Von der Wellenfunktion zur Diodengleichung

Von der Wellenfunktion zur Diodengleichung
Halbleiterphysik
Robert Caffier
17. April 2012
1
Robert Caffier
Seite 2
Inhaltsverzeichnis
1 Vorbemerkung
1.1 Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 unendlicher Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Elektronen in Kristallen
2.1 Potenziale in Kristallen . . . . . . . . .
2.2 Die effektive Masse . . . . . . . . . . .
2.3 Energiebanddiagramm . . . . . . . . .
2.4 Konstruktion eines Energiediagrammes
2.5 Generation-Rekombination . . . . . . .
2.6 Bilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Metall und Metall-Halbleiter-Kontakte
3.1 Metall-Metall-Kontakt . . . . . . . .
3.2 Metall-Halbleiter-Kontakt . . . . . .
3.2.1 Schottky-Barrieren . . . . . .
3.2.2 Ohmsche Kontakte . . . . . .
4 p-n
4.1
4.2
4.3
4.4
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Übergänge
Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichgewicht-Nichtgleichgewicht . . . .
Durchbruch . . . . . . . . . . . . . . . .
Ströme in der pn-Struktur . . . . . . . .
4.4.1 Ableitung der Diodenkennlinie . .
4.4.2 Ableitung der Diffusionsgleichung
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5 Danksagung und Kontakt
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Abbildungsverzeichnis
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eindimensionale Wellenfunktion ohne Zeitabhängigkeit . . .
Wellenfunktionen im unendlichen Potentialtopf . . . . . . . .
Verteilungsdichte im unendlichen Potenzialtopf . . . . . . . .
periodisches eindimensionales Potenzial . . . . . . . . . . . .
Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einschränkung auf Brillouin-Zone . . . . . . . . . . . . . . .
Kosinus-Verlauf des Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Bereich in dem die Schrödingergleichung keine Lösungen
Leitungsband und effektive Massen . . . . . . . . . . . . . .
Bänderstruktur für Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vereinfachtes Band-Schema für zwei Bänder . . . . . . . . .
Banddiagramm in Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Band-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZustandsDichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fermi-Dirac-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lage der Fermi-Dirac-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichten der n und p Trägerteilchen . . . . . . . . . . . . . .
bei n-Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationen bei n-Dotierung . . . . . . . . . . . . . . .
bei p-Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konzentrationen bei p-Dotierung . . . . . . . . . . . . . . .
konstante Fermienergie einzeichnen, Kontakt pn markiert . .
Bänder verschieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bandverbiegung einzeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metall: Austrittsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metall1, Metall2 getrennt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektronen Akkumulation und Verarmung . . . . . . . . . .
Kontakt herstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannung angelegt, Metall2 hat größeren Widerstand . . . .
Bezeichnungen im Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
getrennte Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontakt hergestellt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ladungsverteilung im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . .
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Vorwärtsrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rückwärtsrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
getrennte Diagramme vor dem Kontakt . . . . . . . .
Kontakt hergestellt, dynamisches Gleichgewicht . . .
Ladungsverteilung im Gleichgewicht . . . . . . . . . .
Metall positiv vorgespannt . . . . . . . . . . . . . . .
Metall negativ vorgespannt . . . . . . . . . . . . . . .
Dotierung des abrupten pn-Überganges . . . . . . . .
Raumladungszone im Gleichgewicht . . . . . . . . . .
Ladungsträger im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . .
Raumladungen im Gleichgewicht . . . . . . . . . . .
Banddiagramm im Gleichgewicht . . . . . . . . . . .
Ladungsträger bei Sperrichtung . . . . . . . . . . . .
Banddiagramm bei Sperrichtung . . . . . . . . . . . .
Raumladung in Vorwärtsrichtung . . . . . . . . . . .
Banddiagramm in Vorwärtsrichtung . . . . . . . . . .
Ladungsträgervervielfachung . . . . . . . . . . . . . .
Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Seite der Raumladungzone erreicht den Kontakt
Ladungsträgerdichten bei Vorwärtsrichtung . . . . . .
Ströme bei Vorwärtsrichtung . . . . . . . . . . . . . .
Ladungsträgerdichten bei Rückwärtsrichtung . . . . .
Ströme bei Rückwärtsrichtung . . . . . . . . . . . . .
neues Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 Vorbemerkung
1.1 Wellenfunktionen
Zur Beschreibung von Materie, Teilchen und deren Dynamik im Mikrokosmos können
die Gesetze und Vorstellungen des Makrokosmos nicht mehr angewendet werden. Die
Beschreibung der Vorgänge und Zustände des Mikrokosmos leistet die Quantenmechanik. Die im Makrokosmos gültige klassische bzw. relativistische Mechanik steht mit der
quantenmechanischen Formulierung in Verbindung. Dazu mehr im Vortrag.
Einschränkend muss hier bemerkt werden, dass die Quantenmechanik ein sehr umfangreiches Teilgebiet der Physik ist. Leider ist sie auf Grund ihrer mathematischen
Struktur oft nicht anschaulich, sondern nur abstrakt darzustellen. Da es in diesem kleinen Vortrag aber in erster Linie auf die grundlegenden Zusammenhänge und Begriffe
ankommt, werden wir uns auf anschauliche und einfache Beispiele beschränken. Trotzdem muss man zum Verständnis der Quantenmechanik von den gewohnten klassischen
Betrachtungsweisen von Materie und ihrer Dynamik und Kinematik Abstand nehmen.
Der zentrale Begriff in der Quantenmechanik ist die Wellenfunktion Ψ(x, t) (auch
Zustandsfunktion genannt). Sie enthält alle Informationen über das betrachtete System.
Abbildung 1: eindimensionale Wellenfunktion ohne Zeitabhängigkeit
Eine solche Zeichnung kann leider nicht die Zeitabhängigkeit zeigen.
1.2 unendlicher Potentialtopf
Als Beispiel wollen wir den unendlich tiefen Potenzialtopf heranziehen, weil die Wellenfunktionen und die zugehörigen Energieniveaus einfach zu berechnen sind.
