Einführung Supersymmetrie

Einführung Supersymmetrie
Katharina Müller
Universität Zürich
[email protected]
28. Juni 2002
Kapitel 1
Beyond the Standard Model
Das Standardmodell SU (3)c × SU (2)L × U (1)Y war bis heute extrem erfolgreich im Beschreiben aller Phänomene der Teilchenphysik, die den heutigen Beschleunigern zugänglich sind (bis TeV). Trotzdem gibt es viele Theorien, die über das Standardmodell hinausgehen, da erwartet wird, dass das Modell bei hohen Energien
√ nicht mehr gelten kann.
Denn bei Energien vergleichbar mit der Planckmasse MP = 1/ GN ' 1019 GeV , mit GN
Wechselwirkungskonstante der Gravitation, wird die Stärke der Gravitationswechselwirkung vergleichbar mit der elektromagnetischen Wechselwirkung zweier geladener Teilchen.
Weitere Probleme des Standardmodells:
• Hierarchie Problem: wieso ist
MZ
MP
' 10−17 so klein
• Higgsmasse: die Strahlungskorrekturen zur skalaren quadrierten Higgsmasse sind
von der Grössenordnung Λ2 (Skala), als natürliche Skala bietet sich die Planckmasse
an. Damit wird m2H = m2H,0 + O(Λ2 ). Das heisst die natürliche Masse eines skalaren
Teilchens ist MP . Für die elektroschwache Theorie muss die Higgsmasse aber von
der Grössenordnung der elektroschwachen Skala (MW ) sein.
• Neutrinos mit Masse im SM nicht möglich
Es gibt viele theoretische Modelle, die über das Standardmodell hinausgehen und versuchen ein paar der offenen Probleme zu lösen:
• Grand Unified Theories (GUT): die drei Wechselwirkungen sind verschiedene niederenergetische Aspekte einer Wechselwirkung
• Composite Models: Substruktur der Quarks und Leptonen (Preonen)
Es gibt keinen Hinweis auf Substrukturen bis zu einer Energie von TeV
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1
Supersymmetrie
• Technicolor: neue starke Wechselwirkung
• Contact Interactions: 4-Fermionen vertices durch Substruktur oder eine neue Wechselwirkung mit schweren Teilchen
• Supersymmetrie: neue Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen
• String Models
es gibt aber bis jetzt keine klaren experimentelle Signaturen. Nach einer kurzen phänomenologischen Betrachtung von GUT werden wir in grösserem Detail Supersymmetrie
betrachten, die als eine sehr elegante und gut verstandene Theorie ausserhalb des Standardmodells gilt.
1.1
Grand Unified Theories, GUT
Die Philosophie von GUT basiert auf der Hypothese, dass die starke, schwache und elektromagnetische Kraft verschiedene Zweige einer einzigen Wechselwirkung sind. Diese Vereinheitlichung der Kräfte passiert bei sehr hohen Energien. Die Kopplungskonstanten werden bei sehr hohen Energien (1014 GeV ) etwa gleich gross. Das heisst, bei diesen Energien
gibt es eine grosse Symmetrie, wo alle Massen und Kopplungen gleich gross sind. Mit
unseren heutigen Experimenten beobachten wir nur den niederenergetischen Teil, wo die
Symmetrie gebrochen ist und die Kopplungen aufspalten.
Die grundlegende Annahme in GUT lautet, dass es nur eine grosse Eichsymmetrie (nur
eine Kopplung) gibt mit der Symmetriegruppe GGU T = SU (N ) (oder SO(N )) so dass
SU (3)c × SU (2)L × U (1)Y ⊂ GGU T . Diese Gruppe definiert auch den Zusammenhang der
drei Kopplungskonstanten. GGU T ist spontan durch ein Higgsfeld gebrochen, wodurch
die X- Bosonen Masse kriegen. Erst durch die zweite Symmetriebrechung bei 100 GeV
kriegen auch die Quarks, Leptonen und die Eichbosonen Masse.
Da die Q-Abhängigkeit der Kopplungskonstanten durch die Eichgruppen beschrieben werden, kann die Unification Masse, bei der die drei Kopplungskonstanten gleich gross werden,
abgeschätzt werden: MX ' 5 × 1014 GeV < MP = 1019 GeV .
Die einfachste GUT ist SU (5) und hat 52 − 1 = 24 Eichbosonen, wovon wir 12 (Photon,
Z, W ± , 8 Gluonen) schon kennen. Zusätzlich würde es noch 6 farbige, geladene Bosonen
und ihre Antiteilchen geben (Y mit Ladung -1/3, Z mit -4/3). Diese Bosonen nennt man
Leptoquarks, sie können Quarks in Leptonen und umgekehrt ändern. Dabei werden sowohl
die Leptonzahl(L)- als auch die Baryonzahlerhaltung (B) (nicht aber B-L) verletzt.
Eine unmittelbare Konsequenz davon ist der Protonzerfall
duu → Xu → ūe+ u → Π0 e+
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2
(1.1)
Supersymmetrie
¯e
udu → Y → dν̄
(1.2)
Die Voraussagen bewegen sich zwischen 1028 und 1030 Jahren, während die gemessene
Lebensdauer bei über 1031 liegt. Damit ist Standard-GUT experimentell ausgeschlossen.
Weitere Voraussagen von GUT sind magnetische Monopole, die keine elektrische Ladung
tragen. Bis heute wurden sie nicht beobachtet.
Für Energien grösser als 1015 GeV ist die Theorie symmetrisch gegenüber SU (5) und es
kommt nur eine Kopplungskonstante g5 vor, bei niedrigeren Energien ergeben sich unterschiedliche Kopplungen aufgrund von Symmetriebrechung. Man kann so verstehen, wieso
die starke Wechselwirkung viel stärker als die elektroschwache ist: Nach der Symmetriebrechung gibt es unterschiedliche Eichgruppen und da SU (3) mehr Vektorbosonen hat,
wächst die Kopplungskonstante mit kleiner werdenden Energien am stärksten an.
Ein wichtiges Ergebnis von GUT ist, dass der Weinbergwinkel vorhergesagt wird. Da es
0
nur eine Kopplungskonstante gibt, sind g und g nicht mehr unabhängig. Aus gruppentheoretischen Überlegungen folgt:
0
sin θW 2 =
3
g2
=
= 0.375
0
g2 + g 2
8
(1.3)
Dieser Wert gilt allerdings nur bei SU (5) Symmetrie, also bei sehr hohen Energien. Da
0
0
g von U (1) zu kleinen Energien abnimmt während g von SU (2) zunimmt, wird g /g =
tan ΘW kleiner. Man erhält mit den Korrekturen einen Wert von sin θW 2 = 0.22, was ganz
gut mit dem experimentellen Wert sin θW 2 = 0.23117 ± 0.00007 zusammenpasst.
Jede der drei Familien von Quarks und Leptonen hat total (mit Antiteilchen und Farben)
15 Teilchen, die man in SU (5) in den zwei niedrigsten Darstellungen mit den Dimensionen
5 und 10 darstellen kann (analog für die rechtshändige Komponente). Mit der Notation
in SU (3)C , SU (2)L Zerlegung:
5̄ = (1, 2) + (3̄, 1) = (νe , e− , d¯g , d¯b , d¯r )L
10 = (1, 1) + (3̄, 1) + (3, 2) = (e+ , ū, u, d)L
(1.4)
Einer der Erzeugenden Operatoren der Gruppe SU (5) ist der Ladungsoperator Q, der
diagonal gewählt werden kann, so dass die Diagonalelemente der Ladung der Teilchen
entsprechen. Da Q ein Erzeugender der Gruppe ist, muss seine Spur verschwinden. Das
heisst, dass die Summe der Ladungen einer Darstellung verschwinden müssen. Aus der
Anordnung der Leptonen und Quarks in einer Repräsentation folgt für ihr Ladungsverhältnis:
1
Qd = Qe
3
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und Qu = −2Qd
3
(1.5)
Supersymmetrie
und somit folgt automatisch Qp = −Qe . Die Drittelladungen ergeben sich offensichtlich
als Konsequenz der drei Farbfreiheitsgrade.
Eine Konsequenz von SU (5) ist auch, dass die d-Quarks im Symmetriebereich (1015 GEV )
dieselbe Masse haben, wie die Leptonen. Mit Hilfe der QCD lassen sich die Renormierungseffekte berechnen, die die Quarkmasse um einen Faktor 3 vergrössern, wenn man zu
den Laborenergien extrapoliert. Man erhält so für das Massenverhältnis schwerer Fermionen den Wert mb /mτ ' 3, was recht gut mit dem gemessenen Massenverhältnis von 2.6
übereinstimmt.
Ein Problem von GUT als einzige Erweiterung des Standardmodells ist, dass sich die
Kopplungskonstanten nicht wirklich treffen. Vereinheitlichung ist nur möglich, wenn neue
Physik zwischen der elektroschwachen und der Planckskala dazukommt. Mit einer supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) hingegen kann eine perfekte
Vereinigung der Kopplungskonstanten erreicht werden. (Figur 1.1). Deutlich zu sehen ist
in Figur 1.1 der Einfluss der neuen supersymmetrischen Teilchen bei Energien von etwa
1T eV .
Die drei Steigungen sind natürlich stark korrelliert, so dass Vereinheitlichung nicht einfach
nur durch Korrekturen durch neue Teilchen erreicht werden kann. Beispielsweise kann keine Vereinheitlichung erzielt werden durch mehr als drei Familien oder neue Higgs-Dubletts.
1/αi
1/αi
Unification of the Coupling Constants
in the SM and the minimal MSSM
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
5
10
0
15
10
log Q
1/α1
MSSM
1/α2
1/α3
0
5
10
15
10
log Q
Abbildung 1.1: Extrapolation der Kopplungskonstanten in GUT und MSSM+GUT
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Supersymmetrie
Die Beziehung der Steigung der drei Kopplungskonstanten (b1 − b3 quantifiziert man über
den Parameter B, er hängt nur von den Anzahl Higgs-Dubletts (nh ab
B=
b3 − b2
1
= + 3/110hh = 0.527(nh = Higgs)
b2 − b1
2
(1.6)
im Widerspruch zum präzise gemessenen Wert von B = 0.719 ± 0.008 ± 0.03.
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Supersymmetrie
Kapitel 2
Supersymmetrie
2.1
Einleitung
1970 wurde die Theorie der Supersymmetrie entwickelt, um einige Probleme des Standardmodells zu lösen heute gilt sie als die am besten verstandene Theorie ausserhalb des
Standardmodells.
• Hierarchie Problem: wieso ist MW /MP ' 10−17 so klein. In GUT hat man zwei
verschiedene Skalen V >> v, die für die Symmetriebrechung benötigt werden.
mH ' v ' 102 GeV
mΣ ' V ' 1016 GeV
→ mH /mΣ ' 10−14 << 1
(2.1)
• Higgsmasse - wie wird die Hierarchie bewahrt? - Natürlichkeitsproblem
Die Strahlungskorrekturen zur skalaren quadrierten Higgsmasse sind von der
Grössenordnung Λ2 (Skala), als natürliche Skala bietet sich die Planckmasse an,
damit wird m2H = m2H,0 + O(Λ2 ). Das heisst die natürliche Masse eines skalaren
Teilchens ist MP . Für die elektroschwache Theorie muss die Higgsmasse aber von
der Grössenordnung der elektroschwachen Skala (MW ) sein. Dies nennt man auch
Natürlichkeitsproblem: die Higgsmasse ist nicht bei ihrem natürlichen Wert. Die
Divergenzen können weg-renormalisiert werden, aber dies muss in allen Ordnungen
Störungstheorie sehr sorgfältig gemacht werden (“fine tuning”). Dies ist technisch
machbar, aber ziemlich unnatürlich. Man muss dabei beachten, dass alle Teilchen
auch mit hohen Massen durch virtuelle (auch sehr indirekte) Loopkorrekturen zu
den Korrekturen der Masse beitragen.
Es ist naheliegend, dieses auffällige Verschwinden der divergenten Terme einer neuen
Symmetrie zuzuordnen, sie soll Fermionen und Bosonen miteinander verbinden, da
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Supersymmetrie
die Fermionen und Bosonen mit unterschiedlichem Vorzeichen zu den Loop Korrekturen beitragen (die Fermionen haben einen zusätzlichen Faktor (-1) aus der Fermi
Statistik).
