Technische Mechanik – SS 05

Technische Mechanik – SS 05
Prof. Dr.-Ing. habil. Schulze, HTWK Leipzig
Mitschrift
Zuletzt aktualisiert:
16. September 2005
Anmerkung: kursive Texte u.a. nicht von Prof. Schulze angesprochen -> aus Vorlage-Skript übernommen
Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung…………………………………………………………………………….……… 4
I.1 Definitionen………………………………………………………………………………. 4
II. Statik starrer Körper……………………………………………………………………… 6
II.1. Einführung………………………………………………………………………………. 6
II.2. Die Kraft………………………………………………………………………………… 7
- Das Wesen der Kraft……………………………………………………………………… 7
- Verschiebbarkeit einer Kraft auf ihrer Wirkungslinie (Linienflüchtigkeit)……………… 8
- Einteilung der Kräfte……………………………………………………………………... 8
- Gesetz der Wechselwirkung……………………………………………………………… 9
- Äquivalenz d. Kräfte und Kräftegleichgewicht…………………………………………... 9
- Satz vom Parallelogramm der Kräfte…………………………………………………….. 9
- Äußere & innere Kräfte…………………………………………………………………... 10
- „Freimachen“ (des betrachteten Körpers)………………………………………………... 11
II.3. Kräftesysteme…………………………………………………………………………… 12
II.3.1. Ebene Kräftesysteme………………………………………………………………... 12
II.3.1.1. Kräfte mit gl. Wirkungslinie (nichtzentrales ebenes Kräftesystem)……………. 12
II.3.1.2. Zentrales ebenes Kräftesystem………………………………………………….. 12
II.3.1.3. Allgemeines ebenes Kräftesystem……………………………………………… 14
- Seileckverfahren……………………………………………………………………… 15
II.3.2. Räumliche Kräftesysteme…………………………………………………………... 16
II.4. Momente von Kräften…………………………………………………………………... 16
II.4.1. Moment einer Kraft…………………………………………………………………. 16
II.4.2. Kräftepaar…………………………………………………………………………… 16
II.4.3. Momentensatz für ebene Kräfte…………………………………………………….. 17
- Fall der Äquivalenz…………………………………………………………………….. 17
- Fall des Gleichgewichtes……………………………………………………………….. 17
II.5. Stütz- u. Verbindungskräfte starrer, statisch bestimmter Systeme………………………18
II.5.1. Einfache ebene Tragwerke in der Übersicht………………………………………... 18
II.5.2. Träger auf 2 Stützen………………………………………………………………… 20
II.5.3. Eingespannter Träger……………………………………………………………….. 21
II.5.4. Gerberträger………………………………………………………………………… 21
II.5.5. Räumliche Tragwerke………………………………………………………………. 22
II.6. Schnittkräfte und Schnittmomente……………………………………………………… 23
II.7. Fachwerke………………………………………………………………………………. 25
- Ideales Fachwerk…………………………………………………………………………. 26
- Rundschnittverfahren……………………………………………………………………27
- Rittersches Verfahren…………………………………………………………………... 27
II.8. Seile……………………………………………………………………………………... 29
II.9. Reibung…………………………………………………………………………………. 32
II.9.1. Coulombsche Reibung……………………………………………………………… 32
II.9.2. Seilreibung………………………………………………………………………….. 33
II.9.3. Rollreibung………………………………………………………………………….. 34
II.9.4. Modellierung von Reibungsprozessen……………………………………………… 35
- Gleitreibung…………………………………………………………………………….. 35
- 2 von 60 -
- Prinzip von d’Alembert………………………………………………………………… 35
II.10. Schwerpunktsberechnung -> Selbststudium…………………………………………... 36
II.11. Standsicherheit (& Gleichgewicht)……………………………………………………. 36
- Arten des Gleichgewichts………………………………………………………………… 36
II.12. Mechanische Arbeit / Prinzip der virtuellen Arbeit…………………………………… 37
II.12.1. Grundlagen………………………………………………………………………… 37
- Wirkliche Arbeit………………………………………………………………………... 37
- Konstantes Moment…………………………………………………………………….. 38
- Virtuelle Arbeit (gedachte Arbeit)………………………………………………………38
- Virtuelle Verrückung…………………………………………………………………… 39
II.12.2. Prinzip der virtuellen Arbeit……………………………………………………….. 39
- Arbeitssatz der Statik…………………………………………………………………… 39
II.12.3. Lagrang’sches Befreiungsprinzip………………………………………………….. 39
III. Festigkeitslehre…………………………………………………………………………… 43
III.1. Grundformen der Beanspruchung……………………………………………………… 43
III.2. Begriff der Spannung…………………………………………………………………... 44
III.3. Einachsiger Spannungszustand………………………………………………………… 45
III.4. Zug- u. Druckversuch (Hooke’sches Gesetz)………………………………………….. 46
III.5. Dehnung & Querkontraktion…………………………………………………………... 47
III.6. Erweitertes Hooke’sches Gesetz……………………………………………………….. 48
III.7. Scherbeanspruchung…………………………………………………………………… 48
III.8. Biegebeanspruchung…………………………………………………………………… 49
- Berechnung d. Flächenmomente 2. Grades (Trägheitsmomente)………………………... 50
- Satz von Steiner…………………………………………………………………………... 52
- Hauptträgheitsmomente / Hauptträgheitsachsen…………………………………………. 52
- Biegung gerade Träger…………………………………………………………………… 52
- DGL der Biegelinie………………………………………………………………………. 53
III.9. Torsion…………………………………………………………………………………. 54
III.10. Wärmespannungen…………………………………………………………………….55
III.11. Knickbeanspruchung…………………………………………………………………..55
- Eulersche Knickfälle………………………………………………………………………56
III.12. Ebener und räumlicher Spannungszustand…………………………………………… 58
III.13.Zulässige Spannungen, Belastungsfälle, Beanspruchungsart, Festigkeitshypothesen…58
- Belastungsfälle (I bis III)…………………………………………………………………. 59
- 3 von 60 -
I. Einleitung
I.1 Definitionen
Mechanik
- (griech.) mechane = Werkzeug, Maschine
- Aufgabe: Beschreibung der Bewegung von Körpern in der Umwelt
-> s, v, a, Fi, Mi (eingeschlossen ist Sonderfall v=0
-> gesucht sind immer Beschleunigungsgleichungen
Kinematik
- (griech.) kinema = Bewegung
