Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger Dies ist die Sammlung des

Exp. Phys. 5, WS16/17 Denninger
skript_12_12_2016
Dies ist die Sammlung des Materials von Dienstag, 29.11. bis Freitag 09.12.2016.
Inhalt:
1.
kristallstruktur.pdf
Seite 2
Einführung in die wichtigsten Kristallstrukturen
2.
graphene.pdf
Seite 8
Graphene als Beispiel eines 2-D Kristalls
3.
graphene_lattice.pdf
Seite 18
Beschreibung des Graphen Netzes mit Gitter und Basis
4.
beugungs_sonden.pdf
Seite 24
Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Beugungssonden
5.
beugungs_intro.pdf
Seite 28
Einführung in Beugungsmethoden
6.
bragg_beugung.pdf
Seite 33
Die Bragg'sche Formulierung der Beugung
7.
laue_beugung.pdf
Die Laue'sche Formulierung der Beugung
Seite 1
Seite 37
kristallstruktur.jnt
Seite 2
Seite 3
Seite 4
Seite 5
Seite 6
Seite 7
graphene.jnt
benzene
anthracene
naphtalene
pyrene
Seite 8
Seite 9
Seite 10
Seite 11
Seite 12
Seite 13
Seite 14
Seite 15
Seite 16
Seite 17
GAWD's MATLAB Analysen
Das Graphen-Gitter
Schaut man Graphen im Ortsraum oberflächlich an, dann hat man den Eindruck einer hexagonalen
Struktur. Dies ist jedoch nicht der Fall, denn im Zentrum jedes Hexagons ist eben kein C-Atom! Das
Gitter ist vielmehr ein "Honigwaben-Gitter".
a1=[1 0];
a2=[0.5 –sqrt(3)/2];
b1=[0 0];
b2=(2/3)*(a1+a2);
Jetzt erzeugen wir z.B. 20*20 Einheitszellen:
Nx=20;
Ny=20;
x=zeros(1,2*Nx*Ny);
y=zeros(1,2*Nx*Ny);
ind=0;
for i1=1:Nx
for i2=1:Ny
ind=ind+1;
x(ind)=(i1-1)*a1(1)+(i2-1)*a2(1)+b1(1);
y(ind)=(i1-1)*a1(2)+(i2-1)*a2(2)+b1(2);
ind=ind+1;
x(ind)=(i1-1)*a1(1)+(i2-1)*a2(1)+b2(1);
y(ind)=(i1-1)*a1(2)+(i2-1)*a2(2)+b2(2);
end
end
plot(x,y,'ro','Linewidth',2);axis([10 20 -15 -5]);
'graphene_lattice.doc'
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GAWD's MATLAB Analysen
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Jetzt
tic;
Nxx=1024;
Nyy=1024;
xx=linspace(10,20,Nxx);
yy=linspace(-16,-6,Nyy);
rho=zeros(Nxx,Nyy);
for i3=1:800
if( (x(i3) >=10) && (x(i3)<=20))
if( (y(i3) >=-16) && (y(i3)<=-6))
for i1=1:Nxx
for i2=1:Nyy
rr=(xx(i1)-x(i3))^2+(yy(i2)-y(i3))^2;
rho(i1,i2)=rho(i1,i2)+exp(-10*rr);
end
end
end
end
end
toc,
Elapsed time is 1008.440921 seconds.
meshc(rho);
'graphene_lattice.doc'
8.12.2016 GAWD
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GAWD's MATLAB Analysen
So sieht die Ladungsdichte aus.
pcolor(rho);shading('interp');colorbar();
'graphene_lattice.doc'
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GAWD's MATLAB Analysen
Man erkennt die Honigwabenstruktur.
mittelwert=sum(sum(rho))/(Nxx*Nyy),
mittelwert =
0.7078
rho=rho-mittelwert;
tic;
rho_fft=fft2(rho);
toc,
rho_fft=fftshift(rho_fft);
kx=linspace(-0.05,0.05,Nxx);
ky=linspace(-0.05,0.05,Nyy);
Elapsed time is 0.081016 seconds.
pcolor(kx,ky,sqrt(abs(rho_fft).^2));shading('interp');axis([-0.004 0.004 -0.004
0.004]);colorbar();
'graphene_lattice.doc'
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GAWD's MATLAB Analysen
Im Wesentlichen sieht man Punkte im reziproken Gitter.
rho_log=10*log10(sqrt(abs(rho_fft).^2));
for i1=1:Nxx
for i2=1:Nyy
if(rho_log(i1,i2) < 30)
rho_log(i1,i2)= 30;
end
end
end
pcolor(kx,ky,rho_log);shading('interp');axis([-0.004 0.004 -0.004
0.004]);colorbar();
'graphene_lattice.doc'
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GAWD's MATLAB Analysen
'graphene_lattice.doc'
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GAWD's MATLAB Analysen
Sonden für Beugungsexperimente
Zur Strukturbestimmung durch Beugungsmethoden kommen alle Teilchen (auch Photonen sind in diesem
Sinne Teilchen) in Frage, welche eine (am besten einstellbare) Wellenlänge im Bereich der relevanten
Atomabstände haben.
Die Wellenlänge eines Teilchens ist universell durch die de Broglie Beziehung gegeben:

