Elektrodynamik und Optik

Elektrodynamik und Optik
Christian Mendl
15. September 2005
1
Klassische Elektrodynamik
Wellenlänge
Brechungsindex
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
1.1
λ = k2π
Re
n = kc
ω
vPh = kωRe =
0)
vGr = ∂ω(ω
∂k
c
nRe
Ebene Welle
E = E 0 eik·r−iωt = E 0 e−kIm ·r eikRe ·r−iωt
1.2
Polarisation
Rechtsorthonormalsystem (e1 , e2 , u) mit u = kk Ausbreitungsrichtung einer
ebenen Welle E = (E1 e1 + E2 e2 ) eik·r−iωt , E1 , E2 komplex. Polarzerlegung liefert E1 = |E1 |eiφ1 , analog für E2 . Somit
E = |E1 |eiφ1 e1 + |E2 |eiφ2 e2 eik·r−iωt
1.2.1
Lineare Polarisation: φ1 = φ2
E = E 0 eik·r−iωt mit E 0 = (|E1 |e1 + |E2 |e2 ) eiφ1 , also E0 =
1.2.2
p
|E1 |2 + |E2 |2
Zirkulare Polarisation: |E1 | = |E2 |, φ2 − φ1 = ± π2
E = |E1 |eiφ1 (e1 ± ie2 ) eik·r−iωt . Physikalisch ist Realteil: mit E0 = |E1 |:
<{E} = E0 (cos(k · r − ωt + φ1 )e1 ∓ sin(k · r − ωt + φ1 )e2 )
Helizität (+) für φ2 − φ1 = π2 : links-zirkular, E-Feld beschreibt bei fester Zeit
eine Linksschraube in Ausbreitungsrichtung.
Helizität (−) für φ2 − φ1 = − π2 , rechts-zirkular.
1.2.3
Elliptische Polarisation: |E1 | =
6 |E2 |
Allgemeiner Fall, Feldvektor beschreibt Ellipse.
1
1.3
1.3.1
SI-System
Maxwell-Gleichungen im Medium
∂B
=0
∂t
∂D
∇×H −
=j
∂t
∇·D =ρ
∇×E+
∇·B =0
dielektrische Verschiebungsdichte
magnetische Feldstärke
Polarisation
Magnetisierung
magnetische Feldkonstante
elektrische Feldkonstante
Permittivitätszahl
Permittivität
relative Permeabilität
Permeabilität
D
H
P
M
Vs
µ0 = 4π · 10−7 Am
1
0 = µ0 c2 = 8.85418781762 · 10−12
r
= r 0
µr
µ = µr µ0
As
Vm
Hierbei gilt in einem homogenen, isotropen Medium:
D = 0 E + P = (1 + χe ) 0 E = r 0 E
B = µ0 (H + M ) = (1 + χm ) µ0 H = µr µ0 H
In einem ungeladenen Isolator mit ρ ≡ 0, j ≡ 0, σ = 0:
√
n = r µr
Bei ebenen Wellen in einem homogenen, isotropen Medium ist
k
×E
ω
1
B0 =
u × E0
vPh
c
1
c
=√
vPh = = √
n
r µr
r 0 µr µ0
B=
wobei u = kk die Ausbreitungsrichtung ist. E 0 , B 0 und u bilden ein orthogonales
Rechtssystem.
1.3.2
Poynting-Vektor und Energiedichte
Der Poynting-Vektor hat die Bedeutung einer Energiestromdichte, er zeigt in
die Ausbreitungsrichtung des Feldes und gibt die Leistung pro Fläche an.
Poynting-Vektor
Energiedichte
Kontinuitätsgleichung
Impulsdichte
Intensität
Strahlungsdruck (Absorption)
2
S =E×H
w = 12 (E · D + B · H)
∂w
∂t = −j · E − ∇ · S
π = D × B = vS2
Ph
I = h|S|i
p = w = vPh |π|
Die Änderung der Energie des Feldes setzt sich zusammen aus der mechanischen
und der abgestrahlten Leistung.
