Licht und Materie Übung I.2 - 1. Physikalisches Institut

Licht und Materie Übung I.2
Hinweise: Jedes Übungsblatt besteht aus 2 regulären (gekennzeichnet mit einem B) und einer
anspruchsvolleren M Aufgabe. Die Aufgabenteile (a), (b), ... sind entsprechend ihrer Schwierigkeit mit Punkten
gewichtet. Zur Erlangung des Scheins benötigen Bachelor- und Lehramtsstudenten 50% der gesamten Punktzahl. Masterstudenten benötigen 50% der gesamten Punkte und 50% der M-Aufgaben Punkte. Jeder muss
mindestens einmal an der Tafel vorrechnen.
Besprechungstermine: Gruppe 1 Di. 22.11.16, Gruppe 2 Mi. 23.11.16, Gruppe 3 Fr. 25.11.16
Aufgabe 1 Felder und Materie (B, 20 Punkte)
Bei vielen Problemstellungen der Elektrostatik treten Grenzflächen zwischen verschieden Gebieten auf. Die Felder sind
bestimmten Stetigkeitsbedingungen an der Grenzfläche unterlegen, die die Grundlage für weiterführende Betrachtungen bilden (z.B. Fresnel Gleichungen).
(a) (20P) Betrachten Sie die Grenzfläche Vakuum-Metall. Zeigen Sie, ausgehend von den Maxwell-Gleichungen der
4𝜋
Elektrostatik ∇𝑬 = 4𝜋𝜌, ∇ × 𝑬 = 0, ∇𝑩̇ = 0 und ∇ × 𝑩 = 𝒋 folgende Stetigkeitsbedingungen
𝑐
⊥
⊥
− 𝐸Vakuum
(𝐸Metall
) = 4𝜋𝜎𝐹
∥
∥
− 𝐸Vakuum
(𝐸Metall
)=0
⊥
⊥
− 𝐵Vakuum
(𝐵Metall
)=0
4𝜋
∥
∥
− 𝐵Vakuum
𝐽
(𝐵Metall
)=
𝑐 𝐹
wobei 𝜎𝐹 die Oberflächenladungsdichte und 𝐽𝐹 der Oberflächenstrom ist. (Hinweis: Machen Sie Gebrauch von den
Integralsätzen von Gauss und Stokes.)
Aufgabe 2 Röntgenbeugung an Kristallen (B, 35 Punkte)
(a) (10P) Die ersten Röntgenbeugungsexperimente zeigten, dass Röntgenstrahlen elektromagnetische Wellen sind
und Kristalle eine periodische Ordnung haben. Allerdings muss die Wellenlänge der Röntgenstrahlung bekannt
sein, um Absolutwerte für die Gitterkonstanten des Kristalls zu bestimmen. Überlegen Sie sich wie sie die Wellenlänge von Röntgenstrahlen (z.B. Cu K-α) mit Hilfe eines Gitters mit einer Gitterkonstanten 𝑔 = 1µm bestimmen können. Was für Probleme treten auf, und wie könnten sie gelöst werden? (Welche Prazision lässt sich in
einem typischen optischen Experiment für die relevanten Größen ungefähr erreichen?) Geben Sie eine Abschätzung für alle relevanten Winkel und Abmessungen in ihrem Aufbau an.
(b) (10P) Die erste Beugungsordnung von Röntgenstrahlen mit λ=0,154 nm, die Bragg-Reflexion an einer Kubusseitenfläche eines NaCl-Kristalls erfahren, erscheint unter einem Glanzwinkel von 16,2°. Wie groß ist die Gitterkonstante des NaCl-Kristalls? Wie groß ist die daraus berechnete Avogadrokonstante (Teilchenzahl je mol)?
Figure 1 Elementarzelle des kubisch-flächenzentrierten
Kristallgitters von NaCl.
