Aufgabe 1: Betrachten Sie nochmals den Graphen von Aufgabe 1

Übungsaufgaben zur Graphentheorie
SoS 2016
Prof. Dr. Klaus Berberich
Blatt 2
Aufgabe 1:
Betrachten Sie nochmals den Graphen von Aufgabe 1 des ersten Übungsblattes.
a) Geben Sie die schwachen sowie die starken Zusammenhangskomponenten des Graphen an.
b) Welche starken Zusammenhangskomponenten ergeben sich, wenn im Graphen die Kante
(2,4) entfernt wird?
Aufgabe 2:
a) Bilden Sie für die Adjazenzmatrix A des Graphen von Aufgabenblatt 1 das Matrizenprodukt
A 2 = A ⋅ A . Machen Sie sich klar, dass ein Eintrag bij in dieser Matrix genau dann ungleich 0
ist, wenn es einen Pfad von i nach j mit genau einem „Zwischenknoten“ gibt.
b) Zeigen Sie, dass das Ergebnis aus a) für einen beliebigen gerichteten Graphen gilt.
c) Man kann zeigen: für einen gerichteten Graphen mit n Knoten ist ein Eintrag bij in Ar
(0 < r < n) genau dann ungleich 0, wenn es einen Pfad von i nach j mit genau (r-1)
Zwischenknoten gibt. Beschreiben Sie unter Voraussetzung der Gültigkeit dieser Aussage
einen Algorithmus (kein Pseudocode), der für einen gerichteten Graphen ermittelt, welcher
Knoten von welchem anderen Knoten aus erreichbar ist. Geben Sie auch den asymptotischen
Aufwand Ihres Algorithmus im schlechtesten Fall in Abhängigkeit von der Knotenzahl n an.
Aufgabe 3:
Ein gewurzelter ternärer Baum ist ein gewurzelter Baum, bei dem jeder Knoten maximal drei Kinder
besitzt.
a) Sei V = {1,2,3,4,5}. Betrachten Sie alle gewurzelten ternären Bäume mit der Knotenmenge V und
der Wurzel 1. Skizzieren Sie zu jeder möglichen Höhe eines solchen Baumes einen Vertreter.
b) Ein gewurzelter ternärer Baum besitze 2000 Knoten. Welche Höhe besitzt der Baum mindestens?
Aufgabe 4:
Geben Sie für die in Aufgabe 2 von Blatt 1 formulierten beiden Algorithmen Pseudocode unter
Verwendung der in der Vorlesung angegebenen Datenstrukturen zur Speicherung eines Graphen
an.
0
1
2
3
4
col
dis
pre
q =
0
1
4
0
1
2
col
dis
pre
q =
0
1
2
3
4
col
dis
pre
q =
5
= [2|2|2|2|2|2]
= [0|1|2|2|3|3]
= [NIL|0|1|1|2|3]
<>
3
1
3
4
col
dis
pre
q =
5
= [2|2|2|1|1|0]
= [0|1|2|2|3|1]
= [NIL|0|1|1|2|NIL]
<4,3>
2
5
= [2|2|2|2|1|1]
= [0|1|2|2|3|3]
= [NIL|0|1|1|2|3]
<5,4>
1
4
col
dis
pre
q =
5
= [2|1|0|0|0|0]
= [0|1|1|1|1|1]
= [NIL|0|NIL|NIL|NIL|NIL]
<1>
2
0
3
4
col
dis
pre
q =
5
= [2|2|1|1|0|0]
= [0|1|2|2|1|1]
= [NIL|0|1|1|NIL|NIL]
<3,2>
3
4
0
3
1
2
5
= [1|0|0|0|0|0]
= [0|1|1|1|1|1]
= [NIL|NIL|NIL|NIL|NIL|NIL]
<0>
2
col
dis
pre
q =
0
5
= [2|2|2|2|2|1]
= [0|1|2|2|3|3]
= [NIL|0|1|1|2|3]
<5>