Matrix-Potenzen und größter Eigenwert

Matrix-Potenzen und größter Eigenwert
Besitzt A einen betragsmäßig größten einfachen Eigenwert λ mit
Eigenvektor v , so gilt
An x = λn (cv + o(1)),
n → ∞,
falls x eine nichttriviale Komponente im Eigenraum von λ hat, d.h.
x = cv + w
mit c 6= 0 und v ∦ w .
Potenzen von Matrizen
1-1
Beispiel:
jährliche Veränderung der Marktanteile xi konkurrierender Firmen
A
20
10
30
B
40
E
80
20
20
C, +90
60
D, 10
Potenzen von Matrizen
2-1
Beispiel:
jährliche Veränderung der Marktanteile xi konkurrierender Firmen
A
20
10
30
B
40
E
80
20
20
C, +90
60
D, 10
Beispielsweise gewinnt die Firma A jährlich 80% der Marktanteile der
Firma D, und die Firma C vergrößert ihre Marktanteile um 90% durch
Erschließung neuer Absatzmöglichkeiten, verliert jedoch gleichzeitig
Marktanteile an die Firmen A und D.
Potenzen von Matrizen
2-2
Veränderung der Marktanteile:
Aneu = 0.7A + 0.4C + 0.8D
Bneu = 0.5B + 0.2A
Cneu = 0.9C + 0.2B
Dneu = 0.1D + 0.6C + 0.2E
Eneu = 0.8E + 0.1A + 0.3B
Potenzen von Matrizen
2-3
Veränderung der Marktanteile:
Aneu = 0.7A + 0.4C + 0.8D
Bneu = 0.5B + 0.2A
Cneu = 0.9C + 0.2B
Dneu = 0.1D + 0.6C + 0.2E
Eneu = 0.8E + 0.1A + 0.3B
x = (A, B, C , D, E )t

0.7 0 0.4 0.8 0
0.2 0.5 0
0
0



0
=  0 0.2 0.9 0
x
0
0 0.6 0.1 0.2
0.1 0.3 0
0 0.8

xneu
Potenzen von Matrizen
2-4
Veränderung der Marktanteile:
Aneu = 0.7A + 0.4C + 0.8D
Bneu = 0.5B + 0.2A
Cneu = 0.9C + 0.2B
Dneu = 0.1D + 0.6C + 0.2E
Eneu = 0.8E + 0.1A + 0.3B
x = (A, B, C , D, E )t

