Verlauf eines kegelförmigen Strahlenbündels in einer Sammellinse
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Lichtbrechung 1 Verlauf eines kegelförmigen Strahlenbündels in einer Sammellinse Bei der Berechnung von Daten optischer Systeme unterscheidet man folgende Verfahren: • Optikrechnen trigonometrische Berechnung für Strahlen in der Meridionalebene • Optikrechnen trigonometrische Berechnung für paraxiale Strahlen in der Meridionalebene • Vektorrechnung vektorielle Berechnung für Strahlen aus beliebigen Richtungen, auch außerhalb der Meridionalebene Im Optikrechnen werden richtungsabhängige, vorzeichenbehaftete Größen verwendet, um die Berechnung von Linsensystemen mit mehreren verschiedenartigen Linsen in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung (Umkehr der Lichtrichtung) rationell und zweckmäßig durchführen zu können. Die Vorzeichen der Rechengrößen sind aus den Darstellungen der Sammel- und Zerstreuungslinse zu entnehmen. Im folgenden Beispiel werden von einer "dicken" Linse zuerst mit Hilfe des Optikrechnens die Daten berechnet, deren Kenntnis für die Aufstellung der Abbildungsbedingungen der Gegenstandsebene in die Bildebene notwendig sind. Das geschieht mit Hilfe eines vereinfachten Rechenverfahrens, bei dem nur Paraxialstrahlen in der Meridionalebene berücksichtigt werden. Damit lassen sich beispielsweise Gegenstands- und Bildweiten für eine vorgegebene Vergrößerung berechnen. Der Verlauf des Strahlenbündels wird in diesem Beispiel mit Hilfe der Vektorrechnung ermittelt. Damit man bei Benutzung beider Rechenverfahren die Bezeichnung der Größen der OptikRechnung und der Vektorrechnung unterscheiden kann, werden die vorzeichenbehafteten OptikGrößen in Fettschrift dargestellt. Strahlengang in einer Sammellinse Folgende Daten sind gegeben. Brechzahl der Linse Brechzahlverhältnis der ersten brechenden Fläche Brechzahlverhältnis der zweiten brechenden Fläche Radius der ersten brechenden Fläche Radius der zweiten brechenden Fläche Dicke der Linse Vorwärtsrechnung (Optikrechnen) Radius der ersten brechenden Fläche Radius der zweiten brechenden Fläche Dicke der Linse Rückwärtsrechnung (Optikrechnen) Radius der ersten brechenden Fläche Radius der zweiten brechenden Fläche Dicke der Linse Rechnungsgang Optischen Daten der Linse Vorwärtsrechnung 1. bildseitige Brennpunktsschnittweite r2 ( n Lr1 − d ( n L − 1) ) 1 s2I FI = ⋅ nL − 1 n L ( r2 − r1 ) + d ( n L − 1) 2. n L = 1,8 m1 = 1 n L m 2 = nL r1 = 40 mm r2 = 40 mm d = 30 mm r1 = 40 mm r2 = −40 mm d = 30 mm r1R = −40 mm r2R = 40 mm dR = d s 2FI = 20 mm I bildseitige Brennweite 14.5.2004 Strahleng_Sammel.doc Lichtbrechung fI= 3. 2 nL r1r 2 1 ⋅ nL − 1 nL ( r 2 − r1 ) + d ( nL − 1) f I = 30 mm bildseitige Hauptebenenschnittweite S2 H I = s2I F − f I S 2 H I = −10 mm I S2H I = − ( nL − 1) d r 2d + nL ( r2 − r1 ) 4. Hauptebenenabstand r2 − r1 HH I = d 1 − nL ( r2 − r1 ) + d ( nL − 1) Rückwärtsrechnung 5. objektseitige Brennschnittweite r2R ( n Lr1R − d R ( n L − 1) ) 1 s2I FIR = ⋅ nL − 1 n L ( r2R − r1R ) + d R ( n L − 1) HH I = 10 mm I s 2F = 20 mm R I I s1F = − s2F R s1F = −20 mm I 6. objektseitige Brennweite nLr1R r2R 1 f RI = ⋅ n L − 1 nL (r2R − r1R ) + d R ( nL − 1) f RI = 30 mm f = − f RI 7. f = −30 mm objektseitige Hauptebenenschnittweite I S 2 H RI = s2F − f RI R S 2 H RI = −10 mm S1H = −S 2 H RI S 1H = 10 mm I 8. Hauptebenenabstand r2R − r1R HH RI = d R 1 − n L ( r2R − r1R ) + d R ( nL − 1) HH RI = 10 mm HH I = HH RI HH I = 10 mm n1= n2 Brechzahl n1 HH f F PL2 (-) n2 f (+) S1 H H s 1F S2 PL1 F r (+) 1 s r (-) 2 (+) 2F d SH 1 (+) S 2H (-) Daten einer Sammellinse in der Meridionalebene Betriebsdaten 9. Abbildungsmaßstab b I =−1 10. Bildweite von bildseitiger Hauptebene a I = f I (1 − b I ) a I = 60 mm 14.5.2004 Strahleng_Sammel.doc Lichtbrechung 11. 