Elektromagnetische Wellen

Kapitel 12
Elektromagnetische
Wellen
12.1 Felder eines bewegten geladenen
Drahtes
Wir haben in Kap. 11.4.1 das elektrische Feld berechnet, das von
einem unendlich langen, geladenen Stab erzeugt wird. Das Feld ist
radial und hängt umgekehrt proportional vom Abstand r des Stabes
ab:
r
2λ 1
( unendlicher Stab)
E ≈
4πε 0 r
wobei λ die Linienladungsdichte ist.
Wir betrachten einen positiv geladenen Stab. Das erzeugte elektrische
Feld ist in Abb. 1 gezeigt.
Physik
559
Elektromagnetische Wellen
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Das radiale elektrische Feld, das von einem unendlich langen,
geraden, positiv geladenen Draht erzeugt wird.
Figur 1.
Wir nehmen nun an, dass die positiven Ladungen zur Zeit t=0 anfangen, sich mit einer Geschwindigkeit VD zu bewegen. Zur Zeit t=t1
hält der Draht wieder an. D.h. der Draht bewegt sich während des
Zeitintervalls zwischen t=0 und t=t1.
Wie wird die räumliche Verteilung des elektrischen Feldes sein?
Die elektrischen Feldlinien müssen den Ladungen folgen. Sie
müssen immer bei den positiven Ladungen beginnen. Aber
das Feld kann sich nicht gleizeitig und spontan in allen Punkten des Raumes ändern!
Die Relativitätstheorie sagt voraus, dass die Information, dass der
Draht sich bewegt, sich nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit
ausbreiten kann.
Wir nehmen deshalb an, dass die Änderung des Feldes sich mit einer
Geschwindigkeit v durch den Raum ausbreitet, wobei die
Geschwindigkeit v später bestimmt wird.
560
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Felder eines bewegten geladenen Drahtes
Es folgt daraus, dass das Verhalten des elektrischen Feldes wie in
Abb. 2 gezeigt ist.
Die Ausbreitung der Änderung des Feldes verhält sich wie ein Puls,
der sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt:
1.
2.
3.
In den Punkten mit Abständen grösser als vt entsprechen die elektrischen Feldlinien noch dem Draht, bevor es sich bewegte.
Zwischen den Abständen vt und v(t-t1) ändern sich die Feldlinien.
Für Abstände kleiner als v(t-t1) entsprechen die Feldlinien der
neuen Position des Drahtes.
+
VD +
+
+
+
+
t>0 +
+
+
+
vt
t > t1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
v(t–t1)
vt
Der positiv geladene Draht bewegt sich zwischen der Zeit t=0 und
t=t1. Ein Puls, der sich mit einer Geschwindigkeit v ausbreitet, wird
erzeugt.
Figur 2.
Wir nehmen nun eine Anordnung an, in der zwei Drähte sich nebeneinander befinden. Einer ist positiv geladen und der andere ist mit
derselben Ladung, aber negativ geladen. Die elektrostatischen Felder
Physik
561
Elektromagnetische Wellen
E+ und E– der Drähte werden sich kompensieren und das resultierende elektrostatische Feld verschwindet in jedem Punkt des Raumes.
Der positiv geladene Draht bewegt sich nun mit der Geschwindigkeit
VD zwischen den Zeiten t=0 und t=t1. Der negativ geladene Draht
ruht.
Die elektrischen Felder der einzelnen Drähte sind in Abb. 3 gezeigt.
Ein Puls, der von der Bewegung der positiven Ladungen erzeugt
wird, wird sich ausbreiten.
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Die elektrischen Felder zweier geladener, paralleler Drähte. Der
positiv geladene Draht bewegt sich während dem Zeitintervall t=0 und t=t1.
Figur 3.
562
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Felder eines bewegten geladenen Drahtes
Das resultierende elektrische Feld ist die Vektorsumme der elektrischen Felder der positiv, respektive negativ geladenen Drähte:
r r
r
E = E+ + E−
Es verschwindet in jedem Punkt des Raumes ausserhalb des Pulses.
Siehe Abb. 4.
–
+
E–
E+
E–
v
E
E+
E+
E
E–
Das resultierende Feld. Die elektrischen Felder, die von den
positiven und negativen Ladungen erzeugt werden, kompensieren einander
in jedem Punkt des Raumes ausserhalb des Pulses, der sich mit der
Geschwindigkeit v bewegt.
Figur 4.
Es folgt daraus, dass
ein Strom, der während einem Zeitintervall nach oben gerichtet fliesst, ein nach unten gerichtetes elektrisches Feld erzeugt.
Das elektrische Feld verhält sich wie ein “Puls”, der sich mit
einer Geschwindigkeit v radial ausbreitet.
Natürlich wissen wir aus der Elektrodynamik, dass ein sich veränderndes elektrisches Feld ein magnetisches Feld erzeugt.
