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10.
Einführung
Beschleuniger
Detektoren
Bewegungsgleichungen und Symmetrien
Das Quark-Modell und die CKM-Matrix
CP-Verletzung im Standardmodell
Proton- und Photonstruktur
Elektroschwache Präzisionsmessungen
Das Higgs-Boson
Neutrino-Massen und Neutrino-Oszillationen
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 1
Definitionen
− Es gibt kontravariante, xµ , und kovariante, xµ , Vierer-Vektoren mit µ = 0, 1, 2, 3.


E
Ã
!
!
Ã


∂
E
 px 
∂t
,
mit
∇ ≡ ∂∂~r
pµ ≡
=
∂µ ≡
,
 py 
−∇
p
~
pz


1
0
0
0
 0 −1
Metrischer
0
0 


ν
µν
aµ = gµν a
mit: g
= gµν = 

 0
Tensor
0 −1
0 
0
0
0 −1
⇒
pµ ≡
Ã
E
−~
p
!
,
∂µ ≡
Ã
∂
∂t
∇
!
− Skalarprodukt: a · b = aµ bµ = aµ bµ ≡ a0 b0 − ~
a ·~
b
− Beispiele: p · p = pµ pµ = E2 − p
~ 2 = m2
0,
∂µ ∂µ =
∂2
∂ t2
− ∇2 =
∂2
∂ t2
−∆≡2
Betragsquadrate von Vierer-Vektoren sind invariant unter Lorenztransformationen.
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 2
Operatoren und Kommutatoren
− Der Operator A überführt eine Funktion Φ eines Funktionenraumes
in eine andere Funktion Φ0 :
Φ0 = AΦ
Φ0 = (A + B)Φ = AΦ + BΦ
− Die Summe zweier Operatoren:
− Im allgemeinen ist das Produkt zweier Operatoren nicht vertauschbar
Φ0 = (A · B)Φ = A · (BΦ) 6= B · (AΦ)
− Dies legt die Definition des Kommutators nahe: [ A, B ] ≡ AB − BA
− Wenn der Kommutator verschwindet
der Anwendung egal, da
[ A, B ] = 0,
ist die Reihenfolge
AB = BA.
− Ein Beispiel: A = f(x) ≡ f,
B=
∂
∂x
− Die Berechnung erfolgt durch Anwendung auf eine Funktion
∂f
[ A, B ] Φ = f ∂∂x Φ − ∂∂x fΦ = f ∂∂x Φ − ( ∂
)Φ − f ∂∂x Φ
x
h
i
∂f
∂
⇒ f(x), ∂ x = − ∂
x
Kommutatoren sind sehr wichtige Hilfsmittel der Quantenmechanik.
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 3
Eigenwertgleichung und wichtige Operatoren
− Falls die Funktion Φ Eigenfunktion zum Operator Ê mit dem Eigenwert E ist gilt:
Ê Φ = E Φ
− Beispiel:
p~
r ) und Ê ≡ i ∂
Φ = Φ0 e−i(E t−~
∂t
mit: ~ = c = 1
⇒ Ê Φ = i(−iE) Φ = E Φ
− Die monochromatische ebene Welle Φ ist Eigenfunktion zum Energie-Operator
mit der Teilchen-Energie als Eigenwert.
− Analog gilt:
p̂ ≡ −i∇ ⇒ p̂ Φ = (−i)(−i)(−~
p) Φ = p
~Φ
− Der vierdimensionale Energie-Impuls-Operator ist damit’:
p̂µ ≡ (i ∂∂t , −i∇) = i∂µ .
− Diese Operatoren, zusammen mit der nicht-relativistischen Energiebeziehung,
E=
1
mv2
2
=
p2
,
2m
führen auf die Schrödinger-Gleichung für ein nicht-relativistisches, freies Teilchen:
³
0= E−
p2
2m
´
³
Φ = Ê −
p̂ 2
2m
´
Φ=
³
i ∂∂t
+
´
1
∆
2m
Φ
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S-Matrix Formalismus
− Die S-Matrix beschreibt den Übergang eines Anfangszustands i = initial in einen
Endzustand f = final.
− Zustandsvektor im Hilbert-Raum: | i i = | Ort, Impuls, Masse, Spin, Ladung, ... i
