tweuklidw




Einige Einblicke auf der Grundlage
der kommentierten Auswahl von Lucius Hartmann
Zusammenstellung: Theo Wirth
Inhalt
Biographie und Werke Euklids ................................................................................................ 3
"Stoicheia" (Elemente): Vorbemerkungen, Auswahl, Begründung .................................. 4
Texte und Kommentar: Geometrie (1. Buch) .......................................................... 4 – 10
Wörter : Geometrie (1. Buch).................................................................................... 11 – 13
Skizzen : Geometrie (1. Buch) ........................................................................................... 14
Euklid, Elemente
3
Biographie und Werke Euklids
Biographie
• Kleiner Pauly s.v. "Eukleides", Auszug: "E. wurde durch sein Werk  zum
Mathematiklehrer aller Völker und Generationen bis heute. Schon aus dem 5. Jh. sind lateinische
Übersetzungen und Bearbeitungen bekannt, im 12. Jh. wurde E. aus dem Arabischen ins
Lateinische übertragen.
Sicheres über sein Leben erfährt man nur von Proklos (In Eucl. El. I p. 68, 6 - 20 Friedlein)."
Proklos lebte im 5. Jhdt. n. Chr. (Text s. unten; hier eine Zusammenfassung):
• jünger als Plat. und dessen direkte Schüler, älter als Archimedes (287-212) -> E. um 300 v.Chr.
• Ausbildung (philosophisch und mathematisch) in Athen
• Wirken und Lehre in Alexandria.
Überlieferte Werke
•  (Elemente, 13 Bücher); : elementare Sätze: Definitionen,
Postulate, Axiome;
aus ihnen werden deduktiv weitere Sätze abgeleitet, in Form von Aufgaben/Konstruktionen
(problhvmata) und Lehrsätzen (qewrhvmata).
1 – 4: ebene Trigonometrie bis zur Konstruktion des regul. 15-Ecks in gegebenem Kreis
5 – 6: Proportionen
7 – 10: Arithmetik
11 – 13: räumliche Geometrie bis zur Konstruktion der regulären Polyeder (der platonischen Körper, Ziel des Werkes)
• "Data" (planimetrische Probleme)
• "Phaenomena" (Sphärik)
• "Optica" (Perspektive)
• "Sectio canonis" (math. Musiktheorie).
Antike Angabe zu Biographie und Werk:
Proklos, Eucl. El. p. 68, 6 – p. 69, 7 Friedlein (Auszug)












Euklid, Elemente
4

















Euklid, Elemente
5
 ("Elemente")
Vorbemerkungen
• Aufbau: Definitionen, Postulate, Axiome, Problemata, Theoremata, Porismata
(Folgerungen), Lemmata (Hilfssätze)
•
•
•
•
sehr starke geometrische Orientierung
fehlende Algebra (von den Arabern erfunden)
Exaktheit des Aufbaus
bis heute gültige Terminologie.
Auswahl der Texte (alle aus dem 1. Buch)
• Die Definitionen, Postulate und Axiome
• Beweisschema anhand eines Problema; ein weiteres Problema, ein Theorema
• Satz von Pythagoras (Theorema).
Begründung der Euklid-Lektüre
• axiomatischer Aufbau der Mathematik
• exakte Wissenschaft (teilweise bis heute gültig!)
• Wirkung bis ins Mittelalter und in die Neuzeit
• Terminologie (u.a. auch) ins Deutsche übernommen
• Lektüre bekannter Sätze im Original
• logische Struktur der griech. Sprache (v.a. Konnektoren); Griechisch als Wissenschaftssprache.

Geometrie (, 1. Buch)
Definitionen: OPOI
Kommentar:
 
 
Punkt


Linie
 
 
Begrenzung der Linie: keine neue Definition,
sondern Verknüpfung zwischen  und
.