Wie muss sich in diesem Fall das magnetische Feld verhalten?
Physik
563
Elektromagnetische Wellen
Nach den Maxwellschen Gleichungen gilt
r
r r
∂
∂
∂E
= ε 0µ 0 ( E x , E y , E z ) = ε 0µ 0 (0, 0, E z )
∇ × B = ε 0µ 0
∂t
∂t
∂t
wobei wir die z-Koordinate entlang des Drahtes angenommen haben.
Es folgt,
r r  ∂B ∂By  r  ∂Bz ∂B  r  ∂By ∂B  r
∇× B =  z −
− x  ey + 
− x  ez
e − 
∂z 
 ∂x
∂y 
 ∂y
∂z  x  ∂x
= ε 0µ 0
∂
(0, 0, E z )
∂t
Wir bemerken, dass die x- und y-Komponenten der Rotation des Feldes verschwinden. Wir nehmen deshalb an, dass
∂Bx ∂By
=
=0
∂z
∂z
⇒ x und y − Komponente
unabhängig von z − Koordinate
∂Bz ∂Bz
=
=0
∂x
∂y
⇒ z − Komponente
unabhängig von x, y − Koordinaten
Dass die x- und y-Komponenten des Feldes unabhängig von der zKoordinate sind, wird erwartet, weil wir den Draht entlang der zKoordinate angenommen haben. Das Problem ist deshalb entlang der
z-Koordinate symmetrisch.
Die z-Komponente des Feldes ist unabhängig von x und y, d.h. vom
Abstand r. Sie muss verschwinden:
Bz = 0
564
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Felder eines bewegten geladenen Drahtes
Eine Lösung, die diese Bedingungen erfüllt, hat die Feldlinien des
magnetischen Feldes in konzentrischen Kreisen um den Draht:
r
 y x 
B( x, y, z, t) = B0 ( x, y, t) − , , 0
 r r 
wobei B0 eine Konstante ist, die bestimmt werden muss.
Siehe Abb. 5.
B
v
v
v
v
E
E
Elektromagnetischer Puls, der erzeugt wird, wenn ein Strom
während eines kurzen Zeitintervalls durch den geraden Leiter fliesst. Der
Puls breitet sich mit der Geschwindigkeit v radial aus.
Figur 5.
Physik
565
Elektromagnetische Wellen
Ein elektromagnetischer Puls, der einen elektrischen und
einen magnetischen Teil enthält, wird deshalb erzeugt, wenn
ein Strom während eines kurzen Zeitintervalls durch einen
geraden Leiter fliesst. Der elektromagnetische Puls breitet
sich mit einer Geschwindigkeit v radial aus.
Die elektrischen und magnetischen Felder zeigen senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung des Pulses .
Um die Beziehung zwischen den Feldern zu bestimmen, betrachten
wir ein Linienintegral des magnetischen Feldes.
Siehe Abb. 6.
Es gilt,
r
r r
∂E
∇ × B = ε 0µ 0
∂t
⇒
r
r
r
r r
∫∫ (∇ × B) ⋅ dA = ∫ B.dr = ε µ
0
A
0
C
r r
d
E ⋅ dA
∫∫
dt A
Wir bemerken, dass
r r
r r
∂
∫C B.dr = Bh = ε 0µ0 ∂t ∫∫A E .dA =
= ε 0µ 0
∂
dr
( Ehr) = ε 0µ 0 Eh = ε 0µ 0 Ehv
∂t
dt
wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Pulses ist.
Es folgt, dass die Beträge der Felder nur von der Feldkonstanten und
der Ausbreitungsgeschwindigkeit abhängen:
r
r 
1  r v r
B = (ε 0µ 0v ) E = ε 0
v E =  2  E
c 
 ε 0c 2 
566
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Felder eines bewegten geladenen Drahtes
Wir bemerken, dass der Betrag des magnetischen Feldes um den Faktor v/c2 kleiner ist, als der Betrag des elektrischen Feldes.
B
v
Integrationskurve
h
r
E geht in die
v Blattebene hinein
Integrationskurve für die Bestimmung des magnetischen Feldes.
Das elektrische Feld geht in der Blattebene hinein. Der elektromagnetische
Puls breitet sich mit der Geschwindigkeit v aus.
Figur 6.
Physik
567
Elektromagnetische Wellen
12.2 Die elektromagnetischen Wellen
Die Maxwellschen Gleichungen sagen die Existenz der elektromagnetischen “Wellen” voraus.
Maxwell hat im Jahr 1865 diese Existenz vorhergesagt.
Hertz1 hat erst 20 Jahre später einen experimentellen Nachweis der
elektromagnetischen Wellen erbracht.
Im Allgemeinen werden elektromagnetische Wellen erzeugt,
wenn geladene Teilchen beschleunigt werden.