0.7 0 0.4 0.8 0
0.2 0.5 0
0
0



0
=  0 0.2 0.9 0
x
0
0 0.6 0.1 0.2
0.1 0.3 0
0 0.8

xneu
Multiplikation mit der n-ten Potenz der Iterationsmatrix
Marktanteile nach n Jahren
Potenzen von Matrizen
2-5
Die normierten Vektoren
x ◦ = x/(
X
xk )
k
konvergieren gegen einen Eigenvektor zum betragsmäßig größten
Eigenwert:
λmax = 1.1, vmax = (3, 1, 1, 1, 2)t /8
Potenzen von Matrizen
2-6
Die normierten Vektoren
x ◦ = x/(
X
xk )
k
konvergieren gegen einen Eigenvektor zum betragsmäßig größten
Eigenwert:
λmax = 1.1, vmax = (3, 1, 1, 1, 2)t /8
prozentuale Anteile
A : 37.5%,
B, C , D : 12.5%,
E : 25%
Potenzen von Matrizen
2-7
Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a0 = 0,
a1 = 1,
an+1 = an + an−1 ,
für n ≥ 1 ,
Potenzen von Matrizen
3-1
Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a0 = 0,
a1 = 1,
an+1 = an + an−1 ,
für n ≥ 1 ,
erste Fibonacci-Zahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . .
Potenzen von Matrizen
3-2
Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a0 = 0,
a1 = 1,
an+1 = an + an−1 ,
für n ≥ 1 ,
erste Fibonacci-Zahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . .
Startwerte a1 = 1 und a2 = 3
Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . .
Potenzen von Matrizen
3-3
Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a0 = 0,
a1 = 1,
an+1 = an + an−1 ,
für n ≥ 1 ,
erste Fibonacci-Zahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . .
Startwerte a1 = 1 und a2 = 3
Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . .
Matrixform der Rekursion:
xn+1 = Axn ,
xn = (an−1 , an )t ,
A=
0 1
1 1
Potenzen von Matrizen
3-4
Beispiel:
Fibonacci–Zahlen
a0 = 0,
a1 = 1,
an+1 = an + an−1 ,
für n ≥ 1 ,
erste Fibonacci-Zahlen:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . .
Startwerte a1 = 1 und a2 = 3
Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . .
Matrixform der Rekursion:
xn+1 = Axn ,
xn = (an−1 , an )t ,
A=
0 1
1 1
Eigenwerte und Eigenvektoren von A:
√
1
5
1
λ± = ±
, v± =
λ±
2
2
Potenzen von Matrizen
3-5
Darstellung des Startvektors als Linearkombination von v+ und v− ,
1
1
a0
0
=
= √ v+ − √ v−
a1
1
5
5
Potenzen von Matrizen
3-6
Darstellung des Startvektors als Linearkombination von v+ und v− ,
1
1
a0
0
=
= √ v+ − √ v−
a1
1
5
5
asymptotisches Verhalten
λn−1
λn−1
an−1
+
−
√
=
v+ − √
v−
an
5
5
d.h.
n−1
λn−1
λ−
1
+
an = √
λ+ − √
λ− = √
5
5
5
√ !n
1
5
+
(1 − (λ− /λ+ )n )
| {z }
2
2
o(1)
Potenzen von Matrizen
3-7
Konvergenz von Matrix-Potenzen
Die Potenzen An , n = 0, 1, . . ., einer komplexen Matrix konvergieren genau
dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als
1 ist.
Potenzen von Matrizen
4-1
Konvergenz von Matrix-Potenzen
Die Potenzen An , n = 0, 1, . . ., einer komplexen Matrix konvergieren genau
dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als
1 ist.
Die Folge (An ) bleibt beschränkt, wenn |λ| ≤ 1 und für Eigenwerte mit
Betrag 1 die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist.
Andernfalls divergiert die Folge, insbesondere dann, wenn ein Eigenwert
mit Betrag größer als 1 existiert.
Potenzen von Matrizen
4-2
Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
Potenzen von Matrizen
5-1
Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
An = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
Potenzen von Matrizen
5-2
Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
An = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
Potenzen von Matrizen
5-3
Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
An = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
betrachte die Blöcke
Ji = (λi E ) + D
(D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.)
Potenzen von Matrizen
5-4
Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
An = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
betrachte die Blöcke
Ji = (λi E ) + D
(D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.)
D m = 0 für einen Block der Dimension m
=⇒
n n−1
n
n
n
(Ji ) = λi E +
λ D + ··· +
λn−m+1 D m−1
1 i
m−1 i
Potenzen von Matrizen
5-5
Beweis:
Jordan-Form
J = Q −1 AQ
=⇒
An = (QJQ −1 )(QJQ −1 ) · · · (QJQ −1 ) = QJ n Q −1
untersuche die Konvergenz der Potenzen von J
betrachte die Blöcke
Ji = (λi E ) + D
(D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.)
D m = 0 für einen Block der Dimension m
=⇒
n n−1
n
n
n
(Ji ) = λi E +
λ D + ··· +
λn−m+1 D m−1
1 i
m−1 i
=⇒
Konvergenzeigenschaften
Potenzen von Matrizen
5-6
|λi | < 1 :
limn→∞
n
j
λn−j
=0
i
Potenzen von Matrizen
5-7
|λi | < 1 :
|λi | = 1 :
limn→∞ nj λn−j
=0
i
Folge beschränkt, wenn m = 1
Potenzen von Matrizen
5-8
|λi | < 1 :
|λi | = 1 :
|λi | > 1 :
limn→∞ nj λn−j
=0
i
Folge beschränkt, wenn m = 1
Divergenz, da λni → ∞
Potenzen von Matrizen
5-9
Beispiel:
n  
t 1 0
a
0 t 0  b  ,
0 0 −t
c
|
{z
}

t>0
J
Potenzen von Matrizen
6-1
Beispiel:
n  
t 1 0
a
0 t 0  b  ,
0 0 −t
c
|
{z
}

t>0
J
n = 1, 2, 3, · · ·


  2
  3
at + b
at + 2bt
at + 3bt 2
,: ···
 bt  ,  bt 2  , 
bt 3
3
2
−ct
−ct
ct
Konvergenz für t < 1, da nt n−1 → ∞
Divergenz für t ≥ 1 wie z.B. für t = 1
  

a
a + nb
J n b  =  b 
c
(−1)n c
Potenzen von Matrizen
6-2