− Transformationen der Zustände: S| i i ≡ | i0 i,
und
h i0 | ≡ h i |S† ,
Matrixelemente: Sf i = h f |S| i i = h f | i0 i
h bra | . . . | ket i
Erhaltung der Norm: h i0 | i0 i = h i |S† S| i i = h i | i i ⇔ Unitarität von S.
?
Unitarität: SS† = 1 mit Sf† i = Sif
⇔
S† = S−1
Unitäre Transformation: | ĩ i ≡ U| i i und S̃ ≡ USU†
Invarianz unter U : h f˜ |S̃| ĩ i = h f |U † USU † U| i i = h f |S| i i
− Zusammen mit der goldenen Regel der Quantenmechanik erlaubt die S-Matrix
die Berechnung von Wirkungsquerschnitten, z.B. gilt für 1 + 2 → 3 + 4:
σ=
R
1
|Tf i |2 dL
2S 12
mit dL = Phasenraumelement der auslaufenden Teilchen und Tf i ∝ Sf i .
Die Untersuchung der Symmetrien der S-Matrix gibt Einblick in die Wechselwirkungen.
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S-Matrix und Noether-Theorem
− Untersuche S-Matrizen mit:
S̃ ≡ USU† = S
⇔
SU = US
⇔
[ S, U ] = 0
− Trafo: U ≡ 1 + idαF,
dα = infinitesimale Verschiebung, F = Generator der Trafo.
¡
¢
¡
¢
damit: 1 = UU † = (1 + idαF ) 1 − idαF† = 1 + idα F − F † + dα2 F F †
Dies gilt für beliebige dα, also muss F hermitesch sein, F = F † .
− Aus
0 = [ S, U ] = [ S, 1 + idαF ] folgt [ S, F ] = 0, und damit ergibt sich
h f | [ S, F ] | i i = h f |SF | i i − h f |F † S| i i = [ηF (i) − ηF (f)] Sf i = 0 ,
⇔
ηF (i) = ηF (f) für Eigenzustände von F . Das bedeutet, wenn der Kommutator
von S mit einem hermiteschen Operator F verschwindet, ist ηF ist eine Erhaltungsgröße!
− Beispiel Verschiebung in z: U ≡ 1 + idzFz mit dα = dz
U| z i ≡ | z + dz i = | z i + idzFz | z i
⇒ Fz | z i =
−i
dz
(| z + dz i − | z i) = −i∂∂z | z i = p̂z | z i
− Aus der räumlichen Translationsinvarianz folgt die Impulserhaltung !
− Aus der zeitlichen Translationsinvarianz folgt die Energieerhaltung !
− Aus der Rotationsinvarianz folgt die Drehimpulserhaltung !
Noether-Theorem: Für jede kontinuierliche Symmetrie existiert ein Erhaltungssatz.
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Lagrange-Formalismus - nicht relativistisch klassisch
− Die Klassische Wirkung:
S≡
R t2
t1
L = Lagrange-Funktion,
dt L(q, q̇),
mit der generalisierten Koordinate q(t) und der gen. Geschwindingkeit q̇(t) =
− Variationsprinzip: δS = δ
0 = δS =
R t2
t1
δ q̇ =
dt
h³
∂L
∂q
R t2
t1
´
dt L(q, q̇) ≡ 0 mit den Zwangsbedingungen δq(t1,2 ) ≡ 0.
δq +
³
∂L
∂ q̇
R t2
d
δq
dt
t1
´
dt
i
h³
´
³
R t2
∂L
d
δ q̇ = t dt ∂ q − dt
³
1
∂L
∂ q̇
− Beispiel: Ein Teilchen im Potential V(x):
d ∂L
dt ∂ q̇
∂L
∂q
=
∂L
∂x
=
d ∂L
dt ∂ ẋ
´
δ q̇ =
∂L
∂q
− Das Resultat ist die Lagrange-Gleichung:
q = x und q̇ = ẋ
dq
.
dt
∂L
δq
∂ q̇
−
= − ∂∂V
=F
x
=
d
mẋ
dt
= mẍ
´i
δq
¯2
³
R t2
¯
d
¯ − t 1 dt dt
1
d ∂L
dt ∂ q̇
L=T−V=
∂L
∂ q̇
∂L
∂ q̇
´
δq
=0
1
2
m
ẋ
2