h
p
Dabei ist h die Planck'sche Konstante und p der Impuls des Teilchens. Diese Beziehung hat
universelle Gültigkeit und ist ohne Einschränkungen anwendbar.
In vielen Fällen möchte man jedoch den Impuls durch die Energie des Teilchens ausdrüchken, und dann
die Wellenlänge als Funktion der Energie bestimmen. Dazu benutzt man auch die allgemein gültige
Energie-Impulsbeziehung:
E 2  p 2c 2  m 02  c 4
Hier ist m0 die Ruhemasse und c die Lichtgeschwindigkeit.
Wir unterscheiden jetzt Teilchen ohne Ruhemasse (m0 = 0 ) und Teilchen mit Ruhemasse (m0  0).
1. Teilchen ohne Ruhemasse (z.B. Photonen)
E  p c
Für Photonen ist der Impuls p  k 
Damit wird dann die Wellenlänge:

hc
E
h  h f

Misst man die Energie in eV, dann gilt:
SI_e=1.602176462e-19;
SI_h=6.62606876e-34;
SI_c=299792458;
fact_photon=SI_h*SI_c/SI_e,
fact_photon =
1.2398e-006
Die Wellenlänge bei Photonen ist also: 1.2398m/E(eV).
NE=1000;
E=logspace(1,6,NE);
lambda=fact_photon./E;
loglog(E,lambda*1e9,'Linewidth',3);xlabel('Energie /eV');ylabel('Wellenlänge /nm');
'beugungs_sonden.doc'
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Wellenlänge /nm
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Energie /eV
Man benötigt also Photonenenergien von etwa 10 keVund mehr, um Wellenlängen im Bereich der
Atomabstände zu haben.
Bei 10 keV Photonenenergie ist die Wellenlänge gerade 0.12398 nm. Dies liegt im Bereich der relevanten
Atomabstände in Festkörpern.
2. Teilchen mit Ruhemasse m0.
Hier unterscheiden wir jetzt noch die Bereiche niedriger Energie ( Ekin << m0c2) und die Bereiche hoher
Energie. Die Energie E ist die Summe aus Ruhenergie und kinetischer Energie.
E  m0c 2  Ekin
Damit ist dann:
2
E 2   m0c 2  Ekin  2  m02 c 4  2m0c 2  Ekin  Ekin
Relevant für die Beugung an Festkörpern ist der Bereich niedriger Energie (Ekin << m0c2). Dort kann man
sich auf die ersten beiden Terme beschränken
2
E 2  m02 c 4  2m0c 2  Ekin
 p 2c 2  m02 c 4
'beugungs_sonden.doc'
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p 2c 2
p2
Ekin 

2m 0c 2 2m 0
Somit wird:
p  2m0 Ekin
und somit:
, und für die Wellenlänge hat man:
h
2m0 Ekin

Die kinetische Energie der Teilchen wird meistens in eV angegeben, und somit hat man:
a) Für Elektronen und Neutronen:
SI_me=9.10938188e-31;
SI_mn=1.67492716e-27;
fact_elektronen=SI_h/sqrt(2*SI_me*SI_e),
fact_neutronen=SI_h/sqrt(2*SI_mn*SI_e),
fact_elektronen = 1.2264e-009
fact_neutronen = 2.8601e-011
lambda_elektronen=fact_elektronen./sqrt(E);
lambda_neutronen=fact_neutronen./sqrt(E);
loglog(E,lambda_elektronen*1e9,'b-',E,lambda_neutronen*1e9,'r','Linewidth',3);xlabel('Energie /eV');ylabel('Wellenlänge /nm');
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Wellenlänge /nm
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Energie /eV
'beugungs_sonden.doc'
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GAWD's MATLAB Analysen
Während die Wellenlängen für Elektronen im Bereich bis ca. 100 eV (langsame Elektronen) durchaus im
richtigen Bereich der Atomabstände liegen, muss man für Neutronen zu deutlich niedrigeren Energien
gehen.
Eneutron=logspace(-3,2,NE);
lambda_neutronen=fact_neutronen./sqrt(Eneutron);
loglog(Eneutron,lambda_neutronen*1e9,'r-','Linewidth',3);xlabel('Energie
/eV');ylabel('Wellenlänge /nm');
0
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Wellenlänge /nm
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Energie /eV
Bei Neutronen muss die Energie im Bereich von ca. 10 meV bis 100 meV liegen, um die Wellenlängen in
den für die Streuung an Festkörpern relavanten Bereich zu bringen.
Neutronen mit dieser niedrigen Energie nennt man "thermische Neutronen".
'beugungs_sonden.doc'
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bragg_beugung.jnt
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laue_beugung.jnt
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