Energie nimmt zu.
J) Beachte
Oft definiert: Potentialfunktion V
V = lim
g
0
1
U wobei k ..Kopplungskonstante
g
z. B.
1
m M
M
UG ;UG = G
VG = G
m
r
r
1
1 q Q
b) elektrostatisches Potential: VE = lim U E U E =
VE =
q 0 q
4 0 r
a) Gravitationspotential: VG = lim
g
0
1 Q
4 0 q
Beispiel klassische Mechanik (Energieerhaltung):
Tipler 39:
Anfangsenergie E1 = Ekin1 + U 1 = 0 + mgh
Energie auf Kuppe: E 2 = Ekin2 + U (a ) =
Energieerhaltung: E1 = E 2
m gh =
1
mv 2 (a ) + mga
2
1
m v 2 (a ) + m ga
2
Skie berühren die Kuppe:
FG = FZ
mg =
mvc2 (a )
a
vc2 (a ) = ag = 2g (h
a)
vc2 (a ) = ag
h=
3
a
2
Tipler 40:
1
mv12 + mga
2
1
E ( ) = mv 2 ( ) + mga cos E1 = E ( )
2
2
v ( ) = m12 + 2ga (1 cos )
E1 =
gerade nicht Abheben: mg =
mvc2 ( )
a
K) Weiteres Beispiel für Energieerhaltung
Entdeckung des Neutrinos
siehe Tipler, Essay, S. 216
Berechnung der möglichen Energiespektren:
Zerfall Nukleon
NA
Nukleon N B + e + X
(A, Z )
Fall A Es gibt kein X (
(A, Z + 1)
):
NB + e
p +e
Viererimpuls PA = PB + Pe , P..Viererimpuls
NA
n
Sei NA in Ruhe. d.h. pA = 0
22
v 2 (a ) = 2g (h
a)
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
2
PA = PB + Pe . PA2 = (PB + Pe )
E A = E B + Ee
2
(mAc ) = PB2 + Pe2 + 2PB P3
2
2
= (mB c ) + (mec ) + 2PB Pe
PA = PB + Pe = 0
PB = Pe , PB = Pe
(
PB Pe = 2
2
Ee2 = (pec ) + (me c 2 )
2
E 3 E 2 = (E A
(
2
(mAc )
Ee
c
PB Pe
2
(mec 2 )
Ee2
Ee2
(mec 2 ) )
2
2
2
E AEe
c2
2
(mB c ) + (me c ) =
A in Ruhe
EA = mAc 2
2
Ee =
2
(pec )
Ee ) Ee = E A Ee
2
E A Ee
c2
2PB Pe =
EB
c
)
2PB Pe = 2 PB0 Pe0
(mAc )
2
2
(mB c ) + (mec )
2mA
=:
#m 2
( -Zerfall)
2mA
Ee ist fixiert, allein gegeben durch die Massendifferenzen.
Nebenbemerkung:
Im Falle des -Zerfalls: N A
2
E =
NB +
. Masse des Protons: m = 0
2
(mAc )
(mB c )
2mA
Fall B
NB + e +
Neutrino existiert: N A
e
(
e
Anti-Elektron-Neutrino)
2
Annahme: m = 0 . P = 0
Wir wählen ein Bezugssystem, in dem gilt: pA = 0
pe + pB + p = pA = 0
Energie-Impulserhaltung:
PA = PB + Pe + P
2
PA2 = (mAc )
2
2
2
2
= (mBc ) + (mec ) + 2PB Pe + 2PB P + PeP
= (mBc ) + (mec ) + 2Pe (PB + P ) + 2PB P
2
2
Ee =
=
2
(mAc )
Ee EA
2
2 pe pA 2(mec )
c c
2
(mBc ) + (mec )
2PB P
2mA
#m
2
2PB P
2mA
/
#m 2
2mA
weil: PB P 0 0
Beweis:
PB P =
EB E
c c
pB
E
c
cos
23
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
PB P =
E
c
EB
c
pB
cos
EB
0 pB für mB = 0
c
EB
cos maximal für = 0
pB 0 0
c
#m 2
Ergebnis: Ee /
, E min = mec 2 wenn pe = 0
2mA
Spektrum in Ee , keine fixe Energie.
E 0 0;
Siehe z. B. Tipler Kap. 40.3; Ab. 40.6
6 Drehbewegungen
6.1 Der Drehimpuls
a) Definition:
L = r × p = mr × v [L ] = kg m 2 s
1
dL
dr
dp
=
×p +r ×
= r × F =: M M ..Drehmoment
dt
dt
dt
(Schreibweisen: D, oder )
Newtonsche Bewegungsgleihung für die Drehbewegung:
dp
dL
=F
= M vergleiche mit
dt
dt
Beachte:
Drehimpuls ist definiert bezüglich eines Ursprungs O.