Datum: 17. April 2012
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Abbildung 2: Wellenfunktionen im unendlichen Potentialtopf
Die Wirklichkeit ist allerdings eine Stufe komplexer. Die Wellenfunktionen drehen
sich zeitabhängig um die x-Achse ( im eindimensionalen Fall ). Deshalb wird eine weitere Dimension gebraucht, um dies darzustellen. Diese zusätzliche Zahlenachse ist keine
reelle, sondern eine imaginäre. Im einfachsten Fall ( bei stationären Lösungen ) ist diese
Drehung in der komplexen Zahlenebene gleichmäßig für alle Wellenteile.
Filme: animKasten1, animKasten2
Durch Multiplikation mit der konjugiert komplexen Wellenfunktion erhält man die
Verteilungsdichte, aus der dann alle physikalischen Werte folgen. Bei stationären Lösungen ist diese Dichte zeitunabhängig, weil der exponentielle Zeitfaktor in den Wellenfunktionen bei der Multiplikation wegfällt:
r
ψn (x, t) =
r
ψn∗ (x, t) =
i
π
2
sin(n x)e− h̄ En t ,
L
L
n = 1, 2, ...
i
π
2
sin(n x)e+ h̄ En t ,
L
L
n = 1, 2, ...
und
i
i
e− h̄ En t e+ h̄ En t = 1,
n = 1, 2, ...
Wenn dieser Fall vorliegt, kann man sich - wenigstens zeichnerisch und rechnerisch die Drehung in der komplexen Ebene ganz schenken und auch nur den ortsabhängigen
i
Anteil ψn (x) der Wellenfunktionen ψn (x, t) = ψn (x)e− h̄ En t betrachten. Daher kommt
der Name statonäre Lösungen.
Für den unendlich tiefen Potenzialtopf ergibt sich:
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Abbildung 3: Verteilungsdichte im unendlichen Potenzialtopf
Die allgemeine Lösung ist allerdings in der Regel eine Überlagerung mehrerer stationärer Wellenfunktionen, denn wenn ψ1 (x, t) und ψ2 (x, t) die zeitabhängige Schrödingergleichung lösen, dann auch ψ1,2 (x, t) = αψ1 (x, t) + βψ2 (x, t) α, β ∈ C. Jetzt drehen sich
unterschiedliche Teile der Gesamtwellenfunktion mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in der komplexen Ebene. Die Verteilungsdichte wird dann zeitabhängig, weil die
zeitabhängigen e-Funktionen bei der Produktbildung nicht mehr entfallen ( es stecken
ja unterschiedliche En -Werte in den Termen ). Jetzt kann man sich vorstellen, dass auch
( fast wie bei klassischen Teilchen ) Bewegung beschrieben werden kann.
Filme: Kasten1+2, Kasten1-4 Filme: Kasten Quad
Für wirklichkeitsnähere Aufgaben gerät unsere Vorstellungskraft schnell an seine Grenzen, vor allem wenn man an eine dreidimensionale Welle ( immer noch nur eines Quantenobjektes ) denkt, deren Drehung ja in einer weiteren imaginären Dimension erfolgen
muss. Das ist nur noch mathematisch zu beherrschen. Bei mehr als einem Quantenteilchen summieren oder multiplizieren sich die Dimensionen der Darstellungsräume.
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2 Elektronen in Kristallen
2.1 Potenziale in Kristallen
In Kristallen bewegen sich die Wellenfunktionen ( Elektronen ) in einem regulären Potenzial V (x) das von den Atomen ( und bei manchen Modellen zusätzlich von den anderen
Elektronen ) gebildet wird. Das Potenzial hat in vielen Fällen eine periodische Struktur,
bestehend aus endlich tiefen Potenzialtöpfen:
Abbildung 4: periodisches eindimensionales Potenzial
Die Lösungen der Schrödingergleichung für ein solches Potenzial sind schwierig zu
finden. Das Blochsche Theorem zeigt aber, dass sie von der Form : ψ(x) = U (x)eikx
sind. Damit haben wir:
• Die Lösungen ähneln denen der freien ebenen Welle ψ(x) = eikx
• Freie Elektronenwellen haben eine konstante Amplitude, während im periodischen
Potenzial auch die Amplituden die Periodizität des Gitters haben: U (x) = U (x+a)
• Der Parameter k hängt wieder mit dem Impuls des Elektrons zusammen. Ein
wichtiger Unterschied: Nur für Werte zwischen − πa und πa ( eindimensional ) sind
die k-Werte eindeutig.
• ψ(x) ist periodisch über
2π
a
2 2
Wichtig ist hier die Dispersionsrelation E(k), die für freie Elektronen E = h̄2mk lautet.
2
2
n)
Für das fast freie Elektronengas gilt: Ek = h̄ (k+G
mit einem reziproken Gittervektor
2m
Gn .
Wir bemerken:
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• Jedes n liefert eine Parabel für E(k)
• E ist eine periodische Funktion von k mit der Periodizität
2π
a
• E ist eine vieldeutige Funktion
• E ist nur im Intervall − πa < k <
π
a
eindeutig
Abbildung 5: Dispersionsrelation
Abbildung 6: Einschränkung auf Brillouin-Zone
Realistischer ist die Berechnung eines echten periodischen Potenzials 6= 0, hier ein (
einfach zu rechnender ) Kosinus-Verlauf, der aber alles Wesentliche liefert.
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Abbildung 7: Kosinus-Verlauf des Potenzials
Das allgemein gültige Ergebnis zeigt, dass in der Nähe der Brillouin-Zone das Energieband aufspaltet. Es gibt einen Energiebereich ohne zugehörige Lösungsfunktionen. Das
ist typisch für Halbleiter und Isolatoren.
Abbildung 8: Der Bereich in dem die Schrödingergleichung keine Lösungen hat
2.2 Die effektive Masse
Wirkt auf eine Elektronenwelle mit Wellenvektor k im Kristall eine äußere Kraft F, dann
gilt h̄ dk
= F . Daraus lässt sich die Verknüpfung zur klassischen Bewegungsgleichung
dt
2 −1
ersetzt werden.