12.2.1 Die Wellengleichung und die
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wir beginnen mit den Maxwellschen Gleichungen im Vakuum (d.h.
die Ladungsdichte ρ=0 und die Stromdichte j=0)
r
r r
∂B
∇ × E = −

∂t
r

r
r
∂E

∇ × B = ε 0µ 0 ∂t
Wir bilden die Rotation der beiden Gleichungen:
r
r ∂B
r r r
∂ r r
= − ∇× B
∇ × ∇ × E = −∇ ×

∂t
∂t
r

r ∂E
∂ r r
r r r
∇× E
=
B
∇
×
∇
×
=
ε
µ
∇
×
ε
µ
0
0
0
0

∂t
∂t
(
)
(
1. H. Hertz (1857-1894).
568
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
)
Die elektromagnetischen Wellen
Nun benutzen wir eine mathematische Beziehung für ein beliebiges
Vektorfeld F:
r
r r
r r
r r r
∇ × ∇ × F = ∇ ⋅ ∇F − ∇ ⋅ ∇ F
(
)
( ) (
)
wobei der Laplace-Operator (eine Skalargrösse) ist gegeben durch
r r r 2 ∂2
∂2
∂2
∇⋅∇ = ∇ = 2 + 2 + 2
∂z
∂y
∂x
Laplace − Operator
Es folgt,
r
r
 r  r r  r r  r
∂2 E
∂ r r
∂
∂E 
⋅ E −  ∇
⋅ ∇ E = − ∇ × B = − ε 0µ 0  = −ε 0µ 0 2
∇ ⋅  ∇
{
{
∂t
∂t
∂t 
∂t 
  = 0   ∇r 2 
r

∂2B
∂ r r
 r  r r  r r 
⋅ ∇ B = ε 0µ 0
⋅ B −  ∇
∇ × E = −ε 0µ 0 2
{
{
∇ ⋅  ∇
∂t
∂t
 ∇r 2 
=0 

(
)
(
)
oder die Wellengleichungen der elektromagnetischen Wellen
r
r
r2 r
r2r
∂2B
∂2 E
∇ B = ε 0µ 0 2
und
∇ E = ε 0µ 0 2
∂t
∂t
Diese vektoriellen Gleichungen entsprechen einem System von 6
Gleichungen, eine für jede Komponente der Felder
r2
∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
=
+
+
ε 0µ 0 2 ≡ 2 2
∇ξ= 2
∂t
∂y 2 ∂z 2
∂x
v ∂t
wobei ξ(x,y,z,t)=Ex, Ey, Ez, Bx, By, und Bz.
Physik
569
Elektromagnetische Wellen
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, die einer solchen Wellengleichung folgen (Siehe Kap. 5.2.2), ist gleich
v2 =
1
= c 2 !!!
ε 0µ 0
Wir haben bewiesen, dass sich die elektromagnetischen Wellen mit
einer Geschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
Die Beziehung zwischen den Beträgen der Felder ist die folgende:
r v r 1 r
B =  2 E = E
c 
c
oder
r
r
E =cB
für elektromagnetische Wellen
12.3 Ebene Wellen
Wir haben bisher angenommen, dass der Strom durch den Draht während eines kurzen Zeitintervalls fliesst.
Wir nehmen nun an, dass der Strompuls periodisch ist, und dass er
seine Richtung zwischen den Perioden ändert.
Siehe Abb. 7.
Die resultierende Reihe von elektromagnetischen Pulsen, die
erzeugt werden, wenn der Strom fliesst, entspricht einer elektromagnetischen Welle, die sich radial mit der Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.
570
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Ebene Wellen
i
i0
nach
oben
t
–i 0 nach
unten
c
E
B
c
E
Der resultierende elektromagnetische Puls, der durch einen “nach
oben und nach unten” oszillierenden Strom erzeugt wird.
Figur 7.
Weit entfernt vom Draht kann die Krümmung der radialen Wellenfront nicht mehr beobachtet werden.
Die elektromagnetische Welle erscheint als eine ebene Welle.
Siehe Abb. 8.
Physik
571
Elektromagnetische Wellen
B
Vertikaler Draht
Ebene Welle
Ebene elektromagnetische Wellen. Weit entfernt von der Quelle
erscheinen die gekrümmten Wellen als eben.
Figur 8.
In der ebenen elektromagnetischen Welle bewegen sich die elektrischen Felder zueinander parallel. Sie sind senkrecht zu den magnetischen Feldern.
Siehe Abb. 9.
c
E
B
c
Elektrisches
Feld
Magnetisches
Feld
Figur 9.
572
Die Ausbreitung von ebenen elektromagnetischen Wellen.
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Ebene Wellen
Die elektrischen und magnetischen Felder bilden eine Ebene, die
immer senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle ist.
12.3.1 Harmonische ebene Wellen
Die ebenen Wellen breiten sich in einer Richtung aus, die immer
senkrecht zu den elektrischen und magnetischen Feldern ist.