12. 13. 3 Gegenstandsweite von objektseitiger Hauptebene 1 a = f 1− I b a = −60 mm Objektschnittweite s1 = a + S1H Bildschnittweite s1 = −50 mm s2I = a I + S 2 H I 14. s 2I = 50 mm Abstand zwischen Gegenstands- und Bildebene b = a I − a + HH I b = −s1 + s 2I + d b = 130 mm (+) b (-) a (+) (-) Parallelstrahl f f (+) Bre Gegenstand F B re nns t ra h l a H H nns t ra h l F Parallelstrahl Bild Maßstab 1:1 Abbildung durch eine Sammellinse in der Meridionalebene Zeichnerische Ermittlung der Abbildungsverhältnisse Hier endet die besondere Methode des Optikrechnens. Es gelten wieder die Regeln der Trigonometrie, der Geometrie und der Vektorrechnung. Das Linsensystem mit dem gesamten Strahlengang liegt in einem (x, y, z)-Koordinatensystem. Die optische Achse entspricht der x-Achse dieses Systems. Der Mittelpunkt des Strahlenbündels in der Gegenstandsebene liegt in der (y, z)-Ebene des Systems. Die Gegenstandsebene jedoch liegt nicht in der (y, z)-Ebene. 15. Mittelpunkt der ersten brechenden Fläche auf der optischen Achse G G G G rL1 = x 0 xL1 + y 0 y L1 + z 0 zL1 xL1 = s1 + r1 16. 18. 19. y L1 = 0 zL1 = 0 y L2 = 0 zL2 = 0 Mittelpunkt der zweiten brechenden Fläche G G G G rL2 = x 0 xL2 + y 0 y L2 + z 0 zL2 xL2 = xL1 − ( r1 + r2 − d 17. xL1 = 90 mm ) xL2 = 40 mm Mittelpunkt des Strahlenbündels in der Gegenstandseben G G G G xMG = 0 y MG = 4 mm rMG = x 0 xMG + y 0 y MG + z 0 zMG Radius des kreisförmigen Strahlenbündels in der Gegenstandsebene rG = 2 mm Anzahl der Strahlen im kegelförmigen Strahlenbündel lmax = 16 14.5.2004 zMG = 4 mm Strahleng_Sammel.doc Lichtbrechung 4 20. Radius des Hilfskreises rH = 4 mm rH = rG Die Bedingung für ein Parallelbündel lautet: Mit dieser Bedingung lässt sich die Berechnung der Brennweite überprüfen, die nur unter dem Vorbehalt ausgeführt werden kann, dass es sich um Paraxial- und Meridionalstrahlen handelt. Mit der Vektorrechnung kann jeder Strahl und jedes Strahlenbündel bei seinem Durchgang durch die Linse verfolgt werden, aus welcher Richtung es auch kommen mag. 21. Der Auftreffpunkt des Mittelstrahls auf der ersten brechenden Fläche wird durch einen Einheitsrichtungsvektor festgelegt, der seinen Ausgangspunkt im Mittelpunkt der ersten brechenden Fläche hat und auf den Auftreffpunkt des Mittelstrahls weist. G0 G G G tM1 = x 0 sin(yM1 )cos(cM1 ) + y 0 sin( yM1 ) sin( cM1 ) + z 0 cos( yM1 ) 22. 23. 24. 25. c1 = p Zenitwinkel y1 = p 2 Azimut Ortsvektor des Auftreffpunktes des Mittelstrahls G0 G G rM1 = rL1 + r1 tM1 Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Strahlenbündels auf der Gegenstandebene und dem Auftreffpunkt des Mittelstrahls auf der ersten brechenden Fläche G G eM1 = rM1 − rMG Einheitsstrahlenvektor des Mittelstrahls vor der ersten brechenden Fläche G 0 rGM1 − rGMG sM1 = e M1 Abstand zwischen Mittelpunkt des Strahlenbündels auf der Gegenstandebene und dem Auftreffpunkt des Mittelstrahls auf der ersten brechenden Fläche bei vorgegebenem Einheitsstrahlenvektor des Mittelstrahls vor der ersten brechenden Fläche und ohne vorgegebenem Hilfsvektor (Schnittpunkt zwischen Gerade und Kugel) G0 G G0 G G G 2 G G 2 eM1 = −s M1 ( rMG − rL1) − s M1 ( rMG − rL1) − ( rMG − rL1) + r12 ( 26. 