Geometrische Grundkonstruktio- nen und -begriffe 3
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DOWNLOAD Bernhard Bäcker Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 Kompetenzorientierte Aufgaben zum Anforderungsbereich „Verallgemeinern und Reflektieren“ Downloadauszug aus dem Originaltitel: Einleitung Mathematikunterricht vorzubereiten hat sich innerhalb der letzten Jahre stark verändert: Aufgabenstellungen müssen kompetenzorientiert sein, den Bildungsstandards Rechnung tragen. Gleichzeitig ist es weiterhin notwendig, zu differenzieren, den sehr unterschiedlichen Leistungs- und Niveauständen der Schüler gerecht zu werden und diese vorab zu ermitteln. Ein weiterer wichtiger Aspekt – der nicht neu ist: Die Schüler sollen lernen, selbstständig zu arbeiten und bei Schwierigkeiten nicht gleich aufzugeben, sondern sich Hilfen zu organisieren. Dieses Material soll Sie darin unterstützen, diesem Anforderungspaket gerecht zu werden. Orientierung an den Bildungsstandards/Kompetenzorientierung Alle Aufgaben sind klassifiziert nach den in den Bildungsstandards vorgegebenen enen Anforderungsbereien. Alle chen: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern/Reflektieren. Allerdings muss man chneidunge geben kann. beachten, dass es zwischen den Anforderungsbereichen immer auch Überschneidungen hematischen Kompet Eine Übersicht darüber, welche Aufgabe welche allgemeinen mathematischen Kompetenzen (s. S. 3f.) n beinhaltet die gleiche Schwierigkeit fördert, finden Sie auf den Seiten 9f. Diese Zuordnung der Aufgabe Aufgaben en: N wie die Zuordnung zu den Anforderungsbereichen: Nichtt immer ist sie einde eindeutig möglich. ung v gaben na Insgesamt aber haben Sie eine Aufgabensammlung vorr sich liegen liegen, mit der Sie gezielt Aufgaben nach swählen könn en. Anforderungsbereich und Kompetenzen auswählen können. Ermittlung der Leistungsstände ngsstände und Differenzierung Di ng Die Ermittlung der Leistungsstände tungsstände ist ü über d die Auswertungsbögen nm möglich öglich (S. 6, 7). Z Zum um einen können sich die Schüler damit se selbst differenzierten Überblick über ihre und Kenntnisse verelbst einen diffe ber ihr re Fähig Fähigkeiten u schaffen und sehen, welc welche Inhalte sie noch weiter üben müssen sie noch zusätzliche Erkläfen un e Inhal en mü ssen bzw. wo s benötigen, gleichzeitig sehen sie aber auch,, was sie sch schon rungen benöti gen, gleichz on alles können. Zum anderen erhalten Überblick Ihrer Schüler. können Sie einen Über blick über das Leistungsprofil rofil Ihre chüler. So kön nnen Sie, aber auch die Schüler selbst, weitere sein, dass man an „der richtigen Stelle“ übt. Besonders eitere Aufgaben Aufgab gezielt auswählen und sicher sein wenn Schüler selbst organisieren und dafürr v verantwortlich sind, welche Aufgaben/Themen nn sich S nd selbst dafü sie bearbeiten, besteht ansonsten ear nsten die Gefahr, fahr, dass sie genau das üben, was sie schon gut können. Mithilfe der Auswertungsbögen und klassifizierten Aufgaben ist qualitative Differenzierung möglich: Starrtungsbö en un ke Schüler können Aufgaben bearbeiten, die neue Aspekte berühren, während Schwächere önnen komplexe Aufg noch Grundlagen bzw. üben, aber alle arbeiten an der gleichen Thematik weiter. Damit wird rundlage erarbeiten b auch vermieden, dass man die stärkeren Schüler dadurch langweilt, einfach nur mehr Aufgaben zu rmieden, d ass m berechnen, sie quas quasi für ihre Leistungsstärke bestraft. Was macht man nun, wenn die starken Schüler auch die anspruchsvollen Aufgaben berechnet haben und im Grunde keine weiteren Übungsaufgaben benötigen, schwächere Schüler hingegen aber noch Zeit brauchen? Zum einen kann man sich dann natürlich auf die Suche machen, nach noch anspruchsvolleren Aufgaben. Aber ist dies sinnvoll? Vielmehr sollte überlegt werden, wie man diese „Experten“ in den Unterricht einbinden kann, indem man ihre Kompetenzen nutzt: Sie können als Helfer fungieren und schwächere Schüler bei der Bearbeitung ihrer Aufgaben unterstützen. So durchdringen die starken Schüler den Stoff noch einmal von einer anderen Seite – denn Vermittlung von Wissen/Verbalisierung stellt andere Anforderungen in den Mittelpunkt. Die schwächeren Schüler können eine weitere Hilfequel- Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 1 Einleitung le nutzen – und gleichaltrige Schüler finden oftmals die „besseren“ Worte als der Lehrer. Natürlich müssen die Experten dafür sensibilisiert werden, dass Helfen nicht das Vorsagen der Lösung bedeutet! Nicht vergessen sollte man: Auch Sie profitieren von diesem System, werden entlastet. Sie können sich gezielt und mit mehr Ruhe der Förderung Einzelner widmen oder auch Aufgaben