Für ebene Wellen im ungeladenen, homogenen, isotropen Isolator gilt mit
|E 0 | = vPh |B 0 | für die Mittelwerte:
1
1
r 0 |E 0 |2 =
|B 0 |2
2
2µr µ0
k
hSi = vPh hwi
k
1
I = vPh hwi = r 0 vPh |E 0 |2
2
I
hpi =
vPh
hwi =
1.4
1.4.1
Gaußsches cgs-System
Maxwell-Gleichungen im Medium
1 ∂B
=0
c ∂t
1 ∂D
4π
∇×H −
=
j
c ∂t
c
∇ · D = 4πρ
∇×E+
∇·B =0
Hierbei gilt für die dielektrische Verschiebungsdichte D und die magnetische
Feldstärke H in einem homogenen, isotropen Medium:
D = E + 4πP = (1 + 4πχe ) E = r E
1
H = B − 4πM = B − 4πχm H =
B
µr
r = 1 + 4πχe
µr = 1 + 4πχm
Aus den beiden inhomogenen Gleichungen ergibt sich folgende Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+ ∇ · j = 0.
∂t
Bei ebenen Wellen in einem homogenen, isotropen Medium ist
ck
×E
ω
B 0 = nu × E 0
B=
wobei u = kk die Ausbreitungsrichtung und n der Brechungsindex ist. E 0 , B 0
und u bilden ein orthogonales Rechtssystem.
1.4.2
Poynting-Vektor und Energiedichte
Der Poynting-Vektor hat die Bedeutung einer Energiestromdichte, er zeigt in
die Ausbreitungsrichtung des Feldes und gibt die Leistung pro Fläche an.
3
Poynting-Vektor
Energiedichte
Kontinuitätsgleichung
c
S = 4π
E×H
1
w = 8π (E · D + B · H)
∂w
∂t = −j · E − ∇ · S
Die Änderung der Energie des Feldes setzt sich zusammen aus der mechanischen
und der abgestrahlten Leistung.
1.5
Strahlung in der Fernzone oszillierender Quellen (GaußSystem)
Ausgangspunkt: lokalisierte Quellen mit periodischer Zeitabhängigkeit, Ausbreitung der Felder im Vakuum:
ρ(r, t) = ρ0 (r)e−iωt
j(r, t) = j 0 (r)e−iωt .
Physikalisch relevant ist stets nur der Realteil. Entsprechend ist das zeitabhängige elektrische Dipolmoment d(t) = d0 e−iωt usw., wobei
Z
d0 = rρ0 (r) d3 r
Z
1
r × j 0 (r) d3 r
m0 =
2c
Z
Q0,ij =
3xi xj − δij r2 ρ0 (r) d3 r.
(Für oszillierende Quellen, die sich nicht in der obigen Form darstellen lassen,
bleiben die Momente gültig, wenn man konstante Terme weg lässt.)
Ist er · B = 0 und E = B × er , dann beträgt die in ein Raumwinkelelement
abgestrahlte Leistung
cr2
dP
cr2
=
er · < E 0 × B 0 =
|B 0 |2 .
dΩ
8π
8π
In der Lorenz-Eichung
1
∇ · A + ∂t Φ = 0
c
ist das retardierte Vektorpotential
0
1
A(r, t) =
c
Z
|
j(r 0 , t − |r−r
) 3 0
1
c
d r = e−iωt
0
|r − r |
c
Z
0
j 0 (r 0 )
eik|r−r | 3 0
d r.
|r − r 0 |
Durch Näherung erhält man in der Fernzone
Z
0
eikr
A0 (r) ≈
j 0 (r 0 )e−iker ·r d3 r0 .
cr
Entwicklung der Exponentialfunktion im Integranden liefert
A0 (r) ≈
Z
∞
eikr X (−ik)n
n
j 0 (r 0 ) (er · r 0 ) d3 r0 .
cr n=0 n!
4
(1)
Der erste Summand entspricht der Strahlung eines elektrischen Dipols (E1). Mit
Z
Z
Z
j 0 d3 r = − r (∇ · j 0 ) d3 r = −iω rρ0 d3 r = −iωd0
ist
AE1
0 (r) = −ik
eikr
d0 .
r
Die zugehörigen Felder sind
ikr
1
e
E1
2
B E1
(r)
=
∇
×
A
(r)
=
k
1
−
er × d0
0
0
ikr
r
i
∇ × B E1
E E1
0 (r).