- Def.: Lehre vom Zusammenhang der Bewegungsgrößen v, s, a; ohne Berücksichtigung
der verursachenden Momente und Kräfte
Kinetik
- (griech.) kinetés = der Bewegte
- Def.: Lehre von der allg. Bewegung unter Einbeziehung von sowohl Bewegungsgrößen
s, v, b als auch der verursachenden Momente und Kräfte
Statik
- (lat.) stare = stehen
- Def.: Lehre von der Berechnung ruhender Körper
-> Statik ist der Sonderfall der Dynamik für v = 0
Dynamik
- (griech.) dynamis = Kraft
- Def: Oberbegriff von Kinetik und Kinematik zu verstehen
Festigkeitslehre
- Def: Berechnung von Spannungen und Verformungen von Körpern (Durchbiegung,
Verdrehung)
- 4 von 60 -
Abgrenzung des Lehrinhaltes und Klassifizierung unter
bestimmter Berücksichtigung der systemtheoretischen Betrachtungsweise
- 5 von 60 -
II. Statik starrer Körper
II.1. Einführung
- sK ist ein Gedankenmodell -> physikal. nicht real aber dennoch von großer prakt. Bedeutung
- Annahme: starrer Körper (weil sonst nicht berechenbar, Auflager verschieben sich etc.)
AH…Horizontalkraft im Festlager
BV =
F*a
l
AH* und BH* nicht berechenbar, da Verformung nicht bekannt
-> Verformungen sind in prakt. Anwendungen so klein, dass sie vernachlässigbar sind
Prüfungsfragen
- Begründen Sie, warum Gedankenmodell des sK in der Statik sinnvoll ist!
[Antw: Durchbiegung bei richtig dimensionierten Trägern ist sehr klein -> Unterschied zw.
AV und AV* sehr gering]
- Erklären Sie technische Mechanik und deren Bedeutung für die Elektrotechnik!
- Erklären Sie Klassifizierung der technischem Mechanik!
- Erklären Sie die Begriffe Kinematik, Kinetik, Dynamik, Statik und Festigkeitslehre!
- 6 von 60 -
II.2. Die Kraft
Das Wesen der Kraft
- als Kraft bezeichnet man die Wechselwirkung von Körpern
- sie wird als Ursache ihrer Wirkung (weil unsichtbar) erklärt
- ihre Wirkung kann bestehen in:
-> Gegenkraft (starre, feste Körper)
-> Formänderung (feste, deformierbare Körper)
-> Bewegungsänderung (feste oder flüssige Körper)
- welche Wirkung sich einstellt hängt von der Konstellation und dem Material der beteiligten
Körper ab
- die Kraft hat vektoriellen Charakter zur eindeutigen Festlegung einer Kraft gehören folgende
Bestimmungsstücke:
Bestimmungsstücke:
1. Größe -> a
2. Richtung -> α
3. Richtungssinn
4. Lage (bzw. Angriffspunkt) -> A
Prüfungsfragen
- Durch welche Bestimmungsstücke ist eine Kraft eindeutig festgelegt?
- 7 von 60 -
Verschiebbarkeit einer Kraft auf ihrer Wirkungslinie (Linienflüchtigkeit)
- eine Kraft kann am sK, und nur für diesen, bel. verschoben werden (zu beachten bei konkreten
Berechnungen)
a…senkrechter Abstand zum Drehpkt.
-> Kraft wirkt auch an Achse 1 genauso
M1 = 0 ⇒ F*a = BV *l
BV =
F*a
l
Einteilung der Kräfte
- 8 von 60 -
Gesetz der Wechselwirkung
„actio est reactio“ (3. Newtonsches Axiom)
Äquivalenz d. Kräfte und Kräftegleichgewicht
- Äquivalenz – alle Kräfte haben die gleiche Wirkung
(E1 ,...,E 5 ) - Kräftegruppe 1
(F1 ,...,F4 ) - Kräftegruppe 2
(1) (E1 ,...,E5 ) = (F1 ,...,F4 ) Äquivalenzgruppe
( 2 ) (E1 ,...,E5 ; F1 ,...,F4 ) = 0 Gleichgewichtsgruppe
Satz vom Parallelogramm der Kräfte
-> Erfahrungssatz (Axiome…)
-> Lageplan: für Richtung
-> Kräfteplan: für Betrag d. Resultierenden
- Äquivalenz: R = F1 + F2
- 9 von 60 -
Aus mehreren Teilkräften ist die resultierende Kraft zu berechnen
-> Umkehrung des Satzes vom Kraft-Parallelogramm zur Kräftezerlegung
- resultierende R angeben
- Richtung der gewünschten Zerlegung gegeben
Äußere & innere Kräfte
- äußere Kräfte: - Wirken von Umgebung auf einen Körper z.B.
-> Eigengewichtskräfte
-> äußere Belastungskräfte
- innere Kräfte: - sind solche zw. einzelnen Teilen desselben Körpers
- um Kräfte „gedankl. Sichtbar“ zu machen, muss man „schneiden“
-> Eulersches Schnittprinzip
- 10 von 60 -
Zugbeanspruchung
-> beim Zusammenführen von S1 muss wieder Originalzustand entstehen
Druckbeanspruchung
- innere Kräfte: S1=G
„Freimachen“ (des betrachteten Körpers)
d.h., klare Formulierung der mechanischen Aufgabenstellung durch „Herauslösen“ aus der
Umgebung
oder: „geschlossener Schnitt“
„Befreien“
„Freischneiden“
„Befreiungsprinzip von Larange“ als Erweiterung (mit Querkräften & Momenten) des
„eulerschen Schnittprinzips“
„Befreiungsprinzip von Lagrange“
- 11 von 60 -
II.3. Kräftesysteme
-> Klassifizierung der Kräftesysteme & Betrachtung Äquivalenz & Gleichgewicht
II.3.1. Ebene Kräftesysteme
II.3.1.1. Kräfte mit gl. Wirkungslinie (nichtzentrales ebenes Kräftesystem)
Äquivalenz
Gleichgewicht
II.3.1.2. Zentrales ebenes Kräftesystem
Lageplan
- Wirkungslinien aller Kräfte treffen sich in einem Punkt
- 12 von 60 -
Kräftepan
3. Schritt: Parallelverschiebung der Resultierenden von Schritt 2 auf Schritt 1
-> im Regelfall wird R analytisch berechnet
Analytisch: 1) sin/cos-Satz ist eine Möglichkeit –> nicht sehr vorteilhaft
2) Koordinatensystem einführen -> vorteilhaft
F1y = F1*sinα ; F1x = F1*cosα
F1 = F1y 2 + F1x 2
Beispiel:
- 13 von 60 -
R X = -F1X + F2X + F3X
= F1*cosγ + F2 *cosα + F3 *cosβ
R Y = F1*sinγ + F2 *sinα - F3 *sinβ
R = R X2 + R Y2
tanδ =
RX
RY
Gleichgewicht
∑F
ix
=0
∑F
iy
=0
II.3.1.3. Allgemeines ebenes Kräftesystem
- allgemein bedeutet, die Kräfte greifen nicht an einem Pkt. an
- Lösungsvarianten:
1) graphisch durch Reduktion mit Hilfe von Teilresultierenden oder mit Hilfe des Seilecks
2) analytisch mit Hilfe des Momentensatzes
1) graph. Lösung: Wirkungslinien zweier Kräfte sind zum Schnitt zu bringen und die
entsprechende Teilresultierende zu bestimmen -> dann erfolgt
Zusammenfassen mit nächster Kraft, usw.
-> dieses Verfahren versagt bei parallelen bzw. nah parallelen Kräften -> hierfür muss
Seileckverfahren angewendet werden
- 14 von 60 -
Seileckverfahren
Zuerst rechte Seite zeichnen, dann auf linke Seite übertragen
Reihenfolge zur Vorgehensweise (Seileck):
1. Gegeben sind die Kräfte F1, F2, F3 (im Lageplan, nahezu parallel)
Gesucht ist die Resultierende nach Betrag und Lage
2. Zu zeichnen ist der Kräfte-Plan (damit ist die Resultierende nach Betrag und Richtung
bekannt, unbekannt ist aber die Lage im Lageplan)
3. Im Kräfte-Plan wird zweckmäßig, aber beliebig der Pol 0 gewählt und damit die Polstrahlen
1, 2, 3, 4 gezeichnet
4. Polstrahl 1 ist mit Wirkungslinie von F1 zum Schnitt zu bringen, anschließend sind gemäß
Vorlage die Polstrahlen zu 2, 3, 4 einzutragen
5. Im Schnittpunkt der Schnittstrahlen 1 und 4 ist die Resultierende aus dem Kräfteplan
einzutragen
- 15 von 60 -
II.3.2. Räumliche Kräftesysteme
- im Prinzip alles wie bisher, nur analog erweitert
- grundsätzlich nur analytische Betrachtungsweise
II.4. Momente von Kräften
II.4.1. Moment einer Kraft
Festlegung:
Links gedrehtes Moment = positives Moment
Rechts gedrehtes Moment = negatives Moment
II.4.2. Kräftepaar
parallel, gegenläufig
- 16 von 60 -
Kraftschraube
Prüfungsfragen
1. Durch welche Bestimmungsstücke ist Kraft definiert ?
[Anw.: Größe, Richtung, Richtungssinn, Lage (bzw. Angriffspunkt)]
2. Gegeben sind mehrere Kräfte, die an einem Körper angreifen -> zur Mitte ist die
Resultierende zu ermitteln
3. Wie ermitteln Sie grafisch zweckmäßig die Resultierende bei parallelen Kräften in der
Ebene?
[Antw.: Seileck-Verfahren]
II.4.3. Momentensatz für ebene Kräfte
- in gleicher Weise anwendbar für zentrale und allgemeine ebene Kräfte und für Äquivalenz und
Gleichgewicht
Momentsatz für ein beliebiges allgemeines ebenes Kräfte-System:
- Eine vorteilhafte Alternative selbst für den Fall paralleler Kräfte
- Das Moment der Resultierenden eines ebenen Kräfte-Systems für einen beliebigen
Bezugspunkt 0 ist gleich der algebraischen Summe der Momente der Einzelkräfte für diesen
Bezugspunkt
-> Def. nur für sK, weil Linienflüchtigkeit vorausgesetzt ist
- 17 von 60 -
Fall der Äquivalenz
Fall des Gleichgewichtes
M0 = 0
M 0 = - F1 ia1 - F2 ia 2 - F3 ia 3 + R * ia r*
F1 ia1 + F2 ia 2 + F3 ia 3
R*
Wenn R * = R ⇒ a r * = a r
a r* =
II.5. Stütz- u. Verbindungskräfte starrer, statisch bestimmter Systeme
II.5.1. Einfache ebene Tragwerke in der Übersicht
- von statisch bestimmten Tragwerken spricht man, wenn alle Stützkräfte bzw. Stützmomente
nur mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen ∑ H i = 0 ; ∑ Vi = 0 ; ∑ M i = 0 für Kräfte und
Momente eindeutig berechnet werden können
- bei stat. unbestimmten Systemen kann d. Berechnung nur dann eindeutig erfolgen, wenn
zusätzl. Verformungsbed. mitberücksichtigt werden
Stützarten von Tragwerken (Wertigkeit von Auflagern)
1) Gleitlager (einwertig) – bewegliches Auflager
Auflagekraft immer senkrecht zur Bewegungsebene (z.B. Pendelstütze)
- 18 von 60 -
2) Gelenklager (zweiwertig) – festes Auflager
3) Einspannung (dreiwertig)
Für konkrete Tragwerksberechnungen können die hier eingetragenen Kräfte (bzw. Momente) für
beliebige Richtungen angenommen werden.
Die Berechnung wird grundsätzlich mit den angenommen Richtungen durchgeführt.
Erhält man für die angenommenen Kräfte (bzw. Momente) einen positiven Wert, so entspricht
der angenommene Richtungssinn dem wahren Wert.
Bei einem negativen Wert ist der Richtungssinn umzukehren.
1. Träger auf 2 Stützen
2. Eingespannter Träger (Kranträger)
- 19 von 60 -
3. Gerberträger
4. Dreigelenkbögen
II.5.2. Träger auf 2 Stützen
Die Lösung aller statisch bestimmten ebenen Tragwerke erfolgt durch die Anwendung der 3
Beziehungen (für einen beliebigen Bezugspunkt der Ebene):
Σ Hi = 0
Σ Vi = 0
Σ Mi = 0
- 20 von 60 -
II.5.3. Eingespannter Träger
MA…Einspannmoment
->d.h. das Stützmoment MA wirkt in entgegengesetzter Richtung
II.5.4. Gerberträger
Zur Berechnung des Gerberträgers ist der Gesamtträger jeweils an den Gelenken zu trennen.
Zur Berechnung der Stützkräfte sind an jedem Gelenk Verbindungskräfte am linken und rechten
Schnittufer entgegengesetzt einzutragen, sodass beim Zusammenfügen Σ Hi = 0 und Σ Vi = 0 ist.
(Zu beachten: Durch ein Gelenk kann kein Moment übertragen werden!)
- 21 von 60 -
- I und II können in einfacher Weise wie Träger auf 2 Stützen berechnet werden -> sind also in
jedem Fall statisch bestimmt
- wichtig für die Berechnung ist, dass man mit dem richtigen Trägerteil beginnt -> hier II
Lösung:
Mg = 0 -> CV
Mg = 0 -> VV
Σ Mi = 0 -> VH
Damit sind die Verbindungskräfte bekannt.
Diese werden für den Träger 1 gemäß Bild als Belastung eingetragen.
-> Berechnung des Träger 1 erfolgt leicht in bekannter Weise
II.5.5. Räumliche Tragwerke
- kein neuer prinzipieller methodischer Ansatz -> einfache analoge Erweiterung
- einzige Besonderheit: es gibt 6 Freiheitsgrade
„räumlicher Fall“
∑ F = 0 