der Schüler auswerten und neue Übungspakete zusammenstellen. Die Tipp-Karten stellen einen weiteren Baustein der qualitativen Differenzierung dar: Manche Schüler sind in der Lage, die Aufgaben ohne diese zu lösen, andere nutzen diese Hilfe und können dadurch auch Aufgaben eines höheren Anforderungsbereiches lösen. Und die nächste Aufgabe „schaffen“ sie dann vielleicht ohne Tipp-Karte. Wobei: Sich Hilfen zu suchen und diese effektiv zu nutzen stellt eine ganz u nutz eigene, nicht zu unterschätzende Kompetenz dar (s. u.). Selbstständiges Arbeiten/Durchhaltevermögen Wer kennt es nicht: Spätestens bei der ersten Hürde im Lösungsprozess ösungsp ozess bomb bombardieren die Schüler den Lehrer mit Fragen. Ihnen fehlt oft allein die Idee, der Ansatz, die Lösung zu finden, und sie ha haben e, de nsatz, um d ie Lösun nicht das Durchhaltevermögen, weiter selbstständig Lehdig zu überlegen. Sie fordern sofort die Hilfe fe des L rers ein, der ihnen den richtigen Lösungsansatz Dadurch hat die Lehrkraft ansatz liefern efern soll. Dad ehrkraft keine e Zeit, sich intensiv um die Schüler „zu kümmern“, tatsächlich bedürfen. n“, die tatsäc hlich einer ausführlicheren Hilfestellung ilfestellung b dürfen. Denn die meisten Schüler könnten sehr wohl selbstständig lösen, aber nten die Aufgaben se stän ösen, a ber es ist ja so viel einfacher. Hier setzen das oben beschriebene Experten Tippkarten an. ben beschri bene „Helfer-System“ durch h Ex Exp en sowie die Tipp Vor allem mithilfe der Tippkarten kann das selbstständige Arbeiten verstärkt gefördertt werden. Auch eiten verstä rkt geförde Formelsammlungen, Schulbücher, Hilfequelle Verfügung stehen. Nutzt gen, Sch hulbücher, das Internet … sollten als Hilfeque quelle lle zu zur Verfü ein Schüler diese Quellen, sollte dies nicht als „Schwäche“ gewertet werden. ese Quellen äche“ g ewertet we rden Denn: Sich „die richtige“ organisieren, nachzuschlagen, zu re recherchieren dadurch die Aufgabe lösen zu können, ist Hilfe zu organ sieren, nac hieren und da durch d anspruchsvolle Kompetenz und sehr wichtig für persönliche und berufliche Zukunft! Formeln eine anspruch volle Ko hr wichti ür die persön li auswendig nachrangig betrachtet werden. uswendig zu können, sollte demgegenüber über als nac rangig b Wenn auf den Auswertungsbögen na bögen also abgefragt gefra wird, ob eine Hilfe genutzt wurde, so müssen die Schüler wissen, dass das Nutzen einer Hilfe nicht negativ bewertet wird. utzen eine cht n Kann ein Schüler ohne Hilfe lösen, ist dies natürlich toll, aber an dieser Stelle sollte man eher hüle er Aufgaben o hne H darauf achten, o ob ein Schüler, der zu einem falschen Ergebnis kam, Hilfen genutzt hat. Falls nicht, sollte daran mit gearbeitet it ihm gearb beitet werden! Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 2 Einleitung Allgemeine mathematische Kompetenzen und die drei Anforderungsbereiche im Fach Mathematik1 Die Aufgaben jeder DIN-A5-Aufgabenkarte wurden jeweils einem Anforderungsbereich zugeordnet – zu erkennen an der Anzahl der Punkte rechts in der Kopfzeile der Karte: • = Anforderungsbereich I • • = Anforderungsbereich II • • • = Anforderungsbereich III Darüber hinaus wird für jede Aufgabe angegeben, welche allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit ihnen geübt bzw. angewendet werden. Die Ein- und Zuordnung orientiert sich dabei natürlich an den aktuellen Bildungsstandards für das Fach Mathematik (Mittlerer Schulabschluss). Dennoch: Nicht immer s). De ist eine strikte Einteilung in die Anforderungsbereiche möglich, z. T. hängt diese natürlich auch von der e natü Lerngruppe ab. Genauso verhält es sich bei den allgemeinen Kompetenzen. (K 1) Mathematisch argumentieren Dazu gehört: – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch („Gibt …?“, „Wie verändertt sich… sich…?“, kteris ch sind („Gi bt es …?“ „Ist das immer so …?“) und Vermutungen begründet ründe äußern, – mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Beweise), keln (w e Erlä uterungen Begründungen, en, Beweise) ) – Lösungswege beschreiben und begründen. ründen. (K 2) Probleme mathematisch sch lösen Dazu gehört: – vorgegebene und selb selbst Probleme bearbeiten, bst formulierte P – geeignete Hilfsmittel, Strategien und Prinzi Prinzipien Problemlösen auswählen und eignet heuristische Hilfsmi pien zum Probl anwenden, Plausibilität Ergebnisse überprüfen sowie das Finden vo von Lösungsideen und die Lösungswege – die Plausibil tät der Er üfen sow nL reflektieren. (K 3) Ma Mathematisch modellieren eren Dazu gehört: – den Bereich oder Situation, er die Sit uation die modelliert werden sollen, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, onen übersetzen – in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, m jeweili en mathema – Ergebnisse dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und bnisse in d em ent prüfen. 