Probeklausur WS 11/12 mit Lösungen

Probeklausur Mathematik
WS 2011/12 -Prof. C. Scheltho¤, FH Aachen
Aufgabe 1:
Wir betrachten die Messreihe
k
0 1 2
xk 0 1 2
yk 2 6 12
a) Wie lautet die Parabel y = ax2 + bx + c durch diese drei Punkte? Uberführen Sie die Parabel in die Scheitelpunktsform?
b) Berechnen Sie mit dem Interpolationsverfahren von Newton die gleiche
Parabel und zeigen Sie durch Ausmultiplizieren der beiden Ergebnisse in a) und
b) dass diese die gleichen Parabeln sind.
c) Bestimmen Sie mit dem Horner Schema den Funktionswert der Parabel
an der Stelle x = 3:
d) Es kommt ein neuer Messwert an der Stelle x3 = 4 mt dem Wert y3 = 30
hinzu. Wie lautet nun das Interpolationspolynom?
Aufgabe 2:
a) Die Summe aller dreistelligen Zahlen ist ... ?
b) Die Summe der ersten n Zahlen ist 630. Wie gross war n?
c) Ein Mathematikdozent hat in seinem Fundus 100 verschiedene Mathematikaufgaben. Wie viele verschiedene Test-Klausuren (unterschiedliche Reihenfolge der Aufgaben ist dabei egal) mit 3 Aufgaben kann er hieraus erstellen
?
Aufgabe 3:
Skizzieren Sie die Funktion
9x2
18x + 4y 2
27 = 0
Aufgabe 4:
Der Zulaufgeschwindigkeit y(x) einer Flüssigkeit zum Zeitpunkt x (x > 0)
betrage in ml/sek
y(x) = x e 2x
1
a) Wann wird die grösste Geschwindigkeit erreicht? Wie gross ist diese?
Was passiert mit der Geschwindigkeit für x ! 1?
b) Welche Menge ‡iesst in den ersten 10 Sekunden insgesamt ? (Integrieren)
c) Sie wollen das Problem lösen, in dem Sie die Funktion um den Punkt x0 =
0 bis zum quadratischen Term entwickeln. Wie lautet nun das Maximum der
Geschwindigkeit? Welche Menge wird nun in den ersten 10 Sekunden insgesamt
verabreicht?
d) Wie gross wir die Gesamtmenge durchgelaufener Flüssigkeit?
Aufgabe 5:
Die Radioaktivität eines Sto¤es mit dem Startwert r(0) = 1000 Einheiten
sei beschrieben duurch
r(t) = 1000 e 0;1 t
(t in Jahren) Wann wird die Aktivität unter 10% fallen, also nur noch 100
Einheiten gross sein?
Aufgabe 6:
Ein rechteckiger Raum habe die Seitenlängen 12 m und 5 m. Fertigen Sie
zunächst eine Skizze an.
a) Wie lang ist die Diagonale ?
b) Welchen Winkel hat die Diagonale zur längeren Seite?
Àufgabe 7:
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen
a) f (x)= sin(x2 1)
p
b) f (x)= ln( x)
c) f (x)=
sin(x)
p
x
Aufgabe 8:
Bestimme Sie die Stammfunktionen von
a) f (x)= sin(4x)
p
b) f (x)= ln( x)
c) f (x)= (sin(x))2 cos(x)
2
Probeklausur Mathematik
WS 2011/12 -Prof. C. Scheltho¤, FH Aachen
Aufgabe 1:
Wir betrachten die Messreihe
k
0 1 2
xk 0 1 2
yk 2 6 12
a) Wie lautet die Parabel y = ax2 + bx + c durch diese drei Punkte? Uberführen Sie die Parabel in die Scheitelpunktsform?
Lösung:
2
6
=
=
!
12 =
!
!
y
c
a+b+2
4=a+b
4a + 2b + 2
10 = 4a + 2b
5 = 2a + b
! a = 1; b = 3; c = 2
= x2 + 3x + 2
Scheitelpunktsform:
x2 + 3x +
9
4
=
3
(x + )2
2
3 2 1
(x + )
2
4
2+
=
1
4
=
0
9
4
b) Berechnen Sie mit dem Interpolationsverfahren von Newton die gleiche
Parabel und zeigen Sie durch Ausmultiplizieren der beiden Ergebnisse in a) und
b) dass diese die gleichen Parabeln sind.
x
0
1
2
y
2
6
12
= 61 20 = 4
6
= 12
2 1 =6
= 62
4
0
=1
3
y
= 2 + 4 x + x (x 1)
= 2 + 4x + x2 x
p
= x2 + 3x + 2
c) Bestimmen Sie mit dem Horner Schema den Funktionswert der Parabel
an der Stelle x = 3:
1 3 2
3 x 3 18
1 6 20
f (3)
= 20
d) Es kommt ein neuer Messwert an der Stelle x3 = 4 mt dem Wert y3 = 30
hinzu. Wie lautet nun das Interpolationspolynom?
x
0
1
2
4
y
2
6
12
30
= 62
= 94
= 16 02 = 4
6
= 12
2 1 =6
30 12
= 4 2 =9
4
0
6
1
= 14
=1
=1
1
0
=0
Das Interpolationspolynom lautet somit
p(x) = 2 + 4 x + x (x
1)
Aufgabe 2:
a) Die Summe aller dreistelligen Zahlen ist ... ?