Da:
v =
×r
L = m (r × v ) = mr × ( × r )
= m (r r ) m (
r )r
L = mr 2
Trägheitsmoment des MP: I = mr 2
b) Drehimpuls im Falle einer Kreisbewegung
r "p
r × p = r p = rmv = mr 2
= L
c) Drehimpulserhaltung
Beachte: Drehimpulserhaltung bedeutet: sowohl die Richtung als auch Betrag von L sind konstant.
dL
=0.M =0
dt
a) F = 0 kräftefrei
b) F r oder F
r Zentralkraft
r ×F = 0
d) Geometrische Interpretation des Drehimpulserhaltung:
dA :=
1
(dr × r )
2
Fläche des Dreiecks = dA
24
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
dA 1 dr
dr
=
× r + dr ×
2 dt
dt
dt
=0 ( parallel)
dA
1
= (v × r ) ; andererseits L = m (r × v ) = mv × r
dt
2
L
L
dA
.
=
2m
dt
2m
dA
=
dt
dA
= const
dt
Falls aber L konstant
in gleichen Zeitintervallen werden gleiche Flächen überstrichen.
entspricht dem 2. Kepler’schen Gesetz.
Beispiel (Experiment)
F1 = r 2 , F2 = R 2
r2
R2
=
= const
t1
t2
dF
= const
dt
t2 = 2t1
R=R 2
7 Mechanik des starren Körpers
7.1 Dynamik eines Systems von Massenpunkten
Bewegungsgleichung für i-ten Massenpunkt.
N
(F
miai = miri = $ Fik + Fext i
ik
k =1
k !i
N
$m r
i i
i =1
N
N
k =1 k =1
z. B. N = 2 : F12 + F21 = 0
d
dt 2
)
N
= $ $ Fik + $ Fext i
i =1
Achtung: 3. Newt. Axiom: Fki =
2
= Kraft i ausgeübt auf k
N
$m r
Fik
F21 = F12
= Fext
i i
i =1
Gesamtmasse des Systems M tot =
N
$m
i
i =1
d 2 M tot
dt 2 rtot
d2
$ miri = dt 2 M tot
$m r
i i
M tot
= M tot
d2
rs = Fext
dt 2
rs ..Ortsvektor des Massenschwerpunktes
N
$m r
i i
rs :=
i =1
N
$m
i
i =1
Durch Einführung des Schwerpunktes lässt sich die translative Bewegung des n-Teilchensystems auf
die Bewegung des Schwerpunktes zurückführen!
dvs
dp
= Fext oder s = Fext
dt
dt
drs
vs =
ps = M totvs
dt
M tot
25
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
Für interne Kräfte gilt: Kraft 4 Gegenkraft
Schwerpunktsatz:
Falls die Summe der äusseren Kräfte Fext auf ein System von MP verschwindet, bewegt sich der
Schwerpunkt geradlinig gleichförmig.
7.2 Verknüpfung von kinematischen und dynamischen Grössen eines N-TeilchenSystems im Labor und Schwerpunktsystem
a) Beachte
Das Schwerpunktsystem ist jenes System, dessen Ursprung sich im Massenschwerpunkt des NTeilchen-Systems befindet.
Der Ortsvektor des Schwerpunktes:
N
$m r
i i
rs =
M tot
i =1
(ri = Ortsvektor von MP i im S -System )
(s )
ri = rs + ri
rs =
N
M tot = $ mi
i =1
(s )
N
1
M tot
$ mi (rs + ri s ) =
( )
i =1
1
rs = rs +
M tot
N
$m r
(s )
$m r
rs
M tot
N
$ mi +
i =1
1
M tot
N
$m r
(s )
i i
i =1
(s )
i i
i
=0
i i
i =1
Konsequenz:
Betrachte Summe der Drehmomente, die die Schwerkraft ausübt bzgl. Schwerpunkt als
Rotationspunkt.