1 Vgl.: Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 04.12.2003: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, S. 8ff. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 3 Einleitung (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Dazu gehört: – verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, – Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, – unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln. (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Dazu gehört: – mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, beiten – symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, mgekehr – Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, – mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, sinnvoll und verechner, Software) sin ständig einsetzen. (K 6) Kommunizieren Dazu gehört: – Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse bnisse dokumentieren, okumentieren, verständlich darstellen arstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter er Medien, – die Fachsprache adressatengerecht gerecht verwenden, – Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten ver verstehen überprüfen. u mathem erst en und üb berprüfen Die Anforde Anforderungsbereiche allgemeinen mathematischen Kompetenzen ungsbereic der a matischen Kompe tenz Es lassen sich Anforderungsbereiche un unterscheiden: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen h drei Anfor heiden: Repr oduzier sowie Verallge Verallgemeinern Allgemeinen nehmen Anspruch und kognitive Komplexität meinern und Reflektieren.. Im Allg einen nehme von Anforderungsbereich zu Anforderungsbereich zu. on Anforderu gsbereich zu Anforderungsbereich I: Reproduzieren rd eprodu Dieser Anforderungsbereich umfasst die W Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden ere ch um Begriffen, Sätzen und Verfa Verfahren hren in einem abgegrenzten Gebiet und einem sich wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen rungsbereich II Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigorderung keiten und Fä Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 4 Einleitung Daraus ergibt sich folgende Ausdifferenzierung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen: Reproduzieren Zusammenhänge herstellen Verallgemeinern und Reflektieren (K 1) Mathematisch argumentieren. Dazu gehört: – Routineargumentationen wiedergeben (wie Rechnungen, Verfahren, Herleitungen, Sätze, die aus dem Unterricht vertraut sind) – komplexe Argumentationen erläutern – überschaubare mehrschrittige Arguoder entwickeln mentationen erläutern oder entwickeln – verschiedene Argumentationen be– Lösungswege beschreiben und werten begründen – mit Alltagswissen argumentieren – Ergebnisse bzgl. ihres Anwendungskontextes bewerten – Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen erläutern – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind und Vermutungen begründet äußern (K 2) Probleme mathematisch lösen. Dazu gehört: – Routineaufgaben lösen („sich zu helfen wissen“) – einfache Probleme mit bekannten – auch experimentellen – Verfahren lösen – Probleme bearbeiten, deren Lösung die Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln, Strategien und Prinzipien erfordert – Probleme selbst formulieren – die Plausibilität von Ergebnissen nissen überprüfen – anspruchsvolle Probleme bearbeiten chsvolle Prob – das Finden und die nden von Lösungsideen Lösun Lösungswege reflektieren Lösun swege reflektie (K 3) Mathematisch modellieren. Dazu gehört: – vertraute und direkt erkennbare Modelle nutzen – einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt mathematische Objekte zuordnen – Resultate am Kontext prüfen fen – Modellierungen, die mehrere Schritte lierungen, d e mehr e Schr erfordern, vornehmen rfordern, vornehm n – Ergebnisse Modellierung interErg bnisse einer Mo l pretieren der Ausgangssituatipreti en und an de on prüfen pr n – einem mathematischen Modell passende send Situationen zuordnen – komplexe oder er unvertraute Situationen S ationen modellieren –v verwendete mathematische Modelle ete ma hematische Mod (wie Formeln, Darstellun(w ormeln Gleichungen, ichungen, Da von Zuordnungen, Zeichnungen, gen v n Zuordnung en, Z strukturierte Darstellungen, Ablaufplästruktu ierte Darstel ne) reflektieren und kritisch beurteilen e) refle tieren u (K 4) Mathem Mathematische Darstellungen verwenden. Dazu gehört: sche Darstel gen ve Darstellungen – vertraute und geübte eübte Darste Objekten und von mathematischen mathemati