F = ma herstellen: m muss durch die effektive Masse m∗ = h̄2 dd2Ek
Die Masse hängt jetzt also von der Dispersionsrelation ab. Die Graphik zeigt etwas
Ungewöhnliches: Negative Massen.
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Abbildung 9: Leitungsband und effektive Massen
Das Elektron bewegt sich also in einem periodischen Potential so, als ob es die Masse
m* hätte. Die Beschleunigung der Kristallelektronen verläuft dabei nicht notwendigerweise in Richtung der Kraft, sie kann auch in die entgegengesetzte Richtung zeigen.
Die Erklärung hierzu liegt in der Braggreflexion des als Welle aufgefassten Elektrons
am Gitter. Je näher der Wellenvektor des Elektrons k an die Brillenzonengrenze rückt,
desto größer ist der Reflexionsanteil am Gitter. Direkt an der Grenze ist dieser sogar
genauso groß wie der nach vorwärts gerichtete Teil, sodass die Welle stehend wird (
Dispersionsrelation waagrecht, Gruppengeschwindigkeit verschwindet).
In der Graphik sieht man, dass die effektive Masse anwächst ( da auch der reflektierte
Anteil anwächst ), unendlich wird ( genau an dem Punkt, an dem der durch die Kraft
F hervorgerufenene Übergang k ⇒ k + δk zur Folge hat, dass der reflektierte Anteil
im gleichen Maße wächst wie der der Anteil in Vorwärtsrichtung, effektiv also keine
Beschleunigung des Elektrons erfolgt ) und schließlich sogar negativ wird, wenn die
Reflexionswelle schneller wächst als die in Vorwärtsrichtung laufende, das Elektron also
effektiv in die entgegengesetzte Kraftrichtung beschleunigt wird.
Für das Valenzband lässt sich - etwas langwieriger - folgendes zeigen:
• Ein vollbesetztes Band hat keine elektrische Leitfähigkeit, da die Summe aller
Wellenvektoren Null ist.
• Unbesetzte Zustände heißen Löcher. Der Wellenvektor eines Loches ist: kh = −ke ,
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daher die positive Ladung
• Die effektive Masse des Loches hängt wieder von der Dispersionsrelation des im
Valenzband fehlenden Elektrons ab. mh = −me . Nahe der Oberkante des Valenzbandes ist me negativ, also mh positiv
• Ein Loch verhält sich in äußeren elektrischen und magnetischen Feldern wie ein (
positiv geladenes ) Elektron mit entsprechender effektiven Masse
• Elektronen- und Löcherflussdichten und Ströme verhalten sich wie klassische Teilchen.
Für reale ( dreidimensionale ) Kristalle sehen die Bänder wesentlich komplexer aus.
Es treten Überlagerungen und unterschiedliche Krümmungen der Funktionen in unterschiedlichen Kristallrichtungen auf.
Abbildung 10: Bänderstruktur für Silizium
2.3 Energiebanddiagramm
Die Näherung der Energie-Band-Diagramme ist sehr einschneidend und umfangreich:
Wir vergessen alles, bis auf die Erkenntnisse: Elektronen ( Wellenfunktionen ) sind fast
frei beweglich im Leitungsband. Im Valenzband sind die Löcher fast frei beweglich. In
den Gaps gibt es keine Zustände. Beide Trägerarten reagieren klassisch auf elektrische
Felder. Weitere Beschränkung auf das Maximum der Valenzbänder und das Minimum der
Leitungsbänder. Da jetzt die k-Werte für die Darstellung nicht mehr gebraucht werden,
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können wir der x-Achse eine neue Bedeutung geben: In der Regel ist dies eine Achse
längs des Halbleiterbauelementes. So kann die energetische Lage der Bänder ortsabhängig
auftragen werden.
Abbildung 11: vereinfachtes Band-Schema für zwei Bänder
Die Bänder ( die ja aus eng beieinander liegenden einzelnen Niveaus bestehen ) haben
eine bestimmte Zustandsdichte und sie werden von unten nach oben mit Wellenfunktionen nach der Fermi-Regel belegt. Es gibt also ein Band, das voll oder fast voll besetzt ist(
das Valenzband ) und eines, das leer oder fast leer ist ( das Leitungsband ). In diesen zwei
Bändern spielt sich fast die gesamte Halbleiterphysik ab. Es ist die theoretische Grundlage für die Bauelemente Diode, Transistor, Thyristor usw. So extrem vereinfacht, wie
diese Modell aussieht, birgt es dennoch die Möglichkeit von Fehlinterpretationen. Daher
zusammengefasst:
• Elektronen und Löcher sind nur energetisch ( durch das Gap ) getrennt, räumlich
gibt es keine Trennung in Bänder.
• Elektronen und Löcher tragen Ladungen und üben Anziehung und Abstoßung
aufeinander aus.
• Da beide Trägersorten als echte Teilchen aufgefasst werden müssen, gibt es auch
die Diffusion der Teilchen von hohen zu niedrigen Konzentrationen.
• Elektronen im Leitungsband entstehen durch Anregung aus dem Valenzband (
Generation )
• Der entgegengesetzte Vorgang heißt Rekombination
Bei jeder Überlegung zum inneren Mechanismus eines Bauelementes müssen immer
diese 4 letzten Punkte der Liste bedacht werden.
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Abbildung 12: Banddiagramm in Silizium
Bislang haben wir über einen intrinsischen Halbleiterkristall gesprochen. Um Berechnungen der elektrischen Leitfähigkeit durchzuführen, müssen wir für jede Temperatur wissen, wieviele Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband angeregt
wurden und wieviele Energieniveaus für die Besetzung zur Verfügung stehen. Jedes
Energieniveau kann dabei mit zwei Elektronen besetzt sein. Geregelt wird dies durch
die Fermi-Verteilungsfunktion und die Zustandsdichte. Sie bestimmen die Anzahl der
Elektronen im Leitungsband und die Anzahl der Löcher im Valenzband. Die FermiEnergie liegt dabei grob in der Mitte des Energie-Gaps. Um diesen Wert ist die FermiVerteilungsfunktion punktsymmetrisch.
