Vortrag 3 - Feifei - axiomatische Methode

Euklidische axiomatische Methode
9.3.2016, Feifei Ineichen
1. Definition
Manche Definitionen von Euklid sind ähnlich zu modernen Definitionen, die präzise Bedeutungen
haben. Andererseits gibt es auch die Definitionen, die nicht explizit erklärt werden. Zum Beispiel:
Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Euklid beruft sich auf ein intuitives Verständnis des Begriffs,
statt eine genaue Bedeutung zu den Bedingungen zu geben. Deshalb beurteilt der moderne Ansatz,
dass diese Begriffe von Euklid ungenügend definiert sind.
2. Postulat und Grundsätze
Nach den eher beschreibenden Definitionen folgen die fünf eher festlegenden Postulate. Zum
Beispiel Von einem beliebigen Punkt zu einem anderen ist eine gerade Strecke zu ziehen. An die
fünf aufgeführten geometrischen Postulate schliessen sich mehrere logische Axiome an, nämlich,
Grundsätze/Euklids Axiome. Postulate und Grundsätze sind Ausgangspunkt der logischen
Deduktionen des Theorems. Ausserdem betrachten wir Postulate und Grundsätze zusammen als
Axiome, auf denen die Euklidische Geometrie basiert.
3. Schnittpunkt von Kreis und Linie
Wenn wir Euklidische Elemente lesen, finden wir manchmal,
dass Euklid sich auf Intuition stützt, die nicht klar in Axiomen
steht. Zum Beispiel in I.1 (siehe Abbildung rechts), wenn er ein
gleichseitiges Dreieck konstruiert, hat Euklid gesagt, dass ein
Schnittpunkt existieren muss, wenn von drei gegebenen
Strecken deren je zwei zusammen grösser als die dritte sind.
Aber es ist nicht genug, die Existenz eines Schnittpunkts zu
zeigen. Es gibt keine Aussage in der Definition, in Postulaten
I.1 Beweis
oder Grundsätzen, dass sich zwei Kreise unter bestimmten
Konditionen schneiden. Euklid hat auch nicht begründet in seinem
Beweis, warum zwei Kreise sich schneiden werden. Dies sind Lücken von euklidischen
axiomatischen Methoden.
Es gibt zwei wichtige Punkte zu diesem Thema:
 Die relative Position von zwei Kreisen;
 Sei ein Punkt gegeben, wo die zwei Kreise sich zu schneiden scheinen, aber der Punkt
existiert nicht wirklich.
Zum Beispiel (siehe Abbildung rechts): Auf Ebene Q (rationale
Zahl), wobei Punkte Paare rationale Zahlen sind. Sei AB ein
Intervall auf der x-Achse mit A(0,0) und B(1,0), dann sollte der
Vertex C (Spitze des gleichseitigen Dreiecks) (1/2,√3/2) sein,
aber es existiert nicht in Q.
Feifei Ineichen: Euklidische axiomatische Methode
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Deshalb müssen wir weitere Axiome einführen, und eine Möglichkeit wäre, mit modernen
Axiom-Systemen reelle Zahlen einzuführen.
4. Methode der Überlagerung
Eine weitere Lücke in der Axiomatik Euklids konstatiert die Forschung spätestens seit Jacques
Peleiter im 16. Jahrhundert in der Beweismethode mittels Kongruenz, wie im Beweis I.4:
Seite-Winkel-Seite Kriterium für Kongruenz von zwei Dreiecken. Eine Methode, die durch
Euklidische Axiome nicht erlaubt ist, nämlich, Figuren nehmen und bewegen (wir nennen dies die
Methode der Überlagerung), enthält die folgende Punkte:
 Parallelverschiebung oder Translation: Verschiebung jeden Punktes der Zeichenebene oder
des Raumes in derselben Richtung um dieselbe Strecke.
 Rotation: Rotation über einen gegebenen Punkt.
 Spiegelung/Reflexion: Auswechslung von Punkten auf die jeweils gegenüber liegende Seite
einer Gerade.