∑ F = 0  Translation (Verschiebung)

∑ F = 0 
∑ M = 0 

∑ M = 0  Rotation (Verdrehung)

∑ M = 0 
ix
iy
iz
-> grundsätzlich erfolgt die Berechnung analytisch
x
y
z
- 22 von 60 -
II.6. Schnittkräfte und Schnittmomente
- innere Kräfte & Momente, deren Kenntnis für d. Dimensionierung erforderl. ist
- typische Aufgabenstellung:
Für ein gegebenes mechan. System sind anzugeben die Diagramme für Normalkraft,
Querkraft und Moment
Allgemeine Zielstellung:
• Ermittlung desjenigen Schnittpunktes bei einem Tragwerk, bei dem die höchste
Materialbeanspruchung auftritt
• Gesucht ist eine einfache Darstellung, die es Anschaulicherweise gestattet, dieses Problem zu
lösen
-> Es geht also um die Ermittlung sog. Schnittkraftdiagramme
F ... Schnittkraft
Die Schnittkraft ist im vorliegenden Fall eine Normalkraft
Im Allgemeinen erhält man in der Schnittebene die folgenden Reaktionen:
(BILD IN DER PRÜFUNG GEGEBEN)
linkes Schnittufer
rechtes Schnittufer
Die rote gestrichelte Linie kennzeichnet die angenommene Zugzone.
- 23 von 60 -
N ... Normalkraft
Q ... Querkraft
M ... Schnittmoment
Zugzone und positiv definierte N, Q, M sind in vorgegebener Weise festgelegt!
Dieses Bild ist in Verbindung mit der angenommen Zone die positive Definition der
Schnittkraftreaktionen.
Vorgehensweise zur Ermittlung der Schnittkraftdiagramme:
1. Berechnung der Stützkräfte bzw. Stützmomente
2. Eintragen der in (1) berechneten Stützkräfte bzw. Stützmomente in physikalisch richtiger
Wirkung (z.B. wenn BV negativ wäre, ist die Richtung umzukehren)
Beispiel:
- 24 von 60 -
Dimensionierung erfolgt anhand maximaler Belastung (hier: Mitte) -> wesentliche Belastung &
Beanspruchung folgt aus der Momentbelastung


 bei schlanken Trägern sind σ N & τ vergl. klein
Q
τ=
Schubspannung 

Α
M
M
σM = * y =
→ Hauptbelastung
J
W
σN =
N
A
Zugspannung
Spannungsnachweis (in 2 Schritten):
I ) σ ∑ = σΜ + σ Ν 

!


τ
II )
σ ∑ < σ zulässig
τ < τzulässig
σ∑ 
 nach Vorschrift Berechnung einer Vergleichsspannung σ V
τ 
⇒ σV < σ zulässig
II.7. Fachwerke
- behandelt werden nur ebene Fachwerke, die statisch bestimmt gelagert sind
- Stützkräfte sind wie bisher zu berechnen
- Fachwerke werden angeordnet um Material zu sparen, geringeres Gewicht usw.
- 25 von 60 -
Ideales Fachwerk
1. Alle Stäbe sind starr und gerade
2. Belastung: Einzelkräfte nur in den Knoten [durch Zug- oder Druckkräfte beansprucht]
-> keine Momentbeanspruchung der Stäbe
3. Alle Stäbe sind gelenkig und reibungsfrei verbunden
4. Gelenk: Schnittpunkt der „angreifenden“ Stabachsen
Die Berechnung der Stabachsen erfolgt im Normalfall analytisch
Prüfungsfragen
- Was verstehen Sie unter einem Fachwerk und welche vereinfachten Annahmen sind
erforderlich, um eine einfache Berechnung durchzuführen?
- Welche Berechnungsverfahren kennen Sie? (kurze Charakterisierung)
- Welche Vorgehensweise ist für die Berechnung eines idealen Fachwerkes zu empfehlen?
Berechnung
1. Stützkräfte (wie üblich)
2. Stabkräfte
a) grafisch (Gremonaplan) -> Lös. Für gesamtes Fachwerk im Kräfteplan
- heute seltener verwendet, da analytisches bevorzugt
b) analytisch
1) Rundschnittverfahren
- nach Berechnung d. Stützkräfte erfolgt Berechnung d. Stabkräfte durch
Σ H = 0 und Σ V = 0 (Gleichgewichtsbeziehungen) für jeden Knoten
i
i
- Begin zweckmäßiger Weise am äußeren Knoten
- wesentl. Nachteil: Berechnungsfehler pflanzen sich durch gesamtes
Tragwerk
-> !
2) Rittersches Verfahren („Ritter-Schnitt“ im Fachwerk)
- im Regelfall das vorteilhafteste Verfahren
- einfache Berechnung auch umfangreicher Tragwerke
- keine Fehlerfortpflanzung
- Schnelle Überprüfung von Rechenergebnissen, selbst bei sehr
umfangreichen Fachwerken
- 26 von 60 -
1) Beispiel zum Rundschnittverfahren
1) Berechnung der Stützkräfte -> B
2)
∑V = 0
i
3)
∑H
i
=0
S3V − B = 0
S3H − S2 = 0
⇒ S3V ,S3 ,S3H
⇒ S2 = S3H
2) Beispiel zum Ritterschen Verfahren
- 27 von 60 -
-> AV, AH, BV sind berechnet und daher bekannt
- mit eingetragenem Schnitt wird beabsichtigt, die geschnittenen Stabkräfte S2, S4, S5 zu
berechnen (immer die Stabkräfte, wo der Schnitt durch geht)
- zur Berechnung von den unbekannten Stabkräften kann man sowohl die linke als rechte
Trägerhälfte verwenden
- im Folgenden wird die rechte Trägerhälfte verwendet
M IV = 0 ⇒ S2 (neg.) 

