Elektromagnetische Wellen

Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Elektromagnetische Wellen
Alexander Rückosker
27. Januar 2013
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Inhaltsverzeichnis
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Elektromagnetische Wellen
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Literatur
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Divergenz:
div(M) =
n
X
∂M
i=1
div(M) =
∂xi
n
X
∂Mi
i=1
Rotation:
∂xi

rot(M) = ∇ × M =
∂M3
∂x2
 ∂M
 ∂x31
∂M2
∂x1
−
−
−

∂M2
∂x3
∂M3 
∂x1 
∂M1
∂x2
Laplace-Operator:
∆φ =
n
X
∂2φ
i=1
Alexander Rückosker
∂xi2
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Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Rechenregeln für Kreuzprodukte:
I
a × b = −(b × a)
I
λ(a × b) = (λa × b) = (a × λb)
I
Graßmann-Identität (GI):
a × (b × c) =< a, c > b− < a, b > c
Divergenz von Rotationsfeldern:
div(rot(M)) = 0
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Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
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Literatur
weitere Rechenregeln:
(R1):
rot(φM) = φ · rot(M) − M × ∇φ
(R2):
rot(rot(M)) = ∇(div(M)) − ∆M
(R3):
A · rot(B) = B · rot(A) − div(A × B)
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Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Gaußscher Satz(GS):
Z
Z
div(M) dΩ =
Ω
M · n dS
∂Ω
Satz von Stokes(SS):
I
Z
M dx =
rot(M) · n dS
∂A
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A
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Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Elektrische Ladung
I
Elektrische Ladungen werden in der Einheit C : Coloumb
angegeben
I
Ein Elektron hat eine negative Ladung e = 1, 6 ∗ 10−19 C und
eine Masse me = 9, 1 ∗ 10−31 kg
I
Ein Proton hat eine positive Ladung e = 1, 6 ∗ 10−19 C und
eine Masse mp = 16734, 9 ∗ 10−31 kg
I
Neutronen tragen keine Ladung
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Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Coulombsche Gesetz
Die elektrostatische Anziehungskraft bzw. Abstoßungskraft für
zwei Punktladungen qi , qj am Ort xi , xj ∈ R3 ist gegeben durch
das Coulombsche Gesetz
Fij =
qi qj
1
(xj − xi )
4π0 ||xj − xi ||32
F
und 0 = 8, 854 ∗ 10−12 m
Permittivität im Vakuum.(F: Farad)
Wobei mit der Indizesschreibweise zu verstehen ist, dass die
Ladung qi Kraft Fij auf die Ladung qj ausübt. Zum Beispiel:
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(1)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
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Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Elektrisches Feld
Um zu sehen, wie eine Punktladung qi auf dem ganzen Raum
Kräfte ausübt, betrachtet man das von der Punktladung erzeugte
elektrische Feld Ei , gegeben durch
Ei (x) =
Fij
qi
1
(x − xi ) ≡
.
3
4π0 ||x − xi ||2
qj
(2)
Das gesammte elektrische Feld resultiert aus der Summe der durch
Punktladungen {q1 , ..., qn } erzeugten elektrischen Felder:
X
E(x) =
Ei (x)
(3)
i
Hierbei ist zu erkennen, dass das Superpositionsprinzip für
elektrische Felder gilt.
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Herleitung der maxwellschen Gleichungen
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Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Elektrisches Feld
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Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Gaußsche Gesetz
Es wird jetzt der elektrischen Fluss durch ein Volumens V
betrachtet. Es gilt für den elektrischen Fluss φE mit q ∈
/ V:
x − xq
||x − xq ||22
3
div
−
3
=0
=
||x − xq ||32
||x − xq ||32
||x − xq ||52
⇒ div (E) = 0
Z
Z
(GS)
⇒ φE =
E · n dS =
div(E)dV = 0
∂V
V
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(4)
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Gaußsche Gesetz
Für den Fall, wo sich die Punktladung q innerhalb des Volumens
befindet und V 6= ∅ wird a > 0 als Radius der Kugel Ba (xq ) so
gewählt, dass es gilt Ba (xq ) ⊂ V . Daraus folgt:
Z
Z
Z
(GS)
div(E)dV
φE =
E · n dS =
div(E)dV +
Ba (xq )
∂V
V \Ba (xq )
{z
}
|
=0, da q ∈V
/ \Ba (xq )
(GS)
Z
E · n dS =
=
∂Ba (xq )
q
4π0 a2
Z
q
dS =
0
∂Ba (xq )
| {z }
=4πa2
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(5)
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Herleitung der maxwellschen Gleichungen
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Gaußsche Gesetz
Um das für alle möglichen Ladungsverteilungen zu verallgemeinern,
wir die Ladungsdichte eingeführt:
ρ(x) =
dq
dV
Nach dem Superpositionsprinzip für elektrische Felder gilt
demnach:
Z
ρ(xq )
1
E(x) =
(x − xq ) d 3 xq
4π0 R3 ||x − xq ||32
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(6)
(7)
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Gaußsche Gesetz
Unmittelbar aus (5) mit (7) folgt dann das Gaußsche Gesetz:
Z
Z
1
E · n dS =
ρ dV
(8)
0 V
∂V
Da das Gaußsche Gesetz für jedes beliebiges Volumen V gilt,
folgt daraus die erste maxwellsche Gleichung:
div (E) =
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ρ
0
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(9)
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Magnetfelder
I
Mit B wird die magnetische Flußdichte bezeichnet und wird in
der Einheit T : Tesla angegeben.