Die Korrekturen sind:
λ2
- Für Fermionen ∆m2H = 16Πf 2 [−2Λ2U V + 6m2f ln(ΛU V /mf )]
λb
2
2
- Für Bosonen ∆m2H = 16Π
2 [2ΛU V − 6mb ln(ΛU V /mb )]
wobei ΛU V die Skala ist, bis zu der die Korrekturen gerechnet werden, normal wird
sie gleich MP2 lanck = (2.4 × 1018 GeV )2 gesetzt. Damit sich die quadratischen Terme aufheben, müssen die Kopplungskonstanten λ2f = λb sein, was eine Beziehung
zwischen Bosonen und Fermionen voraussetzt.
Abbildung 2.1: Aufhebung der Quantenkorrekturen in einem supersymmetrischen Modell
Figur 2.1 zeigt die beiden Quantenkorrekturen in einem Supersymmetrischen Modell. Die erste Zeile zeigt die Beiträge vom schweren Higgsboson (für GUT Brechung)
und seinem Superpartner, die durch Yukawa-Kopplung λ koppeln. Die zweite Zeile
den der Eichbosonen mit der Kopplungskonstanten g. In ungebrochener SUSY heben sich die Terme exakt auf, da die Massen der Superpartner gleich gross sind.
mBoson = mF ermion
Wenn Supersymmetrie gebrochen ist, bleibt eine Korrektur
∆(m2H ) = O(
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α
)|m2b + m2f |
4π
(2.2)
Supersymmetrie
die klein ist, solange |m2b + m2f | < 1T eV . Diese Abschätzung gibt dieselbe Skala
für SUSY (1 TeV) wie durch die Vereinheitlichung der Kopplungskonstanten (siehe
später).
Supersymmetrie macht keinen Unterschied zwischen Fermionen (Materie) und Bosonen
(Kräfte) aber die Anzahl Teilchen wird dadurch verdoppelt: zu jedem Teilchen gibt es
einen supersymmetrischen Partner, der sich im Spin um 1/2 unterscheidet.
Abbildung 2.2: Zu jedem Teilchen gibt es ein supersymmetrisches Teilchen
SUSY verbindet die Massen und Kopplungen von Teilchen mit verschiedenem Spin und
transformiert Fermionen in Bosonen und umgekehrt:
Q|Fermion >= |Boson >,
Q|Boson >= |Fermion >
(2.3)
Wenn wir symbolisch eine SUSY Transformation schreiben als: δB = f , mit B und f
einem Boson-, rsp. Fermionfeld und einer infinitesimalen SUSY Transformation, so folgt
aus den (Anti)Kommutationsregeln für Fermionen und Bosonen:
{f, f } = 0, [B, B] = 0 → {, } = 0
(2.4)
Dies bedeutet, dass die SUSY-Generatoren fermionisch sind. Q besitzt selbst Spin 1/2
und kann deshalb die Helizität eines Boson- rsp. Fermionzustandes ändern. Die einfachste
Wahl für Q ist ein 2-komponentiger Spinor (Weyl-Spinor). Die supersymmetrische Algebra
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Supersymmetrie
verbindet Teilchen mit verschiedenem Spin und ist eine Erweiterung der Poincare RaumZeit-Symmetrie.
Die SUSY Algebra enthält die Generatoren Qα (plus konjugiert Q̄α ) sowie die Poincare
Algebra mit folgenden Kommutationsregeln:
[a, b] = ab − ba: Kommutator, {a, b} = ab + ba Antikommutator
{Qα , Q¯β }
[Qα , P µ ]
{Qα , Qβ }
[Qα , Eichgeneratoren]
=
=
=
=
µ
−2σαβ
Pµ
µ
[Q̄α , P ] = 0
{Q̄α , Q̄β } = 0
0
(2.5)
wobei P µ der 4er-Impulsoperator ist. Das wichtigste Ergebnis hierbei ist die erste der
obigen Relationen. Danach führen nämlich zwei SUSY-Transformationen nacheinander
durchgeführt zu einer Translation in der Raum-Zeit oder das Quadrat des SUSY Generators Q ist der 4-er Impuls Pµ ! Somit ist also ein Zusammenhang zwischen der Supersymmetrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie zu erwarten, da diese gerade die
Poincar-Invarianz als Eichsymmetrie enthält.
Unmittelbare Konsequenzen für zwei Superpartner |A > und |B >
• |A > kann durch supersymmetrische Transformationen in |B > überführt werden:
|B >= QQ...Q̄Q̄|A >
• Superpartner haben die gleiche Masse:
Bew. Massenoperator = −P 2
m2B |B >= −P 2 |B >= −P 2 Q...Q̄|A >= Q...Q̄P 2 |A >= Q...Q̄m2A |A >= m2A |B >→
m2B = m2A
• Superpartner haben dieselben Eichquantenzahlen
Bew. Da Q mit den Generatoren der Eichgruppen kommutieren, geht der Beweis
analog
Die Repräsentation der supersymmetrischen Algebra sind Supermultipletts: jedes Multiplet enthält ein Fermion und ein Boson, die zueinander Superpartner sind. Alle Teilchen
eines Supermultiplets müssen dieselben Quantenzahlen der Eichgruppe (Ladung, schwacher Isospin, Farbe) sowie dieselbe Masse haben.
Bemerkungen:
• wenn der virtuelle Austausch der Superpartner in die Berechnung der quadratischen
Divergenzen hinzugefügt wird, heben sich die Beiträge exakt auf und es bleibt nur
eine logarithmische Divergenz.
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Supersymmetrie
• Spartikel sind bis heute nicht nachgewiesen worden, das heisst ihre Massen müssen
sehr viel höher sein als die der SM Teilchen. Deshalb kann die Supersymmetrie keine
exakte Symmetrie sein, sonst wären die Massen gleich gross.
• Das leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) ist, wenn es neutral ist und nicht
zerfällt, ein guter Kandidat für Dunkle Materie.
• Die SUSY Algebra enthält P µ , Raum-Zeit Translationen. Aus der Eichinvarianz unter dieser Transformation folgt die Einsteinsche Theorie der Gravitation. Das heisst
SUSY beinhaltet Gravitation, sie ist in der Supergravitation (SUGRA) miteingebaut.
Wir betrachten im folgenden den einfachsten Fall (nur ein SUSY Generator: N=1) mit
zwei Typen von Supermultipletts: Chiral- Supermultiplet, das die beiden Zustände (Φ, Ψ)
mit Spin 0 und 1/2 enthält und das Vektormultiplet (λ, A) mit Spin 1/2 und 1.
2.2
Minimale supersymmetrische Erweiterung des
Standard Modells (MSSM)
MSSM enthält die minimale Anzahl neuer Teilchen und Wechselwirkungen, die in Supermultipletts angeordnet sind. In jedem Supermultiplet befindet sich ein Boson und
ein Fermion als Superpartner. Die Anzahl fermionischer oder bosonischer Freiheitsgrade
müssen gleich sein.
Das einfachste Supermultiplet enthält ein Spin-1/2 Weyl-Fermion (2 Freiheitsgrade nf =2)
sowie zwei Skalare (komplexes skalares Feld, nB =2). Dieses Supermultiplet nennt man
normalerweise das Chirale (Matter, skalares) Supermultiplet.
In dieser Anordnung mit zweidimensionalen Weyl-Fermionen, werden aus jedem Diracspinor (Quarks und geladene Leptonen) zwei zweidimensionale Weylspinoren mit Helizität
L oder R. Es ist Konvention, dass im Chiralen Supermultiplet nur linkshändige WeylSpinoren auftreten.
Das nächsteinfache Supermultiplet enthält ein Spin 1 Vektorboson (nB =2 ), damit die
Theorie renormierbar bleibt, muss es vor der elektroschwachen Symmetriebrechung masselos sein. Sein Superpartner ist ein masseloses Spin 1/2 Weyl-Fermion (nF =2), das man
Gaugino nennt. Diese Kombination aus Spin 1 Eichboson und Spin 1/2 Gaugino nennt
man Eich- oder Vektorsupermultiplet.
In einer supersymmetrische Erweiterung des Standardmodells muss nun jedes bekannte
fundamentale Teilchen in einem Supermultiplet (Chiral oder Eich) vorkommen, sowie einem Superpartner zugeordnet werden, der sich im Spin um 1/2 unterscheidet. Es wichtig,
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Supersymmetrie
dass die Fermionen im Eichsupermultiplet so transformieren müssen wie die Eichbosonen,
insbesondere also identisch für links- und rechtshändige Komponente. Nur das Chirale Supermultiplet kann Fermionen enthalten, die sich unterschiedlich transformieren für linksund rechtshändige Komponenten, also alle Quarks und Leptonen.
Das Standardmodell ist offensichtlich in grossem Masse nicht supersymmetrisch: es gibt
keine Fermionen mit den Quantenzahlen der Eichbosonen und wir zählen 28 bosonische
und 90 fermionische Freiheitsgrade!
Wir ordnen jetzt erstmal alle uns bekannten Fermionen und Eichbosonen in die beiden
Supermultipletts ein und benennen deren Superpartner.
• Das links- und das rechtshändige Fermion haben unterschiedliche skalare Superpartner.
• Den links- und rechtshändigen Quarks und Leptonen werden die Superpartner
Squark und Slepton zugeordnet (scalar quark, scalar lepton). Da sie Spin 0 Teilchen sind, bezieht sich die Bezeichnung L und R nur auf ihre Superpartner.
• Die Eichbosonen mit Spin 1 sind im Eichmultiplet, ihre Superpartner heissen Gaugions (mit Gluinos, Winos und Binos). So wie im Standardmodell W 0 und B 0 zu Z 0
und γ mischen, mischen die Gauginos durch die elektroschwache Symmetriebrechung
zu Zino Z̃ und Photino (γ̃).
• Das Higgs ist ein skalares Teilchen und ist folglich im chiralen Supermultiplet. Im
Unterschied zum Standardmodell braucht es zwei Higgsbosonen, die sich in der
Hyperladung unterscheiden. Nur Hu hat Yukawa Kopplung an die Quarks mit 2/3
Ladung (up, charm, top) während Hd an die -1/3 koppelt (down, strange, bottom).
Das Higgsboson aus dem Standardmodell ist eine Linearkombination von Hd und
Hu .
• Die Eichwechselwirkung der Squarks und Sleptonen sind die gleichen wie für das
betreffende Fermion im Standard Modell. Beispielsweise koppelt ũL an das W Boson,
nicht aber ũR .
• Hd hat dieselben Quantenzahlen wie L dies lässt die Frage zu, ob nicht das Sneutrino
mit Higgs identifizieren kann. Dieser Versuch führt aber zu Lepton Zahl Verletzung
und mindestens einer grossen Neutrinomasse. Folglich sind alle Superpartner wirklich neue Teilchen.
• Im chiralen Supermultiplet herrscht die Konvention, dass nur linkshändig Teilchen
auftreten, deshalb tauchen die konjuguierten der rechtshändigen Fermionen auf.
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Supersymmetrie
• Für die Vereinheitlichung mit Gravitation braucht es noch das Graviton (Spin 2) was
im nächsthöheren Supermultiplet mit dem Gravitino (Spin 3/2) zusammen auftritt.
Chirales Supermultiplet
Superfeld
Ladung
SU (3)c SU (2)L U (1)Y
Quark, Squark
Qi
3
2
1/6
(3 Familien)
Ūi
3̄
1
-2/3
D̄i
3̄
1
1/3
Leptonen, Sleptonen Li
1
2
-1/2
(3 Familien)
Ēi
1
1
1
Higgs, Higgsino
Hd
1
2
-1/2
Hu
1
2
1/2
Fermion Ψ
Spin 1/2
(uL , dL )
utR
dtR
(ν, eL )
etR
(H̃d0 , H̃d− )
(H̃u+ , H̃u0 )
Skalar Φ
Spin 0
(ũL , d˜L )
ũC
L
d˜C
L
(ν̃L , ẽL
ẽC
L
(Hd0 , Hd− )
(Hu+ , Hu0 )
Eich Supermultiplet
Superfeld
Ladung
Boson Aµ Fermion λ
SU (3)c SU (2)L U (1)Y Spin 1
Spin 1/2
Gluon, Gluino
8
1
0
g
g̃
±
0
W Bosonen, Winos
1
3
0
W W
W̃ ± W̃ 0
B Boson, Bino
1
1
0
B0
B̃ 0
Mit elektroschwacher Symmetriebrechung mischen W 0 , B 0 zu Z 0 und γ.