chen Obje oder nutzen Situationen anfertigen anf – Beziehungen Darstellungsnge zwischen chen Darstellun sformen erkennen und n erkenn nd zwischen den Darstellungsformen wechseln ellungsforme wechse eigene Darstellungen entwickeln –e – verschiedene Formen der Darstellung zweckentsprechend beurteilen – nicht vertraute Darstellungen lesen und ihre Aussagekraft beurteilen (K 5) Mit symbolischen, formalen Elementen der Mathematik umgehen. Dazu gehört: en und technischen hen E – Routineverfahren verwenden nden – Lösungss und Kontrollverfahren aus- – Lösungs- und Kontrollverfahren hin– mit vertrauten Formeln sichtlich ihrer Effizienz bewerten führen meln und SymSymbolen umgehen – Möglichkeiten und Grenzen der Nuten – symbolische und formale Sprache in – mathematische Forzung mathematischer Werkzeuge natürliche Sprache übersetzen und tische Werkzeuge Werkzeuge (wie F melsammlungen, reflektieren umgekehrt mmlungen Taschenrechner, aschenrechn Software) Situationen nutzen, in – mit Variablen, Termen, Gleichungen, e) in Situation en nut denen ihr Einsatz geü geübt wurde Funktionen, Tabellen und Diagrammen arbeiten – mathematische Werkzeuge verständig auswählen und einsetzen (K 6) Kommunizieren. Dazu gehört: – einfache mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich ausdrücken – aus kurzen, einfachen mathematikhaltigen Texten, Grafiken und Abbildungen Informationen entnehmen – auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen reagieren – Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse verständlich darstellen – komplexe mathematikhaltige Texte, Grafiken und Abbildungen sinnentnehmend erfassen – die Fachsprache adressatengerecht verwenden – auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten eingehen – mit Fehlern konstruktiv umgehen Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag – komplexe mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich präsentieren – komplexe mathematische Texte sinnentnehmend erfassen – Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten bewerten 5 Karte Inhalt/Ziel Leitidee eitid Auswertungsbogen (Lehrkraft) I II III derungsAnforderungsbereich eich TippTipp-Karte Sonstige Hilfen benutzt? Faz Fazit: Anmerkungen Einleitung Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 6 Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag Richtig gelöst? Hilfen benutzt? Hilfen benutzt? – Partnerarbeit (PA) – Helfer – Tippkarte – Nachschlagewerk – Allein Karte Laufkarte (Schüler) Schwierigkeiten? – Ich hatte Schwierigkeiten mit … – Ich konnte die Aufgaben nicht lösen, weil … Schwierigkeiten? Sonstiges Nachricht Einleitung 7 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe In der 7./8. Klasse der Realschule vertiefen die Schüler im Bereich „Raum und Form“ ihre Vorstellungen von ebenen Figuren und von Körpern, indem sie Dreiecke, Vierecke, Vielecke und Prismen (Netze, Schrägbilder) skizzieren und konstruieren. Sie entdecken und erkunden Eigenschaften von ebenen Figuren und Körpern und lernen, deren geometrische Beziehungen in Lösungsprozessen argumentativ zu nutzen. Das erworbene Wissen über Klassifizierungsmerkmale erlaubt den Schülern, geometrische Figuren aus ihrer Umwelt sachgerecht zu gruppieren und in eindeutiger Weise zu beschreiben. In diesem Buch wird das Thema „Raum und Form“ in zwei Bereiche geteilt: – Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe, – Vielecke und Körper. Während der erste Bereich im Wesentlichen dem elementaren geometrischen Basiswissen für ebene n Basis Figuren mit seiner entsprechenden Begrifflichkeit zugeordnet werden muss, ss, bedient sich der zweite Bereich der Kenntnisse aus dem ersten Bereich. Es wird darin die Betrac Betrachtung geometrischer Eigenhtung geome schaften und Zusammenhänge von einfachen Dreiecken auf Vielecke erweitert. Bei der Betrachtung elecke erwe eitert. Be von Körpern wird auch die dritte Dimension mit einbezogen. Dementsprechend nb en. Deme tsprechend sind auch die Aufgaben ausgesucht und gestaltet worden. Geometrische Grundkonstruktionen truktionen und und -begriffe -b Zuordnung der allgemeinen n Kompete Kompetenzen zen zzu den Aufgaben Unter dem übergeordneten „Geometrische Grundkonstruktionen üben die Schüler eten Thema „Geo t ktionen und -begriffe“ üb anhand der Aufgaben wichtigen Unterthemen: gaben die e folgenden wic – Winkelarten (Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel) bestimmen, Winkelart (Scheitelw kel, Ne nkel, W echselwin el) b von ebenen Figuren Gerade, Strecke, Winkel, Schenkel, – bei der Beschreibung Beschreibung v re die Begriffe Punkt, Punkt, Gera Scheitelpunkt, achsensymmetrisch verwenden, Scheitelpun t, Grad, parallel, senkrecht, cht, achs