I
Magnetfeldlinien sind im Gegensatz zu den elektrischen
Feldlinien immer geschlossen und es gibt keine Monopole. Es
gilt aber das Superpositionsprinzip wie bei elektrischen
Feldern.
I
Bewegte Ladungen erzegen ein Magnetfeld.(Gesetz von Biot
und Savart)
I
Durch Magnetfeldwirkung auf bewegte Ladungen wird eine
Kraft auf die Ladungen ausgeübt. (Lorentz-Kraft)
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Magnetfeld einer bewegten Punktladung
Ein Magnetfeld wird durch bewegte Punktladung q erzeugt und
zwar gegeben durch das Gesetz:
x − xq
µ0
B(x) =
qv ×
,
(10)
4π
||x − xq ||32
wobei v der Geschindigkeitsvektor der Punktladung und
µ0 = 4π · 10−7 TA·m die Permeabilität des Vakuums ist.
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Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Gesetz von Biot und Savart
Um jetzt sich nicht nur auf einzelne bewegte Punktladungen zu
beschränken, führen wir die Stromdichte
j(x) = ρ(x) · vd (x)
(11)
ein, wobei vd mittlere Driftgeschwindigkeit des Ladungsträgers ist.
Damit bekommen wir aus (10) und dem Superpositionsprinzip für
Magnetfelder einen allgemeineren Ansatz für erzeugte
Magnetfelder:
Z x − xq
µ0
B(x) =
d 3 xq .
(12)
j(xq ) ×
4π V
||x − xq ||32
Die Gleichung wird als das Gesetz von Biot und Savart in der
Integralform bezeichnet.
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Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Gesetz von Biot und Savart
Beispiel:
B-Feld eines geraden Leiters
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Herleitung der zweiten maxwellschen Gleichung
Aus dem Gesetz von Biot und Savart wird nun die zweite
maxwellsche Gleichung hergeleitet. Es wird gezeigt, dass das
B-Feld ein Rotationsfeld ist. Dazu wird zuerst die Umformung
1
x−e
x
= −∇
||x − e
x||2
||x − e
x||32
benutzt.
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Herleitung der maxwellschen Gleichungen
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Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Herleitung der zweiten maxwellschen Gleichung
Damit kann das Gesetz von Biot und Savart (12) in folgende Form
umschrieben werden:
Z µ0
1
B(x) =
∇
× j(xq ) d 3 xq
4π V
||x − xq ||2
Z
Z
j(xq )
rot(j(xq )) 3
µ0
µ0
(R1)
3
d xq −
d xq
= ∇×
4π V ||x − xq ||2
4π V ||x − xq ||2
|
{z
} |
{z
}
=:Z(x)
=0, da rot(j(xq ))=0
= ∇ × Z = rot(Z)
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(13)
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erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Herleitung der zweiten maxwellschen Gleichung
Daraus folgt direkt die zweite maxwellsche Gleichung:
div(B) = div(rot(Z)) = 0
(14)
Physikalisch folgt daraus, dass der magnetische Fluss φB über ein
geschlossenes Volumen immer gleich 0 ist und somit ersichtlich,
wieso das magnetische Feld keine Monopole besitzt.