Die analoge Gaugino Mischung ergibt die Eigenzustände Zino (Z̃) und Photino (γ̃)
Zusammenfassung: Minimales supersymmetrisches Modell: MSSM
Wir haben die oben beschriebenen Supermultipletts, die jeweils ein Boson und ein Fermion
mit identischen Quantenzahlen enthalten:
Chirales Multiplet
Eich Multiplet
Φ
Ψ
Aµ
λ
!
!
0
1/2
Spin
Spin
!
1
1/2
!
Komplexer Skalar
Weyl Fermion
(2.6)
Vektorfeld (Eichbosonen)
(2.7)
Weyl Fermion (Gaugino)
• SM Fermionen → SUSY Skalar sFermionen
• SM Eichbosonen → SUSY Fermion
• Die Mitglieder eines Supermultipletts haben dieselben Eichquantenzahlen.
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Supersymmetrie
• Das Eich Supermultiplet enthält die Vektorbosonen und ihre Gaugino Partner (Fermionen)
• Das chirale Supermultiplet enthält die Fermionen und deren skalaren Partner.
Chiral bedeutet, dass die links- und rechtshändigen Komponenten unter SU (2)L ×
U (1)Y verschieden transformieren.
• Bei ungebrochener Supersymmetrie gilt: die Massen der Superpartner sind gleich
gross
• Bis heute wurde kein Superteilchen entdeckt → Supersymmetrie muss gebrochen
sein, aber nur ’weiche’ Symmetriebrechung, damit wir nicht wieder quadratische
Divergenzen haben L = LSU SY + Lsof t . Dabei erhält LSU SY die Supersymmetrie
und Lsof t bricht sie, enthält aber nur Masseterme und Kopplungen mit positiver
Massendimension, damit sich die quadratischen Korrekturen aufheben.
• Wieso sind die SUSY Massen soviel grösser als die Massen der uns bekannten Teilchen?
Die Massen für die Teilchen im Standardmodell müssen durch den Higgsmechanismus erzeugt werden, während für skalare Teilchen ein zusätzlicher Masseterm
m2 |Φ|2 durch Eichinvarianz erlaubt ist. Damit wird allerdings die Supersymmetrie
gebrochen.
2.3
2.3.1
Supersymmetrische Lagrangedichte
Für chirales Supermultiplet
Wir konstruieren erst eine allgemeine Lagrangedichte, deren Bewegungsgleichungen
∂
∂xµ
!
∂L
∂L
−
=0
∂(∂Φ/∂xµ )
∂Φ
(2.8)
unter einer supersymmetrischen Transformation invariant bleiben. Wir gehen folgendermassen vor:
• Nur kinematische Terme
• Einführung eines Hilfsfeldes F
• Wechselwirkungen und Masseterme mit Hilfe eines Superpotentials
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Supersymmetrie
Die einfachste supersymmetrische Lagrangedichte für ein chirales Multiplet enthält die
kinetische Energie der Fermion- und Bosonfelder:
Lchiral = Lskalar + LF ermion = −∂ µ Φ∗ ∂µ Φ − iΨt σ̄ µ ∂µ Ψ
(2.9)
In der Formel taucht σ µ statt γ µ auf, da Ψ ein 2-komponentiges Weyl-Fermion und kein
4-komponentiger Dirac-Spinor ist.
µ
γ =
0 σµ
σ̄ µ 0
!
(2.10)
Die Supersymmetrietransformation e ändert das Boson in ein Fermion und umgekehrt.
δΦ = eΨ δΦ∗ = et Ψt
(2.11)
e ist eine infinitesimale Transformation , die die SUSY Transformation parametrisiert. e
ist fermionisch (antikommutierend) und soll konstant sein (∂ µ e = 0). Damit die Lagrangedichte bis auf eine totale Ableitung invariant bleibt, muss Ψ sich wie folgt transformieren.
δΨα = i(σ µ ∂µ )α Φet
δΨtα = −i(σ µ ∂µ )α Φ∗ e
(2.12)
Es kann einfach überprüft werden (siehe Anhang), dass unter der obigen Transformation
die Bewegungsgleichungen invariant bleiben:
δLSkalar = −e∂µ Ψ∂ µ Φ∗ + konj.
δLF ermion = +e∂µ Ψ∂ µ Φ∗ + konj. + totale Ableitung
(2.13)
(2.14)
Dies ist das einfachste supersymmetrische Modell (Wess-Zumino Modell). Es beschreibt
ein nicht wechselwirkendes, masseloses chirales Supermultiplet.
Um diese einfache Theorie zu verallgemeinern wird ein Hilfsfeld F (komplexes Spin-0)
eingeführt, was mit den anderen Feldern koppelt. Dieses Feld hat keine eigene Dynamik
und ist nur algebraisch mit den anderen Feldern verbunden. Die Lagrangedichte für das
Hilfsfeld ist sehr einfach:
LHilf sf eld = F ∗ F
(2.15)
sie hat insbesonders keinen kinematischen Term. Die Bewegungsgleichung ist F = 0 und
F hat offenbar die Dimension [E 2 ]. Das Hilfsfeld wird gebraucht, damit die SUSY Algebra
auch für virtuelle Teilchen erfüllt werden kann.
Die Lagrangedichte lautet nun
Lchiral = −∂ µ Φ∗ ∂µ Φ − iΨt σ̄ µ ∂µ Ψ + F ∗ F
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(2.16)
Supersymmetrie
mit der SUSY Transformation:
δΦ∗ = et Ψt
δΨtα = −i(σ µ ∂µ )α Φ∗ e + etα F ∗
δF ∗ = i∂µ Ψt σ̄ µ e
δΦ = eΨ
µ
δΨα = i(σ ∂µ )α Φet + eα F
δF = iet σ̄ µ ∂µ Ψ
(2.17)
Nun bauen wir die Wechselwirkung zwischen den fermionischen und den bosonischen
Feldern ein. Wir möchten Yukawa-Kopplung zwischen den skalaren und Fermionfeldern
und Masseterme, aber keine neue fermionische Wechselwirkung.
Es kann gezeigt werden, dass die allgemeinste renormierbare Form der Wechselwirkung
wie folgt geschrieben werden kann:
1
LW W = − W ij Ψi Ψj + W i Fi + cc
2
(2.18)
Dabei sind W ij und W i Funktionen der Bosonfelder mit Dimension m, respektive m2 .
Da LW W auch invariant unter SUSY-Transformation sein muss, folgt für die Form des
Superpotentials
1 ij
1
M Φi Φj + y ijk Φi Φj Φk
2
6
∂2
1
1
=
W = |M ij + y ijk Φk
∂Φi ∂Φj
2
6
1
1
∂W
= M ij Φj + y ijk Φj Φk
=
∂Φi
2
6
W =
W ij
Wi
(2.19)
• Das Superpotential enthält nur trilineare und bilineare Terme der skalaren Felder,
es tauchen keine fermionischen und keine Hilfsfelder auf.
• M ij ist eine symmetrische Massenmatrix für die Fermionfelder und y ijk die Yukawakopplung von zwei Fermionfelder und einem Skalar:
1
1
W ij Ψi Ψj = M ij Ψi Ψj + y ijk Φk Ψi Ψj
2
6
(2.20)
• Der zweite Term in der obigen Lagrangedichte enthält nur Terme proportional zum
Hilfsfeld F : W i Fi .
1
1
W i Fi = M ij Φj Fi + y ijk Φj Φk Fi
(2.21)
2
6
Das Hilfsfeld Fi kann noch eliminiert werden, da Fi F i∗ + W i Fi + Wi∗ F i∗ zu den
Bewegungsgleichungen Fi = −Wi∗ und F i∗ = −W i führt.
Katharina Müller
15
Supersymmetrie
Somit kann man den zweiten Term zusammen mit dem Hilfsfeld zu einem skalaren
Potential zusammenfassen:
1
1
∗
V (Φ, Φ∗ ) = W i Wi∗ = Mij2 Φi∗ Φj + M in yjkn
Φi Φj∗ Φk∗ + M ∗in y jkn Φi∗ Φj Φk +
2
2
1 ijn ∗
y ykln Φi Φj Φk∗ Φl∗
(2.22)
4
• Das skalare Potential enthält die Massenterme für die Skalare mit derselben Massenmatrix wie für die Fermionen, sowie Wechselwirkungen mit drei, bzw. vier Skalaren
(kubische und di-quadratische Kopplung).
• Das Superpotential W bestimmt die skalare Wechselwirkung und die Yukawa Kopplung
• Die Form des Superpotentials ist bestimmt durch die Forderung nach Eichinvarianz,
wobei nur wenige Terme M ij und y ijk ungleich Null sind.
• Für ein gegebenes y ijk kriegt man Skalar-Fermion-Fermion und (Skalar)4 Kopplung,
mit genau den Kopplungsstärken y ijk , resp (y ijk )2 , die gebraucht werden, damit sich
die quadratischen Korrekturen bei der Higgsmasse aufheben.
j
i
k
k
j
l
i
(a)
(b)
Abbildung 2.3: Fermion-Skalar-Skalar mit Kopplung y ijk und (Skalar)4 ((y ijk )2 )Kopplung
2.3.2
Lagrangedichte für Eich Supermultiplet
Im Eichsupermultiplet haben wir die Vektorbosonen und die fermionischen Gauginos:
Aaµ
λa
!
a: Index über Gruppenrepräsentation(a=1-8 für SU (3)C , 1,2,3 für SU (2)L und 1 für U (1)Y )
(2.23)
Katharina Müller
16
Supersymmetrie
Die Lagrangedichte für das Eich Supermultiplet lautet:
1 a µνa
1
LEich = − Fµν
F
−iλta σ̄ µ Dµ λa + Da Da
{z
} | 2 {z }
| 4 {z
}|
Gauginos
D-Term
Eichfelder
(2.24)
• Der erste Term ist die bekannte Form für die kinetische Energie der Eichfelder mit
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gf abc Abµ Acν
(2.25)
• Der zweite Term enthält die kinetische Energie der Gauginos plus über die kovariante
Ableitung des Gauginofeldes ihre Wechselwirkung mit den Eichfeldern
Dµ λa = ∂µ λa − gf abc Abµ λc
(2.26)
• Wieder muss ein Hilfsfeld D ohne kinematischen Term eingeführt werden, damit die
SUSY Algebra erfüllt werden kann. Es transformiert wie λ und erfüllt Da∗ = Da .
Man nennt den dritten Term normal den D-Term
Damit man eine eichinvariante Lagrangedichte erhält, muss natürlich im chiralen Teil
überall die Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzt werden.
∂µ Ψ → Dµ Ψ = ∂µ Ψ + igAaµ T a Ψ
∂µ Φ → Dµ Φ = ∂µ Φ + igAaµ T a Φ
(2.27)
(T a sind die Erzeugenden der Gruppe) Dies gibt uns automatisch die Kopplung der Eichbosonen an die Skalare und Fermionen des chiralen Supermultipletts. Man muss aber auch
noch mögliche Kopplungen der Gauginos und der D-Hilfsfelder untersuchen.
Renormierbare Kopplungen sind:
√
− 2g((Φ∗ T a Ψ)λa + λat (Ψt T a Φ)) und g(Φ∗ T a Φ)Da
(2.28)
Die Kopplungskonstanten ergeben sich aus der Bedingung, dass die Lagrangedichte bei
einer supersymmetrischen Transformation invariant bleibt.