− V (x)
F = mẍ


Der Lagrange-Formalismus liefert die Bewegungsgleichung.
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Lagrange-Formalismus - relativistisch quantenmechanisch
− Die Wirkung:
S≡
R t2
t1
dt
− Variationsprinzip: δS = δ
R
R
d3 x L(Φ(x), ∂µ Φ(x))
=
d4 x L(Φ(x), ∂µ Φ(x)) ≡ 0
R
d4 x L(Φ(x), ∂µ Φ(x))
− Eine analoge Rechnung liefert als Resultat die Lagrange-Gleichung
µ
¶
∂L
∂L
−
∂
=0
µ
∂ Φ(x)
∂ (∂ µ Φ(x))
− Beispiel: Ein relativistisches spinloses freies Teilchen der Masse m
L≡
∂L
∂ Φ(x)
1
2
h
(∂µ Φ(x))2
= −m2 Φ(x)
¶
µ
∂L
= ∂µ ∂µ Φ(x)
∂µ
∂ (∂ µ Φ(x))
−





m2 Φ2 (x)
i
Die Klein-Gordon-Gleichung
¢
¡
2 + m2 Φ(x) = 0
Wieder liefert der Lagrange-Formalismus die Bewegungsgleichung.
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Die Klein-Gordon-Gleichung
¡
¢
2 + m2 Φ(x) = 0 erfüllt den relativistischen Energiesatz.
·³
¸
´2
¢
¢
¡ 2
¡
√
2
∂
2
2
2
2
− (−i∇) − m Φ(x) = 2 + m Φ(x)
i∂t
0 = E − p − m Φ(x) =
− Die Klein-Gordon-Gleichung
− Frage: Ist dies die Bewegungsgleichung relativistischer,
geladener, massiver Teilchen mit Spin?
1) Die Gleichung ist linear und homogen, und damit ist die Linearkombination
√
Φ = λ1 Φ1 + λ2 Φ2 Lösung der Gleichung, falls Φ1 und Φ2 Lösungen sind.
2) Allerdings ist sie quadratisch in der Zeit. Damit ist die Forderung, dass das physikalische
System durch die Wellenfunktion zur Zeit t = 0 bestimmt sein soll, verletzt. Die Kenntnis
der Wellenfunktion zur Zeit Null reicht nicht aus, um die Entwicklung zu bestimmen. ª
3) Zwei Ladungszustände können durch die Wahl einer komplexen Wellenfunktion Φ? (x) im
√
Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion realisiert werden.
4) Die Freiheitsgrade sind Energie und Impuls, und es ist kein Platz für den Spin. ª
Antwort: Nein
Wir müssen nach einer Gleichung suchen, die linear in den Ableitungen ist.
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Die Dirac-Gleichung
der Lagrange-Gleichung:
L = Ψ (iγµ ∂µ − m) Ψ(x) mit
¶
µ
∂L
∂L
=0
− ∂µ
∂ Ψ(x)
∂ (∂ µ Ψ(x))
folgt die Dirac-Gleichung:
(iγµ ∂µ − m) Ψ(x) = 0
− Aus der Lagrange-Dichte:
− 4-komponentiger Spinor:
Ψ(x)
Ã
⇒
!
I
0
und
Die DG beschreibt vier Freiheitsgrade
Ã
0
0
σi
,
γi =
−I
−σi
0
Ã
!
Ã
!
0 1
0 −i
2x2-Pauli Matrizen: σ1 =
,
σ2 =
,
1 0
i
0
Ã
!
Ã
!
1 0
0 0
I≡
, 0≡
.
0 1
0 0
− Die 4x4-γ Matrizen: γ0 =
Ψ ≡ Ψ† (x)γ0
!
hängen von den
σ3 =
Ã
1
0
0
−1
!
ab.
Die Dirac-Gleichung ist invariant unter Lorentz-Transformationen.
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Eine spezielle Lösung der Dirac-Gleichung
Betrachte ein ruhendes Teilchen:
Damit ergibt sich für die Dirac-Gleichung:
Dieses System hat vier linear unabhängige Lösungen:


1
 0 
 −imt

,
Ψ1 = 
e
 0 
0


0
 0 
 +imt

,
Ψ3 = 
e
 1 
0
Die vier Freiheitsgrade:


0
 1 
 −imt

Ψ2 = 
e
 0 
0


0
 0 
 +imt

,
Ψ4 = 
e
 0 
1
p
~=0
´
³
∂
0
iγ ∂ t − m Ψ(x) = 0
Ψi mit i = 1, 2, 3, 4.
mit
Ê Ψ1,2 = i ∂∂t Ψ1,2 = +mΨ1,2
mit
Ê Ψ3,4 = i ∂∂t Ψ3,4 = −mΨ3,4
| Ψ1 i = | E = +m, ↑ i,
| Ψ2 i = | E = +m, ↓ i,
| Ψ3 i = | E = −m, ↑ i,
| Ψ4 i = | E = −m, ↓ i.
Die Dirac-Gleichung beschreibt Teilchen/Antiteilchen und Spin up/down.
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Eichinvarianz der Maxwell-Gleichungen
~ =0
(1) ∇B
~
~ = −∂B
(2) ∇ × E
∂t
~ =ρ
(3) ∇E
~ =~
(4) ∇ × B
j+
Eichtransformation:
Felder invariant da:
~ = ∇×A
~
⇒ B
~+
⇒ 0 = ∇×E
∂
∂t
³
∂E
∂t
´
~ = ∇×
∇×A
Ã
~
∂A
~
E+
∂t
|
!
≡ ∇ × ∇(−V )
{z
}
⇓
~ = −∇V −
E
~
∂A
∂t
~0 = A
~ + ∇Λ und V 0 = V − ∂ Λ mit Λ = Λ(t, x
A
~)
∂t
h
i
∂
, ∇ = 0 und ∇ × ∇Λ = 0 , für alle Λ
∂t
~0 = ∇ × A
~0 = ∇×A
~ + ∇ × ∇Λ = B
~
B
~ 0 = −∇V 0 −
E
Ladungserhaltung:
∂ρ
∂t
+ ∇~
j=0
Aus (3) und (4):
∂ρ
∂t
+ ∇~
j=
~0
∂A
∂t
∂
~
∇E
∂t
= −∇V + ∇ ∂∂Λ
−
t
~
∂A
∂t
−
∂
∇Λ
∂t
~
=E
³
´
~
~ − ∇∂ E
+∇ ∇×B
= 0.
∂t
Die Eichinvarianz der Maxwellgleichungen hat weit reichende Konsequenzen.
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Kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen
− Wegen der Lorentz-Invarianz der MG bietet sich eine kovariante Formulierung an.


