Uebung1_Aufg

Mathematik für Architekten
Winter 2004/05
Geometrie und Harmonie
Übung 1 (Proportionen, Ähnlichkeit)
1.
a) Berechnen Sie die Strecke x  AM für den Fall
a = 50 cm, b = 30 cm und c = 14 cm.
b) Drücken Sie die Diagonale e durchdie Seiten a, b
und c aus.

2.
D
Wir verwenden die Bezeichnungen der Figur. Das betrachtete Trapez sei gleichschenklig, d.h. es gilt b  d .
Beweisen Sie den dritten Strahlensatz:
Die Geraden g1 , g2 , g3 gehen durch den Punkt
O. Die Geraden a, b sind parallel. Für die
Schnittpunkte A1 , A2 , A3 bzw. B1 , B 2 , B 3 (vgl.
Figur) gilt dann:
c
d
e
b
M
e
a
A
B
g1
B1
A3
g2
O
A2
B2
B3
A1
A1 A2 : A2 A3  B1 B2 : B 2 B3
a
3.
C
g3
b
Gegeben sind zwei Kreise k1 und k2 mit Radien
r1  r2 , welche keine gemeinsamen Punkte haben.
Konstruieren Sie sämtliche gemeinsamen Tangenten von k1 und k2. Verwenden Sie
die Tatsache, dass die Schnittpunkte der inneren bzw. der äusseren Tangenten
Zentren von Streckungen sind, welche den einen Kreis in den anderen überführen.

4.
Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge s.
a) Wählen Sie s = 7 cm und konstruieren Sie einen Kreis k, der die Quadratseiten AB
und AD berührt und durch die Ecke C geht.
b) BerechnenSie den Radius r von k
aus s.
k
B
5.
Beweisen Sie den Tangentensatz:
Legt man vom Punkt P an den Kreis k
eine Tangente und eine Sekante, so. ist
das Quadrat der Tangentenstrecke
gleich dem Produkt der beiden
Sekantenabschnitte:
PT
2
 PA  PB .
Z :W, 8.6.2017 / Hma, Web
A
P
T
841122644
Mathematik für Architekten
6.
7.
Winter 2004/05
Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck ABC
mit der Hypotenuse AB. Wir zeichnen die Höhe h
ein; der Fusspunkt von h wird mit H bezeichnet.
Die Figur enthält jetzt drei ähnliche Dreiecke.
a) Welche Abbildung führt das Dreieck AHC in
das Dreieck CHB über?
b) Wie kann das Dreieck ABC auf das Dreieck
AHC abgebildet werden?
C
A
H
B
Die Messung der Saitenlängen für die Töne der Durtonleiter in reiner Stimmung ergibt
die folgende Zahlenreihe:
I
1
II
III
IV
V
VI
(VI’)
VII
VIII
8
9
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
8
15
1
2
Welches Intervall erhält man durch Bildung des harmonischen Mittels von
8.
a) I und VIII
b) I und V
c)
e) I und III
f)
g) VI’ und VIII ?
V und VIII
I und VI
d) IV und VIII
Das dritte Keplersche Gesetz der Planetenbahnen stellt eine Beziehung her zwischen den
mittleren Bahnradien und den Umlaufzeiten der Planeten um die Sonne.
Für je zwei Planeten unseres Sonnensystems gilt die Proportion T12 : T22  a13 : a23 ,
wobei T1, T2 die Umlaufzeit und a1, a2 den mittleren Bahnradius des ersten bzw. zweiten
Planeten bedeuten.
Ergänzen Sie die nachstehende Tabelle:
Planet
Umlaufzeit
Merkur
87.969 d
mittlerer
Bahnradius
Z :W, 8.6.2017 / Hma, Web
Venus
224.701 d
Erde
365.256 d
Mars
686.980 d
Jupiter
4332.589 d
Saturn
10759.22 d
149.6·109
km
841122644