Abbildung 13: Band-Diagramm
In den Bändermodellen bedeutet:
WC = Energie-Niveau der Unterkante des Leitungsbandes,
WV = Energie-Niveau der Oberkante des Valenzbandes,
WG = WC − WV = Bandabstand.
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Gleichgewichtskonzentrationen z.B. bei T = 300◦ K für Silizium: ni = 1.5 · 1010 cm−3 .
Die freien Elektronen besetzen Energieniveaus im Leitungsband.
Im Valenzband treten unbesetzte Energieniveaus auf (Löcher).
Abbildung 14: ZustandsDichte
Die Anzahl besetzbarer Energie-Terme im Valenzband und im Leitungsband ist begrenzt.
In der Nähe der Bandkanten WC und WV gilt näherungsweise:
Dp (W ) ≈
p
Wv − W
Dn (W ) ≈
p
und
W − WC
Für die Wahrscheinlichkeit P(W), dass ein verfügbarer Energieterm tatsächlich durch
ein Elektron besetzt ist, gilt die Fermi-Dirac-Verteilung:
P (W ) =
1
F
1 + exp W −W
kT
mit k = 1, 38 · 10−23 JK −1 (Boltzmann-Konstante).
T = absolute Temperatur, WF = Fermi-Niveau (Fermi-Kante).
• T = 0 K : alle Energie-Niveaus unterhalb WF sind von Elektronen besetzt, alle
Niveaus oberhalb WF sind unbesetzt (Sprungfunktion bei WF ).
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• T > 0 K: Übergang nicht mehr sprunghaft, Besetzungswahrscheinlichkeit bei WF
gerade 50% (P (WF ) = 0, 5).
Abbildung 15: Fermi-Dirac-Funktion
Abbildung 16: Lage der Fermi-Dirac-Funktion
Beim reinen (nicht dotierten) Halbleiter liegt das Fermi-Niveau etwa in der Mitte des
verbotenen Bandes.
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Abbildung 17: Dichten der n und p Trägerteilchen
Beim reinen (nicht dotierten) Halbleiter liegt das Fermi-Niveau etwa in der Mitte des
verbotenen Bandes.
T = 0 K: Nach der Fermi-Dirac-Verteilung sind nur Energiezustände unterhalb der
Fermi-Kante möglich.
• Das Valenzband ist vollständig mit Elektronen besetzt.
• Das Leitungsband ist leer.
• Es ist keine Stromleitung möglich.
T > 0K: Durch Energiezufuhr werden Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband
angehoben, es entstehen freie Elektronen im Leitungsband und (bewegliche) Löcher im
Valenzband. Der umgekehrte Vorgang heißt Rekombination: Ein Elektron aus dem Leitungsband fällt in ein Loch im Valenzband. Das Elektron gibt Energie ab (Strahlung,
Gitterschwingungen). Die beweglichen Ladungsträger löschen sich gegenseitig aus. Zwischen Generation und Rekombination stellt sich ein temperaturabhängiges Gleichgewicht
ein.
Die Energieverteilung der Ladungsträgerkonzentrationen ergibt sich aus dem Produkt
aus Besetzungswahrscheinlichkeit (Fermi-Dirac-Verteilung) und Zustandsdichte.
n(W ) = P (W ) · Dn (W )
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(Energieverteilung der Elektronen im Leitungsband)
p(W ) = (1 − P (W )) · Dp (W )
(Energieverteilung der Löcher im Valenzband)
(mit n(W), p(W) = Ladungsträgerdichte pro Intervall dW)
Integration über das gesamte Leitungsband ergibt die Gesamtkonzentration freier
Elektronen, Integration über das gesamte Valenzband die Gesamtkonzentration der Löcher, bspw.:
Z
Z
W∞
Wvac
n(W )dW ≈
n=
WC
Pn (W )Dn (W )dW
WC
Bei vorhandener Dotierung ändern sich die Zustandsdichten und die Fermi-DiracFunktion nicht. Nur die Lage des Fermi-Niveaus verschiebt sich:
Abbildung 18: bei n-Dotierung
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Abbildung 19: Konzentrationen bei n-Dotierung
Abbildung 20: bei p-Dotierung
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Abbildung 21: Konzentrationen bei p-Dotierung
Die Lage der Fermi-Energie bestimmt offenbar die Teilchendichten auch bei Dotierung.
Die tiefere Bedeutung der Fermi-Energie ist die eines elektochemischen Potentials. Das
bedeutet: Sie liegt in einem Kristall auch bei unterschiedlicher Dotierung in einzelnen
Bereichen bei einem konstanten Energie-Wert. Die Leitungsband- und Valenzbandkanten
müssen sich anpassen. Die Fermienergie ist der Fixpunkt und darauf wird sich alles
Weitere gründen.
2.4 Konstruktion eines Energiediagrammes
Ein erstes Beispiel ist der pn-Übergang. Wie konstruiert man ( qualitativ ) das Banddiagramm?
• zeichne eine horizontale Gerade, die Enden sind die Kontakte.
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Abbildung 22: konstante Fermienergie einzeichnen, Kontakt pn markiert
• Zeichne weit links vom Kontakt zwischen n- und p-Material das Banddiagramm
von Material 1; weit rechts das von Material 2; immer relativ zu der bereits festgelegten Fermienergie.
Abbildung 23: Bänder verschieben
• Verbinde Leitungs- und Valenzband durch eine gefühlsmäßig gezeichnete Bandverbiegung.
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Abbildung 24: Bandverbiegung einzeichnen
Was kann man ablesen:
• Das Ferminiveau liegt links dicht am Valenzband; dieses Material ist ein p-Leiter;
viele Löcher; wenig Elektronen; fast alle Löcher entstammen der Dotierung.