Die Ausbreitungsrichtung kann mit Hilfe des Wellenvektors k ausgedrückt werden:
r
k ≡ kx , ky , kz = Wellenvektor
(
)
Die Felder einer harmonischen, ebenen, elektromagnetischen
Welle werden dann geschrieben als (Siehe Kap. 5.4)
r
r
r
 E ( rr, t) = E 0 sin( k ⋅ rr − ωt)
r
r r
r r
B( r , t) = B0 sin( k ⋅ r − ωt)
wobei E0 und B0 die Amplitudenvektoren sind. Sie besitzen einen
Betrag und eine Richtung, die der Polarisation der Welle entspricht.
Eine Beziehung zwischen k und ω haben wir in Kap. 5.4 hergeleitet:
r
ω
oder
c= r
ω= kc
k
Aus den Maxwellschen Gleichungen
r r
r r
∇ ⋅ E = 0 und ∇ ⋅ B = 0
Physik
573
Elektromagnetische Wellen
folgt
r r  ∂E
r
r r
∂E y ∂E z 
+
∇⋅ E =  x +
 wobei E = E 0 x , E 0 y , E 0 z sin( k ⋅ r − ωt)
 ∂x
∂y
∂z 
r r
= E 0 x kx + E 0 y ky + E 0 z kz cos( k ⋅ r − ωt)
r r
r r
= k ⋅ E 0 cos( k ⋅ r − ωt) = 0
(
(
(
)
)
)
und
r r r r
r r
∇ ⋅ B = k ⋅ B0 cos( k ⋅ r − ωt) = 0
Wie schon erwähnt, müssen die Felder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung sein:
r r
r r
r r
r r
k ⋅ E 0 = k ⋅ B0 = 0 ⇒ k ⊥E 0 und k ⊥B0
Und aus der Maxwellschen Gleichung
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
folgt
r
r
r
r r
r r
r r
∂B
∇ × E 0 sin( k ⋅ r − ωt) = k × E 0 cos( k ⋅ r − ωt) = −
∂t
(
)
und deshalb
r
r r 1
r r
1 r r
B = k × E 0 sin( k ⋅ r − ωt) =
k×E
ω
ω
(
574
)
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
(
)
Das elektromagnetische Spektrum
Das magnetische Feld ist gleich dem Vektorprodukt des Wellenvektors und des elektrischen Feldes. Er ist deshalb, wie erwartet, senkrecht zum elektrischen Feld und zur Ausbreitungsrichtung.
Der Betrag dieses Vektors ist gleich
B=
1
E
kE =
c
ω
wie erwartet.
Eine solche ebene, harmonische, elektromagnetische Welle wird in
Abb. 10 dargestellt.
c
Figur 10.
c
Ebene, harmonische, elektromagnetische Welle.
Eine solche Welle kann z.B. beobachtet werden, wenn ein sinusförmiger Strom durch einen langen geraden Draht fliesst, und wir weit
entfernt vom Draht die erzeugte Welle beobachten.
12.4 Das elektromagnetische Spektrum
Elektromagnetische Wellen treten auf in Form von
1.
2.
Radiowellen,
Mikrowellen,
Physik
575
Elektromagnetische Wellen
3.
4.
5.
6.
7.
Infrarotstrahlung,
sichtbares Licht,
Ultraviolettstrahlung,
Röntgenstrahlung,
und Gammastrahlung.
Diese verschiedenen Arten elektromagnetischer Strahlung unterscheiden sich nur durch ihre Frequenz ν (und ihre Wellenlänge λ):
c = λν
In Abb. 11 ist das elektromagnetische Spektrum gezeigt.
Die Frequenzen zwischen ungefähr 4 und 8x1014 Hz entsprechen
dem sichtbaren Spektrum. Diese elektromagnetischen Wellen werden
als sichtbares Licht bezeichnet. Die Farben hängen von der Frequenz
ab. Für einen Durchschnittsmenschen entsprechen sie den Bereichen,
die in Tab. 1 angegeben sind.
TABLE 1. Frequenzen
576
und Wellenlängen des sichtbaren Lichts.
Farbe
Wellenlänge (m)
Frequenz (Hertz)
Violett
3,99-4,55x10–7
7,69-6,59x1014
Blau
4,55-4,92x10–7
6,59-6,10x1014
Grün
4,92-5,77x10–7
6,10-5,20x1014
Gelb
5,77-5,97x10–7
5,20-5,03x1014
Orange
5,97-6,22x10–7
5,03-4,82x1014
Rot
6,22-7,80x10–7
4,82-3,84x1014
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Die Polarisation
Figur 11.
Das elektromagnetische Spektrum.
12.5 Die Polarisation
Wir definieren die Polarisation der Welle als die Richtung des elektrischen Feldes.
Physik
577
Elektromagnetische Wellen
Siehe Abb. 12.
