Uebungsblatt_5

Prof. Dr. S.-J. Kimmerle (Vorlesung)
M.Sc. D. Richter (Übung)
Institut BAU-1
Fakultät für Bauingenieurwesen
und Umweltwissenschaften
Wintertrimester 2017
Statistik
Übung 5
Aufgabe 1 (Einige statistische Funktionen in Matlab)
Generieren Sie in Matlab einen Zeilenvektor v von 1000 Zufallsvariablen, die einer diskreten
Gleichverteilung auf {1; 2; . . . , 10} unterliegen.
Schreiben Sie selbst folgende Funktionen in Matlab:
• mystd(v) für die empirische Standardabweichung des Zufallsvektors v,
• mymodal(v) zur Berechnung des Modalwerts von v.
Testen Sie diese Funktionen, in dem Sie mit dem Aufruf der in Matlab eingebauten Funktionen std(v,0) und mode(v) vergleichen.
Aufgabe 2 (Exponentialverteilte Zufallszahlen und t-Test)
Lesen Sie den Vektor z aus der bereitgestellten Datei exp2.mat ein. Es handelt sich um 1000
exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert 1/λ = 2.
Asymptotisch ist der Mittelwert von z normalverteilt. Berechnen Sie den Mittelwert X der
Zufallsvariablen und testen Sie die folgenden Nullhypothesen zum Signifikanzniveau α = 0.05:
a) H0 : µ = 2 (d.h. X ∼ N (2, 4)),
b) H0 : µ = 1 (d.h. X ∼ N (1, 1)),
c) H0 : µ = 1.8 (d.h. X ∼ N (1.8, 3.24)).
Interpretieren Sie die Testergebnisse. Plotten Sie dann die Normalverteilungen aus a) und c)
gemeinsam in eine neue Figur. Wo findet sich der Fehler 1. Art, wo der Fehler 2. Art?
Zusatz:
Berechnen Sie die empirische Verteilungsfunktion F1000 zur eingelesenen Stichprobe z mit den
Klassen K1 = [0, 1], K2 = (1, 2], K3 = (2, 3], K4 = (3, 4], K5 = (4, 5], K6 = (5, 15] und
K7 = (15, ∞).
Plotten Sie F1000 und die theoretische Exponentialverteilung mit Parameter λ = 2 in eine
gemeinsame Figur.
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Aufgabe 3 (Verschiedene Mittelwerte)
Ein Güterzug fährt auf einer Strecke l1 = 80 km mit Geschwindigkeit v1 = 39 km/h, die
nächste, genau so lange Strecke legt er mit v2 = 81 km/h zurück. Die letzten l3 = 80 km legt
er mit v3 = 60 km/h zurück.
Berechnen Sie
• das arithmetische Mittel (Mittelwert) v,
• das harmonische Mittel vharm , definiert durch
1 1
1
1
1
=
+
+
,
vharm
3 v1 v2 v3
• das geometrische Mittel vgeo =
√
3
v1 · v2 · v3 .
Welcher dieser Werte ist die mittlere Geschwindigkeit vm des Güterzugs?
Aufgabe 4 (t-Verteilung)
Sei V eine t-verteilte Zufallsvariable mit Mittelwert µ = 1, Varianz σ 2 = 4 und m = 6
Freiheitsgraden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
P(0 ≤ V ≤ 1).
Plotten Sie die Dichte von V in Matlab und interpretieren Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit
graphisch.
Aufgabe 5 (Wurf mit zwei unterscheidbaren Würfeln)
Es bezeichne die Zufallsvariable X die Augensumme beim Wurf zweier Würfel.
Geben Sie eine Tabelle aus, in der den möglichen Werten x von X ihre Wahrscheinlichkeiten
p = P(x) zugeordnet werden.
Wie lautet der Erwartungswert µ von X, wie die Standardabweichung σ ?
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ)
an.
Bearbeitung der Aufgaben in Matlab zu Hause. Besprechung in der Übung am
14.03.2017 im PC-Pool 4.
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