M II = 0 ⇒ S5 (pos.)  rechtes Fachwerkteil
M I = 0 ⇒ S4 (neg.) 
M II = 0 ⇒ S5 

M IV = 0 ⇒ S2  linkes Fachwerkteil
M I = 0 ⇒ S4 
∑H
∑H
i
= 0 ⇒ S1 (Knoten I)
BV *l


 BV *l +S2 *h=0 S2 = − h



 BV *l -S5 *l =0 S2 = BV


B *2*l 
 BV *2*l +S4 *l =0 S4 = − V

l


- 28 von 60 -
i
= 0 ⇒ S3 (Knoten III)
II.8. Seile
- werden auch als biegeschlaffe Tragwerke bezeichnet, weil sie oft nur zugbeansprucht werden
können
- es gibt 2 typische Aufgabenstellungen:
1. Ermittlung der Seillage/~kurve
2. Ermittlung der Seilkräfte
2 Arten von Lösungen:
1) für genaue Lösungen ist die Ermittlung analytisch durchzuführen (mit DGL)
2) in vielen Fällen reicht ein grafisches Näherungsverfahren aus, und zwar das Seileckverfahren
Der analytische Ansatz erfolgt in folgender Weise:
ΣH=0
- S + dF + S + dS = 0
x
x
x
x
ΣV=0
- S + dF + S + dS = 0
y
y
y
y
-> Lösung dieser differentiellen Ansätze führt
zur genauen Lösung
- 29 von 60 -
(nicht prüfungsrelevant)
Näherungsverfahren mit Seileck (in vielen Fällen ausreichend):
- einfache graph. Ermittlung der Seilkurve, Seilkräfte, sowie der Auflagerkräfte
Prüfungsfragen
- Gegeben sind die Lagerpunkte für die Aufhängung eines Seils, dass mit senkrechten Kräften
belastet ist -> Zu bestimmen sind mit Hilfe des Seilecks die Seilkräfte, die Auflagerkräfte und
die Seillage (u.U. ist der Durchhang vorgegeben)!
- 30 von 60 -
(1)
Einfluss der Pollage auf die Seilkurve u. -Kräfte (2):
- 31 von 60 -
Anleitung:
(1) Zeichnen des Kraftecks -> Beginn mit F1 und F2
(2) Wahl des Pols 0 entsprechend der Vorgaben (mit d. Wahl des Pols werden sowohl die
Seillage als auch die Seilkräfte beeinflusst)
II.9. Reibung
II.9.1. Coulombsche Reibung
-> Trockenreibung
-> Erfahrungsgesetz
-> Reibung hängt nicht von Fläche und Geschwindigkeit ab
R=µ•N
Coulomb
- Reibungsvorgänge sind grundsätzlich nicht linear
- Reibung ist grundsätzlich dort anzunehmen, wo Massen sind
- das dynamische Verhalten von Massen mit Reibung kann unter bestimmten Voraussetzungen
auch in Form eines Signalflussbildes dargestellt werden
- 32 von 60 -
Ruhereibungskoeffizient > Gleitreibungskoeffizient
- eine wichtige technische Anwendung der Reibung ist die Seilreibung
-> Standartbeispiel in der Fachliteratur
II.9.2. Seilreibung
-> Lösung ergibt sich durch Gleichgewichtsbedingung de Tangentialkräfte
Gleichgewichtsbedingung in Achsenrichtung
dα
dα
+ dR = ( S+dS) ⋅ cos
2
2
⇒ dR = dS
S ⋅ cos
dR = µdN = dS
mit cos
dα
≈1
2
(1)
Gleichgewichtsbedingung senkrecht zur Achsenrichtung
dα
dα
+ ( S+dS ) ⋅ sin
2
2
dα
dα
dα
⇒ dN = S
+S
+ dS
2
2 2
dN = S ⋅ sin
dN = S ⋅ dα
( 2)
mit sin
dα dα
≈
2
2
=0
- 33 von 60 -
( Bogenmaß )
(2) in (1):
µ ⋅ S ⋅ dα = dS
dS
= µ ⋅ dα
S
Integration:
α
S1
dS 0
∫ S = ∫0 µ ⋅ dα
S0
[ln S]S
S1
0
⇒ ln
e
ln
S1
S0
= lnS1 − lnS0 = ln
S1
S0
S1
= µ ⋅ α0
S0
=
S1
= e µ ⋅α 0
S0
S1 = S0 ⋅ eµ⋅α0
II.9.3. Rollreibung
∑V = 0
⇒
A=G
⇒ G ⋅ f = A ⋅ f = MR
M R ...Rollreibungsmoment
f...Hebelarm der Rollreibung
- 34 von 60 -
II.9.4. Modellierung von Reibungsprozessen
Gleitreibung
nur bei ν ≠ 0
FR ( ν ≠ 0 )
Arten: (1) Festkörper-Reibung (trockene od. coulombsche Reibung)
FC ± = µ r ⋅ FN
(2) Flüssigkeitsreibung
Fd = d ⋅ v
(3) Misch-Reibung
Prinzip von d’Alembert
Translation
∑H
i
=0
i
F − m ⋅ ɺɺ
x=0
-> Vorschrift für eine Mischstelle