Elektrisches
E
Feld
Magnetisches
Feld
B
c
c
a) Vertikal polarisierte elektromagnetische Welle
Magnetisches
B
Feld
Elektrisches
Feld
E
c
Figur 12.
c
b) Horizontal polarisierte elektromagnetische Welle
Die horizontale und vertikale Polarisation der Welle.
Weil das elektrische Feld in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung liegen muss, gibt es nur zwei unabhängige Komponenten des
elektrischen Feldes einer elektromagnetischen Welle.
Siehe Abb. 13.
Die Zerlegung des elektrischen Feldes in diese zwei Richtungen
ergibt zwei Komponenten des Feldes, die als Ex und Ey bezeichnet
werden können.
578
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Die Polarisation
E
Ey
Ex
E
a) Vertikale Polarisation
Figur 13.
b) Horizontale Polarisation
E
c) Kombination
Definition der Polarisation.
Der Polarisator: es gibt bestimmte Platten aus einem polarisierenden Material, die nur die Wellen hindurchlassen, die parallel zu einer
bestimmten Transmissionsrichtung sind. Die Wellen, die senkrecht
zu dieser Richtung polarisiert sind, werden von der Platte absorbiert.
Experiment: Polaroidfolie mit sichtbarem Licht
Wir benutzen zwei Polarisationsfolien hintereinander. Die erste Folie
wirkt als Polarisator und die zweite als Analysator.
Wenn die beiden Transmissionsrichtungen senkrecht zueinander sind,
gelangt keine Welle durch die Anordnung.
Wenn der Winkel zwischen den Transmissionsrichtungen gleich θ ist,
ist die Intensität der durchgelassenen Welle (Gesetz von Malus2)
I = I 0 cos2 θ
wobei I0 die Intensität der ursprünglichen Welle ist.
Experiment: Gitter mit 3cm elektromagnetischen Wellen.
2. E.L. Malus (1775-1812).
Physik
579
Elektromagnetische Wellen
12.6 Energie und Impuls der
elektromagnetischen Wellen
Es ist uns vertraut, dass durch elektromagnetische Wellen Energie
transportiert wird, z.B.
1.
2.
von der Sonne zur Erde, oder
von einem Feuer auf unsere Hand, wenn die Hand sich in der Nähe
des Feuers befindet.
Die Energiestromdichte (oder Leistungsdichte) der Wellen wird
definiert als die transportierte Energie pro Zeiteinheit und Flächeneinheit.
Einheit:
[ Energie]
[Zeit][Fläche]
=
J
W
2 =
s.m
m2
wobei W=J/s das Watt ist.
12.6.1 Der Poynting-Vektor
Die Energiestromdichte wird durch den Poynting3-Vektor S
beschrieben:
r 1 r r
S≡
E×B
µ0
3. J.H. Poynting (1852-1914).
580
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Energie und Impuls der elektromagnetischen Wellen
Er zeigt in die Richtung, in der die Energie transportiert wird. Er zeigt
z.B. im Fall der ebenen harmonischen Wellen in die Richtung des
Wellenvektors k.
Die Einheit ist gleich Watt/m2 und kann als das Produkt der Energiedichte und der Geschwindigkeit der Welle ausgedrückt werden
r
J
J m
= [ Energiedichte][Geschwindigkeit]
S =
2 =
s.m
m3 s
[]
Beispiel: ebene harmonische Welle
Der Betrag des momentanen Poynting-Vektors ist gleich
r r
1
1
S=
EB =
E 0 B0 sin 2 ( k ⋅ r − ωt)
µ0
µ0
Oft ist man am mittleren Betrag des Vektors über mehrere Periodendauern interessiert.
Die Intensität der Welle wird definiert als der mittlere Wert des
Betrags des Poynting-Vektors
r
1
I≡ S =
EB
für harmonische Wellen
2µ 0 0 0
wobei wir den Mittelwert der Sinus-Funktion im Quadrat durch 1/2
ersetzt haben.
Beispiel: ein Beobachter befindet sich in einer Entfernung r von einer
Punktquelle der Energie pro Zeiteinheit (die Strahlungsleistung)
P0. Die Quelle ist isotrop, d.h. sie sendet Wellen gleichmässig in alle
Richtungen aus.
Physik
581
Elektromagnetische Wellen
Energie durch eine Kugel mit Radius r:
S ( 4πr 2 ) wobei S = Mittelwert auf der Oberfläche der Kugel
Weil diese Leistung genau so gross wie die Leistung P0 sein muss,
gilt
P0 = S ( 4πr 2 ) =
1
1
E 0 B0 ( 4πr 2 ) =
E 02 ( 4πr 2 )
2µ 0c
2µ 0
Es folgt,
E0 =
1 P0µ 0c
2π
r
und
B0 = E 0 / c
Für P0=1000 W und r=1 m, finden wir
E 0 ≈ 240 V / m
und
B0 = 8 × 10 −7 T
Ein solches elektrisches Feld findet man oft im Labor. B0 ist sehr
klein.