• Für die rechte Seite gilt Entsprechendes.
• Elektronen, die rechts ja in großer Zahl vorhanden sind, diffundieren nach links.
Löcher, deren Anzahl links sehr groß ist diffundieren nach rechts. Beide hinterlassen
dann die geladenen und ortsfesten Donator- und Akzeptor-Niveaus.
• Dadurch entsteht ein inneres elektrisches Feld, das nun seinerseits einen Elektronenfluss nach rechts und einen Löcherstrom nach links antreibt. Es stellt sich ein
dynamisches Gleichgewicht ein. Das elektrische Feld bedingt die Verbiegung der
Bandkanten. Umgekehrt ist daran das Vorhandensein eines elektrischen Feldes zu
erkennen. Das Halbleitergebiet, in dem diese Verbiegung stattfindet, heißt Raumladungszone.
2.5 Generation-Rekombination
Ein einfaches Modell für den Generations-Rekombinations-Mechanismus ergibt die GenerationsRekombinations-Rate als proportional zu der Überschuss-Ladungsträger-Dichte. Es enthält auch den Fakt, dass keine Netto-Rekombination stattfindet, wenn die Trägerdichten
den thermischen Gleichgewichtswerten entsprechen. Der Ausdruck, den man erhält ist
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für Elektronen in einem p-Typ Halbleiter durch:
Un = Rn − Gn =
np − np0
τn
gegeben. Für Löcher in einem n-Typ Halbleiter ergibt sich:
Up = Rp − Gp =
pn − pn0
τp
wobei die Parameter τn , τp interpretiert werden können als mittlere Zeitdauer, in der die
Minoritätsladungsträger rekombinieren.
Auch andere Rekombinationsmechanismen müssen für quasi-neutrale Halbleiter und
Minoritätsträger in starker Approximation zu diesen Ausdrücken führen. Weitere Folgerungen sind: Die Rekombinationsraten der Majoritätsträger und der Minoritätsträger
sind gleich, da im Gleichgewicht die Anzahl der Löcher und Elektronen gleich ist. Die
Anzahl der Minoritätsträger bestimmt die Rekombinationsrate. Die Generationsraten
hängen generell nur vom Kristall und der Temperatur ab, nicht von der Dotierung.
Generation-Rekombination in der Raumladungszone und in Situationen, in denen die
Löcher- und Elektronendichten dicht beisammen liegen, können nicht durch dieses einfache Modell beschrieben werden. Bei Silizium reicht hier oft das Shockley-Reed-Hall
Modell. Hier läuft der Rekombinationsvorgang über Störstellen. Die SRH-Theorie ist
nicht ganz einfach, die Ergebnisse sind aber verständlich:
RSRH
np − n2i
=
τp (n + n1 ) + τn (p + p1 )
mit
n1 = ni e
Et −Ei
kT
und
p1 = ni e
Ei −Et
kT
hierbei ist Ei die Energie der Mitte der Energie-Lücke, τn , τp die Lebensdauern der
Träger und Et ist die Energie der Traps.
2.6 Bilanz
Unser Startpunkt waren Wellenfunktionen in einem Festkörper. Ihre energetischen Zustände können durch die Quantenzahl Bandnummer und in den Bändern durch die Quantenzahl k, die dem Impuls entspricht, beschrieben werden. Abhängig von beiden haben
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wir sehr unterschiedliche Zustände gefunden. Wellen, die sich über den gesamten Kristall
ausbreiten und auch stehende Wellen, die durch Reflexion an den k-Grenzen entstehen
und letztendlich die Ursache der Energie-Lücken sind. Von den Bändern waren zwei besonders interessant: Das Valenzband und das Leitungsband, die in Silizium durch eine
verbotene Zone von ca. 1,1 eV getrennt sind. Und in diesen Bändern die Oberkante des
Valenzbandes und die Unterkante des Leitungsbandes. Durch Vergleich mit der klassischen Physik können solchen Wellenfunktionen und Wellenpaketen Masse und Ladung
zugeordnet werden. Nun erst konnten wir von Elektronen und Löchern sprechen, die
jetzt auch andere klassische Eigenschaften haben. Sie bewegen sich unter dem Einfluss
eines elektrischen Feldes und es gibt sogar den Vorgang der Diffusion von höheren zu
kleineren Dichten. Was entspricht dem in der Quantentheorie? Schließlich haben wir die
sehr rohe Näherung der Energiediagramme vorgenommen. Trotzdem wird sie uns eine
sehr gute ( und quantitative ) Beschreibung von Halbleiterbauelementen ermöglichen.
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3 Metall und Metall-Halbleiter-Kontakte
Im Bänderdiagramm eines Metalls gibt es keine Energielücke, weil sich die Bänder überlappen. Fast alle Zustände unterhalb der Fermi-Energie sind besetzt und fast alle oberhalb leer. Das Geschehen spielt sich in einem, einige kT breitem Band, um die Fermienergie herum ab. Typisch unterliegt ein Elektron pro Atom dieser Bedingung. Das führt
zu Dichten von ca.: 1028 m−3 .
Abbildung 25: Metall: Austrittsarbeit
Die Austrittsarbeit qφ ist die Energie, die aufgewendet werden muss, um ein Elektron
vom Metall ins Vakuum zu bringen. Bei den meisten Metallen liegt diese Energie im
Bereich: 4-5 eV.
3.1 Metall-Metall-Kontakt
Konstruktion des Banddiagrammes:
• Banddiagramm der einzelnen Metalle nebeneinander zeichnen. Auf den Vakuumlevel nivellieren.
Abbildung 26: Metall1, Metall2 getrennt
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• Ein Elektron nahe der Fermienergie im Metall rechts sieht viele leere Niveaus mit
niedriger Energie im Metall links.
• Es wird diese niedrigen Niveaus besetzen.
• Bei diesem Übergang wird das linke Metall negativ, das rechte positiv geladen.
Abbildung 27: Elektronen Akkumulation und Verarmung
• Dieser Vorgang läuft, bis die Fermienergie durch die gesamte Struktur konstant
ist. Banddiagramme verbinden.