Der zweite Term wird normalerweise zusammen mit dem Da Da Term zusammengefasst. Er
hängt nur von den skalaren Feldern ab. Deshalb wird er in das skalare Potential gesteckt:
1 2 ∗
2
i∗
i
V (Φ, Φ∗ ) = W
| {zW } + 2 g (Φ T Φ)
{z
}
F -Term |
D-Term
Katharina Müller
17
(2.29)
Supersymmetrie
2.3.3
Zusammenfassung SUSY Lagrangedichte
LSU SY
1
− (W ij Ψi Ψj + W ij∗ Ψit Ψjt )
|
{z
} |
{z
}
| 2
{z
}
Fermionen Skalare Yukawa Kopplung und Fermionmasseterme
1
1
1 a µνa
− W i Wi∗ + ga2 (Φ∗ T a Φ)2 − Fµν
F
−iλta σ̄ µ Dµ λa
{z
}
2
2
4
|
{z
}|
{z
}|
Gauginos
Potential
Eichfelder
√ skalares
∗ a
a
at
t a
− 2g((Φ T Ψ)λ + λ (Ψ T Φ)) +Lsof t
(2.30)
= − iΨ̄σ̄ µ Dµ Ψ −Dµ Φ∗ Dµ Φ
|
{z
zusätzliche Kopplungen
}
• kinetische Energie plus Eichwechselwirkung der Fermionfelder:
LF ermion = −iΨ̄σ̄ µ Dµ Ψ
• kinetische Energie plus Eichwechselwirkung der skalaren Felder (wie bei Higgs)
LSkalar = −Dµ Φ∗ Dµ Φ
• kinetische Energie der Eichfelder:
Fµν F µν Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − gf abc Abµ Acν ,
[T a , T b ] = if abc T c
• kinetische Energie und Eichwechselwirkung der Gauginos ( wie für die Fermionfelder)
−iλta σ̄ µ Dµ λa
• Yukawa Wechselwirkung der Skalare und der Fermionen im Superpotential
• Masse der Fermionen im Superpotential
• Skalares Potential (wie das Higgspotential im SM) enthält Masseterme für Skalare
und skalare Wechselwirkungen. Das skalare Potential wird komplett durch die anderen Wechselwirkungen der Theorie bestimmt. Der F Term ist bestimmt durch die
Yukawa Kopplung und die Massen der Fermionen, der D Term durch die Eichwechselwirkung.
• Lsof t schwache Supersymmetriebrechung, diesen Term werden wir später besprechen.
Katharina Müller
18
Supersymmetrie
2.4
Supersymmetrische Wechselwirkungen
Aus der oben konstuierten Lagrangedichte lassen sich die SUSY Kopplungen direkt ablesen. Wir betrachten zuerst die Kopplungen der Eichwechselwirkung.
1 a µνa
LSU SY −EichW W = − Fµν
F
− iΨ̄σ̄ µ Dµ Ψ − Dµ Φ∗ Dµ Φ − iλta σ̄ µ Dµ λa
4
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(2.31)
Abbildung 2.4: SUSY Eichwechselwirkungen
• a) und b) : Selbstwechselwirkung der Eichfelder wie im SM
Fµν F µν
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ − gf abc Aµ Aν
(2.32)
elektroschwache (starke) Eichboson Vertizes wie im Standardmodell
• e) : Eichboson-Fermion Kopplung wie im Standardmodell
Ψt σ̄ µ Dµ Ψ Dµ Ψ = ∂ µ Ψ + igAµ T a Ψ
(2.33)
• c) : Die Gaugino-Eichboson Kopplung erhält man analog aus der kovarianten Ableitung des Gaugino Feldes (λt Aλ-Kopplung)
iλt σ̄ µ Dµ λ Dµ λa = ∂ µ λa − gf abc Abµ λc
(2.34)
• d) und f): Kopplung der Skalare an die Eichbosonen
Dµ Φ∗ Dµ Φ Dµ Φ = ∂ µ Φ + igAµ T Φ
(2.35)
ergibt die Kopplung Φ∗ Aµ Aµ Φ und ∂ µ Φ∗ Aµ Φ
Katharina Müller
19
Supersymmetrie
• g) : Gaugino Kopplung an Skalar und Fermion
Φ∗ T a Ψλ
(2.36)
zusätzliche Kopplungen, die in SUSY erlaubt werden.
• h) : Skalare di-quadratische Wechselwirkung
1 2 ∗ a 2
g (Φ T Φ)
2 a
Aus dem D-Term des skalaren Potentials
(2.37)
Nun kommen wir zu den Kopplungen vom Superpotential:
1
1
1
Lint = W ij Ψi Ψj + cc − W i Wi∗ = M ij Ψi Ψj + y ijk Φk Ψi Ψj − W i Wi∗
2
2
6
j
i
k
k
j
l
(2.38)
i
(a)
(b)
j
i
i
j
i
j
k
(a)
(b)
(c)
Abbildung 2.5: SUSY Wechselwirkungen vom Superpotential
• a): Yukawa Kopplung y ijk Φk Ψi Ψj
Da y ijk symmetrisch ist, müssen für jede Kopplung Φk Ψi Ψj auch die Kopplungen
Φj Ψi Ψk und Φi Ψk Ψj existieren und gleich stark sein.
• b) Skalare Kopplungen aus dem skalaren Potential: 14 y ijk y ilm Φi Φj Φ∗k Φ∗l
∗
• c) kubische Kopplung 12 M in yjkn
Φi Φ∗j Φ∗k
• d) Fermionmasseterm 12 M ij Ψi Ψj
• e) Skalarer Masseterm (M ik )2 Φ∗i Φj
Dies war der technische Teil, nun kennen wir die SUSY Wechselwirkungen, sowie die
Teilchen des MSSM. Wir betrachten nun die Wechselwirkung des MSSM genauer.
Katharina Müller
20
Supersymmetrie
2.5
MSSM Wechselwirkungen
Im MSSM enthält das Superpotential die minimale Anzahl von Kopplungen, die nötig
sind um phänomenologisch sinnvolle Resultate zu liefern, beispielsweise Massen für alle
Quarks und Leptonen.
Aus dem allgemeinen Superpotential
1 ij
1
M Φi Φj + y ijk Φi Φj Φk wird in MSSM
2
6
= yu Ū QHu − yd D̄QHd − ye ĒLHd + µHu Hd
W =
WM SSM
(2.39)
Dabei muss man sich jeweils nur die skalaren Felder Q̃, L̃, H̃u etc. denken.
Der letzte Term (µ Term) ist die supersymmetrische Version der Higgs Boson Masse. Die
Yukawa Kopplungskonstanten sind 3×3 Matrizen für die 3 Familien, sie bestimmen die
Massen und CKM Mischungswinkel der Quarks und Leptonen, nachdem die Higgsbosonen
um ihren Vakuumserwartungswert herum entwickelt wurden.
Wir betrachten nun einige SUSY Wechselwirkungen in MSSM
1) Yukawa Kopplung
Beispiel: Wir machen die Annahme, dass in den Kopplungskonstanten nur die schwersten
Fermionen beitragen:


0 0 0

yu ' 
 0 0 0 ,
0 0 yt


0 0 0

yd ' 
 0 0 0 ,
0 0 yb


0 0 0

ye ' 
 0 0 0 
0 0 yτ
(2.40)
In dieser Näherung tragen nur die dritten Familien zum Yukawa Potential bei. Mit
Q3 = (tb), L3 = (ντ τ ), Ū3 = t̄, D̄3 = b̄, Ē3 = τ̄ und Hu = (Hu+ Hu0 ), Hd = (Hd0 Hd− ) wird
WM SSM = yt (t̄tHu0 − t̄bHu+ ) − yb (b̄tHd− − b̄bHd0 ) − yτ (τ̄ ντ Hd− − τ̄ τ Hd0 ) + µ(Hu+ Hd− − Hu0 Hd0 )
(2.41)
Die Yukawa Kopplung ist y ijk Φk Ψi Ψj mit allen Permutationen, da y ijk ja symmetrisch
ist. Wir betrachten als Beispiel den ersten Term in WM SSM mit Kopplungsstärke yt :
Katharina Müller
21
Supersymmetrie
†
tR
H0u
†
tR
H0u
tL
(a)
*
tR
H0u
tL
(a)
tL
(c)
Abbildung 2.6: Yukawa Kopplung an Top Quark und supersymmetrische Kopplungen,
alle mit der gleichen Kopplungsstärke yt
Der erste Term yt t̄tHu0 beschreibt also die Kopplung des linkshändigen Top Quarks an das
neutrale skalare Higgs Boson und ein rechtshändiges Top (a), oder die Kopplung von einem
linkshändigen Top-Squark an ein neutrales Higgsino Feld und ein rechtshändiges Top (b)
respektive rechtshändiges Top-Squark an ein Higgsino und tL . Wegen Supersymmetrie
haben alle diese Wechselwirkungen die gleiche Grösse yt (ebenso wie t → bHu0 → Hu+ ).
Man erhält also die supersymmetrischen Kopplungen aus der SM Kopplung (a), indem
man zwei Teilchen mit ihren Superpartnern vertauscht.
Skalare Kopplungen
Die Yukawa Kopplung im Superpotential enthält auch Kopplungen mit vier Skalaren
1 ijk ilm i j ∗ ∗
y y Φ Φ Φk Φl aus Wi Wi .
4
Katharina Müller
22
Supersymmetrie
tL
t*L
tL
t*L
t*R
tR
t*R
tR
H0u
H0*
u
H0u
H0*
u
(a)
(b)
(c)
Abbildung 2.7: Beispiel für Kopplung von vier Skalaren
Katharina Müller
23
Supersymmetrie
Wenn wir zum Beispiel Kopplungen der Stärke (yt )2 betrachten, kriegen wir aus dem
MSSM Superpotential oben ( nur dritte Familien)
W = yt (t̄tHu0 − t̄bHu+ ) − yb (b̄tHd− − b̄bHd0 ) − yτ (τ̄ ντ Hd− − τ̄ τ Hd0 ) + µ(Hu+ Hd− − Hu0 Hd0 )
Wi = yt (t̄t + t̄Hu0 + tHu0 − t̄b − t̄Hu+ − bHu+ ) − yb (..) − yτ (..) + µ(..)
Wi Wi = t̄tt̄t + t̄Hu0 t̄Hu0 + t̄Hu+ t̄Hu+ + ...( 6 KopplungenHu0 → Hu+ tL → bL
(2.42)
Insgesamt also 9 Kopplungen mit derselben Stärke
Wir haben also (Squark)4 , (Sleptonen)4 , (Squark)2 (Sleptonen)2 ,(Squark)2 (Higgs)2 und
(Sleptonen)2 (Higgs)2 Kopplungen, die alle proportional zu derselben Yukawakopplungskonstanten sind.
Die Yukawa Kopplung ist aber ausser für die dritte Familie sehr klein, Produktion und
Zerfall von SUSY Teilchen wird dominiert durch die Kopplung an Eichbosonen oder
Gaugino Kopplung an Skalare und Fermionen.
Gaugino Kopplung an Skalare und Fermionen
Gaugino Kopplung an ein Skalar und ein Fermion ist eine der zusätzlich erlaubten renormierbaren Kopplungen in SUSY:
√
2gΦ∗ T a Ψλ
(2.43)
qL, lL, Hu, Hd
q
qL, lL, Hu, Hd
q
q, l, Hu, Hd
g
(a)
q, l, Hu, Hd
B
W
(b)
(c)
Abbildung 2.8: Gaugino Kopplung an Skalar und Fermion mit Kopplungskonstanten gs , g
0
und g .
Gluinos, Winos und Binos koppeln nur an die Teilchen, an die auch ihre supersymmetischen Partner koppeln: Gluinos also nur an Quarks und s-Quarks, Winos nur an die
linkshändigen (s)Quarks und (s)Leptonen, sowie an Higgs und die Binos an alle Teilchen
mit Hyperladung.
a) beschreibt die Kopplung von einem Gluino an Quark und Squark mit der Kopplungsstärke g, die Kopplung ist analog zur SM Kopplung q q̄g.
b) die Kopplung der Winos an die linkshändigen (s)Quarks und (s)Leptonen, sowie an
Katharina Müller
24
Supersymmetrie
Higgs mit Kopplungsstärke gs
c) die Kopplung von Bino an Quarks, Leptonen und Higgs ist proportional zur schwachen
Hyperladung Y .
Durch diese Kopplungen sind also beispielsweise Zerfälle q̃ → qg̃, q̃ → W̃ q oder q̃ → B̃q
möglich.
2.6
MSSM Wechselwirkungen Zusammenfassung
Ein einfaches Rezept führt zu supersymmetrischen Wechselwirkungen:
In einer Wechselwirkung werden zwei Teilchen aus dem Standardmodell durch ihre Superpartnern ausgetauscht.
• Eichwechselwirkungen g Ψ̄AΨ
eine trilineare Kopplung, die abgekürzt (AΨΨ) geschrieben wird.