(c) (5P) Wie groß sind Radius und Volumen von Ar-Atomen in einem Ar-Kristall (kubisch-flächenzentriert), wenn bei
der Braggreflexion von Röntgenstrahlen der Wellenlänge 𝜆 = 0,154 nm, die unter dem Winkel 𝜃 gegen die
Netzebene parallel zu den Würfelkanten einfallen, das erste Reflexionsmaximum bei 𝜃 = 13,5° aufftritt?
(d) (10P) Überlegen Sie, wie mit Hilfe eines NaCl-Einkristalls ein Röntgenspektrometer aufgebaut werden könnte. In
welchem Frequenzbereich (symmetrisch um λ=0,154 nm) des Röntgenlichtes wäre das Spektrometer eindeutig?
Aufgabe 3 Dipolmoment, Polarisation und Permittivität von Wasser (M, 30 Punkte)
(a) (5P) Erklären Sie qualitativ das Zustandekommen des permanenten Dipolmoments von Wassermolekülen. Nehmen Sie ein äußeres, homogenes statisches Feld E=E0ez an. Erklären Sie qualitativ, wie sich die Wassermoleküle
im flüssigen oder gasförmigen Zustand ausrichten.
(b) (10P) Die qualitativen Überlegungen aus (a) sollen nun quantitativ untersucht werden. Die potentielle Energie
eines einzelnen Dipols im Feld ist
𝑊(Θ) = −𝒑𝑬 = −𝑝𝐸 cos Θ
Berechnen sie den Mittelwert ⟨𝑝𝑧 ⟩ = 𝑝 cos 𝜃 der z-Komponente des Dipolmoments unter der Annahme, dass
diese Größe Boltzmann verteilt ist, d.h. dass
⟨𝑝𝑧 ⟩ =
∫ 𝑑𝑥𝑝𝑧 (𝑥)𝑒
−𝐸(𝑥)⁄
𝑘𝐵 𝑇
−𝐸(𝑥)⁄
𝑘𝐵 𝑇
∫ 𝑑𝑥𝑒
gilt. Entwickeln Sie die Integranden in eine Potenzreihe und zeigen Sie, dass gilt
𝑝2 𝐸
𝑝𝐸
⟨𝑝𝑧 ⟩ =
))
(1 + 𝒪 (
3𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇
𝑝2
Anhand dieser Gleichung wird die statische Polarisierbarkeit 𝛼 = 3𝑘
𝐵𝑇
definiert.
(c) (10P) Betrachten Sie im Folgenden ein Ensemble von Dipolen. Schließen Sie durch Symmetrieüberlegungen von
⟨𝑝𝑧 ⟩ ≈ 𝛼𝐸 auf ⟨𝒑⟩ ≈ 𝛼𝑬 . Was würden Sie im Grenzfall hoher Felder E physikalisch erwarten (Hinweis: Vergleichen Sie Ihre Überlegung mit dem Resultat aus Aufgabenteil (b))? Bestätigen Sie Ihre Vermutung, indem Sie die
Integration in Aufgabenteil (b) exakt ausführen. Erstellen Sie einen Graph für das exakte und genäherte Resultat
für ⟨𝒑⟩.
(d) (5P) Die Permittivität hängt mit der Polarisierbarkeit über die Moleküldichte 𝑛0 zusammen
𝜖 = 1 + 4𝜋𝑛0 𝛼
Berechnen Sie ε bei Raumtemperatur für 𝑛0 = 0.03Å−3. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert.
Woher kommt die Abweichung?
Zusatzfragen:
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Wie entsteht ein zweiter Regenbogen? Und warum sehen wir diesen schwächer? Warum sehen wir den 3. Regenbogen nicht mehr?
Erklären Sie anhand einer Skizze den dunklen Bereich zwischen dem 1. und 2. Regenbogen
Warum ist das Ohr ein besseres Spektrometer als das Auge?
Warum ist es ungeschickt mit dem U-Boot per Radiowellen zu kommunizieren?
Was ist das sogenannte Wasserfenster?