0 (r) =
k
In der Fernzone geht dies über in
eikr
er × d0
r
E1
E E1
0 (r) ≈ B 0 (r) × er .
2
B E1
0 (r) ≈ k
Die abgestrahlte Leistung ist in dieser Näherung
dP E1
c 4
=
k |er × d0 |2 .
dΩ
8π
R
Wegen |er × d0 |2 = |er × < (d0 )|2 + |er × = (d0 )|2 und sin2 θ dΩ = 8π
3 ist die
Gesamtleistung
c
P E1 = k 4 |d0 |2 ,
3
unabhängig von der relativen Phase der Komponenten von d0 .
Wir spalten den Integranden im zweiten Summanden von (1) auf in
(er · r 0 )j 0 =
1
1
((er · r 0 )j 0 + (er · j 0 )r 0 ) − er × (r 0 × j 0 ).
2
2
Der erste Term entspricht einem elektrischen Quadrupol (E2), der zweite einem
magnetischen Dipol (M1):
AM1
0 (r) = ik
eikr
er × m0 ,
r
mit den Feldern
eikr
eikr
er × (er × m0 ) = −k 2
(er (er · m0 ) − m0 )
r
r
ikr
M1
2e
E M1
er × m0
0 (r) ≈ B 0 (r) × er = −k
r
2
B M1
0 (r) ≈ −k
und der Leistung
dP M1
c 4
=
k |er × m0 |2
dΩ
8π
c
P M1 = k 4 |m0 |2 .
3
5
Allgemein gilt für einen konstanten Vektor C:
Z
Z
Z
(C ·r)j0,i +(C ·j 0 )xi d3 r = ∇ (xi (C · r))·j 0 d3 r = − xi (C ·r)(∇·j 0 ) d3 r,
so dass mit der Kontinuitätsgleichung
Z
k 2 eikr
E2
A0 (r) = −
r 0 (er · r 0 )ρ0 (r 0 ) d3 r0 .
2 r
Setze
Z
q0 =
r2 ρ0 (r) d3 r,
dann schreibt sich das Vektorpotential als
AE2
0 (r) = −
k 2 eikr
(Q0 + q0 I3 )er
6 r
mit den Feldern
E2
B E2
0 (r) ≈ iker × A0 (r) = −
E E2
0 (r) ≈ −
ik 3 eikr
er × Q0 er
6 r
ik 3 eikr
(Q0 er − er (er · Q0 er ))
6 r
und der Leistung
dP E2
c k6
=
|er × Q0 er |2 .
dΩ
8π 36
Zur Berechnung der Gesamtleistung zerlegen wir
|er × Q0 er |2 = |er × <(Q0 ) er |2 + |er × =(Q0 ) er |2 .
Weil <(Q0 ) symmetrisch ist, gibt es eine Diagonalmatrix D und eine orthogonale
Matrix U mit
<(Q0 ) = U D U T .
Nun ist
Z
|er × <(Q0 ) er |2 dΩ =
Z
|er × D er |2 dΩ =
4π X 2
Dii
5 i
wobei man die letzte Gleichung durch explizites Nachrechnen und Verwendung
von Spur D = Spur <(Q0 ) = 0 verifiziert. Mit
X
X
2
Dii
= Spur DT D = Spur <(Q0 )T <(Q0 ) =
<(Q0 )2ij
i
i,j
und analoger Rechnung für den Imaginärteil erhält man insgesamt
P E2 =
ck 6 X
|Q0,ij |2 .
360 i,j
6
1.6
1.6.1
Spezielle Relativitätstheorie (Gauß-System)
Einsteins Postulate
• Relativität: es gibt kein ausgezeichnetes Inertialsystem, d.h. physikalische
Vorgänge werden in jedem Inertialsystem durch die selben Gleichungen
beschrieben.
• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: die Geschwindigkeit des Lichts ist unabhängig von der Quelle.
1.6.2
Minkowsky Raum
M = (ct, r) | t ∈ R, r ∈ R3
mit der „Metrik“
(xµ )2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2
für xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) ∈ M. xµ heißt Vierer-Vektor.