Gerade, Strecke; sprachlich schwierig und
auch umstritten: bedeutet ”in
gleicher Weise”. Sinn der Definition: Eine
Gerade ist in allen Punkten gleich, kein Punkt
Euklid, Elemente
6
ist durch Asymmetrie hervorgehoben.
Moderne Definition: Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten.
 
 

Fläche
 
 
Begrenzung der Fläche: keine neue Definition,
sondern Verknüpfung zwischen . und .




Ebene; vgl. .
 
 




Winkel zwischen beliebigen Kurven; s. 


“”

Winkel; Winkel werden heute nur noch mit Geraden (bei Kurven mit Tangenten) definiert.





“
”

Rechter Winkel: Die Existenz von rechten
Winkel in Problema I, 11 bewiesen.
 
 

Stumpfer Winkel
 

Spitzer Winkel
 
 

Begrenzung: =
 


Figur: Geraden u.Winkel sind ausgeschlossen.
Euklid, Elemente
7
 
 
 
“
”






Kreis: als Punktmenge definiert:
k = {P | MP = r}
 “”
 

Mittelpunkt
  Durchmesser







 
 
 





Halbkreis
  Vielecke







 
 

Euklid, Elemente
Dreiecke
8





Winkel in Dreiecken
 
 
 





 













“”

Vierecke; Begriff ”Parallelogramm”, der später
immer wieder gebraucht wird, fällt hier nicht,
da die Eigenschaft ”parallel” noch nicht definiert wurde.
  Parallelen
 
 




Postulate: AITHMATA



 
Euklid, Elemente

hier nur die Existenz, die Eindeutigkeit folgt
9
 

aus Axiom 9.



Verlängerung einer Strecke
 
 

Existenz eines Kreises
 Rechte Winkel als Invariante

  sog. ”Parallelenaxiom”, viele vergebliche Versuche, dieses Postulat als Theorem zu beweisen
 
(Ptolemaios, Proklos; bis in die Neuzeit).







Axiome: KOINAI ENNOIAI
 
 
Transitivität der Gleichheit (a = c und b = c 
a = b)


a = c, b = d  a + b = c + d
 
 

a = c, b = d  a - b = c - d
 

]
a - c, b = d  a + b - c + d
 
 ]

a=b2·a=2·b
 
 ]

a = b  0.5 · a = 0.5 · b
 Kongruentes ist gleich (flächen-)

Euklid, Elemente
10
 
 
Ganzes > Teil


Keine Fläche zwischen zwei Geraden. Dies
trifft nur für die Euklidische Geometrie (die
”normale” Geometrie) zu, in der sphärischen
Geometrie (= Geometrie auf der Kugel) umschliessen zwei Geraden, die nicht gleich sind,
immer eine Fläche (nämlich die Fläche zwischen zwei Grosskreisen).
allgemeines Beweisschema
(das Fettgedruckte ist immer
vorhanden)


 
Konstruktion eines
gleichseitigen Dreieckes
i) :
allgemeine Behauptung


  ii) :
Bezeichnung der gegebenen

und der gesuchten Teile
iii) :
 
Behauptung mit den

bezeichneten Teilen

formuliert (Problema:
; Theorema:
)
  iv) :
Konstruktion des Gesuchten

oder von Hilfslinien oder

-punkten







v) :
 
Beweis
 
Euklid, Elemente
11












  vi) :
Folgerung



  i)




Euklid, Elemente
12



(Eine gegebene Strecke in einen
gegebenen Punkt verschieben)



Eine kleinere Strecke von einer
grösseren abziehen




5
10























sws,
indirekter Beweis



 

Euklid, Elemente
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5
10
15




























20
25










Euklid, Elemente
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30
35







!
!





























Euklid, Elemente
15
Satz von Pythagoras

Proklos p. 426, 6 – 9 Friedlein:
”Wenn wir auf diejenigen hören, die das Alte erforschen wollen, können wir solche finden, die
dieses Theorem auf Pythagoras zurückführen und die sagen, dass er bei der Entdeckung einen Stier
geopfert habe.”
Pythagoras soll also einen Stier geopfert haben für die Entdeckung (und den Beweis?) dieses Satzes.
Proklos spricht im folgenden seine Bewunderung auch für Euklid aus.