12.6.2 Elektromagnetischer Druck
Weniger bekannt ist die Tatsache, dass elektromagnetische Wellen
auch Impuls transportieren.
D.h., elektromagnetische Wellen können auf einen Körper oder eine
Fläche Druck ausüben: der Strahlungsdruck.
Dieser Effekt wurde von Maxwell theoretisch vorausgesagt. Er
betrachtete die Kraft, die die elektromagnetischen Felder der Welle
auf ein geladenes Teilchen ausüben. Er konnte beweisen, dass die
resultierende Kraft wie ein Druck wirkt.
582
Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Energie und Impuls der elektromagnetischen Wellen
Nichols und Hull (Dartmouth) und Lebedev (Russland) haben in den
Jahren 1901-1903 den Effekt erfolgreich experimentell nachgewiesen.
Wir betrachten eine elektromagnetische Welle, die auf eine Fläche
fällt und vollständig absorbiert wird. Wir nehmen an, dass die absorbierte Energie (während einem Zeitintervall) gleich E ist.
Nach Maxwell ist der auf die Fläche übertragene Impuls gleich:
pem − Druck =
E
c
(Totalabsorption)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Richtung des übertragenen
Impulses ist durch die Ausbreitungsrichtung der Welle bestimmt.
Einheit:
[ p] =
[ Energie]
[Geschwindigkeit]
= [Impuls]
=
m
J
Nm
=
= ( kg m / s2 ) s = kg.
s
m /s m /s
Wird die Welle vollständig von der Fläche reflektiert, so ist der übertragene Impuls doppelt so gross
pem − Druck =
2E
c
(Totalreflexion)
In Analogie ist der übertragene Impuls eines elastich reflektierten
Balls auf eine Wand doppelt so gross, wie der eines inelastisch absorbierten Balls.
Wir bemerken, dass der Impuls einer elektromagnetischen Welle im
Vergleich zu den im Alltag beobachteten Impulsen sehr klein ist.
Physik
583
Elektromagnetische Wellen
Beispiel: Licht mit der Energiestromdichte S = 10 W/cm2 fällt eine
Stunde lang auf einen vollständig reflektierenden Spiegel mit der Fläche 1 cm2.
Reflektierte Energie E:
E = (10 W / cm 2 )(1 cm 2 )( 3600 s) = 36000 J
Übertragener Impuls p
p=
m
2U 2( 36000 J )
=
= 2, 4 × 10 −4 kg.
8
s
c
3 × 10 m / s
Die mittlere Kraft, die auf den Spiegel wirkt
F=
dp
=
dt
2, 4 × 10 −4 kg.
3600 s
m
s = 6, 7 × 10 −8 N
(Der Spiegel wird wegen dieses Impulses nicht zerbrechen!).
12.7 Wellentheorie der
elektromagnetischen Wellen
Grundsätzlich kann die “Theorie der elektromagnetischen Wellen”
aus den Maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden. Wir haben
z.B. mit diesen Gleichungen die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
elektromagnetischen Wellen bestimmt.
Huygens4 hat im Jahre 1678 einen einfachen Mechanismus entwickelt, um die Ausbreitung des Lichts zu verfolgen.
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Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
Er kannte die Natur des Lichts nicht: insbesondere wusste er nicht,
dass das Licht eine elektromagnetische Welle ist. Er wusste nur
wenig über die Frequenzen oder die Ausbreitungsgeschwindigkeit
des Lichts.
Dennoch war seine Theorie eine wertvolle Theorie für das Verständnis optischer Phänomene, wie z.B. die Beugung.
12.7.1 Das Prinzip von Huygens
Die Theorie basiert auf einer geometrischen Konstruktion (das Huygenssche Prinzip):
Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt für
eine kugelförmige Elementarwelle betrachtet werden.
Mit dem Prinzip können wir die Wellenfront zu einer späteren Zeit
voraussagen. Nach einer Zeit t wird die neue Position der Wellenfront
durch die Summe der einzelnen Elementarwellen gegeben.
Siehe Abb. 14.
4. C. Huygens (1629-1695).
Physik
585
Elektromagnetische Wellen
Ausbreitungsgeschdinwigkeit v
Wellenfront zur späteren
Zeit
Figur 14.
Wellenfront
Die Huygenssche geometrische Konstruktion.
Wir betrachen z.B. eine ebene Welle der Wellenlänge λ, die auf einen
Spalt mit einer Breite a fällt. Der Spalt ist etwa so gross wie die Wellenlänge:
a≈λ
Abb. 15 zeigt z.B. Wasserwellen in einer flachen Wellenwanne, die
dadurch erzeugt werden, dass man einen Stab periodisch in die Wasseroberfläche eintauscht.
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Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
λ
undurchsichtiger Schirm
a
Spalt der Breite a
Figur 15.
a ≈ λ.