- 35 von 60 -
II.10. Schwerpunktsberechnung -> Selbststudium
Prüfungsfrage
- Was wissen Sie über Schwerpunktsberechnung (akademische Antwort!!!)?
von Körpern
von Flächen
von Linien
II.11. Standsicherheit (& Gleichgewicht)
Arten des Gleichgewichts
sicheres, stabiles Gleichgewicht
unsicheres, labiles Gleichgewicht
unentscheidendes, indifferentes Gleichgewicht
- 36 von 60 -
Standsicherheit
(a)
(b)
S=
M St
MK
MSt…Standmoment
MK…Kippmoment
(a) standsichere Lage: S > 1
(b) Kippgrenze:
S=1
(c) Kippen:
S<1
Kippachse
-> richtet sich immer nach d. Lage d. Resultierenden im Verhältnis zur Kippachse
Kippmoment = F * c
(c…Hebelarm)
(c)
II.12. Mechanische Arbeit / Prinzip der virtuellen Arbeit
II.12.1. Grundlagen
1)
Wirkliche Arbeit = Kraft * Weg
- 37 von 60 -
2)
Virtuelle Arbeit (gedachte Arbeit)
- 2 Möglichkeiten:
1. Wirkliche Kräfte und Momente
„+“
„virtuelle“ Verrückungen (Oberbegriff für Verschiebung + Verdrehung)
-> Fi , Mi
2. „virtuelle“ Kräfte und Momente
„+“
wirkliche Verrückungen
-> vx , vy , vz , φi
- Def: 1) Eine gedachte, in Wirklichkeit nicht unbedingt in dieser Form eintretende
Verschiebung
2) Infinitesimal kleine Verschiebung (aber von Null verschieden), wobei die
Richtungsänderung der Verschiebungskräfte vernachlässigbar ist
3) Eine mit der geometrischen Konfiguration verträgliche Verschiebung, muss also
geometrisch und physikalisch möglich sein, ohne die Auflager und Zusammenhangsbedingungen zu verletzen
- 38 von 60 -
4) Verschiebung muss so langsam erfolgen, dass keine Trägheitskräfte zu
berücksichtigen sind
Virtuelle Verrückung
- Verschiebung: δx , δr
- Verdrehung: δφ
• Virtuelle Arbeit einer Kraft
δW = ∫ dF ⋅ δ r
F
• n Einzelkräfte
n n
δW = ∑ Fx1 ⋅ δri = ∑ Fx1 ⋅ δ x1 + Fy1 ⋅ δ y1 + Fz1 ⋅ δz1
i =1
i =1
(
)
• zusätzlich M j
n m δW = ∑ Fi ⋅ δ ri = ∑ M j ⋅ δϕ i
i =1
j=1
II.12.2. Prinzip der virtuellen Arbeit
Arbeitssatz der Statik
- die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte und Momente ist Null, wenn das System eine virtuelle
Verrückung aus seiner Gleichgewichtslage erfährt
-> auch die Umkehrung gilt:
Ein mechan. System ist im Gleichgewicht, wenn bei jeder beliebigen Verrückung die
virtuelle Arbeit aller äußeren Kräfte + Momente verschwindet
- das Prinzip der virtuellen Arbeit ist eine Erweiterung der Gleichgewichtsbedingungen u. ist
wie diese als Axiom aufzufassen
n m ⇒ δW = ∑ Fi ⋅ δ ri = ∑ M j ⋅ δϕ i = 0
i =1
(Axiom!)
j=1
II.12.3. Lagrang’sches Befreiungsprinzip
- Ziel: einf. Berechnung von mechan. Systemen in Verbindung mit dem Prinzip d. virt. Arbeit
- Stand bisher: Wird d. Bew. (eines mechan. Körpers) durch feste Lagerung verhindert, ist
keine virtuelle Verschiebung möglich, d.h. Prinzip d. virt. Arbeit kann nicht
sinnvoll angewendet werden
-> Abhilfe durch Lagrang’sches Befreiungsprinzip:
- 39 von 60 -
o durch Schnitt bzw. Entfernen der Lagerfessel kann ein mechanisches System beweglich
gemacht werden
o dabei müssen ersatzweise die entsprechenden Schnitt- oder Lagerkräfte eingeführt werden,
die als eingeprägte (äußere) Kräfte anzusehen ist
Beispiel am Gerberträger
Berechnung von A
-> Es sind die Stützkräfte zu berechnen nach Prinzip d. virt. Arbeit
δΑ 3a 3
=
=
δF 2a 2
3
⇒ δΑ = ⋅ δF
2
δW = −A ⋅ δΑ + F ⋅ δF = 0
⇒ −A ⋅ δΑ + F ⋅ δF = 0
3
3