 Voraussetzung für den Beweis: Scherung (in Theorema


).

 Satz stammt sicher von Py
 thagoras, dieser wird ihn jedoch vom Orient her über
nommen haben; zusammen


mit dem Satz kommt natür
 lich auch die Existenz des Ir rationalen (insbes. von \r(2))
in den Bereich der Griechen.







Euklid, Elemente
16

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35





































Euklid, Elemente
17


























Euklid, Elemente
18
Wörter
Wörter in Anführungszeichen (” ”) sind Lehnübersetzungen.
Lern- Wörter
Nichtlern- Wörter
Proklos
 Buchstabe; Element


verfassen


ordnen


vollenden
unwiderlegbar
 weich, sanft; nachlässig


Dat. auctoris!!




Beweis
 darauf

 kurz



Weg



wissenschaftliche Richtung, Gesinnung



als Ziel festlegen


Haltung; Gestalt, math. Figur 




konstruieren
Konstruktion



besonders
Auswahl


Satz (math. Aussage)


Aufgabe, Konstruktion
Geometrie
Definitionen
 
 
Zeichen; math. Punkt

= 

Euklid, Elemente
19
Linie



Breite



Ausdehnung, Länge;
Breite
 
 
ohne Breite
Ende
 ”Gerade”


 
 
Erscheinung; Aussenseite;
math. Fläche


eben

-

 in gleicher Weise in

bezug auf etw.
 Ebene


 

”Winkel”



sich berühren -> sich
schneiden




in der Verlängerung






aufeinander folgend



”rechter Winkel”

 Lot, Senkblei; math.

”Kathete”: (heruntergelas< sen ->) senkrecht zu
 


 ”stumpf”; stumpf,
schwach, stumpfsinnig
 

”spitz”; scharf,
heftig, scharfsinnig
 

Haltung; Gestalt,math.Figur
 
 

Kreis
Euklid, Elemente
”geradlinig”
20



”Peripherie”, Umfang
 beim
Gen.
innerhalb
  Stachel; math. Mittelpunkt,
 
”Zentrum”

 




 ”Durchmesser”

eine Gerade ”ziehen”

entzwei


schief
  Seite, Flanke
 ”dreiseitig”

  ”gleichseitig”
 

 "Dreieck"


 Schenkel; Bein

”gleichschenklig”


  ”rechtwinklig”
 

 ”stumpfwinklig”


 ”spitzwinklig”


 

Quadrat

”Rhombus”



Parallelogramm


s. unten ”Postulate”, Anfang
 
 

”parallel”

verlängern

Euklid, Elemente



Rechteck
 gegenüberliegend

21
Postulate

bitten, fordern

 Imperat. 3.Sg. A,
oft
MP

Imperat. 3.Pl. A,
MP

Imperat. 3.Pl. A (spät)



 unaufhörlich



beenden, math. begrenzen
  Abstand, Radius
 
Axiome
 
 
doppelt


 kongruierend




 Fläche

Beweisschema
Problemata

  ”gegeben”
 



 verbinden; math. eine

Verbindungslinie
ziehen



in etw. ”schneiden”
Theoremata
 einem Winkel gegenüber- 
 liegen (vgl. ”Hypotenuse”)


Winkel 





trans.: anpassen;
math. auf etw. legen
intr.: auf etw. fallen,
math. kongruieren
Euklid, Elemente
22
Satz von Pythagoras
 







konstruieren


 verbinden; math. eine

Verbindungslinie
ziehen
Euklid, Elemente
das von einer Seite
aufgespannte Quadrat,
das
Quadrat über einer
Seite
23
Skizzen
Problema I, 
G
A
B
E
D
Problema I, 
D
G
E
A
B
Z
Theorema I, 
D
A
Z
G
E
B
Theorema I, 
Q
K
H
A
Z
G
B
L
D
Euklid, Elemente
E
24