In MSSM sind dann also auch folgende Kopplungen möglich:
(AΨΨ) → (AΦΦ), (λΦΨ)
(2.44)
Also zum Beispiel für die cc-Wechselwirkung:
(W ± eL ν) → (W ± ẽL ν̃), (W̃ ± ẽL ν) und (W̃ ± eL ν̃)
(2.45)
Die Eichbosonen selbst haben auch trilineare Selbstwechselwirkungsterme (nicht
abelsche Gruppen):
(AAA) → (Aλλ)
(2.46)
Beispiel: W W W → W W̃ W̃
• Yukawa-Kopplung Kopplung der links- und rechtshändigen Fermionen an das Higgsfeld, damit die Fermionen Masse erhalten
0
LY ukawa = (cΨ¯L HΨR + cc) oder formal (ceL eC
L Hd )
0
C 0
C 0
(ceL eC
L Hd ) → (cẽL eL H̃d ), (ceL ẽL H̃d )
(2.47)
Diese drei Yukawa Kopplungen haben alle dieselbe Kopplungskonstante c.
0
(cẽL ẽC
L Hd ) hat die falsche Dimension und muss noch mit einer Masse multipliziert
0
werden:(µcẽL ẽC
L Hd )
Katharina Müller
25
Supersymmetrie
2.7
R Parität
Das minimale Superpotential hatten wir oben aus dem allgemeinen Superpotential wie
folgt angesetzt:
1 ij
1
M Φi Φj + y ijk Φi Φj Φk
2
6
= yu Ū QHu − yd D̄QHd − ye ĒLHd + µHu Hd
Wallg =
WM SSM
(2.48)
Das allgemeine Superpotential kann aber auch Terme enthalten, die die Barionzahl
und/oder die Leptonzahl verletzen. Das allgemeine eichinvariante und renormierbare Superpotential müsste auch folgende Terme enthalten:
0
0
W∆L=1 = 1/2λijk Li Lj Ēk + λ ijk Li Qj D̄k + µ i Li Hu
00
W∆B=1 = 1/2λ ijk Ūi D̄j D̄k
B
L
(2.49)
(2.50)
Barion- und Leptonzahlerhaltung
Q
Ū
D̄
L Ē H
B +1/3 -1/3 -1/3 0 0 0
L
0
0
0
1 -1 0
Ū QHu
D̄QHd
ĒLHd Hu Hd LLĒ
LQD̄
Li H d
-1/3+1/3 -1/3+1/3
0
0
0
-1/3+1/3
0
0
0
-1+1
0
2-1
1
1
Ū D̄D̄
-1
0
Lepton oder barionzahlverletzende Prozesse sind allerdings noch nie beobachtet worden.
Insbesonders wäre der Protonzerfall möglich:(Protonlebensdauer > 1032 Jahre) über den
00
Term λ ijk Ūi D̄j D̄k koppeln die u und d Quarks zu b̃ oder s̃, die wiederum zerfallen über
0
λ ijk Li Qj D̄k zu einem Quark und einem Lepton.
Der Prozess in dem untenstehenden Diagramm kann also zu folgenden Zerfällen führen:
p+ → e+ Π0 , e+ K 0 , µ+ Π0 , µ+ K 0 , νΠ+
u
oder νK +
q
˜
λ´´
q
d
λ´
l
Abbildung 2.9: Proton Zerfall über Ū D̄D̄ und LQD̄
Katharina Müller
26
Supersymmetrie
Im Standardmodell gibt es keine Terme, die Lepton oder Barionenzahl verletzen. In MSSM
wird eine neue Symmetrie eingeführt, die diese Terme im Superpotential nicht erlaubt.
Diese neue Symmetrie wird R-Parität (oder Matter Parity) genannt.
PR = (−1)3(B−L)+2S
(2.51)
mit B und L Baryon und Lepton Nummer und S Spin. R-Parität ist eine multiplikative
Quantenzahl. Alle Standardmodell Teilchen und die Higgs Bosonen haben R-Parität =1,
alle Squarks, Sleptonen, Gauginos oder Higgsinos (Sparticles) R-Parität =-1.
R-Parität Erhaltung bedeutet also:
• Keine Mischung zwischen PR = 1 und PR = −1 Teilchen
• Supersymmetrische Teilchen können nur paarweise erzeugt werden:
• Jeder Wechselwirkungsvertex muss eine gerade Anzahl (normal 0 oder 2) PR =-1
Sparticles haben.
• Ein schweres supersymmetrisches Teilchen kann in ein leichteres zerfallen:
• Das leichteste Sparticle (LSP: lightest supersymmetric particle) muss stabil sein:
B̃(-1) → A(+1) + B(+1) verletzt die R-Paritätserhaltung. Wenn es neutral ist, kann
es nur schwach wechselwirken und ist deshalb ein guter Kandidat für die dunkle
Materie.
• Jedes Sparticle ausser das leichteste zerfällt in einen Zustand mit einer ungeraden
Anzahl LSP (normal 1)
• Supersymmetrische Teilchen sollte man daran erkennen können, dass viel Enerie
fehlt, die vom LSP weggetragen wird.
Beispiel: e+ + e− → ẽ+ + ẽ− mit ẽ+ → e+ + γ̃ und ẽ− → e− + γ̃.
e−
e−
R
@
R
@
@
@_^_^_^
@
0
γ/Z
@
e+
Katharina Müller
Neutralino (LSP)
@
ẽ−
ẽ−
LSP
@
@
R
@
@
27
e+
Supersymmetrie
Supersymmetrischer Zerfall in LSP
Die beiden Photinos (Annahme γ̃=LSP) können nicht beobachtet werden, also fehlt
viel Energie im Detektor.
Katharina Müller
28
Supersymmetrie
Kapitel 3
SUSY Brechung
3.1
Soft SUSY Breaking
Da bis heute keine SUSY Teilchen beobachtet werden konnten, müssen ihre Massen deutlich höher sein als die Massen der uns bekannten Teilchen. Das bedeutet aber, dass die
Supersymmetrie gebrochen sein muss, so wie die elektroschwache Symmetrie im SM. Dabei
muss aber der gewünschte Effekt, dass sich die quadratischen Divergenzen der Fermionen
und Bosonen aufheben, erhalten bleiben, die Brechung darf nur schwach sein. Weiter soll
die Theorie renormierbar bleiben, das heisst, der SUSY-brechende Term darf nur Terme mit Felddimension kleiner als 4 haben.(Quantenfelddimensionen: Boson: 1, Skalar: 1,
Fermion: 3/2 Ableitung(Impuls): 1, Hilfsfeld:2)
Die schwache SUSY Brechung wird normalerweise parametrisiert als:
Lsof t =
1
(Mλ λa λa + cc) − (mij )2 Φj∗ Φi
2
1
1
−( bij Φi Φj + aijk Φi Φj Φk + cc)
2
6
(3.1)
Dies ist ein(renormierbarer Ansatz), der das Unwissen über den Mechanismus, der zur
SUSY-Brechung führt parametrisiert.
Die Lagrangedichte enthält
• Skalare Massenterme
• Gaugino Massenterme für jede Eichgruppe
• und kubische skalare Kopplungen
Katharina Müller
29
Supersymmetrie
da Lsof t nur Skalare und Gauginos enthält, bricht dieser Term offensichtlich die Supersymmetrie und gibt die Massen für alle Skalare und die Gauginos.
In MSSM wird Lsof t zu
Lsof t =
1
(M3 g̃g̃ + M2 W̃ W̃ + M1 B̃ B̃ + cc)
2
1
+ (au Ū QHu − ad D̄QHd − ae ĒLHd )
6
−m2Q Qt Q − m2L Lt L − m2U Ū Ū t − m2D D̄D̄t − m2e Ē Ē t
−m2Hu Hu∗ Hu − m2Hd Hd∗ Hd − (bHu Hd + cc)
(3.2)
Wieder muss man sich nur die skalare Komponente der Supermultipletts denken. Die erste
Zeile gibt die Massen für die Gauginos, die dritte die Massen für die Skalare, wobei die
m2Q etc. 3 ×3 Matrizen sind.
Durch die Symmetriebrechung mussten aber viele neue Parameter eingeführt werden
(M1 , M2 , M3 , au , ad , ae , mq , mL , mu , md , me , mHu , mHd , b), das sind total 105 Massen, Phasen und Mischungswinkel!
Glücklicherweise weiss man, dass viele Parameter zueiander in Beziehung stehen. Wir
zeigen zwei Beispiele, die Flavour verletzen würden und für die es gute experimentelle
Limiten gibt:
γ
µ
s
s
d
g
µ
B
e
e
d
d
g
d
s
s
(b)
(a)
Abbildung 3.1: Diagramme von Prozessen, die Flavour verletzen a) µ → eγ b) zusätzliche
s-d-Mischung
1) Leptonen: der Prozess µ → eγ, der durch den Prozess in Figur 3.1 a) mit soft SUSY
Breaking erlaubt wäre: −(m2e )21 ẽR µ̃∗R . Daraus folgt, dass me diagonal sein muss (in Basis
ẽR µ̃R τ̃R ), analoge Argumente gibt es für die linkshändige SFermion-Massen Matrix. Die
experimentelle Limite 5 × 10−11 ist 5-6 Ordnungen grösser, als vom Zerfall erwartet.
2) Quarks: Der Prozess in Figur 3.1 b) mischt down Squarks und strange Squarks und
führt zu K − K̄ Mischung, die nicht verträglich ist mit Messungen von ∆mK
Katharina Müller
30
Supersymmetrie
Deswegen nimmt man an, dass die Squark und Slepton-Massen-Matrizen flavour-blind
sind, das heisst, nur Diagonalelemente hat, die auch alle gleich gross sind und dass die
Matrizen au , ad , ae proportional zu den entsprechenden Yukawamatrizen sind. Damit bleiben nur noch 14 freie Parameter.
Mit diesem Modell treffen sich die 3 Kopplungskonstanten bei MU ' 2 × 1016 GeV
(Figur 3.2)
60
−1
α1
50
40
−1
α
30
−1
α2
20
10
0
−1
α3
2
4
6
8
10
12
14
Log10(Q/1 GeV)
16
18
Abbildung 3.2: Entwicklung der Kopplungskonstanten in MSSM [1]
Ein Problem von GUT als einzige Erweiterung des Standardmodells war ja, dass
sich die Kopplungskonstanten nicht wirklich treffen. Mit einer supersymmetrischen
Erweiterung des Standardmodells (MSSM) hingegen kann eine perfekte Vereinigung
der Kopplungskonstanten erreicht werden (Figur 1.1). Deutlich zu sehen ist in Figur 1.1 der Einfluss der neuen supersymmetrischen Teilchen bei Energien von etwa 1
TeV. Von dem Fit, bei dem man verlangt, dass sich die Kopplungskonstanten treffen
folgen Voraussagen für die Skalen MGU T und MSU SY sowie die Kopplungskonstante αGU T :
MSU SY = 103.4±0.9±0.4 GeV
MGU T = 1015.8±0.3±0.1 GeV
−1
αGU
T = 126.3 ± 1.9 ± 1.0
(3.3)
Der erste Fehler kommt von Unsicherheiten der Kopplungskonstanten, der zweite von dem
Massensplitting in MSSM.
Katharina Müller
31
Supersymmetrie
Dass sich die drei Kopplungskonstanten in MSSM wirklich treffen, ist ein bemerkenswertes
Resultat von SUSY. Für die beziehung der Steigung der drei Kopplungskonstanten, die
in Standard-GUT nicht mit der Messung übereinstimmte, folgt
B=
b3 − b2
= 0.714(für zwei Higgsdubletts), gemessen:0.719 ± 0.008 ± 0.03
b2 − b1
In den meisten Modellen wird zusätzlich noch angenommen, dass die Massen bei hohen
Energien (GUT) universell sind (keine gute experimentelle Grundlage):
• m0 : skalare Masse
• m1/2 Gaugino Masse
•
q
m20 + µ2 Higgs-Masse, µ kommt aus dem Superpotential
• erst bei kleinen Energien unterscheiden sich dann die Massen
mass [GeV]
Die folgende Grafik zeigt die Entwicklung der Massen mit Q, wenn man von universellen
Massen ausgeht. Die Squarkmassen steigen zu kleinen Q sehr schnell an, da die Entwicklung mit α3 geht, die Sleptonmassen
weniger schnell an. Die Gluinos zeigen ein
tan βsteigen
= 1.65
Verhalten wie die Squarks. Interessant
sind
die
Massen für die Higgs, die starke YukaYb = Yτ
wa Kopplung von Hu an das Top Quark bewirkt, dass m2Hu negativ wird, so dass wir
automatisch elektroschwache Symmetriebrechung haben.