N
N
(
N
)
N
$ M i = $ ri s × Fi = $ (ri s × mig ) = $ (miri s × g ) =
i =1
i =1
( )
( )
( )
i =1
i =1
N
$m r
i i
(s )
×g = 0
i =1
Schwerkraft kann kein Drehmoment erzeugen, wenn der Rotationspunkt im Schwerpunkt
ist.
b) Geschwindigkeiten
im Labor-System:
dri
dr s
dr
= i + s =: vi s + vs
dt
dt
dt
2
MP i relativ zu S 2
$ mi vi
( )
vi =
( )
i
$ mi
i
c) Impuls
pi = mi vi = mivi s + mivs
( )
2 pi s Impuls rel. zu S
( )
$m v
i i
Aber es gilt: vs =
N
$ mi vi s =
( )
i =1
N
$m
$p
(s )
i
$m v
(s )
i i
=
i
i
$m
i
i
$m v
i s
+
i
$m
i
i
=0
i =1
Bzgl. des Schwerpunktes ist die Summe der Impulse 0 !
d) Energien
Kin. Energie
26
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
N
n
1
1
2
E kin = $ mivi2 = $
(pi s + mivs )
2
2
m
i =1
i =1
i
( )
=$
i
pi s 2
+
2mi
( )
$p
(s )
i
i
1
vs + $ mivs2
i 2
(s )2
pi
1
+ M totvs2
2
i 2mi
= innere kin. Energie + kin. Energie der Bewegung des Schwerpunktes
E kin = $
E kin
d.h. ein System, deren Schwerpunkt in Ruhe ist, kann trotzdem noch kin. Energie haben:
E kin = $
vs = 0
i
pi s 2
=
ˆ Temperatur
2mi
( )
e) Drehimpuls: (Siehe Übung)
L=
N
$r ×p
i
i
= Ls + rs × ps
i =1
L = Eigendrehimpuls + Impuls des Schwerpunktes bzgl. Laborsystem
f) Spezialfall: 2-Teilchensystem (n=2)
( )
Koordinaten bzgl. Schwerpunktes: ri s = ri
r1 s = r1
( )
r2 s =
( )
rs
m1r1 + m2r2
m2
m
=
(r1 + r2 ) = 2 r12
m1 + m 2
m1 + m2
M tot
m1
r12 ; es gilt: m1ri s + m2r2 s = 0
M tot
( )
( )
Geschwindigkeiten bzgl. Schwerpunkt:
d s
m d
m
r1 = 2
r12 = 2 v12 (v12 ..Relativgeschwindigkeit)
dt
M tot dt
M tot
m
1
Analog: v2s =
v12
M tot
v1s =
( )
( )
( )
Impulse:
p1s = m1v1s =
( )
( )
p2s =
( )
m1m2
1
1
1
v12 = µv12 µ..reduzierte Masse:
=
+
M tot
µ m1 m2
µv12 ; p1s + p2s = 0
( )
( )
Bewegungsgleichungen: (keine äusseren Kräfte)
dv1
= F12
d
1
1
dt
+
F12
(v1 vs ) =
dv2
dt
m1 m2
m2
= F21 = F12
dt
d
µ v12 = F12 d.h. jedes 2-Teilchensystem lässt sich auf ein 1-Teilchenproblem reduzieren,
dt
das sich mit Masse µ unter dem Einfluss der Kraft F12 mit v12 beschreiben lässt.
m1
Also: Lösungsvorgang
a) Berechne die Bewegung des Schwerpunktes
M tot
dv2
= Fext 5 falls = 0
dt
(
vs = const
)
b) Berechne die Bewegung des reduzierten Systems:
finde r12 (t ) , v12 (t ) aus µv12 = F12
c) Aus Kenntnis von rs (t ) und vs (t ) sowie von r12 (t ) und v12 (t ) , können r1,2s sowie r1,2 (t )
( )
berechnet werden.
Leichte Übung zum Herleiten:
27
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
-
Eigendrehimpuls des 2-Teilchensystems:
Ls = r12 × µv12
-
Innere kinetische Energie:
1
1
p2
p2
1
ps2
m1v12 + ms v22 = 1 + 2 = µv122 = 1
2
2
2m1 2m2
2
2µ
( )
s
E kin
=
( )
Einschub: 3-Teilchenproblem
m1r1 = F12 + F13 + Fext1
m2 r2 = F21 + F23 + Fext2
m 3r3 = F31 + F32 + Fext3
gekoppeltes System von Differentialgleichungen. Im allgemeinen nicht geschlossen (analytisch) lösbar
(aber z.B. mit Näherungen, bzw. numerisch)
System nicht reduzierbar auf einfaches System
Hingegen für N = 2 lösbar. (siehe 2-Teilchenproblem)
Herleitung der Drehimpulserhaltung
Totaler Drehimpuls: L =
N
$r ×p
i
i
i =1
N
N
dL
dr
dp
= $ i × pi + $ ri × i
dt
dt
i =1 dt
i =1
N
= vi × mivi + $ Fik + Fext i
k =1
i !k
N
N
N
= $ $ ri × Fik + $ ri × Fext i
i =1 k =1
i !k
i =1
N
dL
= $ M ext i =: M ext
dt
i =1
Beachte: ri = rs + r1 s
( )
dL
=
dt
N
$ (r
s
i =1
)
N
× Fext i + $ ri s × Fext i
( )
i =1
( s)
= rs × Fext + M ext
dLs
dt
= rs × Fext +
Energieerhaltung
Kraft auf MP i : Fi =
N
$F
ik
+ Fext i
k =1
i !k
Gesamtarbeit der externen und internen Kräfte bei Verschiebung des N-Teilchensystems von
Konfiguration A zur Konfiguration B .