1.6.3
Lorentz-Transformation
Homogene Lorentz-Gruppe der „längenerhaltenden Koordinatentransformationen“:
n
o
2
Λµν | Λµν xν = (xµ )2 , µ, ν = 0, 1, 2, 3
Beispiel: Koordinatensysteme K, K 0 , wobei sich K 0 relativ zu K mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt und K, K 0 bei t = 0, t0 = 0 zusammenfallen. Die Lorentz-Transformationsmatrix von K nach K 0 ist dann


γ
−βγ 0 0
 −βγ
γ
0 0 
.
Λµν = 
 0
0
1 0 
0
0
0 1
1.6.4
Tensoren
Tensoren werden durch das Verhalten unter Koordinatentransformationen definiert.
• Skalare, Tensoren nullter Stufe: einkomponentig, invariant unter Koordinatentransformationen, z.B. Länge.
• Vektoren, Tensoren erster Stufe:
0µ
ν
µ
ν
kontravariant: A0µ = ∂x
νA
∂xν A = Λ
ν
ν
∂x
−1
kovariant: A0µ = ∂x
A
0µ Aν = Λ
µ ν
2
2.1
Interferenz, Brechung und Beugung
Brechung und Reflexion einer ebenen Welle an einer
Grenzfläche
u
σF
jF
Flächennormale der Grenzfläche, zeigt in das Medium 1
Oberflächenladungsdichte
Flächenstromdichte auf der Grenzfläche
7
Es gelten (im SI-System) folgende Stetigkeitsbedingungen an der Grenzfläche
u × (E 1 − E 2 ) = 0
u × (H 1 − H 2 ) = j F
u · (D 1 − D 2 ) = σF
u · (B 1 − B 2 ) = 0
Eine aus dem Medium 1 einfallende Welle E e wird teilweise reflektiert (E r )
und teilweise transmittiert (E t ).
Brechungsindex des Mediums i
Reflexionskoeffizient
Transmissionskoeffizient
Reflexionsvermögen
Transmissionsvermögen
ni
r=
E0,r
E0,e
E0,t
E0,e
2
t=
R = |r|
T =1−R
Snellius’sches Brechungsgesetz
sin θe
n2
=
sin θt
n1
Für E linear polarisiert gelten die Fresnell’sche Formeln. k bedeutet E senkrecht zur Einfallsebene, ⊥ E in der Einfallsebene.
n1 cos θe − n2 cos θt
n1 cos θe + n2 cos θt
2n1 cos θe
t⊥ =
n1 cos θe + n2 cos θt
n2 cos θe − n1 cos θt
rk =
n2 cos θe + n1 cos θt
2n1 cos θe
tk =
n2 cos θe + n1 cos θt
r⊥ =
sin(θe − θt )
sin(θe + θt )
2 cos θe sin θt
=
sin(θe + θt )
tan(θe − θt )
=−
tan(θe + θt )
2 cos θe sin θt
=
sin(θe + θt ) cos(θe − θt )
=−
Bei senkrechtem Einfall gilt also
n1 − n2
n1 + n2
2n1
t⊥ =
n1 + n2
r⊥ =
d.h. eine am optisch dichteren Medium reflektierte Welle erfährt einen Phasensprung um π.
Beim Brewster-Winkel θeB ist rk = 0
tan θeB =
n2
n1
Falls n2 < n1 , tritt Totalreflexion bei Winkeln θe ≥ θeG auf:
sin θeG =
8
n2
n1
2.2
Gitterbeugung
d
b
α
λ
N
Gitterkonstante (Abstand zweier Spalte)
Spaltbreite
Beobachtungswinkel gegen Einfallsrichtung
Wellenlänge des einfallenden Lichts, λ d
Anzahl der Spalte
Das Gitter liegt in der xy-Ebene, in z-Richtung fällt eine ebene Welle ein. Der
Phasenunterschied zweier Teilwellen aus benachbarten Spalten ist
2π
2π
∆φ =
∆s =
d sin α.
λ
λ
Zunächst sei die Spaltbreite b vernachlässigbar klein. Dann gilt für die Amplitude der gestreuten Welle
E = E0
N
−1
X
eij∆φ = E0 ei∆φ(N −1)/2
j=0
sin (∆φN/2)
sin(∆φ/2)
und somit für die Intensität
IGitter
sin2 N π λd sin α
sin2 (∆φN/2)
.