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zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Die Kontinuitätsgleichung der Ladungserhaltung
Der durch eine geschlossene Fläche hindurchtretende Gesamtstrom
ist gleich dem zeitlichen Ladungsverlust des von der Fläche
geschlossenen Volumens. Demnach gilt:
Z
Z
Z
Z
∂
(GS) ∂
0=
ρdV +
j dS =
ρdV +
div(j) dV
∂t V
∂t V
∂V
V
⇒
∂ρ
+ divj = 0
∂t
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(15)
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zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Ampèresche Gesetz
Durch Berechnung von rot(B) kann das Ampèresche Gesetz
direkt aus dem Gesetz von Biot und Savart abgeleitet werden
und zwar:
(R2)
rot(B) = rot(rot(Z)) = ∇(div(Z)) − ∆Z
Hinweis: Das Ampèresche Gesetz ist auf stationäre Ströme
eingeschränkt, d.h. div(j) = 0
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Elektromagnetische Wellen
(16)
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Literatur
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zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Ampèresche Gesetz
Lösung einer Poisson-Gleichung:
Sei
G (x, e
x) = −
1
1
+ F (x, e
x) mit ∆F (x, e
x) = 0
4π ||x − e
x||2
die Greensche Funktion, wo
Z
G (x, y)f (y)d 3 y
u(x) =
Ω
die Poisson-Gleichung ∆u = f erfüllt. Damit gilt:
Z
f = ∆u =
∆G (x, y)f (y)d 3 y
Ω
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(17)
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zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Ampèresche Gesetz
Es gilt dann mit (17):
Z
1
1
∆Z = −µ0
j(xq )∆ −
d 3 xq = −µ0 j(x)
4π
||x
−
x
||
q 2
V
(18)
Für stationäre Ströme gilt:
(18)
0 = div(j) = div(∆Z) = ∆(div(Z))
Damit erfüllt div(Z) die Laplace Gleichung ∀x ∈ R3 und
div(Z) −→ 0 für x −→ ∞, sodass es nach dem Maximumsprinzip
für Laplacegleichungen(Maxima und Minima werden am Rand
angenommen)
div(Z) = 0
(19)
gelten muss.
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Elektromagnetische Wellen
Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Das Ampèresche Gesetz
Damit folgt dann das Ampèresche Gesetz:
rot(B) = µ0 j(x)
(20)
Die Kontinuitätsgleichung der Ladungserhaltung wird durch das
Ampèresche Gesetz nicht erfüllt, da
(20)
(15)
0 = div(rot(B)) = µ0 · div(j) = −µ0 ·
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∂ρ
6= 0.
∂t
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Literatur
erste maxwellsche Gleichung
zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Herleitung der dritten maxwellschen Gleichung
Um das Problem mit den nicht stationären Strömen zu lösen,
erweiterte Maxwell das Ampèresche Gesetz mit dem
Verschiebungsstrom
∂E
jD = 0 ,
∂t
sodass daraus die dritte maxwellsche Gleichung
rot(B) = µ0 j +
1
1 ∂E
mit c0 = √
2
µ0 0
c0 ∂t
folgte. Damit wird die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Es gibt auch
andere Möglichkeiten das Ampèresche Gesetz zu erweitern, aber
experimentell wurde gezeigt, dass Maxwells Ansatz der richtige ist.
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Literatur
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zweite maxwellsche Gleichung
dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Faraday’sche Gesetz
Die elektrische Spannung ist definiert durch
I
E dx.
U=
(21)
C
Faraday fand experimentell raus, dass eine Spannung
induziert
R
wird, wenn sich der magnetische Fluss φM = A BdS durch die von
der Leiterschleife begrenzte Fläche ändert. Aus diesen
Erkenntnissen stellte er das Faraday’sche Gesetz auf:
Z
∂
Uind = −
B · n dS.