0
−E1 −E2 −E3


E
0
−B
B


1
3
2
F µν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ = 


E2
B3
0
−B1 
E3 −B2
B1
0
− Vektorpotential:
~
Aµ ≡ (V, A)
und Eichtransformation:
Aµ 0 = Aµ + ∂µ Λ
− Die inhomogene Maxwellgleichungen ergeben sich aus
~ = ρ,
∇E
und
~ =~
∇×B
j+
~
∂E
∂t
mit
j ν ≡ (ρ,~
j)
zu:
j ν = ∂µ F µν = (∂µ ∂µ Aν − ∂µ ∂ν Aµ ) = 2Aν − ∂ν (∂µ Aµ )
− Die Ladungserhaltung:
∂ν j ν = ∂ν ∂µ F µν = 0
− Die Wellengleichung für ein masseloses freies Photon jν ≡ 0 in Lorentz-Eichung
∂µ Aµ ≡ 0 lautet:
2Aν = 0
KG-Gleichung mit m = 0.
Die kovariante Formulierung ist für relativistische Rechnungen besser geeignet.
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Eichtransformationen freier Felder
Global: Φ0 = eiΛ Φ
Invarianz ⇒
Ladungserhaltung
Lokal: Φ0 = eiΛ(x) Φ
Wechselwirkung mit Photonfeld
Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz erzwingt ein masseloses Eichboson.
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Globale Eichtransformation
− Physikalische Observablen sind Erwartungswerte von Operatoren Ô und
werden durch hÔi = h Ψ |Ô| Ψ i berechnet, z.B. hp̂i = h Ψ |p̂| Ψ i = ph Ψ | Ψ i = p.
− Eine Globale Phasentransformation: | Ψ0 i = eiΛ | Ψ i
− Invarianz der Erwartungswerte: h Ψ0 |Ô| Ψ0 i = h Ψ |e−iΛ ÔeiΛ | Ψ i = h Ψ |Ô| Ψ i
− Auch die Bewegungsgleichungen sind invariant.
iγµ ∂µ Ψ0 = mΨ0
− Beispiel Dirac-Gleichung:
iγµ ∂µ eiΛ Ψ = meiΛ Ψ
eiΛ iγµ ∂µ Ψ = eiΛ mΨ
iγµ ∂µ Ψ = mΨ
√
− Betrachte den Ladungsoperator: Q| Ψ i = q| Ψ i mit U ≡ eiΛQ .
P
xn
Wegen ex = ∞
ist
eiΛQ = 1 + iΛQ + . . .
n=0 n! = 1 + x + . . .
Anwendung auf
|Ψi
liefert
folgt die Ladungserhaltung:
eiΛQ | Ψ i = eiΛq | Ψ i und wegen
[ S, U ] = 0
[ S, Q ] = 0.
Die globale Eichinvarianz führt zur Erhaltung der Ladung
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 15
Lokale Eichtransformation
Ψ0 = eiqΛ(x) Ψ
− Eine lokale Eichtransformation:
iγµ ∂µ Ψ0 = mΨ0
£
¤
£
¤
iγµ ∂µ eiqΛ(x) Ψ = m eiqΛ(x) Ψ
In Dirac-Gleichung:
eiqΛ(x) iγµ [∂µ + iq (∂µ Λ(x))] Ψ = eiqΛ(x) mΨ
− Der Term
iq∂µ Λ(x)
erinnert an die Eichfreiheit der Maxwell-Gleichungen,
deswegen versucht man einen Ansatz für ein geladenes Teilchen im Feld.
)
E → E + qV
Pµ = pµ + qAµ ⇒ Dµ = ∂µ − iqAµ da pµ = i∂µ .
~
p
~→p
~ + qA
0 = ∂ − iqA0 = ∂ − iqA − iq∂ Λ(x)
Dµ
µ
µ
µ
µ
µ
0 eiqΛ(x) Ψ = meiqΛ(x) Ψ
iγµ Dµ
− In Dirac-Gleichung:
eiqΛ(x) iγµ [∂µ + iq (∂µ Λ(x)) − iqAµ − iq (∂µ Λ(x))] Ψ = eiqΛ(x) mΨ
eiqΛ(x) iγµ Dµ Ψ = eiqΛ(x) mΨ
− Invarianz der Dirac-Gleichung erreicht man nur mit den simultanen Transformationen
Ψ0 = eiqΛ(x) Ψ
und
0 = D − iq∂ Λ(x).
Dµ
µ
µ
Die lokale Eichinvarianz erzwingt die Wechselwirkung mit dem Photonfeld.
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 16
Die Paritätstransformation
|~