700
600
500
~
qL
Gluino
~
tL
~
tR
√(µ02+m02)
400
300
200
100
m1
m1/2
~
lL
Wino
~
lR
Bino
m0
m2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
log10 Q
Abbildung 3.3: Massen Entwicklung in MSSM (W. de Boer)aus [7]
Katharina Müller
32
Supersymmetrie
Mit der Annahme von universellen Massen und unserem Wissen über elektroschwache
Wechselwirkung , kann man die für die Symmetriebrechung notwendigen 105 Parameter
auf fünf freie Parameter reduzieren. Normalerweise nimmt man :
m1/2 , m20 , mA , tan β, Phase von µ
< Hu > / < Hd >= tan β, mA Masse des CP-odd Higgs-Bosons
(3.4)
• Eine zusätzliche häufige Annahme ist, dass µ reell ist, sonst wären grosse CP verletzende Terme möglich.
• Eine häufige Erweiterung des 5-Parameter Modells erlaubt unabhängige Massen für
Binos, Winos und Gluinos mit den Massen M1 , M2 , M3 statt der universellen Masse
m1/2
3.2
Ursprung von SUSY Brechung
Im letzten Abschnitt haben wir einen Ansatz für den SUSY-brechenden Term gemacht,
in diesem Kapitel schauen wir uns mögliche Ursachen genauer an. Wir haben gesehen,
dass aus Messungen folgt, dass die SUSY-brechenden Terme flavour blind sind.
Dies legt folgendes Modell nahe: die Supersymmetriebrechung geschieht in einem versteckten Sektor (hidden sector). Die Teilchen in dem versteckten Bereich haben keine oder nur
eine sehr schwache Kopplung zu den Teilchen im sichtbaren Bereich. Es gibt aber eine
(flavour-blinde) Wechselwirkung zwischen den beiden Sektoren, die verantwortlich ist für
die Supersymmetriebrechung
• Visible Sector: enthält SM Teilchen und ihre Superpartner
• Hidden Sector: mit Supersymmetriebrechung, er ist nicht direkt oder nur sehr
schwach gekoppelt mit den Teilchen im visible Sector.
• flavour-blinde Wechselwirkung zwischen den Sektoren
Katharina Müller
33
Supersymmetrie
Supersymmetry
breaking origin
(Hidden sector)
Flavor-blind
interactions
MSSM
(Visible sector)
Abbildung 3.4: Schematische Struktur für SUSY Brechung)
Für diese Wechselwirkung gibt es zwei gute Modelle
• MSUGRA: gravity-mediated SUSY breaking, minimal supergravity
• GMSB: Eichwechselwirkung SU (3) × SU (2) × U (1), Gauge mediated SUSY
In diesem Modell gibt es ein sehr leichtes Gravitino G̃, das seine Masse durch das
Goldstino kriegt. Das Gravitino ist LSP. Das bedeutet, dass in jeder S-Teilchen Zerfallsreihe am Ende ein Zerfall vom zweitleichtesten SUSY Teilchen (NLSP: normal
das Neutralino) in LSP stattfindet:
NLSP → Standard-Modell-Teilchen + Gravitino
Katharina Müller
34
Supersymmetrie
3.2.1
Gravity mediated SUSY Breaking
Dieses Modell nimmt an, dass die SUSY brechenden Terme durch Gravitation oder andere
Physik, die bei der Planckskala dazukommt, hervorgerufen wird. Man nennt die Modelle
auch ’Minimal Supergravity’ oder mSUGRA.
SUSY wird im versteckten Sektor gebrochen und hat einen Vakuumserwartungswert <
F >. Für die grössten Massenterme msof t in Lsof t lässt sich eine grobe Abschätzung
machen. Da msof t verschwinden muss für < F >→ 0 (keine SUSY Brechung) und MP →
∞ (keine Gravitation), ist
<F >
msof t ∼
(3.5)
MP
Das bedeutet, dass für msof t typischerweise
√ 100GeV − T eV die Skala für die Supersymmetriebrechung im hidden Sektor etwa < F > ' 1010 − 1011 ist. Das Gravitino wäre
dann ein sehr schweres Teilchen.
Bemerkung: die Kopplungsstärke
λSU SY breaking ∼
<F >
' 10−15
MP2
(3.6)
ist sehr klein, die Wechselwirkungen können also vernachlässigt werden. Das Gravitino
spielt keine Rolle in der Phänomenologie.
3.2.2
Gauge mediated SUSY Breaking, GMSB
Die SUSY brechenden Terme werden durch elektroschwache und starke Eichwechselwirkungen (SU (3)×SU (2)×U (1)) hervorgerufen. Die Eichbosonen koppeln in diesem Modell
an sogenannte Messenger Teilchen, die einen Vakuumserwartungswert < F > haben. Da
die SUSY brechenden Terme verschwinden müssen, wenn die Messenger sehr schwer sind
(Mmess → ∞, SUSY ungebrochen ist (< F >→ 0) und α4πa der Loop Faktor ist, gilt für
msof t :
αa < F >
msof t ∼
(3.7)
4π Mmess
√
Wenn < F > und Mmess ungefähr vergleichbar sind, wäre < F > ∼ 104 − 105 GeV .
Allgemein erwartet man in in GMSB Modellen
√
104 < < F > < 109 GeV
(3.8)
also viel kleiner als in den Gravity Modellen. Man erwartet also ein leichtes Gravitino, das
normal mit dem LSP identifiziert wird. Das leichteste Neutralino kann in das Gravitino
zerfallen.
Katharina Müller
35
Supersymmetrie
3.2.3
Goldstino, Gravitino
Wir wissen, dass bei Symmetriebrechung immer auch ein masseloses Goldstone Boson
erzeugt wird. Bei der Brechung von Supersymmetrie wird analog ein masseloses neutrales
Fermion erzeugt, das Goldstino G̃. Das Goldstino ist die fermionische Komponente des
Supermultipletts, dessen Hilfsfeld einen Vakuumserwartungswert ungleich Null hat. Das
Goldstino hat Wechselwirkung mit den Teilchen und ihren Superpartnern:
ψ
φ
A
λ
G
G
(a)
(b)
Abbildung 3.5: Goldstino Wechselwirkungen
Die Wechselwirkung sind proportional zu 1/ < F >. Sie können vernachlässigt werde für
Supergravitation (< F >> 1011 GeV ), während sie für GMSB Modelle vielleicht beobachtbar werden.
Wenn man aus der Supersymmetrie eine lokale Symmetrie macht, kann man analog wie
bei der elektroschwachen Wechselwirkung vorgehen. Die SUSY Transformation e ist jetzt
nicht mehr konstant: e(x). Die daraus entstehende Theorie heisst Supergravitation. Sie
muss ein weiteres fermionisches Eichfeld enthalten, was mit dem Feld vom Gravitino
(Spin=3/2) identifiziert wird. Sein Superpartner ist ein Spin-2 Boson, das Graviton, beide das Graviton und das Gravitino sind masselos. Wenn SUSY gebrochen wird, kann das
Gravitino das Goldstino absorbieren, wodurch es Masse kriegt, dies ist analog zum Higgs
Mechanismus im Standardmodell. Die je zwei Polarisationszustände des masselosen Eichfeldes und das masselosen Goldstino ergeben zusammen die vier Polarisationszustände
eines massiven Spin-3/2 Teilchens G̃. Man nennt dies auch Super-Higgs-Mechanismus.
Da die Masse des Gravitons immer noch Null ist, ist damit die Supersymmetrie gebrochen. Die Masse des Gravitino (m3/2 ) kann abgeschätzt werden zu
m3/2 '
msof t
MSUGRA
<F >
' 4π msof t Mmess
GMSB
Mp
αa
Mp
(3.9)
In MSUGRA Modellen ist die Masse des Gravitinos von der Grössenordnung msof t also
etwa so gross (> 100GeV ) wie die Massen der anderen SUSY Teilchen. Da es mit der
Kopplungsstärke der Gravitation wechselwirkt, wird es keine Rolle für Colliderphysik
Katharina Müller
36
Supersymmetrie
spielen. In der Kosmologie hingegen kann es sehr wichtig sein, insbesonders, wenn das
Gravitino das LSP ist.
In GMSB Modellen ist das Gravitino viel leichter als die anderen supersymmetrischen
Teilchen, solange Mmess << MP . Damit ist es ziemlich sicher das LSP. Da es vom Goldstino auch die Möglichkeit zu Eichwechselwirkungen geerbt hat,kann es auch eine wichtige
Rolle für die Colliderphysik spielen. Dabei spielt aber nur die longitudinale Komponente,
die erst durch das Goldstino entsteht eine Rolle. Die transversale Komponente hat wie
das Gravitino vor der SUSY Brechung nur Gravitationswechselwirkung.
Katharina Müller
37
Supersymmetrie
Kapitel 4
SUSY Teilchenspektrum
4.1
Supersymmetrische Higgs
In SUSY braucht man zwei Higgs-Dubletts, um allen Fermionen Masse zu geben, Hu =
(Hu+ , Hu0 ) und Hd = (Hd− , Hd0 ) mit insgesamt acht Freiheitsgraden. Drei davon werden
aufgegessen, damit die schwachen Eichbosonen massiv werden, damit bleiben fünf HiggsBosonen, drei davon sind neutral.
• ho Leichtes neutrales Higgs, Skalar
• H o Schweres neutrales Higgs, Skalar.
ho und H o sind Mischungen von Re(Hd0 ) und Re(Hu0 ) mit Mischungswinkel α
• Ao Neutrales Higgs, (CP-odd Eigenzustand) Pseudo-Skalar
Mischung von Im(Hd0 ) und Im(Hu0 ) mit Mischungswinkel tan β
• H + , H − geladene Higgs Skalare
Mischung aus Hd− und Hu+ mit Mischungswinkel tan β
0
Der Vakuumserwartungswert < Hu >2 + < Hd >2 = 2MZ2 /(g 2 + g 2 ) = (174 GeV )2 ist
durch Messungen bestimmt. Das Verhältnis < Hu > / < Hd > ist ein neuer Parameter
(4.1)
< Hu > / < Hd >= tan β
Aus dem skalaren Potential folgt für die Massen:
2
m2H ± = MW
+ m2A
1 2
1q 2
m2H,h =
(mA + MZ2 ) ±
(mA + MZ2 )2 − 4m2A MZ2 cos2 2β
2
2
Katharina Müller
38
(4.2)
Supersymmetrie
In der folgenden Figur 4.1 ist die Masse des leichtesten MSSM Higgsbosons dargestellt
für Werte von tan β zwischen 1.6 und 15
Abbildung 4.1: Masse für das leichteste MSSM Higgs für verschiedene Werte von mA und
tan β (M. Carena et. al.) aus [7]
Die Massen der Higgs hängen also von zwei Parametern tan β und mA ab:
• tan β → 1 :
• tan β → ∞ :
mh = 0,
m2H = MZ2 + m2A
mh = min(MZ , mA ),
mH = max(MZ , mA )
• Die Massen für Ao , H o und H ± können sehr gross werden
• für grosse mA : mA ' mH ' mH ±
• Die Masse von ho ist beschränkt
0 < mh < | cos 2β|MZ
mh < m A < mH
mH > M Z , m H ± > M W
(4.3)
• Radiative Korrekturen für mh sind sehr wichtig und erhöhen die Masse für das
leichteste Higgs.
• mh (top-stop-Loops) beschränken die Masse des leichtesten Higgs auf etwa 150 GeV
• Falls die Masse von ho deutlich grösser ist als 150 GeV , muss es mehr Teilchen geben
als in MSSM. Damit SUSY erfüllt ist, muss aber gelten mh < 190 GeV .
Katharina Müller
39
Supersymmetrie
4.1.1
Higgsnachweis
Bei e+ e− sind die dominanten Produktionskanäle für ho Higgsstrahlung und die Produktion von ho Ao :
1) e+ e− → Z 0 → ho Z ,
2) e+ e− → Z 0 → ho Ao ,
∝ sin2 (β − α)
∝ cos2 (β − α)
(4.4)
Dabei ist α der Mischungswinkel zwischen ho und H o .
m2A − MZ2
cos 2α = −2 cos 2β 2
mH − m2h
(4.5)
• mA gross, tan β ' 1 → mH ' mA , β − α = π/2
ho Z Produktion dominiert, ho ist wie im SM
tanβ
tanβ
• tan β gross → mh ' mA , mH ' MZ β − α ' π
ho Ao Produktion dominiert für mh < 100 GeV
mA (GeV/c2)
mtop = 175 GeV/c2
MSUSY = 1 TeV/c2
Maximal mixing
mtop = 175 GeV/c2
MSUSY = 1 TeV/c2
Maximal mixing
sin2(β-α)
0.01
10
10
0
20
40
60
80
0.10
100
200
0.50
0.90
0.99
1
1
0
20
40
60
80
100
120
0
140
20
40
60
80
100
120
140
2
mh (GeV/c )
2
mh (GeV/c )
Abbildung 4.2: Higgsmasse vs tan β aus [7]
Wie im Standardmodell auch, zerfällt das leichteste Higgs vorwiegend in f f¯ vor allem in
bb̄(85%) und τ τ̄ (8%). Die ho Z Signatur ist gleich wie im SM.