27. ) Einheitsnormalenvektor im Auftreffpunkt des Mittelstrahls auf der ersten brechenden Fläche G G G0 rL1 − rM1 n M1 = r1 Einheitsstrahlenvektor des Mittelstrahls zwischen der ersten und zweiten brechenden Fläche G0 G0 G0 G0 G0 G0 G0 G0 2 s M1I = s M2 = s M1 m1 − n M1 m1 n M1s M1 − 1 − m12 1 − n M1s M1 Abstand zwischen den Auftreffpunkten des Mittelstrahls auf der ersten und zweiten brechenden Fläche G0 G G0 G G G 2 G G eM2 = −s M2 ( rM1 − rL2) + s M2 ( rM1 − rL2) − ( rM1 − rL2)2 + r22 ( 28. ( ) ( 29. 30. 31. 33. ) ) ) Auftreffpunkt des Mittelstrahls auf der zweiten brechenden Fläche G G G0 rM2 = rM1 + eM2s M2 Einheitsnormalenvektor im Auftreffpunkt des Mittelstrahls auf der zweiten brechenden Fläche G G G0 rM2 − rL2 n M2 = r2 Einheitsstrahlenvektor des Mittelstrahls zwischen der zweiten brechenden Fläche und der Bildebene (Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene) G 0I G0 G0 G0 G0 G0 G0 G0 2 s M2 = s MB = s M2 m2 − n M2 m2 n M2 s M2 − 1 − m22 1 − n M2 s M2 Einheitsnormalenvektor der Bildebene G0 G0 G0 G0 nB = x nBx + y nBy + z nBz nBy = 0 nBz = 0 n Bx = 1 ( 32. ( ) ( ( ) ) Abstand zwischen den Auftreffpunkten des Mittelstrahls auf der zweiten brechenden Fläche und der Bildebene 14.5.2004 Strahleng_Sammel.doc Lichtbrechung eMB 34. 35. 36. 37. 38. 5 G G0 G nB ( rB − rM2 ) = G0 G0 nBs MB ( ) Auftreffpunkt des Mittelstrahls in der Bildebene G G G0 rMB = rM2 + eMBs MB Einheitsnormalenvektor der Gegenstandsebene identisch mit Einheitsstrahlenvektor des Mittelstrahls G0 G0 n G = s M1 Koordinatenachsen des (h , v, n)-Hilfssystems G0 G0 G0 x × nG hG = G 0 G 0 x × nG G0 G0 G0 v G = n G × hG Parameter in der Gegenstandsebene l = 0, 1, 2 . . . l max Teilwinkel in der Gegenstandsebene 2p d ( l) = l lmax 39. Einheitsstrahlenvektoren des von der Gegenstandebene ausgehenden kegelförmigen Strahlenbündels zwischen der ersten und zweiten brechenden Fläche G0 G G G0 rG ( l ) = rMG + hG rG cos d ( l ) + v G rG sin d ( l ) ( 40. 41. 42. 43. 44. 45. ) ( ) Abstand der Hilfsebene von der Gegenstandsebene eMH = 0,5 ⋅ eM1 Mitte der Hilfsebene G G G0 rMH = rMG + n GeMH Auftreffpunkte der einzelnen Strahlen auf der Hilfsebene G0 G G G0 rH ( l ) = rMH + hG rH cos d ( l ) + v G sin d ( l ) ( ) ( ) Länge der Strahlen im Strahlenkegel zwischen der Gegenstandsebene und der Hilfsebene G G eK = rH ( l ) − rG ( l ) Die Strahlenlänge eK ist für alle l -Werte gleich, da es sich um einen geraden Kreiskegel handelt. Einheitsstrahlenvektoren der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels zwischen der Hilfsebene und der ersten brechenden Fläche G G rH ( l ) − rG ( l ) G0 s1 ( l ) = eK Länge der einzelnen Strahlen im Strahlenbündel zwischen der Gegenstandsebene und der ersten brechenden Fläche ( G G G G G G ) (s ( l) ( r ( l) − r )) − ( r ( l) − r ) e1 ( l ) = −s1 ( l ) rG ( l ) − rL1 − 1 G 2 L1 G L1 2 + r12 46. Auftreffpunkte der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels auf der ersten brechenden Fläche G G G r1 ( l ) = rG ( l ) + s 10 ( l ) e1 ( l ) 47. Einheitsnormalenvektoren der ersten brechenden Fläche in den Auftreffpunkten der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels G G rL1 − r1 ( l ) n1 ( l ) = r1 Einheitsstrahlenvektoren der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels zwischen der ersten und der zweiten brechender Fläche 48. 