W =
N
ri B
$% F
1
i =1 r A
i
28
dri =
N
N
riB
$$% F
ik
i =1 k =1 r A
i
i !k
N
ri B
dri + $ % Fext i dri
i =1 r A
i
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
B
Es gilt also: W = E kin
A
E kin
=
N
1
mi vi2 B
$
2
i =1
N
1
$2mv
2 A
i i
i =1
Nun: Annahme, die externen und internen Kräfte sind konservativ:
N
$F
ik
=
3U int i ( 5 Potential der inneren Wechselwirkungen für MP i )
k =1
i !k
Fext i =
3U ext i
Wint =
ext
N
$ (U
A
int, ext i
B
U int,
ext i )
Energieerhaltungssatz (siehe Folie)
i =1
Eigenenergie des Systems in Konfiguration A
N
$
A
E eigen
=
i =1
B
E eigen
1
A
mi vi2 A + U int
i
2
A
E eigen
=
N
$ (U
A
ext i
B
U ext
i ) = Wext
i =1
die Änderung der Energie eines Systems ist gleich der von den externen Kräften verrichteten
Arbeit!
Für ein isoliertes System gilt: Wext = 0
E eigen = const
Anwendung der Ergebnisse für N-Teilchen-Systeme auf: Teilchenstösse
a) 2-Teilchenstösse
Hier haben wir ein isoliertes System.
Energie-Impulserhaltung spielt eine Rolle. Sind die
Wechselwirkungskräfte auch konservativ, dann ist die Energie (Eigenenergie) und Impuls erhalten.
Im Laborsystem
Impulserhaltung:
pA = p1 + p2 = p1 + p2 = pE
Energieerhaltung:
E k1 + U int1 + E k2 + U int2 = E k1 + U int1 + E k2 + U int2
Definition: Q := U int1
U int1 + U int2
U int2
z.B. Reibungswärme, Deformationswärme, ausgesandte Lichtquanten (Photon), Anregungsenergie.
E k1 + E k2 = E k1 + E k2 + Q
oder:
p12
p2
p2
p2
+ 2 = 1 + 2 +Q
2m1
2m2
2m1
2m2
Im Schwerpunktsystem
p1s + p2s = 0 = p1 s + p2 s
( )
( )
( )
p1s 2
p s
= 1
2µ
2µ
( )
µ=
( )
( )
2
Q
m1m2
m1m2
;µ =
m1 + m2
m1 + m2
Im Schwerpunktsystem werden lediglich die Impulsvektoren gedreht. Jeder Stosspartner behält seine
kinetische Energie.
Beispiel
Zentraler Stoss (von Kugeln)
Es gilt: m1 = m1 ; m2 = m2
µ=µ
29
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
p1s 2
p s 2
= 1
2µ
2µ
( )
( )
p1 s = p1s
Q
( )
p1s 2
; Wegen
2µ
1+
( )
Q
E ks
( )
( )
E ks =
( )
da m1 = m1 : v1
Andererseits: v1
(s )
(s )
: p1 s =
=
= v1s
1+
( )
= v1
analog dazu: v2 = vs +
p1s
( )
Q
E ks
( )
Q
E ks
( )
m2
Q
v12 1 + s
M tot
Ek
v1 = vs
vs
1+
( )
( )
m1
Q
v12 1 + s
M tot
Ek
( )
M tot = m1 + m2 ; v12 = v1
v2
Spezialfälle:
I) vollkommen inelastischer Stoss, d.h. die gesamte kinetische Energie wird umgewandelt
in innere Energie. D.h.