Abbildung 28: Kontakt herstellen
• Am Metall-Metall-Übergang entsteht eine Kontaktpotentialdifferenz: Vcon .
• Elektrostatische Anziehung hält die Ladungen dicht am Übergang.
• Bei angelegter Spannung sieht das so aus:
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Abbildung 29: Spannung angelegt, Metall2 hat größeren Widerstand
• In beide Richtungen gibt es an der Fermienergie keine Potenzialbarrieren. Die angelegte Spannung teilt sich - je nach Leitfähigkeit - auf die beiden Metallgebiete
auf. Die Steigungen der Valenz- und Leitungsbandkante zeigen das zum Treiben
des Stromes notwendige elektrische Feld an. Spannungsumpolung liefert ein entsprechendes Ergebnis.
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3.2 Metall-Halbleiter-Kontakt
In Halbleitern kann - wie in Metallen - Akkumulation oder Verarmung an einer Grenzschicht vorliegen. Dabei können Raumladungszonen erzeugt werden, wenn die Ladungsträger aus Dotierungen stammen. Ionisierte Akzeptoren oder Donatoren sind ja nicht
beweglich. Bei niedriger Dotierung sind diese Raumladungszonen weiter, bei hoher Dotierung schmaler. Bei sehr hoher Dotierung sind diese Barrieren so schmal, dass Tunneleffekte einsetzen können.
Abbildung 30: Bezeichnungen im Halbleiter
3.2.1 Schottky-Barrieren
Als Beispiel für eine Schottky-Barriere ( Diode ) soll ein Metall ( Austrittsarbeit qφm )
und ein n-Typ-Halbleiter ( qφS ) mit φm > φS dienen. Die weitere Analyse erfolgt nach
bewährtem Rezept:
• Die Figur zeigt die Banddiagramme vor dem Kontakt. Zwei Ladungstransfers sind
zu berücksichtigen. Elektronen des Halbleiters bewegen sich ins Metall, Elektronen
des Metalls fließen in Valenzbandlevels ( oder alternativ: Löcher fließen vom Valenzband hoch zum Ferminiveau im Metall ). Da es in einem n-Typ-Halbleiter sehr
viel mehr Elektronen im Leitungsband als Löcher im Valenzband gibt, überwiegt
der erste Transfer.
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Abbildung 31: getrennte Diagramme
• Wenn Kontakt hergestellt ist, ist die Fermi-Energie konstant. Da im Wesentlichen
Elektronen aus dem Leitungsband des Halbleiters abgezogen wurden, entsteht eine
Raumladungszone, die weiteren Elektronenfluss erschwert. Die Konzentration von
Elektronen im Leitungsband an der Grenzschicht ist abgesunken.Nur noch wenige Elektronen schaffen die Potenzialbarriere. Diese Strom wird von den wenigen
Löchern kompensiert, die vom Halbleiter ins Metall driften.
Abbildung 32: Kontakt hergestellt
• Die Ladungsverteilung zeigt - wie erwartet - die Elektronenakkumulation im Metall
und im Halbleiter die entstandene Raumladungszone.
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Abbildung 33: Ladungsverteilung im Gleichgewicht
Noch lässt sich nicht vorhersagen, ob der Kontakt ein gleichrichtender oder ein
ohmscher sein wird. Dazu müssen wir Spannungen anlegen und die Veränderungen
zum Gleichgewicht betrachten. Dabei ist zu beachten, dass der Großteil der Spannung für die niedriger dotierte Seite aufgewendet wird. Der Halbleiter hat einen
sehr viel geringeren Wert von Ladung/Volumen als das Metall.
• Bei der Vorwärtsrichtung wird die Barriere für Elektronenfluss aus dem Halbleiter
ins Metall erniedrigt, der Stromfluss steigt.
Abbildung 34: Vorwärtsrichtung
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In Rückwärtsrichtung erhöht sich die Barriere für Elektronenfluss vom Halbleiter
ins Metall. Die Nachlieferrate für Löcherfluss vom Halbleiter in das Metall ist gering
( weil Löcher Minoritätsträger sind ). Die Barriere vom Metall in den Halbleiter
hat sich wenig verändert.
Abbildung 35: Rückwärtsrichtung
Der vorliegende Kontakt ist also ein Schottky-Kontakt.
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3.2.2 Ohmsche Kontakte
Das Beispiel ist ein Metall : n-Typ Kontakt mit φm < φS .
• Die Figur zeigt die Banddiagramme vor dem Kontakt. Der Hauptladungstransfer besteht aus Elektronen, die in den Halbleiter fließen. Dadurch gleichen sich
die Fermi-Niveaus an und der Zufluss von Elektronen aus dem Metall sieht eine
Barriere. Elektronen akkumulieren im Halbleiter an der Grenzschicht.
Abbildung 36: getrennte Diagramme vor dem Kontakt
• Wenn Kontakt hergestellt ist, ist die Fermi-Energie konstant. Das Gleichgewicht
für den Elektronenfluss wird durch Drift aus dem Halbleiter ins Metall und durch
Diffusion vom Metall in den Halbleiter erreicht.
Abbildung 37: Kontakt hergestellt, dynamisches Gleichgewicht
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• Die Ladungsverteilung zeigt eine Elektronenverarmung im Metall und im Halbleiter die entsprechende Elektronenakkumulation. Die Raumladungszone ist sehr
schmal.
Abbildung 38: Ladungsverteilung im Gleichgewicht
Wieder lässt sich nicht vorhersagen, ob der Kontakt ein gleichrichtender oder ein
ohmscher sein wird. Dazu müssen wir Spannungen anlegen und die Veränderungen
zum Gleichgewicht betrachten. Dabei ist zu beachten, dass der Großteil der Spannung für die niedriger dotierte Seite aufgewendet wird. Der Halbleiter hat einen
sehr viel geringeren Wert von Ladung/Volumen als das Metall.