(22)
∂t A
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dritte maxwellsche Gleichung
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Faraday’sche Gesetz
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dritte maxwellsche Gleichung
vierte maxwellsche Gleichung
Herleitung der vierten maxwellschen Gleichung
Aus dem Faraday’sche Gesetz kann direkt abgeleitet werden:
Z
I
Z
∂B
(SS)
−
· n dS =
E dx =
rot(E) · n dS
(23)
A ∂t
∂A
A
Da es für jede beliebige Fläche A gilt, folgt die vierte
maxwellsche Gleichung:
rot(E) = −
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∂B
∂t
Elektromagnetische Wellen
(24)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
maxwellsche Gleichungen
Wir fassen nun die 4 maxwellschen Gleichungen zusammen:
ρ
0
(25)
div(B) = 0
(26)
div(E) =
∂B
∂t
1 ∂E
rot(B) = µ0 j + 2
c0 ∂t
rot(E) = −
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Elektromagnetische Wellen
(27)
(28)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lösung der elektromagnetische Wellen
Es werden elektromagnetischen Wellen im Vakuum abseits von
Ladungen und elektrischen Strömen betrachtet. Dazu werden die
quellfreien maxwellschen Gleichungen(d.h. ρ = 0 und j = 0)
verwendet. Um die Wellengleichungen zu bekommen, wird der
Laplace-Operator auf B und E angewandt:
1 ∂E (27) 1 ∂ 2 B
) = 2 2
c02 ∂t
c0 ∂t
(29)
∂B (28) 1 ∂ 2 E
(R2)
(25),(27)
∆E = ∇(div(E))−rot(rot(E)) = rot(
) = 2 2 (30)
∂t
c0 ∂t
(R2)
∆B = ∇(div(B)) − rot(rot(B))
(26),(28)
=
−rot(
Es ist zu sehen, dass B und E die Wellengleichung mit der
Geschwindigkeit c0 = √µ10 0 erfüllen.
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Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Bekannte elektromagnetische Wellen
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Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungen
Für die Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungen für eine
in z-Richtung ausbreitende Welle wird der folgende Ansatz gewählt:
E(r, t) = Ec (z)e iωt und B(r, t) = Bc (z)e iωt ,
(31)
wobei Ec (z) und Bc (z) komplexe Vektorfelder von z sind,
r = (x, y , z) und ω die konstante Kreisfrequenz ist. Durch
Einsetzen von (31) in die Wellengleichungen (29), (30) sieht man,
dass Ec (z) und Bc (z) folgende Form haben müssen:
Ec (z) = E0 e
±i cω z
0
und Bc (z) = B0 e
±i cω z
wobei E0 und B0 konstante komlexe Vektoren sind.
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Elektromagnetische Wellen
0
,
(32)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungen
Damit die ersten beiden maxwellschen Gleichung erfüllt sind, muss
gelten:
E0,z = 0 und B0,z = 0
(33)
Aus den dritten und vierten maxwellschen Gleichungen folgt:
B0,x = ±
1
1
E0,y und B0,y = ∓ E0,x
c0
c0
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(34)
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Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungen
Es wird der Vektor
ω
ω
k = 0, 0,
mit ||k||2 =
c0
c0
definiert, sodass
1
(k × E0 )
ω
und (31), (32) zu einer Lösung der elektromagnetischen
Wellengleichungen
B0 =
1
(k × E0 )e i(ωt−kr)
ω
zusammengefasst werden. Es gilt demnach:
E(r, t) = E0 e i(ωt−kr) und B(r, t) =
B=
1
(k × E), also: B⊥E, k⊥E, B⊥k
ω
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Elektromagnetische Wellen
(35)
(36)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungen
Für die Lösung wird nur der Realteil von B und E genommen, also:
E(r, t) = Re(E0 )cos(ωt − kr) − Im(E0 )sin(ωt − kr)
1
1
(k × Re(E0 ))cos(ωt − kr) − (k × Im(E0 ))sin(ωt − kr)
ω
ω
(37)
Für Im(E0 ) = 0 erhalten wir linear polarisierte Wellen, für
|Im(E0 )| = |Im(E0 )| zirkular polarisierte Wellen und für alles
andere elliptisch polarisierte Wellen.(Ausgenommen die triviale
Lösung E=B=0)
B(r, t) =
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Mathematische Grundlagen
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Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungen
Abbildung : links: linear polarisierte Welle, rechts: elliptisch polarisierte
Welle
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Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
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Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Lorentz-Kraft
Bewegt sich eine Punktladung q mit der Geschwidigkeit v
senkrecht zum B-Feld bzw. der Senkrechtkomponente des
B-Feldes, so wirkt die Lorentz-Kraft auf die Ladung q. Hierbei
gilt das Gesetz:
F = qv × B
(38)
Das Gesetz wird mit dem Coloumb-Gesetz für elektrische Felder
erweitert, verallgemeinert für verschiedene Ladungsverteilungen, so
folgt für die wirkende Kraft:
F = ρE + j × B
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Elektromagnetische Wellen
(39)
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Elektromagnetische Wellen
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Energie einer elektromagnetischen Welle
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Energie einer elektromagnetischen Welle
Mir der Kraft wird die Leistung
W = vd · F = ρvd · E + vd · (j × B) = E · j
| {z }
(40)
=0, da vd ⊥(j×B)
bestimmt. Für ein finites Volumen V ergibt sich dann die Leistung
Z
Z
1
∂E
(28)
WV =
E·j dV =
E·
rot(B) − 0
dV .