s
Q = E kin
1+
( )
v1 = v2 = vs
z.B. v2 = 0
v2 =
Q
=0
E ks
( )
m1
v1
m1 + m2
II) Vollkommen elastischer Stoss: Q = 0
(m m ) v + 2m v
m2
v12 =
m +m
M tot
(m m ) v + 2m v
m
v2 = vs + 1 v12 =
m +m
M tot
v1 = vs
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
a)
2
1 1
2
m1 = m2 ; v2 = 0, v1 ! 0 (Billard)
v1 = 0, v2 = v1
b) m1 = m2 ; v1 = vA , v2 = vB
v1 = vB ; v2 = vA (Geschwindigkeitsaustausch)
c)
m2 = 2m1 , v1 = 0
v1 =
v1 , v2 = 23 v1
m1 ; v2 = 0 z. B. Stoss an einer Mauer
d) m2
v1 =
1
3
m1
m2
1 v1 + 2v2
m1
+1
m2
m1
v1
m2
v2 = m
m
1
+1 2
m2
m1
m2
0
m2
)
v1 = v1
2
)
v 2 = 0 v2 = 0
Beispiel: Moderation von schnellen Neutronen
Teilchen 1: Neutron, m1
30
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
Teilchen 2: Moderatoratom, m2 in Ruhe:
m1
m1v1 + m2v2
m
1
v1 =
v1 wobei A := 2
=
m1 + m2
m1 + m 2
m1
1+A
A
A
vs =
v1 ; v2s = v2 vs =
v1
1+A
1+A
vs bzw. v1 = v1 s + vs
Im Schwerpunktsystem: v2 =
v1s = v1
( )
( )
v1 s = v1
( )
( )
Betrachten elastischen Stoss: d.h. Q = 0
p1s 2
p s 2
= 1
2µ
2µ
( )
( )
p1s = p1 s
( )
v1s = v1 s
( )
( )
( )
Im Laborsystem
E k1 =
1
1
m1v12 ; E k1 = m1v1 2
2
2
Frage:
E k1
E k1
E k1
=:
#E k1
v1 = v1 s + vs
v1 2 = v1 s
( )
v1 2 =
=?
E k1
( )
A2 + 2A cos
+1
2
(1 + A)
2
v12
+ 2 v1 s vs cos
( )
#E k1
E k1
=
+ vs2
2A
2 (cos
(1 + A)
1)
Abhängigkeit vom Winkel:
#E k1
maximal (bzw. minimal)
E k1
:= (cos
für
d
d
=
1) maximal (bzw. minimal)
!
sin = 0
#E k1
E k1
=
Rückwärtsstreuung (zentraler Stoss)
0
4A
=
2
(1 + A)
Was ist in diesem Fall das optimale Massenverhältnis A2 ?
#E k1
d
dA
=
E k1
4A
!
d
2 =0
dA (1 + A)
A=1
Moderatoratom sollte dieselbe Masse haben wie das Neutron! Man nimmt z.B.
schweres Wasser. D2 O (1 Proton + 1 Neutron)
Was lernt man aus Teilchenstössen?
Änderung des Impulses bei einem Stoss:
+)
paus
pein = #p =
%
F (t ) dt (Kraftstoss)
)
Für Stösse gilt typisch:
F (t )
0 für t
±)
F (t ) ! 0 für #t, #t kleines Zeitintervall
#p =
% F (t ) dt
#t
Nun: Falls F (t ) =
#p =
3U (r (t ))
% 3U (r (t )) dt
#t
Aus #p (und Trajektorie) können Rückschlüsse auf U (r ) gezogen werden!
31
PHYSIK I – WS 2002/2003 – PROF. G. DISSERTORI
z. B. Stoss zweier Ladungen
Q1 Q2
r
U (r ) = const
Ladungsverteilung:
Q
Gesamtladung Q2 =
Bestimmung der Ladung bzw. Ladungsverteilungen.
(x ) (Ladungsdichte)
%
(x ) d 3 x
Q
V
U (x ) = const Q1 %
Q
(x )d 3x
x
V
x
r
8 Gravitationstheorie
Newton’sche Gravitationstheorie: Kraft zwischen 2 Massenpunkten m1 und m2
FG = G
m1 m 2
r
er ;U (r ) = G
2
m1 m 2
r
A) Ableitung der Ellipsen-Polargleichung:
Leitliniendefinition der Ellipse: r + r = 2a
r = 2a
r
Andererseits: r
(a 2
2
= (2a
2
r ) = 4a 2
2
= (r sin ) + (r cos
b2
a
1 + cos
=
<1
(Fortsetzung siehe 2. Semester)
2
+ 2e )
p
b2
; p :=
1 + cos
a
Polargleichung der Ellipse!
(Potentialgleichung für Kegelschnitt)
32
4ar + r 2
e 2 ) = b = r (a + cos )
r( )=
0/
2
r