• Wenn das Metall positiv gegen den Halbleiter vorgespannt wird, gibt es keine
Barriere für den Elektronenfluss aus dem Halbleiter ins Metall.
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Abbildung 39: Metall positiv vorgespannt
Ist das Metall negativ vorgespannt, erniedrigt sich die Barriere für Elektronenfluss
vom Metall in den Halbleiter.
Abbildung 40: Metall negativ vorgespannt
Der vorliegende Kontakt ist also ein ohmscher Kontakt. Stromfluss ist in beiden
Richtungen ohne große Barrieren möglich.
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4 p-n Übergänge
Zunächst eine kleine Zusammenfassung dessen, was wir schon wissen:
• Formal unterteilen wir die pn-Struktur in die Raumladungszone, daran angrenzende Gebiete und weiter entfernt vom pn-Kontakt die Neutralgebiete, die dann z.B.
in einer Diode bis zum metallischen Kontakt reichen.
• Die Neutralgebiete weisen in der Regel eine hohe p- oder n-Dotierung auf. Die
Majoritätsträger beherrschen hier das Geschehen. Da ihre Anzahl sehr hoch ist,
genügen kleine elektrische Felder, um Ströme anzutreiben.
• In den zwischen Raumladungszone und Neutralgebieten liegenden Bereichen spielen Diffusionsströme der Minoritätsträger, die vom gegenüberliegenden Rand der
Raumladungszone ( wo sie Majoritätsträger sind ) injiziert werden, eine große
Rolle. Sie können ( relativ ) leicht berechnet werden.
• Das elektrische Feld in der Raumladungszone treibt Driftströme, in der Raumladungszone überwiegt die Ladungsträgergeneration.
• Generell gilt für jedes Volumenelement und jede Ladungsträgersorte eine Kontinuitätsgleichung aus hineinfließenden, herausfließenden, generierten, und rekombinierten Ladungsträgern.
• Mit Ausnahme von Raumladungszonen gilt Quasineutralität.
4.1 Dotierung
Abbildung 41: Dotierung des abrupten pn-Überganges
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Kaum technologisch zu machen, aber für Rechnungen sehr praktisch und eine doch ganz
brauchbare Näherung. Die Gleichgewichtsraumladungszone zeigt: Kleinere Ausdehnung
ins höher dotierte Gebiet, größere Ausdehnung ins niedriger dotierte.
Abbildung 42: Raumladungszone im Gleichgewicht
Die Ladungsträgerverteilung sieht dann so aus:
Abbildung 43: Ladungsträger im Gleichgewicht
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4.2 Gleichgewicht-Nichtgleichgewicht
Es ist nützlich, sich die Raumladung und das Banddiagramm für die drei Betriebszustände Gleichgewicht, Sperrspannung und Spannung in Vorwärtsrichtung vergleichend
anzusehen:
• Raumladung und Banddiagramm im Gleichgewicht:
Abbildung 44: Raumladungen im Gleichgewicht
Abbildung 45: Banddiagramm im Gleichgewicht
• Raumladung und Banddiagramm in Sperrichtung
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Abbildung 46: Ladungsträger bei Sperrichtung
Abbildung 47: Banddiagramm bei Sperrichtung
• Raumladung und Banddiagramm in Vorwärtsrichtung
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Abbildung 48: Raumladung in Vorwärtsrichtung
Abbildung 49: Banddiagramm in Vorwärtsrichtung
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4.3 Durchbruch
Die Raumladungszone eines pn-Überganges nimmt den größten Teil der Sperrspannung
auf. Sie kann das natürlich nicht in beliebiger Größe tun, da das elektrische Feld immer
mehr anwächst. Ab einer bestimmten Spannung tritt ein Durchbruch ein, der Strom
steigt exponentiell an und das Bauelement kann zerstört werden. Drei Mechanismen
sind dafür verantwortlich. Auch sie lassen sich perfekt im Banddiagrammen darstellen:
• Avalanche Durchbruch
Abbildung 50: Ladungsträgervervielfachung
• Tunnel Durchbruch
Abbildung 51: Tunneleffekt
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• Punch-Through Durchbruch
Abbildung 52: Eine Seite der Raumladungzone erreicht den Kontakt
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4.4 Ströme in der pn-Struktur
In Vowärtsrichtung ist an jeder Seite der Raumladungszone der Minoritätsträgerstrom
ein Diffusionsstrom, der vom pn-Übergang wegführt. Wird die Potenzialbarriere veringert, werden mehr Majoritätsträger in die gegenüberliegenden Seiten injiziert, in denen
sie dann Minoritätsträger sind. Sie diffundieren vom Rand der Raumladungszone weg
und rekombinieren dabei mit Majoritätsträgern. Für die Rückwärtsrichtung gilt Entsprechendes.
• Ladungsträgerdichten und Ströme bei Vorwärtsrichtung:
Abbildung 53: Ladungsträgerdichten bei Vorwärtsrichtung
Abbildung 54: Ströme bei Vorwärtsrichtung
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• Dichten und Ströme bei Rückwärtsrichtung
Abbildung 55: Ladungsträgerdichten bei Rückwärtsrichtung
Abbildung 56: Ströme bei Rückwärtsrichtung
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4.4.1 Ableitung der Diodenkennlinie
Wenn man den Generationsstrom, der in der Raumladungszone erzeugt wird, vernachlässigt, gilt:
J = Jn (x) + Jp (x)
an jeder Stelle der Halbleiterstruktur. Dabei gilt:
Jn (x) = qµn nE + qDn
dn
d(∆n)
= qµn nE + qDn
dx
dx
Jp (x) = qµp pE + qDp
dp
d(∆p)
= qµp pE + qDp
dx
dx
Dabei ist: p = p0 + ∆p und n = n0 + ∆n.
Folgende Annahmen und Vorgehensweisen sollen zugrunde gelegt werden:
• Der pn-Übergang ist nicht degeneriert.
• Eingeschwungener Zustand.
• Low-Level-Injektion in den Neutralgebieten.