µ0
∂t
V
V
Z
Z
d 1
1
Produktregel
2
=
−
0
|E| dV +
E·rot(B) dV
dt 2
µ0 V
V
Z
Z
Z
d 1
1
1
(R3),(27)
0
= −
|E|2 dV +
|B|2 dV −
(E×B)·n dS
dt 2
2µ0 V
µ0 ∂V
V
(41)
Alexander Rückosker
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Mathematische Grundlagen
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Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Energie einer elektromagnetischen Welle
Es wird angenommen, dass die Ladungen und Ströme durch ein
Volumen beschränkt sind und keine elektromagnetische Wellen die
Energie ins Unendliche abstrahlen. Dann kann für ein ausreichend
großes Volumen der rechte Term bei (41) vernachlässigt werden.
So lässt sich die Energie
Z
Z
Z
1
1
|E|2 dV +
EV = − PV dt = 0
|B|2 dV
(42)
2
2µ
0 V
V
folgern und damit auch die Energiedichte
1
1
|B|2 .
J = 0 |E|2 +
2
2µ0
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
(43)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Energie einer elektromagnetischen Welle
Für elektromagnetische Wellle folgt aus
B=
1
(k × E) und Bz = Ez = 0,
ω
dass es
|E|2 = c02 |B|2
(44)
gelten muss. Damit folgt aus (43) die Energiedichte einer
elektromagnetischen Welle:
JW = 0 |E|2 =
Alexander Rückosker
1
|B|2
µ0
Elektromagnetische Wellen
(45)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Energie einer elektromagnetischen Welle
Indem
2
< |E| >=
und
R T + 2π
ω
T
|E|2 dt
2π
ω
1
= |E0 |2
2
1
(43)
(43) 1
< |B|2 > = c02 < |E|2 >= c02 |E0 |2 = |B0 |2
2
2
(46)
(47)
berechnet wird, werden die durchschnittlichen |E|2 und |B|2 über
eine Wellenphase [T , T + 2π
ω ] erhalten. Daraus folgt letztendlich
mit (45) die durchschnittliche Energiedichte einer
elektromagnetischen Welle:
< JW >= 0 < |E|2 >=
1
1
1
< |B|2 >= 0 |E0 |2 =
|B0 |2
µ0
2
2µ0
(48)
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Energie einer elektromagnetischen Welle
Der Poynting Vektor ist definiert durch
P=
1
(E × B)
µ0
(49)
und beschreibt den Energiefluss(Leistung) durch die Einheitsfläche
senkrecht zu seiner Richtung. Für elektromagnetische Welle ergibt
sich dann der folgende Poynting Vektor:
P0 =
(GI )
=
1
1
1
(E × B) =
(E × (k × E))
µ0
µ0
ω
1
1 k
(|E|2 k − < E, k > E) =
|E|2
|
{z
}
µ0 ω
µ0 c0 |k|
=0
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
(50)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Energie einer elektromagnetischen Welle
Aus (50) wird dann der durchschnittliche Energiefluss einer
elektromagnetischen Welle durch die Einheitsfläche bestimmt:
< P0 >=
1
k
k
(43) c0
|E0 |2 =
|B0 |2
2µ0 c0 ||k||2
2µ0 ||k||2
(51)
Die Gruppengeschwindigkeit, mit der die Energie transportiert
wird, lautet dann:
cg =
< P0 >
k
= c0
< JW >
||k||2
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
(52)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Verhalten von elektromagnetischen Wellen in Flüssigkeiten
und Festkörpern
I
Bis jetzt nur elektromagnetische Wellen im Vakuum
betrachtet.
I
Bei Gasen ist das Verhalten der elektromagnetischen Wellen
ähnlich zu den im Vakuum, zu bestimmen Gastemperaturen
sogar fast identisch wie im Vakuum.
I
Bei Flüssigkeiten und Festkörpern sieht das anders aus, dazu
müssen die maxwellschen Gleichungen modifiziert werden.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Leiter und Isolatoren
I
Flüssigkeiten und Festkörper sind keine passiven Träger von
elektromagentischen Wellen, wie es z.B. bei den Gasen der
Fall ist.