• 4 Jetevents (BR. 64%) ho → bb̄,
Z → q q̄
• 2 Jets und missing Energy (BR. 18%) ho → bb̄,
Z → ν ν̄
• 2 Leptonen und zwei Jets (BR. 9.3%) ho → bb̄,
Z → l+ l−
Katharina Müller
40
Supersymmetrie
Die ho Ao Topologie hingegen, die bei grossen tan β dominiert hat eine komplett andere
Signatur: Ao zerfällt so wie ho , für sehr grosse Massen für Ao wird auch noch der Zerfall
Ao → tt̄ wichtig. Wir erwarten also Endzustände mit bb̄bb̄, bb̄τ τ̄ und mit vier τ und wenn
die Masse von Ao gross genug ist, auch bb̄tt̄ und tt̄τ τ̄ .
Die gegenwärtigen Limiten sind
mh ≥ 82.6 GeV
mA ≥ 84.1 GeV
und mH ≥ 69 GeV
MSSM Higgs parameter
space coverage
5 σ signifiance contours for SUSY Higgses
60
on
pt
le
20
µ
e+
+
on
dr
ha
ha
dr
on
+
τν
30
ha
dr
on
tH ±
,H ±
→
tanβ
40
h → γγ
50
A, H
→
µµ
CMS, 105pb-1
no stop mixing
mstop = 1 TeV
A, H → ττ, 3 x 104pb-1
10
Excluded by LEP
0
200
400
600
mA (GeV)
800
1000
DD_3027
Abbildung 4.3: Limiten für die Masse von ho und Ao von LHC aus [7]
Der Massenbereich für MSSM Higgs, den LHC abdecken wird, ist in Figur 4.3 gezeigt.
4.2
Neutralino und Chargino
Da sie dieselben Quantenzahlen haben, können die neutralen fermionischen Partner der
neutralen Eichbosonen W̃ 0 und B̃ 0 mit den neutralen fermionischen Partnern vom Higgs
0
Boson H̃1,2
mischen. Die vier Neutralinos χ˜0 i sind die Masseneigenzustände, die sich aus
dem Diagonalisieren der Massenmatrix ergeben. Dabei gilt die Konvention Mχ˜0 0 < Mχ˜0 1 <
M ˜0 < M ˜0 . Man nimmt generell an, dass das leichteste Neutralino (χ˜0 ) das leichteste
χ
2
χ
0
3
Katharina Müller
41
Supersymmetrie
supersymmetrische Teilchen ist (LSP), ausser wenn das Gravitino noch leichter sein sollte
oder die R Parität verletzt ist.


Mχ̃0i = 


M1
0
−MZ cos β sin θW MZ sin β sin θW
0
M2
MZ cos β cos θW −MZ sin β cos θW 



−MZ cos β sin θW MZ cos β cos θW
0
−µ
MZ sin β sin θW −MZ sin β cos θW
−µ
0
(4.6)

Die geladenen Higgsinos (H̃d− , H̃u+ ) und die Winos (W̃ + , W̃ − ) mischen zu 2 Masseneigenzuständen, den Charginos χ˜± mit Ladung ±1.
!
√
M
2M
sin
β
2
W
Mχ̃0i = √
(4.7)
2MW sin β
µ
• M1 und M2 sind die Wino und Bino Massenterme in Lsof t sie können reell und
positiv gewählt werden
• µ der Higgs Masseterm, er wird meistens auch positiv gewählt (damit vermeidet
man grosse CP Verletzungsterme).
• Die Terme proportional zu MZ beschreiben die Higgs-Higgsino-Gaugino Kopplung
• tan β = vu /vd das Verhältnis des Vakuumerwartungswertes der beiden Higgsfelder.
• In den meisten SUSY Modellen wird noch eine Beziehung aus GUT benutzt, die die
beiden Gaugino Massen in Beziehung setzt:
M1 =
5
tan θW 2 M2
3
(4.8)
und somit hängen die Neutralino Massen und Mischungswinkel nur noch von drei
Parametern (M1 , tan β, sin θW ) ab.
4.3
Squarks und Sleptonen
Da alle Skalare mit der selben Ladung , R Parität und Farbquantenzahlen mit einander mischen können, gibt es im Prinzip viele Mischterme (Beispiel Mischung von
(ũL , c̃L , t̃L , ũR , c̃R , t̃R ) oder (ẽL , µ̃L , τ̃L , ẽR , µ̃R , τ̃R ) oder (ν̃e , ν̃µ , ν̃τ ). Die meisten dieser
Mischterme sind allerdings sehr klein. Nur die dritte Familie hat signifikante Beiträge
von der Yukawa Kopplung, so dass die ersten beiden Familien in nahezu ungemischten
Katharina Müller
42
Supersymmetrie
Paaren vorkommen. Durch die Kopplung der Squarks an die Gluonen, sind die Squark
Massen grösser als die der Slaptonen. Für die dritte Familie müssen die Mischungsterme berücksichtigt werden. Man findet, dass die Massen tiefer sind als die entsprechende
Masse in den ersten beiden Familien.
4.4
MSSM: unentdeckte Teilchen und Massenspektrum
Die folgende Tabelle fasst die Teilchen zusammen, die zu MSSM gehören, aber bis jetzt
nicht nachgewiesen werden konnten:
Name
Spin PR Massen-Eigenzustände
Higgs Boson
0
+1
ho H o Ao H + H −
ũL ũR d˜L d˜R
Squarks
0
-1
s̃L s̃R c̃L c̃R
t̃L t̃R b̃L b̃R
ẽL ẽR nu
˜e
SLeptones
0
-1
µ̃L µ̃R ν̃µ
τ̃L τ̃R ν̃τ
0
˜
Neutralinos 1/2 -1
χ 1 χ˜0 2 χ˜0 3 χ˜0 4
Chargino
1/2 -1
χ˜± 1 χ˜± 2
Gluino
1/2 -1
g̃
Gravitino
3/2 -1
G̃
Das sind total 32 verschiedene Masseneigenzustände (plus Gravitino)
Katharina Müller
43
Supersymmetrie
Mass
uL, dL
cL, sL
dR, uR
sR, cR
b2, t2
g
b1
t1
N3, N4
C2
N2
C1
νe, eL
νµ, µL
τ2, ντ
eR
µR
τ1
A0, H0, H+
h0
N1
Abbildung 4.4: Beispiel für ein MSSM Massenspektrum (S. Martin p75) aus [1]
• Wenn die R Parität erhalten ist, ist das LSP das leichteste Neutralino, ausser ev.
das Gravitino.
• Das Gluino ist viel schwerer als die Neutralinos oder Charginos und wächst sehr
schnell, da die QCD Kopplung grösser ist als die elektroschwache.
• Die Squarks sind schwerer als die Sleptonen .
• Durch Mischungseffekte sind Stop und Sbottom leichter als die anderen Squarks
• Das leichteste Slepton ist Stau1
• Die Linkshändigen geladenen Leptonen sind schwerer als die rechtshändigen
• Das leichteste neutrale Higgs Boson sollte leichter sein als 150 GeV
4.5
Nachweis von SUSY Teilchen
In diesem Abschnitt werden ein paar Zerfälle besprochen, die für den Nachweis von SUSY
Teilchen wichtig sind.
In jedem R-Parität erhaltenden SUSY Zerfall verschwindet das LSP undetektiert. Wir
haben also fehlende (transverse) Energie.
• Trilepton: drei Leptonen (+ Jets) + Etmiss
• Multijet Ereignisse: 4 Jets + Etmiss
Katharina Müller
44
Supersymmetrie
• Dilepton Ereignisse: 2 leptonen mit gleicher Ladung (+Jets) + Etmiss
• Typische Signatur für Gauge mediated SUSY Brechung
• Signatur bei Verletzung der R-Parität
4.5.1
Trilepton Zerfall
Der Trilepton-Zerfall mit drei Leptonen, fehlender transversalen Energie und möglicherweise noch Jets, hat den Vorteil, dass der Untergrund von Standardmodell- Prozessen
sehr klein ist.
Die Produktion geschieht über die Kopplung der Eichbosonen an Fermionen (AΨΨ) rsp.
Gauginos (Aλλ)
• Chargino, Neutralino Produktion: pp̄ → c̃±
1 ñ2
• Gluino, Squark Produktion pp̄ → g̃g̃, g̃ q̃, q̃ q̃
±
c̃±
1 → l ν ñ1
,
ñ2 → l+ l− ñ1
,
jet + c̃±
1 ñ2
,
+ − +
Abbildung 4.5: typischer Trilepton Zerfall pp̄ → c̃±
1 ñ2 → µ µ e + Etmiss [1].Etmiss von
Neutralinos und Neutrino
4.5.2
Multijets
Dieser Kanal zeichnet sich aus durch mehrere Jets, fehlende transversale Energie und
keine Leptonen.
+ −
• Chargino, Neutralino Produktion: pp̄ → c̃±
1 ñ2 , c̃1 c̃1
Katharina Müller
45
,
c̃±
1 → jj ñ1
,
ñ2 → jj ñ1
Supersymmetrie
• Gluino, Squark Produktion pp̄ → g̃g̃, g̃ q̃, q̃ q̃
g̃ → jj ñ(c̃) ,
,
q̃ → j ñ(c̃)
• Lepton Veto gegen Untergrund von W → lν
Abbildung 4.6: Typischer Multi-Jet Zerfall pp̄ → g̃g̃ → jjjj + Etmiss [1]
4.5.3
Dilepton Zerfall
Der Dilepton-Zerfall hat im Endzustand zwei Leptonen mit gleicher Ladung fehlende
transversale Energie und ev. Jets.
• Chargino, Neutralino Produktion (wie Trilepton Zerfall) pp̄ → c̃±
1 ñ2
±
+ −
l ν ñ1 , ñ2 → l l ñ1
• Gluino, Squark Produktion pp̄ → g̃g̃
unabhängig)
Katharina Müller
46
,
,
c̃±
1 →
±
g̃ → jjc̃±
1 → jjl ñ1 (Ladungen sind
Supersymmetrie
Abbildung 4.7: Typischer Dilepton Zerfall pp̄ → g̃g̃ → l+ l+ + jjjj + Etmiss [1]
4.5.4
Typische Signatur für Gauge mediated SUSY Brechung:
In diesem Modell ist das Gravitino das LSP. Alle supersymmetrischen Teilchen zerfallen
am Ende in das zweitleichteste SUSY Teilchen (NLSP). Dieses zerfällt dann in das
Gravitino und ein SM Teilchen.
Mögliche Kandidaten für das NLSP sind : Neutralino ñ1 , sTau τ̃1 oder Sleptonen ẽR , µ̃R .
Abbildung 4.8: Zerfall vom NLSP a) NLSP= Neutralino b) NLSP = Slepton
Das schwere Neutralino, bzw Slepton zerfällt in das fast masselose Gravitino und
entweder das masselose Photon oder das leichte Slepton. Deshalb müssen die beiden
Zerfallsprodukte grosses pt haben.
Für die Signatur im Detektor ist es wichtig, wie das NLSP zerfällt.
Katharina Müller
47
Supersymmetrie
NLSP ist
Neutralino
Photon mit grossem pt
Zerfall
Prompt
Langsam
Photon mit grossem pt
nicht vom Vertex
wie in MSUGRA
grosses Etmiss
Ausserhalb des
Detektors
4.5.5
Slepton
Lepton mit grossem pt
Multilepton (Multitau) Ereignisse
Lepton mit grossem pt
Zerfallsvertex
’stabiles Slepton’, Track
langsam, falsche µ
Signatur bei Verletzung der R-Parität
Im allgemeinen Superpotential können Terme auftreten, die die Lepton- oder Barionzahl
verletzen, dies wird in MSSM durch die Einführung der R-Parität einer multiplikativen
Quantenzahl, verhindert. (Rp =1 für SM Teilchen, -1 für Sparticles). HERA eignet sich
besonders gut für die Suche nach Rp - verletzenden Prozessen, da damit durch die Kopplung von Squarks an ein Quark-Lepton Paar Squarks resonant erzeugt werden können.