5. Anordnung
Die Anordnung ist, wenn ein Punkt auf einer Gerade zwischen zwei
anderen Punkten liegt, oder eine Gerade durch einen Punkt innerhalb des
Winkels geht. Wie das Beispiel früher gezeigt hat, die relativen Positionen
von zwei Kreisen oder Punkten sind wichtig. Zum Beispiel (siehe
Abbildung rechts) in 1.7 hängt der Beweis von der relativen Position vom
Schnittpunkt bei C und D ab, die Ungleichheiten zwischen den Winkeln
entscheidet, d.h. falls AD erreicht Punkt D von draussen, dann ∠2<∠1,
∠4<∠3, gibt es keine Kontradiktion.
I.7 Beweis
Einige Beweise sind schwierig zu erklären ohne Diagramm, zum Beispiel I.16. Aber Diagramme
sind manchmal intuitiv und deshalb auch gefährlich. Ein bekanntes Beispiel ist zu beweisen „jedes
Dreieck ist gleichschenklig“ von W. W. Rouse Ball (1892).1
6. Parallelenaxiom
Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie.2 I.27, I.28 und
I.29 sind die wichtigen Anwendungen von den Parallel-Postulaten. Ausserdem sagt eine häufig
gebrauchte, auf John Playfair zurückgehende Formulierung: In einer Ebene α gibt es zu jeder
Geraden g und jedem Punkt s außerhalb von g genau eine Gerade, die zu g parallel ist und durch
den Punkt s geht. Als absolute Geometrie wird die Gesamtheit der geometrischen Sätze über einen
dreidimensionalen Raum bezeichnet, die man allein aufgrund der
Axiome der Verknüpfung (Inzidenzaxiome), der Anordnung, der
Kongruenz und der Stetigkeit, also ohne das Parallelenaxiom
herleiten kann. Angenommen, es gibt zwei zusätzliche Axiome, das
absolute und das Playfair Axiom, dann können wir das
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Beweis: Parallelenaxiom
http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa09/Arican/emat6690/Rouse%20Ball/Rouse%20Ball%20Paradox.html,
found 6.3.2016.
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Postulat 5: zwei Geraden, die von einer Geraden geschnitten werden, wobei die innen liegenden beiden Winkel
zusammen kleiner als zwei rechte sind, treffen sich dort, wonach die Winkel liegen.
Feifei Ineichen: Euklidische axiomatische Methode
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Parallelenaxiom beweisen (siehe Abbildung rechts). In der neutralen Geometrie ist Euklids fünftes
Postulat (Parallelenaxiom) äquivalent zu Playfairs Axiom.
7. Theorie des Flächeninhalts
In I.35, Euklid sagt: Parallelogramme, auf derselben Grundseite errichtet, sind zwischen denselben
Parallelen gleich. Wir vermuten, dass Euklid Parallelogramme als „gleich“ bezeichnet werden
können, wenn sie den gleichen Flächeninhalt haben. Aber es ist nicht klar, was der Flächeninhalt
von Figuren ist. Unsere Intuition von der Schule bedeutet Flächeninhalt von Rechteck ist Länge *
Breite. Solche Flächeninhalte sind eine Funktion von reellen Zahlen, aber es gibt keine reellen
Zahlen in der Euklidischen Geometrie. Wir betrachten diese „Gleichheit“ als undefinierte Notation,
und wir sagen „gleicher Inhalt“. I.37, I.47 sind wichtige Anwendungen der Theorie des
Flächeninhaltes. Ausserdem spielt die Flächeninhalt-Theorie eine wichtige Rolle im Kapital
„Elements“: Anwendungen sind zum Beispiel Konstruktionen von regelmässigen Fünfecken,
quadratische Gleichungen, und das Theorem von ähnlichen Dreiecken.
Feifei Ineichen: Euklidische axiomatische Methode
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Quellen:
Schmitz, Markus (1997). Euklids Geometrie und ihre mathematiktheoretische Grundlegung in der
neuplatonischen Philosophie des Proklos.
Hartshorne, Robin (2005). Geometry: Euclid and Beyond
Tecklenburg, Helga (1988). Stufen der Anordnung in Geometrie und Algebra
https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Geometrie)
https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelenaxiom
https://en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_axiom
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E5%87
%A0%E4%BD%95
https://de.wikipedia.org/wiki/Absolute_Geometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras
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