symmetrisch hv – Dreiecke anhand der Achsensymmetrie (gleichseitig, gleichschenklig) und anhand der Winkelgröße an ie (gleichse ig, gleich (spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig) klassifizieren, spitzwink winklig) klassif i – Winkel Winkelmaße ermit ermitteln, nk konstruieren und Winkel – Winkel mithilfe des Win Winkelsummensatzes kelsum es iim Dreieck und der Sätze über Scheitel-, Neben-, Stufenund Wechselwinkel bestimmen, nkel besti mmen – Planfiguren Konstruktionsvorbereitung oder als Hilfe zur Problemlösung zeichnen, en als als Konstruktio nsvo – den Satz des Thales Begründung der Eigenschaft „rechtwinklig“ anwenden, hales zur Be – Dreiecke Zirkel, Lineal, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware konstruieren, cke mit Zirk el Lin – Beispiele Dreieckskonstruktionen, die nicht lösbar oder nicht eindeutig lösbar sind, werden untere für Drei sucht, – die Kongruenz von Dreiecken als Deckungsgleichheit beschreiben, – kongruente Dreiecke mit der Angabe von (SWS), (WSW), (SSW) und (SWW) konstruieren, – besondere Linien im Dreieck (Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhen, Inkreis, Umkreis, Schwerpunkt) werden konstruiert, – geometrische Bewegungen (Achsenspiegelung, Parallelverschiebung, Drehung) werden konstruiert. Dieses Thema „Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe“ ist der Leitidee „Raum und Form“ zuzuordnen. In den Bildungsstandards Mathematik wird diese inhaltsbezogene Kompetenz folgendermaßen beschrieben: „Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt, …, stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, …, analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene …, beschreiben und begründen Eigenschaften Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 8 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen, wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an, insbesondere … den Satz des Thales, zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware, untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen, …“ (Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss, S. 11). Geometrische Grundkonstruktionen und deren mathematische Beschreibung lassen sich fast immer in mehrere Einzelschritte unterteilen, wobei bei jedem Schritt eine unterschiedliche Kompetenz im Vordergrund stehen kann. Somit ist auch klar, dass bei den einzelnen Aufgaben fast imm immer mehrere Kompetenzen in unterschiedlicher Gewichtung gefordert werden und manchmal auch nicht sa sauber voneinander zu trennen sind. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 9 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe Anforderungsbereich: Karte 1 Aufgabe K1 K2 K3 K4 K5 K6 1 x x x 2 x x x x 3 x x x x Anforderungsbereich: Karte 2 Aufgabe K1 K2 K3 K4 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f x x 2a, 2b, 2c, 2d x x Aufgabe K1 K2 1 x x 2a, 2b, 2c, 2d x K3 3 K4 K6 6 x x x x x x x x Anforderungsbereich: K1 1 2a, 2b, 2c K5 x Karte 4 Aufgabe K6 Anforderungsbereich: ich: Karte 3 3a, 3b K5 K2 K3 K4 K5 x x x x x K6 x Anforderungsbereich: Karte 5 Aufgabe abe K1 c, 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f, 1g x 2a, 2b, 2c x K2 K3 K4 K5 K6 x Anforderungsbereich: Karte 6 Aufgabe K1 K2 K3 K4 K5 K6 1 x x x x x x Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 10 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 1 � Übertrage das Dreieck in dein Heft. Konstruiere die Höhen. Welche Koordinaten hat der Höhenschnittpunkt des Dreiecks? � Konstruiere das Dreieck ABC mit A(1 | 0), B(6 | 5) und nd C(1 | 5) o lliegt 5). Konstruier Konstruiere die Höhen. Wo heit we sen die Höh n auf? der Höhenschnittpunkt? Welche Besonderheit weisen Höhen � Konstruiere ein Dreieck mit a = 6,8 cm, 42°° und ha = 3 cm und gib die Konstruktionsbeschreim, γ = 4 onstruktionsbeschreibung an. Zeichne auch die beiden Höhen e fehlenden H öhen ein. Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 2 � Thorsten behauptet, dass die folgenden Aussagen nden Auss gen für jede Kongruenzabbildung richtig sind. das? Stimmt d Eine Strecke und die zugehörige a) E uge Bildstrecke sind zueinander parallel. b) Ein Winkel und der zuge zugehörige Bildwinkel haben die gleiche Größe. d de dwi c) Der Umlaufsinn einer Figur bleibt erhalten. aufsinn eine d) Es gibt m mindestens einen Fixpunkt. ndestens ein e) Es gibt mind mindestens eine Fixgerade. t f) Keine der Aussagen von a) bis e) ist richtig. ne de � Welches Problem tritt auf, wenn man die Dreiecke mit den vorgegebenen Winkeln zeichnen möchte? Welche Dreiecksarten würden sich jeweils ergeben? a) α = 20°; β = 80° b) α = 40°; β = 70° c) α = 60°; β = 60° d) α = 10°; β = 160° Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 11 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 � Konstruiere das folgende Dreieck ABC mit a = 5,8 cm, b = 4,5 cm und α = 68°. Ist es eindeutig konstruierbar? Beschreibe, wie du vorgehst. � Konstruiere die folgenden Dreiecke ABC, wenn es möglich ist. a) a = 3,5 cm; b = 4 cm; α = 60° b) a = 2,8 cm; c = 4,8 cm; γ = 110° c) b = 4 cm; c = 5 cm; β = 70° d) b = 4,2 cm; c = 6,2 cm; β = 40° � Beim Konstruieren eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten (a, b) und einem bekannten Winkel α können die folgenden Situationen eintreten: a) b) Was ändert sich an der Situation, wenn n man den Winkel α verändert? Was ändert sich Situation, h an der Situat on, wenn man die Seite b verlä verlängert verkürzt? ve gert oder verkü Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 4 � In der Ga Gartenanlage des Gutsherrn Bernd von Eilfeld soll zw zwischen drei gepflasterten Wegen l möglichst große, kreisförmige Buchsbaumhe Buchsbaumhecke eine mög ecke gepflanzt werden. Welchen Durchmesser etwa haben? muss die Hecke außen in etw n? Übertrage die Figur in dein Heft (dabei soll 1 Meter in der Wirklichkeit 1 cm im Heft entsprechen) chen und konstruiere die Lösung. � Beantworte folgende Fragen: a) Kann man ein Dreieck zeichnen, bei dem die Mittelpunkte von Inkreis und Umkreis übereinstimmen? b) Kann man ein Dreieck zeichnen, bei dem der Inkreis und der Umkreis identisch sind? c) Kann der Schwerpunkt eines Dreiecks der Mittelpunkt des Umkreises sein? Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 12 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 5 � Entscheide durch Ankreuzen, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Aussage wahr falsch (a) Ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel hat immer zusätzlich genau zwei spitze Winkel. (b) Ein Dreieck mit zwei spitzen Winkeln hat immer zusätzlich einen stumpfen Winkel. (c) Ein Dreieck mit einem Winkel von 60° hat immer zusätzlich zwei weitere Winkel von 60°. (d) Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben. (e) Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn zwei Winkel 45° groß sind. (f) nste. Bei einem Dreieck kann der größte Winkel fünfmal so groß sein wie der kleinste. (g) Ein Dreieck mit zwei Winkeln von 85° hat einen dritten Winkel von 5°. � Ergänze die folgenden Aussagen so, dass sie wahr sind. a) Der Schwerpunkt eines Dreiecks wird gebildet durch den Schnittpunk Schnittpunktt S der des Dreiecks. es D cks. b) Der eines Dreiecks is ist der Schnittpunkt S der Winkeleine halbierenden des Dreiecks. c) Der Mittelpunkt des Umkreises wird gebildet durch der ses eines Dreiecks Dreieck w ur den n Schnittpunkt S de des Dreiecks. d Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 6 � Der Satz d des Th Thales besagt, dass man imme immer ein rechtwinkliges Dreieck erhält, wenn man die in rechtwink Endpunkte des Durchmessers eines Kreises mit einem weiteren Punkt des Kreises verbindet. Endpunk e Erkläre mithilfe der Abbildung, Dreieck ABC immer rechtwinklig ist. Erkl dung dass das Dreiec Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 13 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 1 � Der Höhenschnittpunkt des Dreiecks Lösung � Die Höhen schneiden sich im Punkt H (1 | 5). Die- liegt bei H(4,5 | 4). � ser Punkt ist gleichzeitig der Eckpunkt C des Dreiecks. Die Höhe ha ist gleich der Seite b, die Höhe hb gleich der Seite a. Konstruktionsbeschreibung: reibung: Strecke a zeichnen. Winkel γ an a in C antragen. Parallele h1 zu u a im Absta Abstand nd von 3 cm zeichnen, Schnittpunkt tp des ffreien en Schenkels b1 von γ mit der Parallelen h1 als A kennzeichnen. kennze chnen. A mit B verbinden. Lotstrecke s von n A auf a zeichn zeichnen. en. Damit hat man ha. Strecken cken b und c über A hin hinaus us verlängern. ve Lotstrecke von B bzw. von C au auf die Verl Verlängerungen. ng So erhält rhä man hb un und d hc. H ist der Schnittpunkt de der er H Höhen. hen. Geometrische Geometr sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 2 Lösung � Aussagen für jjede d Kongruenzabbildung dung a) Nein b) Ja c) Nein d) Nein e) Nein f) Nein n � Dreiecke k mit zwei vorgegebenen Winkeln Die Dreiecke sind nicht eindeutig festgelegt. Die drei Winkel sind fest, aber die Seitenlängen können variieren. a) Gleichschenklig b) Gleichschenklig c) Gleichseitig d) Gleichschenklig Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 14 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 Lösung � Konstruktionsschritte: Strecke b zeichnen (mit A und C), Winkel α an b in A antragen, Kreisbogen um C mit Radius a. Schnittpunkt von Kreisbogen und freiem Schenkel des