Mathematik am Computer – Blatt 6 – K. Höllig, J. Hörner

Mathematik am Computer – Blatt 6 – K. Höllig, J. Hörner
Die Aufgaben werden am 21. 1. 2010 in den Gruppenübungen besprochen.
Bei den mit (O) gekennzeichneten Aufgaben sollen die Ergebnisse bis zum 20.1.2010
online abgegeben werden.
Aufgabe 26 (O)
a1 )
b1 )
c1 )
Berechnen Sie mit Matlab die Ausdrücke
2
1−
cos(2π/n)
(π/n)
p
a2 ) 2 sin
p
p
p
n
n + 1/n − n − 1/n b2 ) 2/
n + 1/n + n − 1/n
n
n+1
1
−
c2 )
n−1
n
n(n − 1)
für n = 123456 Vergleichen Sie mit den mit Maple berechneten exakten Werten. Wieviele
der gültigen Stellen sind korrekt?
Hinweis: Erhöhen Sie in Maple die Stellenanzahl, um genügend korrekte Stellen anzeigen zu lassen.
Aufgabe 27 Erzeugen Sie (ohne Verwendung von Schleifen) möglichst einfach n × mMatrizen mit folgenden Elementen in Matlab:
a) ak,ℓ = k ∗ ℓ , b) bk,ℓ = k/ℓ , c) ck,ℓ = k ℓ ,
d) dk,ℓ = max{k, ℓ} , e) ek,ℓ = 1 falls k = ℓ ± 1, 0 sonst.
Hinweise:
• In Matlab können Vektoren deren Einträge einen konstanten Abstand haben mit
Hilfe des Doppelpunkt-Operators erzeugt werden.
• Mit ones und zeros können Matrizen mit vorgegebener Größe erzeugt werden.
• Eine m × n-Matrix kann durch Matrixmultiplikation einer m × k-Matrix mit einer
k × n-Matrix entstehen. Dies gilt auch speziell für k = 1 .
• Mit meshgrid, ndgrid und repmat können Matrizen erzeugt werden, die aus mehreren Kopien von Vektoren bzw. Matrizen bestehen.
• Die Operatoren .*, ./ .\ und .^ verknüpfen bei Matrizen gleicher Dimensionen
jeweils entsprechende Einträge miteinander.
1
Aufgabe 28 (O)
Die Punkte
(xk , yk ) :
(k, exp(−k)),
k = 1, 2, 3 ,
sollen mit einer gebrochen linearen Funktion r = p/q interpoliert werden. Lösen Sie dazu
das lineare Gleichungssystem
yk q(xk ) = p(xk ) ⇔ yk (1 + c3 xk ) = c1 + c2 xk
für die Koeffizienten cℓ mit Hilfe von Matlab.
Hinweis: Ein lineares Gleichungssystem Ac = y kann in Matlab mit dem Befehl
c=A\y gelöst werden. Mit format long wird die Anzahl der ausgegebenen Stellen auf
16 gesetzt.
Aufgabe 29 (O) Schätzen Sie mit Hilfe von Matlab die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Dreieck mit Eckpunkten im Einheitswürfel stumpfwinklig ist.
Hinweis: Um n Dreiecke zu testen, können Sie eine Zufallsmatrix mit n Spalten erzeugen
und die notwendigen Berechnungen für alle Spalten gleichzeitig durchführen. Der Winkel
zwischen zwei Vektoren ist stumpf, wenn ihr Skalarprodukt negativ ist.
Aufgabe 30 Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das nach Eingabe einer 2 × 2-Matrix
und eines 2-Vektors, z.B.
≫ A = [2,3; 3,5]; b = [1; 4]
eine LATEX-Datei mit der folgenden Übungsaufgabe erstellt:
Aufgabe. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
2x + 3y = 1
.
3x + 5y = 4
Hinweis: Verwenden Sie die Befehle fopen, fprintf und fclose. Nutzen Sie die vektorielle Arbeitsweise von fprintf aus.
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