r0 i = P| ~
r i = −| ~
ri
− Spiegelung am Ursprung:
− Das Transformationsverhalten einiger Variablen:
Skalar:
P | E i = | E i,
Vektor:
P|~
r i = −| ~
r i,
Axialvektor:
Pseudoskalar:
Kugelwellenfunktionen:
und
| t0 i = P | t i = | t i.
~ i = P|~
~ i = |L
~i
P| L
r×p
~ i = (−1)2 | L
~
sp
~
P | λ i = P | |~
i = −| λ i,
p|
P Ylm (θ, φ) = (−1)l Ylm (θ, φ)
− Teilchen können Eigenzustände zur Parität sein.
Es gilt: P | i i = ηP (i)| i i
und
P 2 | i i = ηP (i)ηP (i)| i i = | i i
⇒
ηP (i) = ±1
¯ = −1 festgelegt.
− Für Fermionen und Antifermionen wird ηP (f) = 1 und ηP (f)
− Die Parität ist eine multiplikative Quantenzahl.
− Beispiele zusammengesetzter Systeme:
Baryonen (l = 0):
Antibaryonen (l = 0):
Meson (l 6= 0):
P | qqq i = 13 | qqq i = +1| qqq i
P | q̄q̄q̄ i = (−1)3 | q̄q̄q̄ i = −1| q̄q̄q̄ i
P | qq̄ i = 1 · (−1) · (−1)l | qq̄ i = (−1) l+1 | qq̄ i
Die Parität ist nicht in allen Wechselwirkungen erhalten.
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 17
Die Ladungskonjugation oder C-Parität
− Die Ladungskonjugation
C| e− i = ηC (e− )| e+ i
transformiert Teilchen in Antiteilchen.
¯ = 1.
− Man definiert für Fermionen, ηC (f) = 1, und für Antifermionen, ηC (f)
− Die C-Parität ist eine multiplikative Quantenzahl.
− In elektromagnetischen Wechselwirkungen ist ηC eine Erhaltungsgröße, [ S, C ] = 0.
− Ungeladene Teilchen können Eigenzustände zur C-Parität sein.
− Die C-Parität des Photons und des neutralen Pions, π0 :
1) Da das γ an die Ladung koppelt gilt für die Amplitude: h e− γ |S| e− i = −h e+ γ |S| e+ i.
2 (e− )η (γ)h e+ γ |S| e+ i = η (γ)h e+ γ |S| e+ i
2) h e− γ |S| e− i = h e− γ |C† SC| e− i = ηC
C
C
ηC (γ) = −1
und für das π0 gilt: C| π0 i = C| 2γ i = (−1)2 | 2γ i,
ηC (π0 ) = +1
− Wegen der Erhaltung der C-Parität existiert der Zerfall π0 → 3γ also nicht.
− Die Erhaltung der C-Parität ist eine nützliche Eigenschaft z.B. im Zerfall η → π− π+ π0
Es gilt:
2 (η)h π+ π− π0 |S| η i
h π− π+ π0 |S| η i = h π− π+ π0 |C† SC| η i = ηC
Der Zustand wird in sich selbst überführt. Dies bedeutet aber, dass die Winkelverteilung
von π+ und π− identisch sein muss, was experimentell bestätigt wurde.
Auch die C-Parität ist nicht in allen Wechselwirkungen erhalten.
Teilchenphysik - Grundlegende Konzepte und aktuelle Experimente SS04 Uni Augsburg T04 Richard Nisius Page 18
Die Zeitumkehr
− Die Zeitumkehr dreht den zeitlichen Ablauf einer Reaktion um. Für ein
Elementarereignis folgt also:
T| 1 + 2 → 3 + 4 i = | 3 + 4 → 1 + 2 i
− Zeitumkehrtrafo:
T|~
r, t i ≡ | ~
r, −t i
− Beispiele:
Impuls:
Drehimpuls:
Helizität:
T| p
~ i = −| p
~i
da
p
~=
d~
r
dt
~ i = T| m~
~i
T| L
r×p
~ i = −| L
T| λ i = | λ i
− Makroskopisch gilt T-Invarianz nur für Ereignisse ohne Entropieänderung.