Winkels α ergibt B. B mit C verbinden. Dreieck ist eindeutig konstruierbar. � Konstruktion Dreiecke a) Zwei mögliche Schnittpunkte für B, Dreieck nicht eindeutig. b) Konstruktion möglich (siehe rechte Figur). c) Kein Schnittpunkt für C. d) Zwei mögliche Schnittpunkte für C, Dreieck nicht eindeutig. � Situationen beim Konstruieren eiterh keinen einen Schn ittpunkt zw gen und a) Wird der Winkel α vergrößert, gibt es weiterhin Schnittpunkt zwischen Kreisbogen ert, gibt es zzunächst unäch einen Schnittpunkt. nkt. VerSeite c. Wird der Winkel α ausreichend verkle verkleinert, ei Sch nittpunkte kleinert man den Winkel weiter, gibt es zzwei Schnittpunkte. hend verläng rt, gib hnittpunkt B o er b) Wenn man die Seite b ausreichend verlängert, gibt es nur noch einen Schnittpunkt oder hr. Wenn man die Se he verkürzt, rkürzt, gibt es nur no gar keinen Schnittpunkt mehr. Seite b ausreichend noch einen Schnittpunkt B.. Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 4 Lösung � Gartenan Gartenanlage mit kreisförmiger Buchsbaumhecke hsbaumhe ke circa Die Hecke Hec muss außen einen Durchmesser messer von ci rca 4 m haben. � Fragen zu Inkreis und Umkreis a) Ja, ein gleichseitiges Dreieck. b) Nein. c) Ja, beim gleichseitigen Dreieck ist das der Fall. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 15 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 5 Lösung � Wahre oder falsche Aussagen Aussage wahr falsch (a) Ein Dreieck mit einem stumpfen Winkel hat immer zusätzlich genau zwei spitze Winkel. ✗ ✗ ✗ ✗ (b) Ein Dreieck mit zwei spitzen Winkeln hat immer zusätzlich einen stumpfen Winkel. (c) Ein Dreieck mit einem Winkel von 60° hat immer zusätzlich zwei weitere Winkel von 60°. (d) Ein Dreieck kann zwei rechte Winkel haben. (e) Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn zwei Winkel 45° groß sind. (f) Bei einem Dreieck kann der größte Winkel fünfmal so groß sein wie der kleinste. nste. (g) Ein Dreieck mit zwei Winkeln von 85° hat einen dritten Winkel von 5°. ✗ ✗ ✗ � Wahre Aussagen a) Der Schwerpunkt eines Dreiecks wird gebildet durch den Schnittpunk Schnittpunktt S der Seitenhalbierenden des Dreiecks. iecks ist st der Schn b) Der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks Schnittpunkt S der Winkelhalbierenden des Dreiecks. ses eines Dreieck ur den n Schnittpunkt S de c) Der Mittelpunkt des Umkreises Dreiecks w wird gebildet durch der es Dreieck Mittelsenkrechten des Dreiecks. Geometrische Geometr sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 6 Lösung � Satz des Thales T l folgt, Da MB = r und MC = r, gilt MB = MC. C. Daraus folgt gleichschenkliges dass die Punkte B, C, M ein g henkliges Dreieck bilden und β = γ1 ist. Da MA = r und nd MC C = r, gilt M MA = MC. Daraus folgt, dass die Punkte gleichschenkliges ie Pu unkte A, M, C ein g Dreieck bilden eieck bild n und α = γ2 ist. α + γ2 + γ1 + β = 180° (Dreieck ABC). Da β = γ2 und α = γ1 ist, folgt durch Einsetzen: 2 γ1 + 2 γ2 = 180° ⇒ 2 (γ1 + γ2) = 180° ⇒ γ1 + γ2 = 90°. Da γ1 und γ2 zusammen den Winkel γ im Punkt C des Dreiecks ABC bilden, ist bewiesen, dass dieser Winkel immer 90° groß ist. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 16 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 1 Tipps Zu � Die Höhen findest du, indem du die Abstände von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite einzeichnest. Zu � Nach dem Eintragen der Punkte ins Koordinatensystem musst du jeweils die A Abstände von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite eintragen. Zu � Beginne die Konstruktion mit der Seite a und dem Winkel γ. Den Eckpunkt A findest du dort, wo sich derr freie Schenkel chenkel von γ mit der Parallelen zu a im m Abstand ha schneidet. weils a cksseiten se nkrecht. Die beiden fehlenden Höhen stehen jeweils auff der Verlänge Verlängerung der Dreiecksseiten senkrecht. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 17 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 Tipps Zu � Prüfe jede Aussage einzeln für jede dir bekannte Kongruenzabbildung. Zu � Überlege, warum man mit der Angabe von zwei Winkeln ein Dreieck nicht eindeutig zeichnen kann. chseit oder gleichPrüfe für jedes Dreieck, ob es spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig, gleichseitig schenklig ist. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 18 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 Tipps Zu � Beginne mit der Strecke b und der Konstruktion des anliegenden Winkels α. Zu � a) Beginne mit der Strecke b und der Konstruktion des anliegenden Winkels α. Beachte einen Sonderfall. Zu � b) den Winke s γ. Beginne mit der Strecke a und der Konstruktion des anliegenden Winkels Zu � c) Beginne mit der Strecke c und der Konstruktion anliegenden Winkels β. nstruktion des anliegen Beachte die besondere Situation. n. Zu � d) Beginne mit Strecke Winkels g it der Strec e c und der Konstruktion des anliegenden W nkels β. einen Sonderfall. Beachte e nen Sonde Zu � a) Wohin wandert die gestrichelte wenn der Winkel α kleiner wird und sich 0° nähert? Wohin strichelte Linie, wen wandert die gestrichelte Linie, wenn der chel e Linie er Winkel α größer wird und sich 90° nähert? Was passiert, wenn der Winkel stumpfer inkel ein stu mpfer wird und sich 180° nähert? Wie viele Schnittpunkte gibt es in der jeweiligen Situation? gen S tuation? Zu � b) Wie verändert sich die Lage der gestrichelten Linie, wenn b länger wird und sich der Punkt C damit von seiner gegenüberliegenden Seite weiter entfernt? Was passiert mit dem Punkt B2, wenn b verkürzt wird? Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 19 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 4 Tipps Zu � Konstruiere das Dreieck. Zeichne eine beliebige Seite, dann jeweils einen Kreisbogen um die Endpunkte dieser Seite mit den Radien der beiden anderen Seiten. Konstruiere einen Inkreismittelpunkt M mithilfe der Winkelhalbierenden. Ermittle den Radius als Abstand von M auf eine Dreiecksseite. Zu � a) Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten, der Inkreism Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Überlege, bei welchen Dreiecksarten die Mittelsenkrechten genau enau gleich sind mit den Winkelhalbierenden. Zu � b) Hinweis: Die Linie des Umkreises des ses befindet sich – bis auf die drei Eckpunkte te – außerhalb de Dreiecks. Die Linie des Inkreises vollständig – bis auf die drei B Berührungspunkte den nkreises liegt liegt vollständi hrung unkte mit de Seiten – innerhalb des Dreiecks. Zu � c) Überlege, welche Lin Linien entscheidend das Auffinden des Sch Schwerpunktes eines Dreiecks sind nd für da und welche Umkreismittelpunktes sind. welch Linien wichtig für das Auffinden ffinden des Umkreism Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 20 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 5 Tipps Zu � a) Überlege, wie viel Grad im Dreieck für zwei Winkel zusammen noch übrig bleiben, wenn ein Winkel ein stumpfer Winkel (also > 90°) ist. Zu � b) ch ist, ist die Antwort Versuche ein Dreieck zu finden, das drei spitze Winkel hat. Wenn das möglich klar. Zu � c) Gibt es Gegenbeispiele? Gibt es Dreiecke mit einem Winkel von weitere Winkel, die on 60° und zwei w beide nicht 60° groß sind? Zu � d) Versuche ein Dreieck zu zeichnen, Winkel hat. We Welche spezielle tritt nen, das zwei rechte rechte W pezie le Situation tr ein? Wie viel Grad sind nach dem Winkelsummensatz für Dreiecke Winkel Winkelsumm cke noch h für den dritten Win übrig, wenn zwei Winkel jeweils 90° groß oß sind? Zu � e) Wie viel Grad G ad bleibt für den dritten Winkel, wenn w n zwei 45°-Winkel 45°-W nk gegeben sind (siehe Winkelsummensatz im Dreieck)? summensa Zu � f) Überlege dir ein Beispiel für drei d Winkel, wobei einer fünfmal so groß ist wie ein anderer. Zu � g) Denke an de den Winkelsummensatz im Dreieck. Alle Winkel zusammen müssen 180° ergeben. Zu � Schlage in deinem Heft (Merksätze) oder der Formelsammlung nach, welche Aussagen zur Bildung von Umkreis, Inkreis und Schwerpunkt im Dreieck aufgeschrieben sind. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 21 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 6 Tipps Zu � Betrachte das linke und das rechte Teildreieck. Da jeweils zwei Schenkel gleich lang sind, sind beide Dreiecke gleichschenklige Dreiecke. Was kannst du deshalb über die Größe des Winkels γ1 und die Größe des Winkels γ2 sagen? Nenne entsprechend große Winkel im jeweiligen Dreieck. Schreibe den Winkelsummensatz für das Dreieck ABC auf. Ersetze dabei die Winkel bei A bzw. B durch die entsprechenden, gleich großen Winkel γ1 und γ2. Die so entstandene Gleichung musst du so zusammenfassen und auflösen, dass auf der einen n, da Seite γ1 + γ2 und auf der anderen Seite eine Gradzahl steht. Was schließt du u aus dieser Gleichung? Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 © Persen Verlag 22 ® Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt ertung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ungen m it. ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit. © 2012 Persen Ver Verlag, ag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH rfachverlage Gmb Alle Rechte vorbehalten. hte vorbeha n. Das Werk als Ganzes sow sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in sein seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. 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