Ubungen zur Theoretischen Physik I WS 2006/2007 Blatt 3
Werbung
Übungen zur Theoretischen Physik I WS 2006/2007 Blatt 3 Abgabetermin: Donnerstag, 9.11.2005, Anfang der Vorlesung (d.h. spätestens 10:15) Aufgabe 1: Zylinder- und Kugelkoordinaten (5 Punkte) Geben Sie für die durch folgende Ortsvektoren charakterisierten Raumpunkte die Zylinderkoordinaten r, ϕ, z sowie die Kugelkoordinaten r, θ, ϕ an: 0 r1 = 0 3 1 r2 = √1 2 ; ; −1 r3 = 0 1 Aufgabe 2: Kugelkoordinaten (2+2+2+2+2 Punkte) Allgemeine dreidimensionale Bewegungen können in Kugelkoordinaten beschrieben werden: r sin θ cos ϕ r(t) = r sin θ sin ϕ r cos θ wobei r, θ und ϕ zeitabhängig sind. Hierzu ist es hilfreich, die Einheitsvektoren sin θ cos ϕ êr = sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ êθ = cos θ sin ϕ − sin θ ; ; − sin ϕ êϕ = cos ϕ 0 zu definieren. (a) Zeigen Sie, dass die so definierten Vektoren tatsächlich Einheitsvektoren sind und senkrecht aufeinander stehen. (b) Zeigen Sie, dass êr × êθ = êϕ . (c) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten die Form ṙ = ṙêr + r θ̇êθ + r sin θϕ̇êϕ annimmt. (d) Zeigen Sie, dass ê˙ r = θ̇êθ + sin θϕ̇êϕ ê˙ θ = ϕ̇ cos θêϕ − θ̇êr ê˙ ϕ = −ϕ̇ cos θêθ − sin θϕ̇êr (e) Geben Sie einen Ausdruck für die Beschleunigung in Kugelkoordinaten an. 1 Aufgabe 3: Freie Bewegung auf der Kugeloberfläche (5 Punkte) Stellen Sie die Newtonschen Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes der Masse m auf, der sich ohne weitere äußere Kräfte auf einer Kugeloberfläche mit Radius R bewegt. Zusatzaufgabe: Freie Bewegung auf der Kugeloberfläche (KEINE Punkte) Lösen Sie die Bewegungsgleichung in Aufgabe 3) [Hinweis: Drehimpuls] 2