Wasserwellen in einer Wellenwanne fallen auf einen Spalt. Es gilt
Nach dem Prinzip von Huygens wirkt jeder Punkt des Spalts als eine
Quelle einer sich ausbreitenden Elementarwelle.
Weil die Breite des Spaltes ungefähr so gross wie die Wellenlänge ist,
entspricht der Spalt einer einzelnen Quelle.
Es folgt daraus, dass die ebene Welle, die auf den Spalt fällt, sich
nachher als konzentrische Kreise ausbreiten wird.
Physik
587
Elektromagnetische Wellen
Dieses Phänomen wird als Beugung der Welle bezeichnet. Sie wurde
von F. Grimaldi5 entdeckt.
Im Allgemeinen versteht man unter der Beugung die Ablenkung der
Wellen an einem Hindernis, wie z.B. an der Kante eines Spalts.
12.7.2 Interferenz der elektromagnetischen Wellen
In Kap. 5.5 haben wir gesehen, dass Interferenzeffekte in mechanischen Wellen aus dem Prinzip der Superposition (Siehe Kap. 5.3)
folgen.
Wir haben dort die Überlagerung zweier mechanischer Wellen derselben Frequenz und mit einer zeitlich konstanten Phasendifferenz
betrachtet.
Wir hatten festgestellt, dass als Folge der Interferenz die resultierende
Welle nicht gleichförmig im Raum verteilt ist, sondern an bestimmten
Bereichen des Raumes Maxima und Minima auftreten (Konstruktive
und destruktive Interferenz).
Der experimentelle Nachweis von Interferenzeffekten für Licht
gelang T. Young6 im Jahre 1801.
Damit konnte die Wellentheorie des Lichts auf eine feste experimentelle Basis gestellt werden.
Bei seinen Versuchen konnte Young auch als Erster die Wellenlänge
des Lichts messen.
5. F. Grimaldi (1618-1663).
6. T. Young (1773-1829).
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Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
Young liess durch zwei kleine Löcher in einem Schirm Sonnenlicht
fallen (Youngsches Experiment). Dadurch entstanden auf der anderen Seite des Schirms zwei sich überlagernde Kugelwellen.
Die Löcher beim Youngschen Experiment sollten sehr klein sein,
etwas so gross wie die Lichtwellenlänge, so dass die Löcher als einzelne Quellen für Huygenssche Elementarwellen wirken:
a ≈ λ ≈ 0.5 µm = 5 × 10 −7 m
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, können wir beide Löcher als Quellen einzelner Elementarwellen, die sich ausbreiten, betrachten. Die
resultierende Welle ist in jedem Punkt gleich der Summe der einzelnen Wellen.
Experiment: Interferenz von Wasserwellen in einer Wasserwanne.
Das resultierende Muster können wir mit Hilfe der Interferenz von
Wasserwellen in einer Wasserwanne herleiten.
Hier werden kreisförmige Wasserwellen durch die periodische Bewegung zweier synchroner Stäbe erzeugt, die ins Wasser eingetauscht
werden.
Siehe Abb. 16.
Physik
589
Elektromagnetische Wellen
Knotenlinie
Linie von Bäuchen
Knotenlinie
Linie von Bäuchen
Knotenlinie
Linie von Bäuchen
Knotenlinie
Interferenz von Wasserwellen in einer Wasserwanne. Entlang der
Knotenlinien findet Auslöschung statt, und dazwischen liegen die Bäuche,
in denen sich die zwei Wellen verstärken.
Figur 16.
12.7.3 Beugung am Doppelspalt
Wir studieren die Beugung des Lichts beim Youngschen Experiment.
Wir nehmen an, dass die Breite der Löcher viel kleiner als die Wellenlänge sind:
a << λ
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Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, können wir beide Löcher als Quellen einzelner Elementarwellen, die sich als Kugelwellen ausbreiten,
betrachten.
Die resultierende Welle ist in jedem Punkt gleich der Summe der einzelnen Wellen (Interferenz des Lichts).
Wenn wir in den Bereich, wo die Wellen interferieren, einen Schirm
bringen, so erwarten wir, dass auf ihm dunkle (Minima der Intensität) und helle (Maxima der Intensität) Stellen entstehen.
Siehe Abb. 17.
Intensität
erstes Nebenmaximum
a << λ
zentrales Maximum
erstes Nebenmaximum
Schirm
Figur 17.
Physik
Die Intensitätsverteilung auf einem Schirm.
591
Elektromagnetische Wellen
Wir nehmen an, dass der Abstand D zwischen den Schirmen viel
grösser als der Abstand d zwischen den Löchern ist.
Siehe Abb. 18.
P
θ
θ
d
∆x
D
Figur 18.
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Bestimmung des Winkels des ersten Maximums.