Das Zerbrechen einer Flasche läßt sich auch durch Zeitumkehr nicht reparieren.
− Mikroskopisch führt das Studium der Zeitumkehr-Transformation zum Prinzip des
detaillierten Gleichgewichts.
− Dies führt zum Beispiel für 1 + 2 → 3 + 4 auf die folgende Relation:
dσ (1+2→3+4)
dΩ
dσ (3+4→1+2)
dΩ
=
|p 3 | 2 (2J (3) +1)(2J (4) +1)
,
|p 1 | 2 (2J (1) +1)(2J (2) +1)
mit
~= L
~ +S
~.
J
Die Zeit ist und bleibt eines der schwierigsten Konzepte der Physik.
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Die Invarianz der Wechselwirkungen
Wechselwirkung / Symmetrie
stark
elektromagnetisch
schwach
C
√
√
P
√
√
CP
√
√
−
−
−
CPT
√
√
√
− In der schwachen Wechselwirkung (sWW) gibt es sowohl C- als auch P-Verletzung.
− An der sWW nehmen nur linkshändige Teilchen teil
Ein Neutrino:
P-Verletzung:
C-Verletzung:
| ν i ≡ | ν, λ = − 1
i
2
~
s ↑↓ p
~
1
1
i = | ν, λ = + 2
i
P | ν, λ = − 2
1
1
C| ν, λ = − 2
i = | ν̄, λ = − 2
i
CP-Transformation: CP | ν, λ = − 12 i = | ν̄, λ = + 12 i
bzw.
λ=
~
sp
~
|~
p|
= −|~
s|.
existiert nicht.
existiert nicht.
existiert.
− Trotzdem ist CP in der sWW verletzt. Dies wurde in Kaon- und B-Systemen gemessen.
Eine ausführliche Diskussion der CP-Verletzung folgt später.
− Die CPT-Invarianz ist ein Eckpfeiler der Quantenfeldtheorie. Sie hat weit reichende
Bedeutung, z.B. gilt damit mf = mf¯ und τf = τf¯.
Die Symmetrien der Wechselwirkungen sind das Objekt vieler Untersuchungen.
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Zusammenfassung
− Aus der Erhaltung der Norm h i | i i = 1 folgt, dass die S-Matrix, die die Übergange
eines Anfangszustands i = initial in einen Endzustand f = final beschreibt,
h f |S| i i, unitär sein muss.
− Kommutatoren [ S, O ] = SO − OS sind sehr wichtige Hilfsmittel der Quantenmechanik. Eigenwerte von hermiteschen Operatoren, die mit der S-Matrix
vertauschen, sind Erhaltungsgrößen.
− Das Noether-Theorem, ’Für jede kontinuierliche Symmetrie existiert ein Erhaltungssatz.’, ist ein
wichtiges Hilfsmittel zum Studium von Symmetrien.
− Der Lagrange-Formalismus liefert die Bewegungsgleichung, er führt zum Beispiel auf
die Dirac-Gleichung.
− Die Dirac-Gleichung ist invariant unter Lorentz-Tansformationen und beschreibt
massive, relativistische Fermionen / Antifermionen mit halbzahligem Spin, up / down.
− Die Eichinvarianz der Feldtheorie ist fundamental. Die globale Eichinvarianz führt zur
Erhaltung der Ladung und die lokale Eichinvarianz erzwingt die Wechselwirkung mit
dem Photonfeld.
− C-, P- und T-Invarianz sind nicht in allen Wechselwirkungen gegeben, aber die CPTInvarianz ist ein Eckpfeiler der Quantenfeldtheorie und aus ihr folgt mf = mf¯ und
τf = τf¯.
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