Funktionsbestimmung 1 (mit Lösungen)

Funktionen mit gegebenen Eigenschaften – Aufgabe 14 – Lösung
Der Graf einer kubischen Funktion f hat an der Stelle x  3 die Tangente mit der
Gleichung t(x)  11x  27 und im Punkt W(1 ; 0) den Wendepunkt.
a) Bestimmen Sie die Gleichung von f.
Ausführlicher formuliert lautet der Aufgabentext:
Der Graf einer kubischen Funktion geht durch die Punkte P(3 ; t(3)  6) und
W(1 ; 0). An der Stelle x  3 hat f die Steigung 11 und an der Stelle x  1 einen
Wendepunkt.
Damit gilt:
f x
 a0
f '  x   a1

a1  x 
a2  x 2 
a3  x 3
 2  a 2  x  3  a3  x 2
f ''  x   2  a2  6  a3  x
Damit ergibt sich das lineare Gleichungssystem
f 1  0
 a0  a1  a2 
a3  0
f 3  6
 a0  3  a1  9  a2  27  a3  6
f '  3   11

a1  6  a2  27  a3  11
f '' 1  0

2  a 2  6  a3  0
mit den Lösungen
a3  1 ; a2  3 ; a1  2 ; a0  0

f  x   x3  3  x 2  2  x
b) Berechnen Sie die Nullstellen von f.


f  x   x3  3  x2  2  x  x  x 2  3  x  2  x   x  1   x  2 
Die Nullstellen liegen bei x  0, x  1 und x  2.
c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte.
f '  x   3  x2  6  x  2
3  x2  6  x  2  0 
x  1
3
3

x  1
3
3


3 2 3 
3
2 3 
H 1 
;
; T 1 
;




3
9 
3
9 


H  0, 4226 ; 0,3849  ; T 1,5774 ;  0,3849 
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente.
t  x   f ' 1   x  1  1  x  1  x  1