I
Isolatoren sind Festkörper oder Flüssigkeiten bei denen die
Elektronen fest an Atome gebunden sind, sodass kein
Stromfluss stattfinden kann.
I
Leiter sind Festkörper oder Flüssigkeiten, wo Elektronen bis
zu einem gewissen Grad frei beweglich sind.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
maxwellsche Gleichungen für Flüssigkeiten und Festkörper
Zum Zwecke der Modellierung von elektromagnetischen Wellen in
Flüssigkeiten und Festkörpern werden die maxwellschen
Gleichungen (25)-(28) zu
div(D) = ρ
(53)
div(B) = 0
(54)
∂B
∂t
1 ∂D
rot(H) = µ0 j + 2
c0 ∂t
rot(E) = −
mit µ0 H = B − M, D = 0 E + P
modifiziert.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
(55)
(56)
(57)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
maxwellsche Gleichungen für Flüssigkeiten und Festkörper
Hier ist P das elektrische Dipolmoment per Einheitsvolumen und
M das magentische Dipolmoment per Einheitsvolumen. Diese zwei
Größen sind materialabhngig, wobei bei nicht magentischen
Materialien M = 0 gilt. Jedoch bei isotropischen Materialien und
ausreichend schwachen elektromagnetischen Wellen gilt anstatt
(57) ein linearer Zusammenhang
µH = B und D = E
mit als dielektrische Konstante des Materials und µ als die
magentische Permeabilität.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
(58)
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Metalle als Leiter und Ohmsches Gesetz
Bei Metallen sind die Elektronen in der äußeren Atomhülle sehr
schwach gebunden, sodass durch Einfluss eines elektrischen Feldes
zu einem Elektronenfluss, also Strom kommt. Eine gute
Approximation bei den meisten Metallen, um diesen Prozess zu
beschreiben, liefert das Ohmsche Gesetz:
j = σE,
(59)
S
(S:
wobei σ die elektrische Leitfähigkeit ist und in der Einheit m
Siemens) angegeben wird. Der Prozess kann auch bei polaren
Flüssigkeiten, ionischen Stoffen, ionisierten Gasen vorkommen.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Metalle als Leiter und Ohmsches Gesetz
Aus der Kontinuitätsgleichung der Ladungserhaltung (15) und der
ersten maxwellschen Gleichung (53) folgt die Gleichung:
∂ρ
σ
= −div(j) = −σdiv(E) = − ρ
∂t
(60)
Lösung dieser DGL lautet:
t
ρ(x, t) = ρ(x, 0)e − τσ mit τσ =
σ
(61)
Falls im Leiter eine Anfangsladung befindet, so zerfällt sie mit der
Zeit t −→ ∞ gegen 0. Je größer τσ , um so besser kann die Ladung
sich durch den Leiter bewegen und das innere elektrische Feld
E −→ 0.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Elektromagnetische Wellen in Leitern
I
Bei perfekten Leitern ist die Leitfähigkeiten σ gleich ∞, d.h.
die Ladung kann widerstandsfrei durchfließen und im Inneren
das elektromagentische Feld gleich 0 ist, sodass es zur
Reflektion der elektromagnetischen Wellen kommt.
I
Bei perfekten Isolatoren sind Elektronen an ihre Atomkerne
festgebunden, sodass es zu keinem Ladungsfluss kommen
kann. Also gilt ρ = 0 und j = 0. Elektromagentische Wellen
können sich ungehindert ausbreiten. Jedoch können sie
gebrochen werden.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Lösung der elektromagnetische Wellen
Energie einer elektromagnetischen Welle
Elektromagnetische Wellen in Leitern und Isolatoren
Elektromagnetische Wellen in Leitern
I
In der Realität sind die Materialien keine perfekten Leiter und
keine perfekte Isolatoren. Für elektromagnetische Wellen in
Leitern und Isolatoren ist es aber sinnvoll in diesen zwei
Idealfällen zu betrachten.
I
Elektromagnetische Wellen werden nach schon bekannten
Ansatz modelliert. Es wird nur c0 durch c = √1µ ersetzt,
wobei und µ sind hier materialabhängige Konstanten.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Literatur
I
Billingham/King: Wave Motion
I
Eckhard Rebhan: Theoretische Physik 1
I
Paul A. Tipler: Physik
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen
Mathematische Grundlagen
Herleitung der maxwellschen Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Literatur
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit.
Alexander Rückosker
Elektromagnetische Wellen