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Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
Wir betrachten einen Punkt P auf dem Schirm. Um eine konstruktive
Interferenz in diesem Punkt zu beobachten, muss der Gangunterschied ∆x so sein, dass gilt (Siehe Kap. 5.5):
1
k∆x = nπ
2
n = 0,1, 2,...
In diesem Fall ist der Gangunterschied so, dass die beiden Wellen in
Phase sind, weil der Gangunterscheid gleich einer ganzen Anzahl von
Wellenlängen ist:
∆x =
2πn
= nλ
k
n = 0,1, 2,...
Damit im Punkt P ein Maximum der Intensität entsteht, muss gelten
∆x = d sin θ = nλ
n = 0,1, 2,...
( Maxima)
wobei θ der Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Normalen auf
den Schirm ist.
Für ein Minimum in P muss der Gangunterschied ein halbzahliges
Vielfaches von Wellenlängen enthalten
1

∆x = d sin θ =  n +  λ

2
n = 0,1, 2,...
( Minima)
12.7.4 Beugung am Einzelspalt
Wir studieren die Beugung an einem Einzelspalt als Funktion der
Breite des Spalts.
Wir nehmen an, dass eine ebene Welle auf einen langen und engen
Spalt mit der Breite a fällt.
Physik
593
Elektromagnetische Wellen
a << λ
a ≈ 2λ
a ≈ 6λ
Figur 19.
594
Beugung an einem Einzelspalt.
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Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
Wenn die Breite a viel kleiner ist als die Wellenlänge λ, können wir
den Spalt als einzelne Quelle von Elementarwellen betrachten.
a << λ
Wenn die Breite a nicht mehr viel kleiner als die Wellenlänge λ ist,
können wir jeden Punkt des Spalts als Quelle von Elementarwellen
betrachten:
Einzelspalt mit
a≈λ
oder
a>λ
Siehe Abb. 19.
Diese Elementarwellen, die einen Punkt P erreichen, unterscheiden
sich in der Phase voneinander.
Experiment: Ausbreitung des Lichts durch einen Einzelspalt.
Licht von einem Laser wird durch einen Spalt der Breite
≈10µm durchgelassen.
Die Intensitätverteilung des Lichts wird mit Hilfe eines
Empfängers gemessen und projiziert.
Wir beobachten Interferenzstreifen.
Die beobachtete Intensitätsverteilung wird in Abb. 20 gezeigt.
Wir bemerken, dass der Hauptteil der Intensität sich beim Winkel θ=0
befindet (das zentrale Beugungsmaximum).
Auf beiden Seiten des zentralen Maximums finden wir andere, sehr
viel schwächere, Nebenmaxima. Die Intensität der Nebenmaxima
nimmt mit der Ablenkung ab.
Zwischen den Maxima gibt es Minima.
Physik
595
Elektromagnetische Wellen
Figur 20.
Gemessene Intensitätsverteilung bei der Einzelspaltbeugung.
Wir bestimmen die Position des ersten Minimums.
Wir können den Spalt in kleine Teile unterteilen, die als Quelle für
eine Elementarwelle wirken. Wir können z.B. 1000 Teile betrachten.
Siehe Abb. 21.
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Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
Wir betrachten die Quelle #1, die sich oben am Spalt befindet und die
Quelle #501, die sich in der Mitte des Spalts befindet.
Wenn der Gangunterschied zwischen diesen Quellen gleich einer halben Wellenlänge ist, werden die Wellen sich auslöschen.
1
2
3
4
5
6
a
499
500
501
502
503
998
999
1000
n
htu
ic
in R
ms
imu
n
i
es M
gd
λ/2
λ
Bestimmung des Winkels eines Minimums in der Beugung durch
einen Einzelspalt der Breite a.
Figur 21.
Entsprechend gilt dies auch für die Quelle #2 und die Quelle #502.
Sie werden sich auslöschen. Und so weiter mit den Quellen #3, #4, ..
bis #499.
Physik
597
Elektromagnetische Wellen
Aus der Abb. 21 erhalten wir die gesamte Bedingung für das erste
Minimum
λ
a
sin θ =
2
2
a sin θ = λ
⇒
( Erstes Minimum)
Wir bemerken, dass wenn
a << λ
⇒
sin θ =
λ
→∞
a
Kein Minimum
Siehe Abb. 19.
Wenn die Breite viel grösser als die Wellenlänge ist, verschwindet der
Beugungseffekt und ist nur an den Rändern des Spalts sichtbar:
a >> λ
⇒
sin θ =
λ
→0
a
⇒
Siehe Abb. 22.
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Physik I&II, WS 00/01-SS01, Prof. A. Rubbia
Beugung verschwindet
Wellentheorie der elektromagnetischen Wellen
a >> λ
Beugungmuster wenn die Breite viel grösser als die Wellenlänge
ist. Der Beugungseffekt verschwindet und ist nur an den Rändern des
Spalts sichtbar.
Figur 22.
Physik
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Elektromagnetische Wellen
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