Technische Mechanik 2

Klausurmusterbeispiel Technische Mechanik II
Gegeben:
System laut Skizze ( , Biegesteifigkeiten
Belastungen (
)
Gesucht:
Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen des Systems
Musterlösung TMII
, Dehnsteifigkeiten
)
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Lösung:
Das System ist einfach statisch unbestimmt – die Gleichgewichtsbedingungen alleine reichen zur
Ermittlung der Auflagerungsreaktionen nicht aus!
Durch Entfernen eines Zwanges und Ersetzen der entsprechenden Auflagerreaktion durch eine
unbekannte äußere Kraft wird das System statisch bestimmt (In diesem Schritt kann der
Rechenaufwand des Beispiels bereits durch geeignete Wahl verringert werden):
Dz
Dx
Ax
Az
Die zusätzlich erforderliche kinematische Zwangsbedingung liefert die fehlende 4. Gleichung:
(Die gesamte Vertikalverschiebung im Auflager D verschwindet im Originalsystem. Sie kann aus
der Superposition der Verschiebungen zufolge der einzelnen Lastfälle errechnet werden)
Auflagerreaktionen:
Musterlösung TMII
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Die Einzelverschiebungen werden im folgenden unter Anwendung des Prinzips der virtuellen
Kräfte (PVK) ermittelt. Dazu wird ein sogenanntes „~“ – System eingeführt, welches durch eine
Kraft 1 in Richtung der zu ermittelten Verschiebung (vertikal) belastet wird. Das „~“ – System
entspricht damit dem Lastfall
:
1
„~“ – System
Die Vertikalverschiebungen in D zufolge der einzelnen Lastfälle errechnen sich im vorliegenden
Fall aus der folgenden Formel:
(Wegen
ist eine Berücksichtigung der Normalkräfte in diesem Beispiel nicht
erforderlich.) Die Auswertung der Integrale erfordert die Kenntnis der Momentenverläufe im
System, sie wird bei der Klausur am besten mit Hilfe einer „Koppeltafel“ ausgeführt.
Momentenverläufe der einzelnen Lastfälle:
Lastfall
:
, usw.
Musterlösung TMII
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Lastfall :
Lastfall :
Lastfall
:
Musterlösung TMII
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Lastfall 1: wie
Berechnung der einzelnen Verschiebungen:
Dazu werden die Integrale korrespondierender Momentenverläufe von Lastfall und „~“ – System
mit Hilfe der Koppeltafel ausgewertet. Dies ist im Folgenden nur skizziert:
LF Dz:
Lastfall :
Lastfall :
Lastfall
:
Musterlösung TMII
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Durch Einsetzen in die kinematische Zwangsbedingung
kann die Auflagerkraft
Musterlösung TMII
,
des statisch bestimmten Originalsystems berechnet werden:
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Gegeben:
System laut Skizze (Abmessungen laut vorigem Beispiel, alle starren Stäbe
massebehaftet ( ), , , , Strecke D – E bleibt immer vertikal!)
Gesucht:
a) Bewegungsgleichung für große Winkel
b) Linearisierung um die statische Ruhelage
.
.
Lösung Teilfrage a)
Massenträgheitsmoment um Drehpunkt A (Anwendung des Satzes von Steiner!):
.
.
Feder- und Dämpferkraft (zeigen in negative z-Richtung, bleiben laut Angabe immer vertikal):
,
Musterlösung TMII
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Hebelarm
Bewegungsgleichung für große Winkel
(nichtlinear, Anwendung des Drallsatzes):
Lösung Teilfrage b)
Linearisierung: Kleine Schwingungen
um statische Ruhelage
Statische Ruhelage:
Weitere Vorgangsweise bei Linearisierung siehe Mathematik!
Musterlösung TMII
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