Die zugehörige Lagrangedichte lautet
0
LLi Qj D̄k = λijk [−ẽiL ujL d¯kR −eiL ũjL d¯kR −(ēiL )c ujL d˜kR +Neutrinos + cc] i, j, k : Gererationsindex
(4.9)
0
Die Kopplungen λ1jk erlauben die resonante Produktion von Squarks durch eq Fusion. Es
dominiert dabei die Produktion von ũjL Quarks, da dafür die Dichte der d-Quarks relevant
ist (für d˜¯jR ist ū relevant).
+
+
e
e
λ’ 1j1
~
uLj
d
–
e+, ν e
e+
λ’ 1j1
λ’ 1j1
d
–
~
dR
– –
u j, d j
–j
u
(a)
λ’ 1j1
(c)
Abbildung 4.9: Rp verletzende Produktion von Squarks mit Rp verletzendem Zerfall
Katharina Müller
48
Supersymmetrie
10
3
(a)
10
events
events
Die Signatur ist dieselbe wie für Leptoquarks: ein Jet und entweder ein Positron mit
grossem Transversalimpuls oder fehlendes pt vom Neutrino. Man erwartet ein Signal in
der invarianten Positron-Jet Masse. Dies ist für eine Messung von H1 in Figur 4.10 gezeigt.
4.10 a) zeigt die invariante Masse des Positrons und des Jets 4.10 b) die Veteilung für
Ereignisse mit fehlendem pt . Das Histogramm zeigt das nicht normierte Signal, das man
für ein Squark mit Masse 200 GeV erwarten würde.
H1 data, ye > ycut
10
(b)
2
NC DIS, ye > ycut
(with uncertainty)
2
H1 data
SUSY signal
M squark = 200 GeV
(arbitrary norm.)
10
CC DIS
(with uncertainty)
10
SUSY signal
M squark = 200 GeV
(arbitrary norm.)
1
1
H1
H1
-1
10
-1
100
150
200
10
250
100
150
Me (GeV)
200
250
Mh (GeV)
Abbildung 4.10: Massenspektrum für q̃ → e+ q a) und q̃ → ν̄q b) aus Referenz[8]
Rp erhaltender Squark Zerfall
Die Squarks machen einen sogenannten Eichzerfall und zerfallen in ein Quark und ein
Chargino, Gluino oder ein Neutralino. Diese wiederum zerfallen normalerweise in leichtere
Neutralinos und zwei SM Teilchen. Die Zerfallskette endet mit einem Rp verletzenden
Zerfall des LSP (χ0 ). Rp verletzende Zerfälle des Neutralinos sind:
0
χ0 → e± q q̄ undχ0 → νq q̄
(4.10)
Welcher der beiden Zerfälle dominiert hängt davon ab, ob das Neutralino durch das Photino oder das Zino dominiert wird. Beachtenswert ist, dass die Zerfälle in e+ und e− gleich
häufig vorkommen, dabei ist der Zerfall mit s− und Multijets im Endzustand für einen
Positronstrahl praktisch untergrundfrei ist. Zwei typische Zerfallsketten sind in Figur4.11
gezeigt.
Katharina Müller
49
Supersymmetrie
e+
u, d
λ’ 1j1
–
e q q’
–
( νe q q )
~
uLj
~
χα0, g, χ+β
λ’ 1j1
χ+1
(b)
–
~
dR
~
χα0, g
e–
–j
u
χ01
d
–
d
e+
χ01
q’, l +
uj
~+
e
W+
–
q, ν l
(d)
λ’ 1j1
–
d
Abbildung 4.11: Rp verletzende Produktion von Squarks mit Rp erhaltendem Zerfall.
Beispiel für Rp erhaltenden (a) bzw. verletzenden (b) Zerfall des Neutralinos
Man sucht nach Multijet Ereignissen mit isolierten Leptonen und/oder fehlendem Transversalimpuls. Anzahl beobachtete Ereignisse (94-97) und Anzahl Ereignisse, die im SM
erwartet werden, sind für die verschiedenen Kanäle in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Kanal
e+ q
e+ ν
e+ M J
e− M J
νM J
elM J
νlM J
Signatur
e+ , grosses pt + 1 Jet
fehlendes pt + 1 Jet
e+ + Multijets
e− + Multijets
fehlendes pt + Multijets
e + e+ Multijets
e + µ+ Multijets
fehlendes pt + e Multijets
fehlendes pt + µ Multijets
Katharina Müller
Effizienz %
40-70
30-80
35-50
30
20-60
30
35-50
30
40
50
beobachtet
310
213
159
0
21
0
2
1
0
SM erwartet
301± 23
199 ± 12
151 ± 17
1.3 ± 0.5
23 ± 4
0.7±0.4
±
3.2±1.2
0.5±0.2
Supersymmetrie
4.6
Direkte Suche
Die folgende Tabelle gibt die Limiten für die SUSY Massen (Review of particle porperties
2001: http://pdg.lbl.gov)
χ˜0 1
Bedingung
χ˜0 1 =LSP, all tan β
χ˜0 1 =LSP
unstable ,GMSB
RPV
χ˜± 1
ẽR
µ̃R
τ̃R
ν̃
˜l
q̃
t̃
b̃
g̃
g̃
M 2 < 1T eV /c2
GMSB
RPV
(m(ẽ) − m(χ˜0 )) > 5GeV
(m(ẽ) − m(χ˜0 )) > 3GeV
(m(ẽ) − m(χ˜0 )) > 8GeV
stabil
(m(t̃) − m(χ˜0 )) > 5GeV
(m(b̃) − m(χ˜0 )) > 8GeV
m(q̃) = m(g̃)
m(q̃) = m(g̃)
4.7
Limite (GeV /c2 )
32.3
46
83
23
45
89
150
87
87
82
81
43
80
250
86.4
91
190
154
260
240
Experiment
LEP 2
Kosmologie
D0 +LEP
LEP 2
Z width
LEP2
D0
LEP2
LEP2: 2 e, Etmiss
LEP2: 2 µ, Etmiss
LEP2: 2 τ , Etmiss
LEP Z width
D0 > 2 jets, Etmiss
LEP, D0, CDF
Aleph: b-tagged Dijets
D0, > 2 Jets, Etmiss (MSUGRA)
CDF, 2 Leptonen,2 Jets, Etmiss
D0
CDF
Indirekte Suche: Anomales magnetisches Moment
Das anomale magnetische Moment des Muons eignet sich für die Suche nach Supersymmetrie, weil es sehr präzise gemessen werden kann.
In der Dirac Theorie ist das magnetische Mument gegeben durch:
µ = gµB s, g = 2, s = 1/2 undµB =
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51
eh
2mc
(4.11)
Supersymmetrie
Strahlungskorrekturen (Abstrahlung von γ, Z 0 , H) ergeben Korrekturen zu g:
Muon(g-2) Collaboration, Brookhaven:
Precise measurement of the positive muon anomalous magnetic moment
H.N. Brown, et.al., Phys. Rev. Lett. 86, 2227
Messung:
g−2
αµ (exp) =
= 11659203(15) × 10−10
g
αµ (SM ) = =
=
αµ (QED) =
αµ (schwach) =
αµ (hadronisch) =
0.5(α/π) − 0.32848(α/pi)2 + ...
(11659159.6 ± 6.7)10−10
11658470.56(0.29) × 10−10
15.1(0.4) × 10−10
673.9(6.7) × 10−10
Die Abweichung zwischen Experiment und der Erwartung aus dem Standarsmodell ist
also:
αµ (exp) − αµ (SM ) = 43(16) × 10−10
Die Differenz ist 2.6 mal grösser als der Fehler. Diese Abweichung kann durch SUSY
erklärt werden, da zusätzliche Korrekturen, hauptsächlich durch Smuon-Neutralino und
Sneutrino-Chargino-Loops dazukommen.
In einem SUSY Modell mit degenerierten Massen (mS ) wird die Korrektur zum anomalen
magnetischen Moment:
αµ (SU SY ) ' 140 × 10−11 (
100GeV 2
) tan β
mS
Damit kriegt man für mS 120 − 400GeV für tan β zwischen 4 und 40
Das Problem bei der Messung sind die hadronischen Korrekturen im Standardmodell,
deren Fehler vermutlich unterschätzt wurde.
Katharina Müller
52
Supersymmetrie
Literaturverzeichnis
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http://preprints.cern.ch/cernrep/Welcome.html
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In: 1998 European School on High-Energy Physics, St Andrews, Scotland
[3] D. I. Kazakov: Beyond the standard model (In search of supersymmetry) hepph/0012288
In : European School for High Energy Physics, Caramulo, Portugal, Aug.-Sept. 2000
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http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9611409
[5] J. Bagger: ‘Weak scale supersymmetry:Theory and practice’ – hep-ph/9604232
http://www.pact.cpes.susx.ac.uk/users/edmundjc/EWK/bagger.ps
[6] J. Lykken: ‘An introduction to Supersymmetry’ hep-th/9612114
http://www.pact.cpes.susx.ac.uk/users/edmundjc/EWK/lykken.ps
[7] L. Pape: ‘Introduction to Supersymmetry’
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Katharina Müller
53
Supersymmetrie
[8] H1 Collaboration, Searches at HERA for Squarks in R-Parity Violating Supersymmetry, DESY-01-21, hep-ex/0102050
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http://www-h1.desy.de/psfiles/confpap/EPS2001/H1prelim-01-161.ps
[10] H1 Collaboration, A Search for Excited Fermions in e+ p Collisions at HERA , hepex/0007035
http://www-h1.desy.de/h1/www/publications/htmlsplit/H1prelim-00-060.long.html
[11] Lectures on technicolor and compositness By R.Sekhar Chivukula (Boston U.).
BUHEP-00-24, Jun 2000. hep-ph/0011264
Katharina Müller
54
Supersymmetrie
Index
Bosonen, 10
Ladung, 5
Lagrangedichte, 15, 18, 19
Leptoquarks, 4
Limiten, Higgs, 40
LSP, 11, 40
Chargino, 40
Chirales Supermultiplet, 14
chirales Supermultiplet, 12
Composite Model, 3, 52
Contact Interaction, 52
Masse, Slepton, 41
Masse, Squark, 41
Masseneigenzustand, 40, 41
Massenevolution, 32
Massenspektrum, 42
Masseterme, 17, 19, 58
MSSM, 8, 12
MSSM Wechselwirkung, 22, 25
MSUGRA, 11, 33, 34
Multijets, 44
Multiplett, 5
Dilepton, 45
Eich Supermultiplet, 14
Eichtransformation, 18
Eichwechselwirkung, 19, 26
Fermionen, 10
Gauge mediated, 46
Gaugino, 13
Gaugino Kopplung, 25
Gluino, 13
GMSB, 33, 34
Goldstino, 35
Gravitation, 33
Gravitino, 35
GUT, 3, 4
Natürlichkeitsproblem, 8
Neutralino, 40
Photino, 13
Protonzerfall, 4, 26
Quantenkorrekturen Higgsmasse, 9
Hierarchie Problem, 8
Higgs, 37, 38
Higgsino, 13
Higgsmasse, 8, 37
Higgsnachweis, 38
Hilfsfeld D, 18
Hilfsfeld F, 16
R-Parität, 26, 47
σ-Matrizen, 59
Skalare Kopplung, 24
Slepton, 13, 41
Squark, 13, 41
Standardmodell, 3
String, 3
Substruktur, 52
Kopplungskonstanten, 31
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55
Supersymmetrie
Supergravitation, 11
Superpotential, 17, 58
Supersymmetrie, 8
SUSY Brechung, 11, 29, 33
SUSY Wechselwirkung, 20
Technicolor, 3
Trilepton, 44
Unification, 31
Weinbergwinkel, 5
Wess-Zumino, 16
Weyl-Fermion, 12
Yukawa Kopplung, 26
Yukawa Kopplung an Top, 23
Yukawa Wechselwirkung, 17, 19, 58
Zerfall,
Zerfall,
Zerfall,
Zerfall,
Zerfall,
Dilepton, 45
Gauge mediated, 46
Multijets, 44
R-Parität, 47
Trilepton, 44
Katharina Müller
56
Supersymmetrie