Potenzen

Miniprojekt zu Potenzen komplexer Zahlen
Gegeben:
Gesucht:
von Dr. Bernhard Griesser
z  rcis 
Potenzen von z in Polarform
2
3
5
z 
z 
z 
z 
n
...................................
Formel von de Moivre
(1667-1754)
Zeichne die Potenzen von z
1.
z  cis80
3.
2.
z  1,2cis 50
z  0,9cis 40
Die Potenzen zn liegen
auf dem Einheitskreis, falls ...
auf einer nach aussen drehenden Spirale,
falls ...
auf einer nach innen drehenden Spirale,
falls ...
Aufgaben:
1.
Wie viele verschiedene Potenzen gibt es von z?
a) z  cis10
b) z  cis50
c) z  cis235
2.
Für welche natürlichen Zahlen n gilt
n
1 1 
n
a) 2i  1000
b)   i   0,2 ?
2 2
3.
Berechne
4.
Bestimme die Lösungen der Gleichungen
8
a) z  1
b) z8  16cis160
 3  3i .
5
n
c) z  rcis .
Was ist die Summe und das Produkt aller Lösungen?