• Keine Rekombination-Generation in der Raumladungszone.
dJn
=0
dx
dJp
=0
dx
Das heißt: Jn und Jp sind in der Raumladungszone konstant.
• Löse die Minoritätsträger-Diffusionsgleichungen in den Quasi-Neutralgebieten um
∆np (x, Va ) umd ∆pn (x, Va ) zu erhalten. Die Randbedingungen anwenden:
– Für die p-Seite: ∆np (−xp ), ∆np (−∞) = 0
– Für die n-Seite: ∆pn (xn ), ∆pn (∞) = 0
• Bestimme die Minoritätsträger-Stromdichten in den Quasineutralgebieten:
Jn (x, Va ) = qDn
d(∆np )
dx
Jp (x, Va ) = qDp
d(∆pn )
dx
und:
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• Berechne Jn an der Stelle x = −xp umd Jp an der Stelle x = xn :
J(VA ) = Jn (VA )|x=−xp + Jp (VA )|x=xn
Im Gleichgewicht ( n · p = n2i und VA = 0) gilt für die Ladungsträgerdichten auf der
p-Seite:
pp0 (−xp ) = NA
npo (−xp ) =
n2i
NA
und auf der n-Seite:
nn0 (xn ) = ND
pno (xn ) =
n2i
ND
Wenn auch für VA 6= 0 im quasineutralen Gebiet niedrige Injektion gilt, dann:
pp0 (−xp ) = NA
und
nn0 (xn ) = ND
auch für VA 6= 0.
Die Definition der Quasiferminiveaus wurde schon erwähnt, nun erweist sich auch ihre
Nützlichkeit:
Es gilt:
(Ei −Fp )
p = ni e kT
und
n = ni e
(Fn −Ei )
kT
Dann folgt:
pn = n2i e
(Ei −Fp )
kT
e
(Fn −Ei )
kT
= n2i e
(Fn −Fp )
kT
qVA
= n2i e kT
Damit ergibt sich für die p-Seite:
pp (−xp ) = NA
qVA
qVA
n2 e kT
np (−xp ) = i
= np0 e kT
NA
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∆np (−xp ) =
n2i qVA
(e kT − 1)
NA
und für die n-Seite:
nn (xn ) = ND
qVA
qVA
n2 e kT
pn (xn ) = i
= pn0 e kT
ND
∆pn (xn ) =
n2i qVA
(e kT − 1)
ND
Mit den nun bekannten Randbedingungen auf der p-Seite und auf der n-Seite müssen
wir die folgenden Differentialgleichungen ( Ableitung im nächsten Abschnitt ) lösen:
d2 ∆pn
∆pn
∆pn
= 2
=
2
dx
Dp τp
Lp
und
∆np
∆np
d2 ∆np
=
= 2
2
dx
Dn τn
Ln
Dafür führen wir ein neues Koordinatensystem ein:
Abbildung 57: neues Koordinatensystem
Die allgemeine Lösung ist von der Form:
x0
0
− Lx
∆pn (x0 ) = A1 e Lp + A2 e
p
mit den Randbedingungen folgt:
qVA
∆pn (x0 ) = pn0 (e kT − 1)e
− Lx
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0
p
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Entsprechend gilt:
x00
qVA
∆np (x00 ) = np0 (e kT − 1)e− Ln
Die Lösungen gelten im Bereich: x0 ≥ 0, x00 ≥ 0
Berücksichtigung der Randbedingungen und Zusammensetzen der Lösungen liefert:
J=
qn2i
Dn
Dp
+
Ln NA Lp Dp
qVA
e kT − 1
Das ist die Stromdichtegleichung einer Diode. Mit der Querschnittsfläche multipliziert
folgt:
qVA
kT
I = I0 e
−1
mit:
I0 =
Aqn2i
Dn
Dp
+
Lp Np Ln NA
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4.4.2 Ableitung der Diffusionsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung für Halbleiter besagt: Die Änderung der Anzahl an Elektronen
( entsprechend für Löcher ) in einem Volumenelement beruht auf dem Hinein- und
Herausfließen und der Generation und Rekombination von Elektronen.
Abbildung 58: Kontinuitätsgleichung
In einer Gleichung ausgedrückt:
∂n(x, t)
Adx =
∂t
Jn (x) Jn (x + dx)
−
−q
−q
A + (Gn (x, t) − Rn (x, t))Adx
Dabei sind n(x,t) die Trägerdichte, A die Fläche, Gn (x, t) die Generationsrate und
Rn (x, t) die Rekombinationsrate.
Taylor-Entwicklung liefert:
∂Jn (x, t)
∂n(x, t)
=
+ Gn (x, t) − Rn (x, t)
∂t
qdx
Den Elektronenstrom hier einsetzen liefert:
∂n(x, t)
∂E(x, t)
∂n(x, t)
∂ 2 n(x, t)
= µn n
+ µn E
+ Dn
+ Gn (x, t) − Rn (x, t)
∂t
∂x
∂x
∂x2
In den Quasineutralgebieten, in denen das elektrische Feld sehr klein ist, fließt der Strom
als Diffusionsstrom. Außerdem kann das einfache Rekombinationsmodell benutzt werden.
Dann ergibt sich:
∂n(x, t)
∂ 2 n(x, t) np (x, t) − np0
= Dn
−
∂t
∂x2
τn
Schließlich ist im eingeschwungenen Zustand die zeitliche Ableitung = 0. Dies liefert
die im Text benutzte Differentialgleichung für den Diffusionsstrom. Die Ableitung für
Löcher verläuft analog.
Datum: 17. April 2012
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Robert Caffier
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5 Danksagung und Kontakt
Vielen Dank für Ihre Teilnahme an diesem Vortrag. Wenn er Ihnen gefallen hat, bitte
weitersagen. Wenn Sie Fehler im Skript finden oder spezielle Wünsche an die Materialauswahl haben oder nur einfach sagen möchten: Zu schwer/leicht oder zu lang/kurz
oder Fragen haben, bitte Mail an mich: Mail-Adresse: [email protected]
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