Blatt8 - Universität Ulm

Universität Ulm
Abteilung Stochastik
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 8
09.12.1997
A. Frey
J. Wiedmann
Abgabe: 16.12.97
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Aufgabe 1: (Verteilungen)
Sei X eine ZVA mit X:   ℕ. Man zeige
a) X ist geometrisch verteilt mit dem Parameter p  (0,1), d.h P(X=i)= p  (1  p) i 1 , i  ℕ
 P(X>n+m|X>m) = P(X>n) für n, m  ℕ.
(Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung)
b) Die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit gilt nur für ganzzahlige positive Werte m.
(8)
Aufgabe 2:
Einer großen Lieferung von Transistoren wird eine Stichprobe vom Umfang n=100 entnommen.
Die Lieferung wird angenommen, wenn in der Stichprobe höchstens 4 defekte Transistoren sind.
Die durchschnittliche Fehlerquote des Produzenten beträgt 2%.
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Lieferung abgelehnt wird (Produzentenrisiko)
ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem “Prüfplan” die Lieferung anzunehmen,
obwohl sie 7% Ausschuß enthält (Konsumentenrisiko) ?
iii) Bestimmen Sie für i) und ii) die geeigneten Näherungslösungen
(6)
Aufgabe 3:
Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Verteilungsfunktionen auf ℝ sind
x
i) F ( x ) 
p 1   t
  pt e I( 0, ) ( t )dt
p
mit p  0,  > 0

1 |t|
1 
k
e
dt

e

4 
2
0k  x k!
x
ii) F ( x ) 
0

F (x )   1
2

1
mit  > 0
iiii)
für x  0
für 0 < x < 1
für x  1
(6)
Aufgabe 4:
Sei F1 die Verteilungsfunktion von Bin(2,p) mit p  (0,1) und
F2 ( x)  (1  e x )  1( 0,) ( x)
mit   0.
i) Zeigen Sie, daß für beliebige Verteilungsfunktionen G1 und G2 die Funktion
1
G : (G1  G2 ) wieder eine Verteilungsfunktion ist.
2
1
ii) Berechnen Sie F : ( F1  F2 ) und zeichnen Sie F für p = 0.4 und  = 1
2
iii) Sei P das zu F gehörige W-Maß. Berechnen Sie P( I ) für I = (0,1), [0,1), (0,1], [0,1]
(8)