=
∝
sin2 (∆φ/2)
sin2 π λd sin α
Hauptmaxima m-ter Ordnung treten auf, wenn Zähler und Nenner 0 werden,
also für
d sin α = mλ, m ∈ Z
Zwischen zwei Hauptmaxima hat der Zähler N − 1 Nullstellen, an denen die
Intensität verschwindet; somit gibt es N − 2 Nebenmaxima, die der Bedingung
k + 1/2
d sin α = m +
λ, m ∈ Z, k = 1, 2, . . . N − 2
N
gehorchen. Nach dem Rayleigh-Kriterium können zwei Wellenlängen λ, λ + ∆λ
noch unterschieden werden, wenn das Maximum der einen auf ein Minimum der
anderen fällt, d.h.
1
m (λ + ∆λ) = m +
λ.
N
Das liefert für das Auflösungvermögen in m-ter Ordnung
λ
= mN.
∆λ
Wir betrachten nun einen einzelnen Spalt mit Breite b. Teilt man den Spalt
in b/∆b Abschnitte mit Abstand ∆b auf, so liefert Grenzübergang ∆b → 0
sin2 π λb sin α
sin2 π λb sin α
ISpalt ∝ lim
=
2 .
b 2
∆b→0
sin2 π ∆b
π λb sin α
∆b
λ sin α
Die Intensität sinkt auf 0 ab, wenn
b sin α = mλ,
m ∈ Z\{0}
Kombination der Ergebnisse für Gitter und Spalt ergibt
sin2 π λb sin α sin2 N π λd sin α
.
IBeugungsgitter = ISpalt · IGitter ∝
2 ·
sin2 π λd sin α
π b sin α
λ
9
2.3
Winkelauflösungsvermögen für runde Eintrittsöffnung
D
δ
λ
Durchmesser der Eintrittsöffnung
Winkelabstand zweier einfallender Strahlen
Wellenlänge des Lichts
Der kleinste Winkelabstand, der noch aufgelöst werden kann, ist
δmin = 1.22
2.4
λ
.
D
Interferenz an einer planparallelen Platte
Abbildung 1: Mehrfachreflexion in einer Platte
n
t, t0
r, r0 = −r
R = r2
E0
I0
IR
IT
∆φ
Brechungsindex der Platte
Transmissionskoeffizienten beim Eintritt und
Austritt
Reflexionskoeffizienten
Reflexionsvermögen des Plattenmaterials
Amplitude der einfallenden ebenen Welle
Intensität des einfallenden Lichts
Intensität der reflektierten Welle
Intensität der transmittierten Welle
Phasendifferenz zweier aufeinanderfolgender
Teilwellen
Falls keine Absorption im Medium stattfindet, gelten die Stokesche Beziehungen:
r0 = −r
r2 + tt0 = 1.
Die erste Gleichung liest man aus den Fresnell’schen Formeln ab, die zweite
folgt aus der Energieerhaltung. Man kann sie durch explizites Berechnen der
gesamten transmittierten und reflektierten Intensität nachprüfen.
10
Die transmittierte Welle hat die Amplitude
ET = E0 tt0
∞
X
r2 ei∆φ
j
= E0
j=0
tt0
.
1 − r2 ei∆φ
Daraus folgt
IT
(tt0 )2
1
=
=
I0
1 + r4 − 2r2 cos ∆φ
1 + F sin2 ∆φ
2
mit
F =
wobei wir cos ∆φ = 1 − 2 sin2
ist
∆φ
2
4R
2
(1 − R)
verwendet haben. Die reflektierte Intensität
F sin2
∆φ
2
IT
IR
.
=1−
=
I0
I0
1 + F sin2 ∆φ
2
Die beiden Formeln für die Intensitäten heißen Airy-Formeln.
Die Transmission fällt auf den halben Maximalwert ab für F sin2 ∆φ
= 1.
2
Die Halbwertsbreite ist also
1
4
1−R
∆φFWHM = 4 arcsin √ ≈ √ = 2 √ ,
F
F
R
falls F groß ist. Definiert man die Finesse
π√
F∗ =
F,
2
dann kann man das Verhältnis der Halbwertsbreite zum Abstand zweier Intensitätsmaxima schreiben als
∆φFWHM
1
= ∗.