−A ⋅ ⋅ δF + F ⋅ δF =  −A ⋅ + F ⋅ δF = 0
2
2


2
A = ⋅F
3
oder Berechnung auf diese Weise:
- 40 von 60 -
δW = − M A δϕ + M Fδϕ = 0
= −A ⋅ 3a ⋅ δϕ + F ⋅ 2a ⋅ δϕ
= [ −A ⋅ 3a + F ⋅ 2a ] ⋅ δϕ = 0
2
⇒ A = ⋅F
3
Berechnung von B („über“ Verschiebung)
δG 3a
= ⇒ δG = 3 ⋅ δ F
δF
a
δG 2a
=
⇒ δG = 2 ⋅ δ B
δB
a
3
⇒ 3 ⋅ δF = 2 ⋅ δB ⇒ δB = ⋅ δF
2
δW = − B ⋅ δB + F ⋅ δF = 0
3
3


− B ⋅ ⋅ δ F + F ⋅ δF =  − B ⋅ + F  ⋅ δ F = 0
2
2


2
B = ⋅F
3
- 41 von 60 -
oder Berechnung „über“ virtuelle Verdrehung:
δW1 = M Fδ ϕ1 + M G δϕ1 = 0 ⇒ M F + M G = 0 ⇒ M F + 3a ⋅ G = 0
δW2 = M Bδϕ2 + M G δϕ2 = 0 ⇒ M B + M G = 0 ⇒ M B + 2a ⋅ G = 0
MF
MB
= −G
= −G
3a
2a
M
M
F⋅a B⋅a
⇒ F = B⇒
=
3a
2a
3a
2a
2
B = ⋅F
3
- wesentlicher Vorteil:
o nur die eingeprägten Kräfte gehen gleichmäßig in die virtuelle Arbeit ein, nicht aber die
Bindungskräfte und Auflagerreaktionen
o die gesuchten Kräfte bzw. das gesuchte Moment kann vorteilhaft isoliert im Ansatz
berücksichtigt werden
o unter Berücksichtigung des „Prinzips von d’Alembert“ kann das Prinzip der virtuellen Arbeit
auch für die Lösung dynamischer Probleme verwendet werden
- 42 von 60 -
III. Festigkeitslehre
III.1. Grundformen der Beanspruchung
Zugbeanspruchung
1)
2)
1) Druckbeanspruchung
2) Knickbeanspruchung (Biegung infolge
Druck bei schlanken
Stäben)
reine Biegebeanspruchung
Schub infolge einer Torsionsbeanspruchung
Schubbeanspruchung
- 43 von 60 -
III.2. Begriff der Spannung
dS
dA
dN
δN =
dA
dQ
τ=
dA
δ res =
- 44 von 60 -
III.3. Einachsiger Spannungszustand
einachsiger Spannungszustand:
-> Berechnung der max. Normal- (σ) u.
Schubspannung (τ)
(ohne komplizierte Berechnung mithilfe
des Mohrschen Spannungskreises)
aus Mohrschem Spannungskreis folgt für:
α=0
->
α=45 ->
- 45 von 60 -
σ= σmax
τ=0
σ eine Zwischengröße
τ= τmax
III.4. Zug- u. Druckversuch (Hooke’sches Gesetz)
σ=
F
A
Dehnung: ε =
∆l
l0
Elastizität
σ = E⋅ε
Hooke’sches Gesetz
 N 
E = tanϕ  2 
E...Elastizitätsmodul
 cm 
1
=α
α...Dehnungs- od. Elastizitätsmaß
E
-> Versagen des Betons durch max.
Schubspannung
tanφ = E
- 46 von 60 -
Beispielaufgabe
gesucht: ∆ l=?
Lösung:
∆l = f ( E,A,l0 , F )
1. ε =
∆l
l0
2. σ =
F
A
3. σ = E ⋅ ε =
∆l
⋅E
l0
F ∆l
= ⋅E
A l0
∆l =
F ⋅ l0
A⋅E
III.5. Dehnung & Querkontraktion
ε=
∆l
l0
εq =
Zug:
d − D ∆d
=
D
D
ε q ...Querkontraktion
ε > 0 ; εq < 0
Druck: ε < 0 ; ε q > 0
m=
1
ε
=
µ εq
ε q = −µ ⋅ ε = −µ ⋅
m…Poissonsche Zahl
σ
σ
=
Ε m⋅Ε
- 47 von 60 -
µ …Querkontraktion
III.6. Erweitertes Hooke’sches Gesetz
räuml. Form des Hooke’schen Gesetzes hat drei Anteile
σx =
Fx
Ax
⇒ ε xx =
σx
E
µ ⋅ σx
E
analog für σ y , σz
ε yx = ε zx = −
⇒ ε x = ε xx + ε xy + ε xz
ε y = ...
ε z = ...
1
σ x − µ ( σ y + σz ) 

E
1
ε y = σ y − µ ( σ x + σ z ) 
E
1
ε z = σ z − µ ( σ x + σ y ) 
E
erweitertes Hooke'sches Gesetz
εx =
-> Längung bzw. Verkürzung in Kraftrichtung und entsprechende zwei Anteile aus d.
Querkontraktion
-> aufgrund d. Gültigkeit d. Superpositionsgesetzes können einzelne Anteile einzeln berechnet
u. dann summiert werden
III.7. Scherbeanspruchung
- 48 von 60 -
Beispiel
dS
≈γ
dx
dS = γ dx
tan γ =
1
1 F
⋅ τ dx = ⋅ dx
G
G A
l
F
F⋅l
S=
⋅ ∫ dx =
G⋅A
G⋅A 0
dS =
F⋅l 

 Analogie! ∆l =

E⋅A 

III.8. Biegebeanspruchung
- 49 von 60 -
Berechnungsansätze zur
Ableitung der Formel für
die Biegespannung
∆dx
dx
nach Bernoulli: ∆dx ∼ y ⇒ ε ∼ y
ε=
und nach Hooke'schem Gesetz ( σ = ε ⋅ E ) ⇒ σ x = k ⋅ y
⇒ Bernoullische Annahme bedeutet lineare Spannungsverteilung im Querschnitt
σx = M ⋅ y
Iz
Berechnung d. Flächenmomente 2. Grades (Trägheitsmomente)
statistisches Moment (Flächenmoment 1. Grades):
SMZ = ∫ y dA
A
Flächenmomente 2. Grades:
1. I z = ∫ y 2 dA 

A
 axiale Flächenträgheitsmomente
2. I y = ∫ z 2 dA 
A

3. (Flächenzentrifugalmoment):
Izy = ∫ y ⋅ z dA
A
4. (Polarflächenträgheitsmoment):
IP = ∫ r 2 ⋅ dA
A
Iz + I y = ∫ ( y 2 + z 2 ) dA = I P
A
- 50 von 60 -
Beispiel (Prüfungsstoff!)
Zu berechnen ist das Flächenträgheitsmoment
Iz = ∫ y 2 dA
A
+
=
h
2
∫y
2
⋅ b dy
h
−
2
1
= y3 ⋅ b
3
+
h
2
−
h
2
1 h3
1 h3
⋅b+
⋅b
3 8
3 8
b ⋅ h3
Iz =
12
=
Wz =
Iz 2 ⋅ Iz 2 ⋅ b ⋅ h3 b ⋅ h 2
=
=
=
h
h
h ⋅12
6
2
b1 ⋅ h13 b ⋅ h 3 b 2 ⋅ h 23
+
+
12
12
12


M
 σ x = ⋅ y!!
Iz


Iz =
Iz =
b ⋅h 3
b ⋅ h3
− 2⋅ 1 1
12
12
- 51 von 60 -
Hauptträgheitsmomente / Hauptträgheitsachsen
Achsen a und b ⊥
Ia − max. ⇒ Ia − min
Iab = 0
Symmetrieachsen sind immer Hauptachsen
Biegung gerade Träger
Zielstellung
ϑ( x) = f ( M(x), E, I, ...) = ?
⇒ ϑmax = ...
usw.
ϑ( x) … allg. Form der gesamten Biegelinie
M(x) ... Momentgesetz in Abhängigkeit von
der Länge (in allg. Form anzugeben) und
entsprechend der Schnittkraftdefinition
E ... Elastizitätsmodul
I ... Flächenträgheitsmoment
- 52 von 60 -
DGL der Biegelinie
Beziehung aus geometr. Verhältnissen gewonnen
(entsprechend gewonnen aus reinen
Belastungsüberlegungen)
zu beachten ist, dass M(x) als Gleichung auszugeben ist
Beispiel
Für den folgenden Träger ist mit Hilfe der Biegelinie
d. max. Durchbiegung zu ermitteln
ME = F ⋅ l
M(x) = −F ( l − x )
(M(x ) nach Def. VZ)
M(x)
E⋅I
''
→ E ⋅ I ⋅ ϑ = F (l − x )
ϑ'' ( x) = −
x2
+ C1
2
x2
x3
→ E ⋅ I ⋅ ϑ = F ⋅ l ⋅ − F ⋅ + C1 ⋅ x + C 2
2
6
'
ϑ ( 0 ) = 0 → C1 = 0
→ E ⋅ I ⋅ ϑ' = F ⋅ l ⋅ x − F ⋅
ϑ ( 0 ) = 0 → C2 = 0
- 53 von 60 -
ϑ( x) =
1 F⋅l 2 
x
⋅ x ⋅3 − 
6 E⋅I
l

