Geometrie Minkowski RaumZeit
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Maxwell mit Minkowski Max Camenzind Uni Würzburg Senioren 2015 Vektorfelder in 3 Dimensionen F(t,x) = (Fx,Fy,Fz) Satz von Gauß Quelle Fluss Die Massenerhaltung Ein Nettomassenfluss M durch die festen Volumenberandungen führt zu einer Massen- und damit Dichteänderung innerhalb des Volumens. Massenerhaltung = Kontinuitätsglg v t Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) Magnetfeldfluss 1 Weber = 1 Tm² Sogenannte Wirbelfelder Wirbelfeld am Nordpol des Saturn Zur Erinnerung: Das Vektor(Kreuz)produkt Zur Erinnerung: Der Epsilon-Tensor Wirbelfelder Rotation ≠ 0 Die Rotation eines Vektorfeldes Berechnen wie ein Kreuzprodukt Identität mit rot rot und div rot , , , Der Stokesche Satz Er besagt, dass ein Flächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes F in ein geschlossenes Kurvenintegral über die Tangentialkomponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Dies ist hilfreich, da das Kurvenintegral das Vektorfeld allein enthält und in der Regel einfacher zu berechnen ist als Flächenintegrale, zumal dann, wenn die betrachtete Fläche gekrümmt ist. Flächenintegral Zirkulation Die Maxwell-Gleichungen 1865 Elektrische Felder E und magnetische Induktion B beschreiben elektromagnetische Phänomene vollständig Inhalt der Maxwell-Gleichungen Die Kopplungskonstanten Permeabilität µ0 & Feldkonstante e0 Abkürzungen: Standardmodell ? Das Gauß`sche Gesetz Der Gauß`sche Satz besagt, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche gleich der darin enthaltenen Ladung Q ist. Ladungen erzeugen elektrische Felder Quelle eines Magnetfeldes rot B = µ0 j Ströme erzeugen Magnetfelder rot B = µ0 j Dipol-Magnet des LHC CERN 8 T p p Wie werden Teilchen um die Kurve gelenkt ? Geht nur mit magnetischen Feldern B! Elektrische Kraft Magnetische Kraft Dipolfeld der Erde - Divergenzfrei div B = 0 B =xA A: Vektorpotenzial Quelle eines Magnetfeldes rot B = µ0 j Stokes impliziert: Gesamte Strom durch die Fläche A erzeugt die Magnetschleife B Die magnetische Induktion Der magnetische Fluss FB Stokes magnetische Induktion In einem Gedankenexperiment wird aus drei Kupferstäben eine Anordnung gebaut, die mit einer Leiterschleife vergleichbar ist, deren vom Feld durchsetzte Fläche jedoch durch Verschieben des quer liegenden Leiters leicht verändert werden kann. Bewegt man den Stab nach rechts, so erfahren die Elektronen in seinem Inneren nach der Recht-Hand-Regel eine Lorentz-Kraft vom Betrag FL = e⋅v⋅B zum Betrachter hin. Es kommt also zu einer Ladungstrennung Spannung U. Faraday Induktion integral Die induzierte Spannung in einer Leiterschleife ist das Negative der magnet. Flussänderung in der Schleife. Maxwell-Gleichungen integral Homogene Maxwell-Gleichungen in Komponenten Diese Gleichungen kann man in geschlossener Form schreiben. Der Faraday-Tensor = 4x4 Matrix m,n = 0,1,2,3 Zyklisch 012, … Der transponierte Faraday-Tensor Inhomogene Maxwell-Gleichungen sog. Yang-Mills-Gleichungen jn = (c, j) ∂n jn = 0 Elektromagnetische Wellen Vakuum Wellengleichung Elektromagnetische Wellen in x-Rtg w² = c² k² , c² = 1/µ0e0 Elektromagnetische Wellen Wellen propagieren mit Geschw. c Ausbreitungsgeschwindigkeit Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Wellen Vakuum Wirbelfelder induzieren sich gegenseitig Dipole Elektromagnetische Wellen Hertzsche Wirbelfelder: divE = 0 = divB EM Wellen – Hertzscher Dipol Energiedichte einer Welle Elektrisches Feld Sonnenstrahlung: Der Poynting-Vektor S S 1 m0 EB • Dies ist ein Maß für den Energiefluss durch die Fläche. Einheit: Watt pro Meter2. • Richtung des Energieflusses ist in der Ausbreitungsrichtung k der Welle. Der Poynting-Vektor S • Da E und B senkrecht aufeinander stehen S 1 m0 EB E and since c B 1 2 c 2 S E B cm 0 m0 Beschleunigung in stehenden elektrischen Wellen Supraleitender Hohlraumresonator aus Niob zur Beschleunigung von Elektronen (TESLA-Projekt DESY). Der neunzellige Resonator von 1,25 m Länge hat die Resonanzfrequenz 1,3 GHz; E = 25 MV/m Supraleitender Hohlraumresonator Elektronen im Speicherring E >> mc² mec² = 0,511 MeV E = 100 GeV