2π
F
Die m-ten Maxima zweier Wellenlängen λ und λ + ∆λ können dann noch
unterschieden werden, wenn
m (λ + ∆λ) = mλ +
λ
∆φFWHM .
2π
Setzt man
∆φFWHM
2
1
= √ = ∗
2π
F
π F
ein, erhält man für das Auflösungsvermögen
λ
= mF ∗ .
∆λ
Aus Abbildung 2 bestimmt man den optischen Weglängenunterschied zweier
Teilwellen zu
n
∆s = n AD + DC − AB = 2d
− tan θ cos α =
cos θ
p
= 2nd cos θ = 2d n2 − cos2 α
11
Abbildung 2: Wegunterschied zweier aufeinanderfolgender Strahlen
mit entsprechender Phasendifferenz
∆φ =
3
3.1
Geometrische Optik
Allgemeine Definitionen
g
b
f
S1 , S 2
H1 , H 2
h1 , h 2
3.1.1
Gegenstandsweite
Bildweite
Brennweite
Scheitelpunkte
Hauptebenen
Abstand Scheitelpunkt Hauptebene
Vorzeichenkonvention
Größe
g
b
R
fG
fB
h1 , h 2
3.2
2π
∆s.
λ
positiv, falls
Gegenstand links von H1
Bild rechts von H2
Kugelmittelpunkt rechts vom Scheitelpunkt
Brennpunkt links von der Linse
Brennpunkt rechts von der Linse
Hauptebene rechts vom Scheitelpunkt
Brechende Kugeloberfläche
R
n1
n2
fG
fB
Radius der Oberfläche
Brechungsindex Gegenstandsseite
Brechungsindex Bildseite
gegenstandsseitige Brennweite
bildseitige Brennweite
12
n1 R
n2 − n1
n2 R
fB =
n2 − n1
n1
n2
n2 − n1
n2
n1
+
=
=
=
g
b
R
fB
fG
fG =
3.3
Dünne Linse
R1
R2
n0
n1
Radius der Gegenstandsseite
Radius der Bildseite
Brechungsindex der Umgebung
Brechungsindex der Linse
Abbildungsgleichung
1 1
1
+ =
g
b
f
wobei für f gilt
n1 − n0
1
=
f
n0
3.4
1
1
−
R1
R2
Dicke Linse
Bezeichnungen wie bei dünner Linse;
Linsendicke (Abstand der Scheitelpunkte S1 , S2 ): d
Abbildungsgleichung
1 1
1
+ =
g
b
f
mit Brennweite
1
n1 − n0
=
f
n0
1
1
n1 − n0
−
+
d
R1
R2
n1 R 1 R 2
Für eine Linse in Luft (n0 = 1) gilt für die Abstände der Hauptebenen von den
Scheitelpunkten
n1 − 1 f d
n1 R 2
n1 − 1 f d
h2 = −
n1 R 1
h1 = −
3.5
Kugelspiegel
Abbildungsgleichung
1
1 1
− =−
g
b
f
wobei
f=
13
R
2
3.6
Matrizendarstellung
Beschreibung eines Strahls am Punkt z entlang der optischen Achse:
nθ
s=
r
n
r
θ
Brechungsindex des Mediums
Abstand von der optischen Achse
Winkel zur optischen Achse
3.6.1
Translationsmatrix um Länge d entlang der optischen Achse
1 0
T =
d
1
n
3.6.2
Brechungsmatrix einer Kugeloberfläche
2
1 − fnB2
1 n1 −n
R
MK =
=
0
1
0
1
3.6.3
Brechungsmatrix einer dünnen Linse
1 − nf0
ML =
0
1
3.6.4
Brechungsmatrix eines Kugelspiegels
−1 − f1
−1 − R2
MS =
=
0
1
0
1
3.7
3.7.1
Vergrößerung
Transversale Vergrößerung
Verhältnis von Bildhöhe zur Gegenstandshöhe senkrecht zur optischen Achse.