14.5.2004 Strahleng_Sammel.doc Lichtbrechung ) ) ( ( 50. ( ) 2 G0 G0 G0 G0 G0 G0 s 2 ( l ) = s 1 ( l ) m1 − n1 ( l ) m1 n1 ( l ) s 1 ( l ) − 1 − m12 1 − n1 ( l ) s 1 ( l ) Länge der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels zwischen der Gegenstandsebene und der ersten brechenden Fläche G G G G 2 G G 2 G0 G0 e2 ( l ) = −s 2 ( l ) r1 ( l ) − rL2 + s 2 ( l ) r1 ( l ) − rL2 − r1 ( l ) − rL2 + r22 ( 49. 6 ( ) )) ( ( ) Auftreffpunkte der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels auf der zweiten brechenden Fläche G G G r2 ( l ) = r1 ( l ) + s 20 ( l ) e2 l ( ) 51. 52. Einheitsnormalenvektoren der zweiten brechenden Fläche in den Auftreffpunkten der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels G G r2 ( l ) − rL2 G0 n2 ( l) = r2 Einheitsstrahlenvektoren der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels zwischen der zweiten brechenden Fläche und der Bildebene 2 G0 G0 G0 G0 G0 G0 G0 s B ( l ) = s 2 ( l ) m2 − n 2 ( l ) m2 n 2 ( l ) s 2 ( l ) − 1 − m22 1 − n 2 ( l ) s 2 ( l ) Länge der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels zwischen der zweiten brechenden Fläche und der Bildebene G G0 G nB rB − r2 ( l ) eB ( l ) = G0 G0 nB sB ( l ) ( 53. ( ( 54. ) ) ( ( ) ) ) Auftreffpunkte der einzelnen Strahlen des Strahlenbündels auf der Bildebene G G G rB ( l ) = r2 ( l ) + eB ( l ) s B0 ( l ) Darstellung der Strahlen und der Strahlenkränze in Parallelprojektion Verkürzungsfaktor q = 1 2 Einfallswinkel des Projektionslichtes a = p 4 55. 56. 57. 58. 59. Strahlenkranz in der Gegenstandsebene G G x G ( l ) = rG ( l ) x + rG ( l ) y q cos a G G h G ( l ) = rG ( l ) z + rG ( l ) y q sin a Strahlenkranz in der Hilfsebene G G x H ( l ) = rH ( l ) x + rH ( l ) y q cos a G G hH ( l ) = rH ( l ) z + rH ( l ) y q sin a Strahlenkranz in der ersten brechenden Fläche G G x1( l ) = r1 ( l ) x + r1 ( l ) y q cos a G G h1( l ) = r1 ( l ) z + r1( l ) y q sin a Strahlenkranz in der zweiten brechenden Fläche G G x2 ( l ) = r2 ( l ) x + r2 ( l ) y q cos a G G h 2 ( l ) = r2 ( l ) z + r2 ( l ) y q sin a Strahlenkranz in der Bildebene G G xB ( l ) = rB ( l ) x + rB ( l ) y q cos a G G hB ( l ) = rB ( l ) z + rB ( l ) y q sin a 14.5.2004 Strahleng_Sammel.doc Lichtbrechung 7 Die Gleichungen können mit einem Mathematik-Programm, z.B. MathCad, ausgewertet und grafisch dargestellt werden. Eine weitere und verbesserte Gestaltungsmöglichkeit ergibt sich mit einem Grafik-Programm, z.B. DigCad. Dazu müssen die Daten mit Hilfe von Matrizen aus MathCad über einen Texteditor nach DigCad geschafft werden. Die Abbildungseigenschaften der Linse stehen hier nicht zur Debatte. Es sollte lediglich der Strahlenverlauf in einer Sammellinse mit Hilfe der Vektorrechnung ermittelt werden. y Hilfsebene h ,z PMG Gegenstandsebene Zaehlvariable l = 0 . . .16 2. brechende Flaeche PB PMB 1. brechende Flaeche x, x Bildebene Darstellung des Verlaufs eines Strahlenbündels in einer Sammellinse in Parallelprojektion 12 v-Achse 4 3 2 1 6 11 13 12 Gegenstandsebene mit l - Werten in der Parallelprojektion Maßstab 10:1 14.5.2004 9 14 15 8 hinten PMB 7 vorn 16 0 6 14 9 10 0 16 h-Achse hinten 15 PMG vorn 8 10 13 5 7 11 1 5 2 3 4 Bildebene mit l - Werten in der Parallelprojektion Maßstab 10:1 Strahleng_Sammel.doc