ϑmax = ϑ(l )
F⋅l
3⋅ E ⋅ I
3
Berechnung d. Durchbiegung wichtig aus zwei Gründen:
1) Nachweis d. Tauglichkeit d. entworfenen Konstruktion
2) Voraussetzung f. Berechnung stat. unbestimmter Systeme
Durchbiegungen müssen berechnet werden, wenn die Stützreaktionen und Schnittkräfte für
statische unbestimmte Tragwerke zu berechnen sind.
III.9. Torsion
b = ρ ⋅ tan dϕ
b ≈ ρ ⋅ dϕ
tan γ =
⇒ G⋅
b
≈ γ ( ρ)
dx
I P ...polares Flächenmoment 2. Grades
→ für typ. Querschnitte ablesbar
ρ ⋅ dϕ
→ γ ( ρ) =
dx
Beziehungen aus rein geometr. Verhältnissen
γ (ρ) =
τ (ρ)
G
→ Hooke'sches Gesetz für Schub
dϕ
dx
Konstante
Momentengleichgewicht um s:
τ ( ρ) = ρ ⋅ G
∫ ρ ⋅ τ ( ρ ) dA = M
dϕ
⋅ ∫ ρ2 dA = M T
dx A
dϕ M T
=
dx G ⋅ IP
Drillung, DGL!
eingesetzt in τ ( ρ ) : τ ( ρ ) =
WP =
IP
r
MT
⋅ρ
IP
WP ...polares Widerstandsmoment
⇒ τmax =
T
A
→ mit τ ( ρ ) = ...
- 54 von 60 -
MT
≤ τzulässig
WP
Beispiel
G…Schubmodul
dϕ M T
=
dx G ⋅ I P
mit ϕ( 0) = 0 → C1 = 0
x
MT
dx
G ⋅ IP
0
ϕ( x) = ∫
=
⇒ ϕ(l ) = ϕΒ =
MT ⋅ l
G ⋅ IP
MT
⋅ x + C1
G ⋅ IP
III.10. Wärmespannungen
∆l = a ⋅ ∆ϑ⋅ l
∆l
= ε = α ⋅ ∆ϑ
l
mit σ = ε ⋅ E
⇒ σϑ = α ⋅ ∆ϑ⋅ E
III.11. Knickbeanspruchung
Prüfungsfragen
- Unter welchen Bedingungen ist ein Nachweis für Knickbeanspruchung erforderlich und was
sind die Besonderheiten?
- Welche typischen Berechnungsfälle kennen Sie? Geben Sie eine kurze Einleitung!
Knicken gerade Stäbe
Bedingungen: -> schlanker Stab
-> Druckbeanspruchung
Versagen durch Biegung
Ableitung d. kritischen Last mit Biegelinie
Berechnung in der Praxis mit ω-Verfahren
σ Dr =
F⋅ω
≤ σDr,zulässig → Nachweis Knicksicherheit
A
Nachweis Knicksicherheit
gegeben: 1. Geometrie -> l,A
2. Material
-> E
3. Belastung -> F (Druckkraft)
- 55 von 60 -
Nachweis mit ω-Verfahren
a) Imin aus Tabelle
S
b) λ = K
λ...Schlankheitsgrad
I min
A
c) ω aus Tabelle
ω⋅ F
d) σ =
≤ σ Dr,zulässig
A
- 56 von 60 -
Beispiel
ges: Besteht Knickgefahr?
Lösung:
s k = 2 ⋅ l = 2 ⋅ 35cm = 70cm
ց ( d.h. Einspannung )
sk
70
=
= 121
I min
4
A
12
2
b⋅h
I h2 4
NR: I =
; A = b ⋅ h;
=
=
12
A 12 12
→ ω = 2, 43 ( aus Tabelle)
λ=
σ=
F ⋅ ω 18000 ⋅ 2, 43
N
N
=
= 87, 48
→ σ < 100
= σDr,zulässig für I und St 37
2
A
500
mm
mm 2
aus Tabelle
- 57 von 60 -
III.12. Ebener und räumlicher Spannungszustand
o Einachsiger Spannungszustand
-> Vektor von σ Res stets dieselbe Richtung (auch beim einachsigen Spannungszustand
können σ und τ gleichzeitig auftreten)
Anwendung: - Zug (Druck)
- reine Biegung
o Ebener Spannungszustand
- Schubspannungen sing gleich groß
- aus ∑ Μ i = 0 für S -> τxy = τ yx
(Satz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen)
-> gilt analog für räuml. Spannungszustand
- Größe von σ und τ abhängig von
Lage d. differentiellen Elementes
III.13. Zulässige Spannungen, Belastungsfälle, Beanspruchungsart,
Festigkeitshypothesen
Zulässige Spannung
- aus Berechnung: σ, τ
- aus Versuch: σ B , τB
- Sicherheitsfaktor: S
(B – Bruchbelastung)
(Festlegung!)
-> zulässige Spannungen:
σB
≥σ
S
aus Tafel
τB
τzulässig =
≥τ
S
σ zulässig , τzulässig abhängig von weiteren Randbedingungen
σ zulässig =
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Belastungsfälle (I bis III)
Beanspruchungsart
→ Druck (Zug)
einachsiger Spannungszustand
→ reine Biegung
→ Schub (infolge von Q)
→ Schub (infolge Torsion)
ebener od. zweiachsiger Spannungszustand, wenn reine Biegung zusätzlich
Zusammengesetze Beanspruchung
Zug und Biegung (einachsig)
F M
σ=± ±
A W
einachsiger Spannungszustand
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Festigkeitshypothesen
praktische Umsetzung
Berechnung einer Vergleichsspannung, die mit der „üblichen“ Spannung verglichen wird:
σ V ≤ σzulässig
Im „Normalfall“ allgemeiner Spannungszustand
σ, τ gleichzeitig
Zu beachten (Versuche): σ ≤ σzulässig ; τ ≤ τzulässig sind häufig nicht ausreichend
maßgebend: σ V = f ( σ, τ )
σ V …Vergleichsspannung (od. „ideelle“ Spannung)
σ V ≤ σ zulässig
-> „Gesamtanstrengung“
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