Mit dem Strahlensatz erhält man
VT =
3.7.2
f
HB
−b
=
=
HG
g
f −g
Longitudinale Vergrößerung
Verhältnis der Längsausdehnung des Bilds zum Gegenstand entlang der optischen Achse
db
−f 2
VL =
=
= −VT2
dg
(f − g)2
3.7.3
Winkelvergrößerung
Verhältnis des Winkels θ1 zwischen einfallendem Strahl und optischer Achse
zum Winkel θ2 des ausfallenden Strahls
VW =
14
θ2
θ1
4
Kohärenz
∆ν
Elektromangnetische Welle im Frequenzbereich [ν − ∆ν
2 , ν + 2 ]. Aus ω = 2πν
ergibt sich der zeitabhängige Phasenterm zu φ = 2πν ·t. Die Kohärenzbedingung
∆φ < 2π liefert die Kohärenzzeit
1
.
∆ν
∆tc =
Kohärenzlänge: Strecke, die die Welle innerhalb der Kohärenzzeit zurücklegt:
∆sc = vPh ∆tc
Die Kohärenzbedingung ∆φ < π für eine Lichtquelle (Wellenlänge λ, Ausdehnung b, statistische Abstrahlung) bei Beleuchtung eines Doppelspalts (Spaltabstand d) in der Entfernung D führt zu
D
d
< .
λ
b
Kohärenzfläche einer ausgedehnten inkohärenten Lichtquelle der Wellenlänge λ:
Fc =
λ2
∆Ω
hierbei ist ∆Ω der Raumwinkel, unter dem die Lichtquelle von einem Punkt der
Kohärenzfläche aus erscheint.
5
5.1
Quantenoptik
Allgemeine Formeln für Photonen
Plancksche Konstante
Frequenz
Wellenlänge
Energie
Impuls
Drehimpuls
5.2
h = 6.6260755 · 10−34 J · s = 4.13566924 · 10−15 eV · s
h
~ = 2π
ν
λ = νc
E = hν = ~ω
E
p = λh = hν
c = ~k = c
L=~
Relativistische Energie und Impuls
Teilchen mit Ruhemasse m0 und Geschwindigkeit v
E = Ekin + E0 = γm0 c2
2
E 2 = (pc) + E02
E0 = m0 c2
1
γ=q
1−
v2
c2
15
5.3
Heisenberg’schen Unschärferelation
Für ein massebehaftetes Teilchen gelten folgende Ungleichungen
~
2
~
∆E · ∆t ≥
2
∆x · ∆p ≥
5.4
Schwarzkörper-Strahlung
im Bereich (ω, ω + dω)
u(ω, T ) = Strahlungsenergie
dω·Volumen
Strahlungsleistung im Bereich (ω, ω + dω)
L(ω, T ) =
dω·Raumwinkel·Fläche des Strahlers
Energiedichte
Strahlungsdichte
c
u(ω, T )
4π
Die Gesamtabstrahlung in eine Halbkugel ist nach dem Lambertschen Gesetz
L(ω, T ) =
Z2π Zπ/2
c
Lges (ω, T ) =
cos θ L(ω, T ) sin θ dθ dφ = πL(ω, T ) = u(ω, T )
4
0
5.4.1
0
Planck’sches Strahlungsgesetz
uω (ω, T ) =
~
ω3
c3 π 2 exp ~ω − 1
kB T
uλ (λ, T ) = uω (ω, T )|
5.4.2
dω
8πhc
1
|=
5
hc
dλ
λ exp
λkB T − 1
Stefan-Boltzmann-Gesetz
σ
T
A
Φ
Stefan-Boltzmann-Konstante
Temperatur
Fläche
Gesamtstrahlungsfluss (Leistung)
Emissionsgrad
Integration über alle Frequenzen liefert
Z∞
Φ = A
Lges (ω, T ) dω = A σ T 4
0
mit
σ=
4
W
π 2 kB
= 5.67051 · 10−8 2 4
2
60 c ~3
m K
16
5.4.3
Wien’sches Verschiebungsgesetz
λmax
T
b
Wellenlänge der mit maximaler Intensität emittierten Strahlung
Temperatur
Wien’sche Konstante
λmax · T = b
b = 2.898 · 10−3 mK
17