999
X
n
=
n=100
999
X
n
n=1
=
=
99
X
999 1000
2
494 550
4
n
n=1
99 100
2
b) Die Summe der ersten n Zahlen ist 630. Wie gross war n?
n
X
k=
k=1
n2 + n
1260
1260
n1;2
n (n + 1)
= 630
2
= n2 + n
= 0
r
1 5040
1
=
+
2
4
4
r
5041
1
=
2
4
1 71
=
2
2
Da nur die positive Lösung interessiert, ist
n = 35
c) Ein Mathematikdozent hat in seinem Fundus 100 verschiedene Mathematikaufgaben. Wie viele verschiedene Test-Klausuren (unterschiedliche Reihenfolge der Aufgaben ist dabei egal) mit 3 Aufgaben kann er hieraus erstellen
?
100
3
=
=
100 99 98
= 50 33 98
3 2 1
161700
Aufgabe 3:
Skizzieren Sie die Funktion
9x2
18x + 4y 2
27 = 0
Ellipse:
9(x2
2x + 1) + 4y 2
y2
(x 1)2
+
4
9
x0
a
5
=
9 + 27 = 36
=
1
=
=
1; y0 = 0
2; b = 3
Aufgabe 4:
Der Zulaufgeschwindigkeit y(x) einer Flüssigkeit zum Zeitpunkt x (x > 0)
betrage in ml/sek
y(x) = x e 2x
Graph:
6
a) Wann wird die grösste Geschwindigkeit erreicht? Wie gross ist diese?
Was passiert mit der Geschwindigkeit für x ! 1?
Lösung:
y 0 (x)
= e 2x 2xe 2x
= (1 2x)e 2x = 0
1
2x =
0
1
2
x =
mit
y 00 (x) =
1
y 00 ( ) =
2
(1
2x
2x)e
2e
1
( 2)
2e
2x
<0
lok:M ax
mit
1
1
y( ) = e
2
2
1
=
1
= 0; 184
2e
:
Es gilt
x
1
= lim
=0
x!1 2e2x
e2x
b) Welche Menge ‡iesst in den ersten 10 Sekunden insgesamt? (Integrieren)
lim x e
x!1
2x
= lim
x!1
Partielle Integration:
Z
10
x e
2x
dx =
0
1
xe
2
=
5e
20
=
5e
20
=
0; 25
10
2x
+
0
1
2
Z
10
e
2x
dx
0
1
10
e 2x 0
4
1 20 1
e
+
4
4
c) Sie wollen das Problem lösen, in dem Sie die Funktion um den Punkt x0 =
0 bis zum quadratischen Term entwickeln. Wie lautet nun das Maximum der
Geschwindigkeit? Welche Menge wird nun in den ersten 10 Sekunden insgesamt
durchge‡ossen sein?
7
f (x) = x e 2x
f (0) = 0
f (x) = (1 2x)e 2x
f 0 (0) = 1
f 00 (x) = (1 2x)e 2x ( 2) 2e 2x f 00 (0) = 4
und damit
1 2
f2 (x) = 0 + x +
x = x 2x2
2
Mit dem Maximum
0
f20 (x)
1
1
x =
4
1
f2 (1) =
8
Z
=
10
x
1 2
x
2
2x2 dx =
0
=
4x = 0
50
Bem.: Die Funktionen laufen auseinander
d) Wie gross wir die Gesamtmenge der Infusion?
8
10
2 3
x
3
0
2000
1850
=
3
3
Z
1
x e
2x
dx =
0
=
=
=
lim
R!1
Z
R
x e
5e
2R
lim
5e
2R
R!1
dx = lim
R!1
0
lim
R!1
2x
1
xe
2
R
2x
1
R
e 2x 0
4
1 2R 1
e
+
4
4
+
0
1
2
Z
R
e
2x
dx
0
1
4
Aufgabe 5:
Die Radioaktivität eines Sto¤es mit dem Startwert r(0) = 1000 Einheiten
sei beschrieben duurch
r(t) = 1000 e 0;1 t
(t in Jahren) Wann wird die Aktivität unter 10% fallen, also nur noch 100
Einheiten gross sein?
1000 e
0;1 t
e
0;1 t
0; 1 t
t
=
100
1
=
10
=
ln(10)
= 10 ln(10)
Aufgabe 6:
Ein rechteckiger Raum habe die Seitenlängen 12 m und 5 m. Fertigen Sie
zunächst eine Skizze an.
a) Wie lang ist die Diagonale ?
D=
p
144 + 25 =
p
169 = 13
b) Welchen Winkel hat die Diagonale zur längeren Seite?
cos
=
12
13
=
arccos
9
12
13
Àufgabe 7:
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen
a) f (x)= sin(x2
1)
Kettenregel:
f 0 (x) = 2x cos(x2
1)
p
b) f (x)= ln( x)
1
ln(x)
2
11
2x
::: =
f 0 (x)
c) f (x)=
=
sin(x)
p
x
Quotientenregel:
0
f (x) =
p
1
p
2 x
x cos(x)
sin(x)
x
Aufgabe 8:
Bestimme Sie die Stammfunktionen von
a) f (x)= sin(4x)
Substituiere u = 4x; du = 4dx
Z
sin(4x)dx =
=
=
Z
1
sin(4x)4dx
4
1
( cos(u)) + c
4
1
cos(4x) + c
4
p
b) f (x)= ln( x)
1
2
Z
ln xdx =
1
(x ln(x)
2
c) f (x)= (sin(x))2 cos(x)
10
x) + c
Substituiere u = sin(x); du = cos(x)dx
Z
Z
(sin(x))2 cos(x)dx =
u2 du
=
=
11
1 3
u +c
3
1
sin3 (x) + c
3